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¿Dónde estamos?
VARIABLES ALEATORIAS
DESCR.
INFERENCIA
CÁLC. P.
1981
Probabilidad
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
V.A. DISCRETAS
V.A. CONTINUAS
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMACIÓN DE V.A.
1988
Variables aleatorias
1994
Emilio Letón
Dpto. Estadística, UC3M
Estadística: E. Letón
YT: WWWLIAA
I feel it in my fingers
I feel it in my toes
Love is all around me
And so the feeling grows
Its written on the wind
Its everywhere I go, oh yes it is
So if you really love me
Come on and let it show
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Frentes abiertos
X
¿De dónde vienen los
datos?
¿P( )?
xi
Estadística: E. Letón
?
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
Definición de variables aleatorias
Soporte y tipos
Alea; Stokastikos
(Jakob Bernoulli; XVII)
V.A. DISCRETAS
xi
?
V.A. CONTINUAS
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMACIÓN DE V.A.
Estadística: E. Letón
Los Bernoulli
Estadística: E. Letón
Definición de v.a.
Experimento aleatorio
Espacio muestral=E
xi
Estadística: E. Letón
?
Estadística: E. Letón
E
e
X
ℜ
X(e)
Resumen: definición de v.a.
Soporte y tipos
Soporte: conjunto de posibles
valores que puede tomar la v.a.
Tipos: v.a. discretas finitas; v.a.
discretas infinitas; v.a. continuas
E 1, E 2, E 3, E 4
¿Estamos
rodeados de v.a?
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ejemplo asociado a E1 (1/2)
F
F
S
F
S
S
Se observa una pieza si F o S
F=fallo, defectuoso; S=correcto
Si el dígito se ha transmitido F o S
E1={F,S}
Discreto finito de 2 elementos
Ejemplo asociado a E1 (2/2)
E
X
ℜ
{F}
0
{S}
1
Soporte: {0,1}
Tipo: v.a. dis. finita
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ejemplo asociado a E2 (1/3)
FFF
SFF
FSF
FSS
FSS
FFF
Se observa una pieza de 3 comp.
con cada componente F o S
E2={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,
SSF,SFS,SFF}
Discreto finito de 8 elementos
E
e
X
ℜ
Núm de S
Soporte: {0,1,2,3}
Tipo: v.a. dis. finita
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ejemplo asociado a E2 (3/3)
E
e
Ejemplo asociado a E2 (2/3)
X*
ℜ
N.de S – N.de F
Soporte: {-3,-1,1,3}
Tipo: v.a. dis. finita
Estadística: E. Letón
Ejemplo asociado a E3 (1/2)
S
FS
FFS
S
FS
FS
Estadística: E. Letón
Se observa nº de veces hasta
transmitir un bit correctamente
E3={S,FS,FFS,FFFS, FFFFS,…}
Discreto inf. (infinito numerable)
Ejemplo asociado a E3 (2/2)
X
E
e
ℜ
Núm de veces hasta S
Soporte: {1,2,3,…}
Tipo: v.a. dis. infinita
Estadística: E. Letón
X
x
15
12
3
45
17
1
Resumen: soporte y tipos
ℜ
x
Soporte:
ℜ+
Tipo: v.a. continua
Estadística: E. Letón
Se observa el tiempo hasta
transmitir un bit correctamente
Tiempo de acceso a una web
E4=R+
Continuo inf. (inf. no numerable)
Estadística: E. Letón
Ejemplo asociado a E4 (2/2)
ℜ+
Ejemplo asociado a E4
Estadística: E. Letón
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
V.A. DISCRETAS
V.A. DISCRETAS
Función de probabilidad
Función de distribución
Gráfico de frecuencias relativas
Gráfico acumulado de fr. relativas
V.A. CONTINUAS
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMACIÓN DE V.A.
Estadística: E. Letón
Función de probabilidad
Estadística: E. Letón
Definición
p (x ) = P (X = x )
E: discreto (finito o inf. num.)
Con la probabilidad de los sucesos
elementales se calcula todo
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades
0 ≤ p (x ) ≤ 1
∑ p (x ) =1
Ejemplo v.a. discreta finita (1/4)
1 / 6 , x = 1
p (x ) = 
5 / 6 , x = 0
x
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. discreta finita (2/4)
,x = 1
p
1 − p , x = 0
p (x ) = 
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. discreta finita (3/4)
1 / 3
2 / 3
p (x ) = 
Estadística: E. Letón
, x = −1
, x =0
Ejemplo v.a. discreta finita (4/4)
p (x ) =
1
k
x = 1,..., k
Estadística: E. Letón
Resumen: función de probabilidad
Ejemplo v.a. discreta infinita
1
X ≈ 

2
...

...
Estadística: E. Letón
Función de distribución (disc.)
E: discreto (finito o inf. num.)
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Definición
F (x ) = P (X ≤ x ) =
Propiedades
∑ p (x i )
F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
x i ≤x
p (x ) ↔ F (x )
Estadística: E. Letón
Resumen: fc distribución (disc.)
F c .p .d
F m .n .d
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.d. (1/3)
,x = 1
p
1 − p , x = 0
p (x ) = 
F (x ) = P (X ≤ x ) =
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
∑ p (x i ) = ?
x i ≤x
Ej. 1 v.a.d. (2/3)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 1 v.a.d.
Ej. 1 v.a.d. (3/3)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 v.a.d. (1/3)
1
X ≈ 

Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
2
...

...
Ej. 2 v.a.d. (2/3)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 2 v.a.d.
Ej. 2 v.a.d. (3/3)
Estadística: E. Letón
Prob. de intervalos en v.a.d. (1/4)
P (a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a )
(X
Estadística: E. Letón
≤ b ) = (a < X ≤ b ) ∪ (X ≤ a )
Estadística: E. Letón
Prob. de intervalos en v.a.d. (2/4)
Prob. de intervalos en v.a.d. (3/4)
P (a ≤ X ≤ b ) = F (b ) − F (a )
P (a < X < b ) = F (b ) − F (a )
+ P (X = a )
Estadística: E. Letón
− P (X = b )
Estadística: E. Letón
Prob. de intervalos en v.a.d. (4/4)
Resumen: prob. de inter. en v.a.d.
P (a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a )
− P (X = b ) + P (X = a )
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Simetría en v.a.c.
P (X ≤ α − x ) = P (X ≥ α + x )
P (X ≤ α − x ) = P (α + x ≤ X ≤ +∞ )
F (α − x ) =
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
V.A. DISCRETAS
V.A. CONTINUAS
Función de densidad
Función de distribución
1 − F (α + x ) + P (X = α + x )
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMACIÓN DE V.A.
Estadística: E. Letón
V.A. CONTINUAS
Estadística: E. Letón
Función de densidad
E: continuo (infinito no num.)
Histograma de frecuencias relativas
Histograma acumulado de fr. relativas
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Definición
Propiedades
0 ≤ f (x )
0 = P (X = x )
P (x < X ≤ x + δx )
f (x ) = lim
δx →0
δx
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. continua (1/5)
Estadística: E. Letón
∫x = −∞ f (x )dx
+∞
=1
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. continua (2/5)
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. continua (3/5)
Estadística: E. Letón
Ejemplo v.a. continua (5/5)
Ejemplo v.a. continua (4/5)
Estadística: E. Letón
Resumen: función de densidad
λe − λx x ≥ 0
f (x ) = 
resto
0
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Integrales impropias (1/2)
+∞
∫x =0 λe
− λx
Integrales impropias (2/2)
dx
Estadística: E. Letón
Resumen: integrales impropias
Estadística: E. Letón
Función gamma
Γ(p ) =
+∞
∫0
e − x x p −1dx
p >0
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades
Ejercicio 1 (1/2)
Γ(p ) = (p − 1)Γ(p − 1)
Γ(n ) = (n − 1)!
+∞
p >1
∫x =0 λe
Γ(1) = 1
− λx
dx
Γ(1 / 2 ) = π 1 / 2 = π
Estadística: E. Letón
Ejercicio 1 (2/2)
Estadística: E. Letón
Ejercicio 2 (1/2)
+∞
∫x =0
y =
1
2π
1 2
x
2
x = (2y )1 / 2
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
1
− x2
e 2
dx
dy = xdx
Ejercicio 2 (2/2)
Resumen: función gamma
1
1/2
−y
e
(
2
y
)
dy
∫y =0 2π
1
3
2Γ 
2π
2
+∞
=
=
1 3

 3
 − 1 Γ  − 1 
π 2  2 
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Función beta
Propiedades
B (p , q ) = ∫0 x p −1 (1 − x )q −1dx
1
p ,q > 0
B (p , q ) =
B (1 / 2,1 / 2) = π
B (p ,1) = 1 / p
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Γ(p )Γ(q )
Γ(p + q )
Ejercicio
Resumen: función beta
4
∫0 12x (1 − x )dx
1
= 12B (5,2 ) = 12
= 12
Γ(5 )Γ(2 )
4!⋅1!
= 12
Γ(7 )
6!
1
2
=
6 ⋅5 5
Estadística: E. Letón
Función de distribución (cont.)
E: continuo (infinito no num.)
Estadística: E. Letón
Definición
F (x ) = P (X ≤ x ) = ∫− ∞ f (t )dt
x
f (x ) ↔ F (x )
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades
Resumen: fc distribución (cont.)
F (−∞) = 0
F (+∞) = 1
F c .p .d
F m .n .d
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.c. (1/5)
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.c. (2/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.c. (3/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.c. (5/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 v.a.c. (4/5)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 1 v.a.c.
Estadística: E. Letón
Prob. de intervalos en v.a.c.
P (a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a )
Simetría en v.a.c.
F (α − x ) =
1 − F (α + x ) + P (X = α + x )
f (α − x )(− 1) = −f (α + x )
f (α − x ) = f (α + x )
f (− x ) = f (x ) par
Estadística: E. Letón
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
Estadística: E. Letón
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
V.A. DISCRETAS
Media poblacional (Esperanza)
Varianza y dt poblacional
Otras medidas poblacionales
V.A. CONTINUAS
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
Media poblacional
Varianza y dt poblacional
Otras medidas poblacionales
TRANSFORMACIÓN DE V.A.
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Media poblacional
x =
1
n
∑ xi
n i =1
=
Discretas
∑ x j ⋅ fr (x j )
k
µ = E [X ] = ∑ x ⋅ p (x )
x
j =1
∑ x ⋅ p (x ) < +∞
x
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Continuas
Propiedades (1/4)
µ = E [X ] = ∫ x ⋅ f (x )dx
x
∫ x ⋅ f (x )dx
x
Estadística: E. Letón
< +∞
E [X ] con unidades
E [X ] ≥ 0 ó
Si
Estadística: E. Letón
u
E [X ] ≤ 0
X ≥ 0 ⇒ E [X ] ≥ 0
Propiedades (2/4)
Propiedades (3/4)
E [c ] = c
E [a + bX ] = a + bE [X ]
E [b1X 1 ± b2 X 2 ] =
E [h (X )] = ∑ h (x )p X (x )
x
E [h (X )] = ∫x h (x )f X (x )dx
ind .
E [XY ] = E [X ]E [Y ]
b1E [X 1 ] ± b2E [X 2 ]
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades (4/4)
Si
existe
y
hay
Resumen: media poblacional
la
media
simetría
⇒ media = mediana
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Varianza poblacional
s x2 =
=
j =1
2
(
xi − x )
∑
n i =1
1
∑ (x j
k
Discretas
n
2
−x
)
x
h (x ) = (x − µ )2
⋅ fr (x j )
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Continuas
Propiedades (1/4)
σ = V [X ] = ∫x (x − µ ) f (x )dx
2
σ 2 = V [X ] = ∑ (x − µ )2 ⋅ p (x )
2
V [X ] con unidades
V [X ] ≥ 0
h (x ) = (x − µ )2
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
u2
Propiedades (2/4)
Propiedades (3/4)
V [c ] = 0
V [a + bX ] = b 2V [X ]
ind .
V [b1X 1 ± b2 X 2 ] =
V [h (X )] = ∑ (h (x ) − E [h (x )])2 p X (x )
x
V [h (X )] = ∫x (h (x ) − E [h (x )])2 f X (x )dx
b12V [X 1 ] + b22V [X 2 ]
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades (4/4)
[
V [X ] ≤ E (X − c )2
para cualquier
Estadística: E. Letón
]
Resumen: varianza poblacional
c ≠µ
Estadística: E. Letón
Ej. 1 var
Estadística: E. Letón
Desviación típica poblacional
σ = D [X ] = + V [X ]
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 1 var.
Estadística: E. Letón
Discretas
σ = D [X ] =
2
∑ (x − µ ) ⋅ p (x )
x
Estadística: E. Letón
Continuas
σ = D [X ] =
Propiedades (1/3)
∫x (x
− µ ) f (x )dx
2
Estadística: E. Letón
D [X ] con unidades
D [X ] ≥ 0
Estadística: E. Letón
Propiedades (2/3)
Propiedades (3/3)
D [c ] = 0
D [a + bX ] = b D [X ]
D [h (X )] = V [h (X )]
ind .
D [b1X 1 ± b2 X 2 ] =
b12V [X 1 ] + b22V [X 2 ]
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
u
Resumen: dt poblacional
Des. de Chebyshev poblacional
P ( X − µ ≤ kσ ) ≥ 1 −
1
k2
P (− kσ ≤ X − µ ≤ kσ )
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ )
Estadística: E. Letón
Resumen: des. Cheb. poblacional
Estadística: E. Letón
Tipificación
Z =
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
X − E [X ]
D [X ]
Media
Varianza
 X − E [X ]

[
]
D
X


E [Z ] = E 
Estadística: E. Letón
Resumen: tipificación
 X − E [X ]
V [Z ] = V 

[
]
D
X


Estadística: E. Letón
Mediana poblacional
x med : 50% obs . a la izda
el 50% a la dcha
1
2
1
P (X ≥ x med ) ≥
2
P (X ≤ x med ) ≥
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Discretas
Continuas
1
1
≤ F (x med ) ≤ + P (X = x med )
2
2
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Propiedades (1/4)
Propiedades (2/4)
ς 0.5 [X ] con unidades
ς 0.5 [X ] ≥ 0 ó
Si
Estadística: E. Letón
1
= F (x med )
2
ς 0.5 [X ] ≤ 0
X ≥ 0 ⇒ ς 0.5 [X ] ≥ 0
ς 0.5 [c ] = c
u
ς 0.5 [a + bX ] = a + bς 0.5 [X ]
ς 0.5 [b1X 1 ± b2 X 2 ] =
= b1ς 0.5 [X 1 ] ± b2ς 0.5 [X 2 ]
Estadística: E. Letón
Propiedades (3/4)
Propiedades (4/4)
E [X − c
No necesariam ente única
Con simetría
⇒ cg = mediana
Estadística: E. Letón
Resumen: mediana poblacional
se
hace
mínima
Estadística: E. Letón
CAS poblacional
CAS =
[
µ3
σ3
µ3 = E (X − µ )3
µ1 =
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
]
µ2 =
]
c = ς 0.5
Resumen: CAS poblacional
CAP poblacional
µ4
CAP = γ 2 − 3 = 4 − 3
σ
[
µ4 = E (X − µ )4
µ1 =
Estadística: E. Letón
Resumen: CAP poblacional
]
µ2 =
Estadística: E. Letón
Cuantiles poblacionales
ς p : p * 100% obs . a
el
p * 100% a
P (X ≤ ς p ) ≥ p
P (X ≥ ς p ) ≥ 1 − p
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
la
izda
la dcha
Discretas
Continuas
p ≤ F (ς p ) ≤ p + P (X = ς p )
Estadística: E. Letón
Resumen: cuantiles poblacionales
p = F (ς p )
Estadística: E. Letón
Otras medidas poblacionales
max p (x )
max f (x )
x
CV =
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
x
σ
µ
Resumen: otras medidas pob.
Estadística: E. Letón
Ej. 1 m.c. (2/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 m.c. (1/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 m.c. (3/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 m.c. (4/5)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 1 m.c.
Estadística: E. Letón
Ej. 1 m.c. (5/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 m.c. (1/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 m.c. (2/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 m.c. (4/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 m.c. (3/5)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 m.c. (5/5)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 2 m.c.
CONCEPTOS BÁSICOS DE V.A.
V.A. DISCRETAS
V.A. CONTINUAS
MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
TRANSFORMACIONES DE V.A.
Teorema de la transformación
Simulación de v.a.
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
TRANSFORMACIONES DE V.A.
X ≈ F X (x )
Y = h (X ) ⇒ ¿ FY (y ) ?
sen (X )
X
Estadística: E. Letón
Teorema de la transformación
FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P (h (X ) ≤ y )
X2
a + bX
Estadística: E. Letón
Continua monótona crec.
(
(y ))
= F X (h (y )) = F X (g (y ))
FY (y ) = P X ≤ h
−1
Continua monótona decrec.
 dx 

 dy 
)
)
[ (
) (
 dx 

 dy 
Estadística: E. Letón
Continua monótona
fY (y ) = f X (g (y ))
f X (g (y ))
=
dy
dx
)]
= 1 − F X h −1 (y ) − P h −1 (y )
fY (y ) = −f X (g (y ))
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
(
= 1 − P X < h −1 (y )
−1
fY (y ) = f X (g (y ))
(
FY (y ) = P X ≥ h −1 (y )
Resumen: teorema de la transf.
dx
dy
Estadística: E. Letón
Ej. 1 transf. v.a (1/6)
Ej. 1 transf. v.a (2/6)
¿Si X es U(0,1) entonces 1-X es U(0,1)?
Estadística: E. Letón
Ej. 1 transf. v.a (3/6)
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ej. 1 transf. v.a (4/6)
Estadística: E. Letón
Ej. 1 transf. v.a (5/6)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 1 transf. v.a.
Ej. 1 transf. v.a (6/6)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 transf. v.a (1/4)
¿Si X es U(0,1) entonces exp(X) es U(0,e)?
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Ej. 2 transf. v.a (2/4)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 transf. v.a (4/4)
Estadística: E. Letón
Ej. 2 transf. v.a (3/4)
Estadística: E. Letón
Resumen: ej. 2 transf. v.a.
Estadística: E. Letón
Ej. 3 transf. v.a (1/5)
Ej. 3 transf. v.a (2/5)
f (x ) =
1
 1 
exp − x 2  x ∈ ℜ
2π
 2 
-Determinar la función de densidad de Y=X*X
Estadística: E. Letón
Ej. 3 transf. v.a (4/5)
( y ) − F X (− y )
fY (y ) =
fX
( y )12 y −1 / 2 − f X (− y ) − 12 y −1 / 2 
Estadística: E. Letón
)
Estadística: E. Letón
Ej. 3 transf. v.a (3/5)
FY (y ) = F X
(
= P (− y ≤ X ≤ y )
= F X ( y ) − F X (− y )
FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P X 2 ≤ y
Sea la v.a. X N(0,1) dada por

 1

fY (y ) =  y
 0

Estadística: E. Letón
1
 1
exp −  y y > 0
2π
 2
resto
Ej. 3 transf. v.a (5/5)
Resumen: ej. 3 transf. v.a.
y = x2 ⇒ x = ± y
(
)
fY (y ) = ∑ f X g i (y ) J i
(
= fX + y
i
) 2 1y
(
)
+ fX − y −
1
2 y
Estadística: E. Letón
Simulación de v.a.
Si X v.a. cuya función de distribución FX(x)
admite inversa entonces U=FX(X) es U(0,1)
Estadística: E. Letón
Justificación (1/2)
FY (y ) = P (Y ≤ y )
= P (F X (X ) ≤ y )
(
)
= P X ≤ F X−1 (y )
(
)
= F X F X−1 (y ) = y
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Justificación (2/2)
0

FY (y ) =  y
1

Interpretación geométrica
y <0
0 ≤ y <1
1≤y
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
Mecanismo interno de una v.a.
X
xi
Estadística: E. Letón
?
Resumen: simulación de v.a.
(p (x ), F (x ))
(f (x ), F (x ))
Catálogo: Modelos
de probabilidad
Estadística: E. Letón
Webgrafía: web de la asignatura
Software; Prácticas; ABP; Autoevaluación;
Ejercicios; Mini-Vídeos; CPC; Tutorías; Webgrafía
Estadística: E. Letón