El problema de valores propios Problemas para trabajar en grupo

El problema de valores propios
Problema 1 Sea e1 , e2 , e3 , . . . una secuencia de números reales no negativos que representan errores en algún proceso iterativo que converge a cero. Supongamos que existe una constante C y un exponente α tal que para k suficientemente grande se tiene
ek+1 ≤ C(ek )α . Varios algoritmos para el cálculo de valores propios, una vez reducida la
matriz a forma Hessenberg, tienen esta propiedad con α = 3 (convergencia cúbica), α = 2
(convergencia cuadrática) o α = 1 con C < 1 (convergencia lineal).
Supongamos que buscamos una respuesta de precisión O(M ) (es decir, que el error del
resultado del algoritmo sea del orden del épsilon de la máquina). Suponiendo que la cantidad de operaciones en cada etapa es O(1) flops, muestra que el coste total del algoritmo
es O(log(M )) flops. ¿Qué papel juega la constante C en el cálculo?
Problema 2 .- Sea A ∈ Cn×n , λ ∈ Λ(A) y v un vector propio unitario de A asociado a λ.
Sea q ∈ Cn×n un vector unitario y σ = q ∗ Aq su cociente de Rayleigh. Prueba que |λ − σ|
≤ 2 k A k2 k v − q k2 . (Esta desigualdad indica que |λ − σ| = O(k v − q k2 ); es decir,
el algoritmo del cociente de Rayleigh depende, en general, linealmente de la diferencia
k v − q k2 ).
Indicación: Prueba que |λ − σ| ≤ |v ∗ A(v − q)| + |(v − q)∗ Aq| y utiliza la desigualdad de
Cauchy-Schwarz.
Problemas para trabajar en grupo
• Problema 3 .- Sea A ∈ Cn×n , x ∈ Cn un vector unitario, µ ∈ C y r = Ax − µx.
Demuestra que existe una matriz E ∈ Cn×n de rango 1 y k E kF = krk2 tal que A + E
tiene µ como valor propio y x como vector propio asociado. (Este ejercicio nos dice que
los valores y vectores propios aproximados que aparecen en el algoritmo de las potencias
y sus derivados son los de una matriz que se obtiene de A mediante una perturbación de
rango 1, y que esta perturbación es tanto más pequeña cuanto menor es la distancia de
Ax a µx).
Indicación: Utiliza la definición de valor-vector propio aplicada a A + E y busca una
solución sencilla del sistema que obtienes.
• Problema 4 En este problema puedes (y quizá debas) usar MATLAB para los cálculos.
Considera la siguiente matriz:


68
64
−14
−7
5
5
 −20 131 102 −32 
5
5

A=
 10 − 73 − 66 16 
5
5
3
−3
− 39
−3
10
10
(a) Aplica el método de las potencias a la matriz A con un vector arbitrario y con un
número suficiente de iteraciones para observar que la sucesión de vectores propios
aproximados tiene dos subsucesiones convergentes. ¿Sabrı́as explicar por qué sucede
esto?
(b) Usa los vectores lı́mite de las subsucesiones para formar una matriz B, 2 × 2, cuyos
valores propios sean 3 y −3 (aproximadamente).
B Y
(c) Construye una matriz ortogonal Q ∈ R
tal que Q AQ =
(aproximada0 Z
mente) ¿Cuáles son los valores propios de Z?¿ Y los de A?
4×4
T
(d) ¿ Cómo se podrı́a usar el método de Rayleigh para calcular el valor propio de A de
menor módulo y un vector propio asociado? Diseña una función de MATLAB para
hacerlo y aplı́calo a la matriz A de este problema.
Problema 5 .(a) Supongamos que H ∈ Fn×n es una matriz Hessenberg superior con det H 6= 0.
Demuestra que las matrices {Hk }k=0,1,... (H0 = H) que se obtienen al aplicar el
algoritmo QR sin desplazamiento a H son todas Hessenberg superior.
(b) Supongamos que Q∗ AQ = H es una matriz Hessenberg superior irreducida. Entonces, todas las columnas de Q están determinadas de forma única (salvo producto por
números complejos de módulo 1) por la primera columna de Q. En otras palabras,
si P ∗ AP = G es otra matriz Hessenberg irreducida de A y P y Q tiene la misma
primera columna entonces todas las columnas de P y Q son iguales salvo producto
por números complejos de módulo 1. (En algunos libros este resultado se conoce
como Teorema Q implı́cito y está muy relacionado con el algoritmo de Arnoldi).