´Algebra Universal

Capı́tulo 1
Álgebra Universal
Problema 1 Demuestra que un conjunto G provisto de una operación asociativa (denotada por
yuxtaposición) que satisface:
Existe e ∈ G tal que ex = x para todo x ∈ G, y
para cada x ∈ g existe un único x0 ∈ G tal que x0 x = e,
es necesariamente un grupo.
Sol. Observemos en primer lugar que (ab)0 = b0 a0 . Por otra parte xa = xb implica a = b. Por lo
tanto la ley de simplificación a izquierda se satisface en G. Ahora bien, si tenemos una igualdad
ax = bx se tiene también x0 a0 = x0 b0 lo que implica a0 = b0 . Por otro lado como e = ee = e0 e se tiene
e0 = e00 . Dado que e = e00 e0 , como e0 = e00 se tiene e = e0 e0 = (ee)0 = e0 . Hemos demostrado arriba
que la igualdad ax = bx implica a0 = b0 . Veamos ahora que también implica a = b. En efecto, si
a0 = b0 , de la igualdad a0 aa = ea = a se deduce b0 aa = a = ea lo que implica e = (b0 a)0 = a0 b00
y como también e = a0 a se tiene la igualdad a0 b00 = a0 a lo que implica a = b00 . De modo análogo
b = a00 y entonces a = b00 = a00 = b. Ya tenemos las leyes de simplificación por dos lados. Ahora
bien, como x0 e = x0 se tiene que a0 aa0 = ea0 = a0 = a0 e y simplificando aa0 = e. Como consecuencia
a00 = a para todo a y este hecho junto con x0 e = x0 (para todo x), implica que e es elemento neutro
cuando multiplica por la derecha.
Problema 2 Demuéstrese que la siguiente definición de operación derivada inducida por un
término es equivalente a la dada en el capı́tulo I: si t ∈ FΩ (Xn ) y a1 , . . . , an son elementos
de una Ω-álgebra A, entonces tA (a1 , . . . , an ) = f¯(t) donde f¯ : FΩ (Xn ) → A es el único morfismo
que extiende a f : Xn → A dada por f (xi ) = ai para i = 1, . . . , n.
¯ i ) = f(t).
¯
Sol. Si t = xi es un elemento de Xn , entonces tA (a1 , . . . , an ) = ai = f (xi ) = f(x
Supongamos ahora que t = ωt1 · · · tp es un elemento que no es una variable, y ω tiene aridad p.
Entonces
tA (a1 , . . . , an ) = ωA ((t1 )A , . . . , (tp )A )(a1 , . . . , an ) = ωA (· · · , (ti )A (a1 , . . . , an ), · · ·) =
¯ i ), · · ·) = f¯(ωt1 · · · tp ) = f(t).
¯
= ωA (· · · , f(t
Problema 3 Para algún tipo fijado Ω, sean s, t y u Ω–términos y xi , xj variables distintas. Se
denota por s[t, u/xi , xj ] al término obtenido de s por la sustitución simultánea en s de xi por t y
de xj por u. Demuéstrese que s[t, u/xi , xj ] no coincide, en general, con s[t/xi ][u/xj ], pero sı́ con
s[t[xn /xj ]/xi ][u/xj ][xj /xn ],
donde n es lo suficientemente grande como para que la variable x n no figure ni en s ni en t ni en
u.
1
2
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL
Sol. Sea s un Ω-término y x1 , . . . , xn variables distintas. Sean t1 , . . . , tn términos cualesquiera. Entonces denotaremos por s[t1 , . . . , tn /x1 , . . . , xn ] al término obtenido por la sustitución simultánea
en s de cada xi por ti . Para formalizar esta definición consideremos el conjunto de variables X
conteniendo a {x1 , . . . , xn } y la aplicación f : X → FΩ (X) tal que f (xi ) = ti para i = 1, . . . , n.
¯ i ) = ti . EnSea entonces f¯ : FΩ (X) → FΩ (X) el único homomorfismo de Ω-álgebras tal que f(x
¯
tonces definimos s[t1 , . . . , tn /x1 , . . . , xn ] := f(s).
En consecuencia s[t, u/xi , xj ] = f¯1 (s) donde
f1 (xi ) = t, f1 (xj ) = u y f1 (xk ) = xk para todo k 6= i, j. El hecho de que en general no
se tiene s[t, u/xi , xj ] = s[t/xi ][u/xj ] se pone de manifiesto tomando el tipo Ω = {b} una operación binaria y X un conjunto con al menos dos variables . Tomemos dos variables distintas
xi y xj y definamos s = bxi xj , t = bxi xj y u = xi . Entonces s[t, u/xi , xj ] = bbxi xj xi mientras que s[t/xi ][u/xj ] = (bbxi xj xj )[u/xj ] = bbxi xi xi . Ahora queremos demostrar s[t, u/xi , xj ] =
s[t[xn /xj ]/xi ][u/xj ][xj /xn ]. Sea α : X → FΩ (X) la aplicación tal que α(xi ) = t[xn /xj ] y α(xj ) =
xj para j 6= i. Sea β : X → FΩ (X) tal que β(xj ) = u y β(xk ) = xk para k 6= j. Sea
por último γ : X → FΩ (X) tal que γ(xn ) = xj y γ(xp ) = xp para todo p 6= j. Entonces
s[t[xn /xj ]/xi ][u/xj ][xj /xn ] = γ̄(β̄(ᾱ(s))) pero γβα = f1 ya que
γβα(xi ) = γβ(t[xn /xj ]) = γ(t[xn /xj ]) = t = f1 (xi ),
por otra parte γβα(xj ) = γβ(xj ) = γ(u) = u = f1 (xj ) y para k 6= i, j se tiene γβα(xk ) =
γβ(xk ) = γ(xk ) = xk . En consecuencia γ̄ β̄ ᾱ = f¯1 lo que resuelve el problema.
Problema 4 Sea T una teorı́a algebraica. Pruébese que el conjunto unitario {0} tiene una única
T –estructura, ası́ como que el conjunto vacı́o posee una T –estructura si y solo si T no contiene
operaciones 0–arias.
Sol. El conjunto {0} tiene una única T -estructura, ya que para cada natural n existe una única
aplicación {0}n → {0} dada trivialmente por (0, . . . , 0) 7→ 0. Por otra parte si T no tiene operaciones 0-arias, para cualquier natural n ≥ 1 existe una (única) aplicación ∅ : ∅ n → ∅ ya que para
n ≥ 1 se tiene ∅n = ∅. Para n = 0 se tiene ∅0 = {∅} y no existe ninguna aplicación {∅} → ∅.
Problema 5 Sean Ω = {m, i, ē} un tipo operacional con α(m) = 2, α(i) = 1, α(ē) = 1 y E el
conjunto constituido por las cuatro identidades:
i) (m x m y z = m m x y z),
ii) (ē x = ē y),
iii) (m ē x x = x) y
iv) (m i x x = ē x).
Demuéstrese que cada grupo es, de forma natural, un (Ω, E)–modelo. ¿Es cierto el recı́proco?
Sol. Si G es un grupo con producto (x, y) 7→ xy se demuestra que es un Ω-modelo definiendo mG
como el producto del grupo, iG como la aplicación que a cada x ∈ G le asocia su inverso para
el producto del grupo, y ēG como la aplicación x 7→ e donde e es el elemento neutro del grupo.
Veamos el recı́proco: si G es el conjunto vacı́o entonces por el problema anterior se tiene que G es
un Ω-modelo ya que el tipo Ω no tiene operaciones 0-árias. Evidentemente el conjunto vacı́o no es
un grupo. Pero todos los demás Ω-modelos distintos del conjunto vacı́o son grupos aplicando lo
demostrado en el problema 1.
Problema 6 Sea Ω el tipo operacional de un grupo. De un Ω–término t se dirá que es reducido
si consta del único sı́mbolo e, o bien obedece al patrón mm . . . mw, donde w es una cadena de
sı́mbolos compuesta solo por variables y la operación i, la cual no contiene subcadenas de la forma
ii, ixx o xix, y esta última posibilidad no aparece excepto como parte de la subcadena ixix.
i) Descrı́base un algoritmo capaz de tomar un término cualquiera t y, a partir de él, producir un
término reducido t̄ tal que (t = t̄) sea una identidad derivada de la teorı́a de grupos.
3
ii) Pruébese que el conjunto R(X) de todos los términos reducidos en las variables X es un grupo
que contiene a X como subconjunto. Considerando el morfismo inducido de F (Ω,E) (X) a R(X),
cuya existencia queda asegurada por la propiedad universal del teorema 1.4, demuéstrese que si s
y t son términos reducidos tales que (s = t) es una identidad derivada, entonces s y t coinciden.
iii) Úsense los apartados anteriores para resolver el problema de las palabras en la teorı́a de grupos.
Sol. La descripción del algoritmo queda como ejercicio para el lector. Sea f : F (Ω,E) (X) → R(X)
el morfismo de álgebras dado por la propiedad universal del álgebra F(Ω,E) (X). Tomemos dos
términos reducidos s, t ∈ R(X) tales que s = t es una identidad derivada. Al ser términos reducidos
son puntos fijos de f y como s = t es una identidad derivada, entonces f (s) = f (t). Pero siendo s
y t puntos fijos de f concluimos que s = t.
Problema 7 Sea T una teorı́a algebraica que contiene una operación ternaria p (posiblemente
derivada) para la cual
(∗)
(p x y y = x)
y
(p x x y = y)
son identidades (bien primitivas, bien derivadas) de T . Supóngase que A es un T –modelo tal que
cierto subconjunto R de A × A es un submodelo que contiene a la diagonal {(a, a) : a ∈ A}.
(Utilı́cense las definiciones previsibles de modelo producto y submodelo.) El conjunto R puede ser
visto como un relación binaria en A que satisface la propiedad reflexiva.
i) Pruébese que R es también simétrica y transitiva.
ii) Recı́procamente, si T es una teorı́a algebraica con la propiedad de que cada submodelo reflexivo del cuadrado de un T –modelo es también simétrico, demuéstrese que T contiene alguna
operación ternaria p, primitiva o inducida, que satisface las identidades (*). Indicación: con F
el T –modelo libre engendrado por {x, y}, considérese el submodelo R de F × F engendrado por
{(x, x), (x, y), (y, y)}.
iii) Dese un ejemplo de una operación p verificando (*) cuando T es la teorı́a de grupos, pero
razónese por qué no hay tal operación en la teorı́a de los semigrupos. Se recuerda que la teorı́a de
los semigrupos se obtiene de la de los grupos borrando la operación i y la identidad primitiva en
la que está involucrada.
Sol. i) Veamos la propiedad simétrica: si (a, b) ∈ R entonces p(b, b)(a, b)(a, a) ∈ R pero
p(b, b)(a, b)(a, a) = (pbaa, pbba) = (b, a)
luego (b, a) ∈ R. Para demostrar la propiedad transitiva supondremos (a, b), (b, c) ∈ R. Entonces
p(a, b)(b, b)(b, c) ∈ R pero p(a, b)(b, b)(b, c) = (pabb, pbbc) = (a, c), por lo tanto (a, c) ∈ R.
ii) Sea T = (Ω, E) la teorı́a algebraica en cuestión. Sea R el T -submodelo de F × F generado
por los elementos (x, x), (x, y) y (y, y). Como R es un T -modelo transitivo por hipótesis debe
ser entonces simétrico. Por lo tanto (y, x) ∈ R lo que quiere decir que existe ω ∈ R tal que
(y, x) = ωR (a1 , b1 ) · · · (an , bn ) siendo n la aridad de ω, y (ai , bi ) siendo algunos de los elementos
(x, x), (x, y), o (y, y). Supongamos que (ai , bi ) = (x, x) para i = i1 , . . . , ip , que (ai , bi ) = (x, y) para
i = j1 , . . . , jq , y (ai , bi ) = (y, y) para i = k1 , . . . kr . Consideremos entonces la operación derivada
pabc = ωx1 · · · xn donde Se deja al lector demostrar que pxyy = x y pxxy = y.
iii) Para el último apartado basta con exhibir una semigrupo S provisto de una relación binaria
reflexiva pero no simétrica. Por ejemplo podrı́amos mencionar el conjunto de los naturales con la
relación de orden habitual.
Problema 8 Considérense 2 = {0, 1}, con su estructura habitual de álgebra de Boole, y n un
número natural. Pruébese que cada función ω : 2n → 2 es (la interpretación) de una operación
derivada de la teorı́a de las álgebras de Boole. Indicación: procédase por inducción sobre n.
n
Dedúzcase de lo anterior que el álgebra de Boole libre engendrada por n variables consta de 2 2
elementos.
4
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL
Sol. Para n = 1 tenemos una función ω : 2 → 2 y el lector puede ver sin dificultad que cualquiera
de las cuatro posibilidades es la interpretación de una operación derivada de la teorı́a de álgebras
de Boole. Supongamos entonces n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier aplicación 2 k → 2
con k < n y sea ω : 2n → 2. Entonces se demuestra que ω es la interpretación de una operación
derivada teniendo en cuenta la igualdad
ω(x1 , . . . , xn ) = (1 + x1 )ω(0, x2 , . . . , xn ) + x1 ω(1, x2 , . . . , xn ),
y aplicando la hipótesis inductiva a las funciones 2n−1 → 2 tales que
(a1 , . . . , an−1 ) 7→ ω(0, a1 , . . . , an1 )
(a1 , . . . , an−1 ) 7→ ω(1, a1 , . . . , an1 ).
Para la última parte del problema téngase en cuenta que el cardinal del conjunto de todas las
n
aplicaciones 2n → 2 es exactamente 22 .
Problema 9 En la teorı́a B de las álgebras de Boole, sea ↓ la operación binaria derivada de B
definida mediante
(x ↓ y) = ¬(x ∧ y).
Pruébese que la subteorı́a B0 de B engendrada por ↓, es decir, el conjunto de todas las operaciones
derivadas de ↓, contiene a todas las operaciones de B salvo a las 0–arias > y ⊥. Con mayor
generalidad, demuéstrese que una única operación no puede generar a todo B.
Sol. Para la primera parte del problema téngase en cuenta que ¬x = x ↓ x, x ∧ y = ¬(x ↓ y),
x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y), x ⇒ y = ¬x ∨ y. Una operación de aridad 0 o 1 no puede generar toda la
teorı́a obviamente. Si consideramos una operación ω de aridad mayor o igual a dos, el conjunto de
operaciones derivadas de ω no incluirı́a a las operaciones de aridad 0.
Problemas propuestos
Problema 1 Sea G un conjunto con una operación binaria (denotada por yuxtaposición), una
aplicación i : G → G y un elemento e ∈ G tal que:
(1) La operaciı́on binaria es asociativa,
(2) ex = x para cada x ∈ G,
(3) i(x)x = e para cada x ∈ G.
Demuéstrese que G es un grupo.
Sugerencia: partiendo de i(x)x = e multiplı́quese por i(x) a la derecha y por i(i(x)) a la izquierda.
Se obtendrá tras un poco de cálculo que xi(x) = e. Después xe = xi(x)x = · · ·.
Problema 2 Demuéstrese que dado un tipo operacional Ω, se puede construir una categorı́a C
cuyos objetos son las Ω-estructuras y cuyos morfismo son los homomorfismos de Ω-estructuras.
Fijado un conjunto X definamos ahora la categorı́a C X cuyos objetos son las parejas (f, A) donde
A es una Ω-estructura y f : X → A una aplicación. Para dos objetos O 1 = (f, A) y O2 = (g, B) de
C X definimos homC X (O1 , O2 ) como el conjunto de todos los morfismos de Ω-estructuras θ : A → B
tales que θf = g. Sea i : X → FΩ (X) la inclusión canónica, demuéstrese que (i, FΩ (X)) es un
objeto inicial de C X (un objeto U de una categorı́a es inicial cuando para cualquier otro objeto V
de la misma, solo existe una morfismo de U a V ).
Problema 3 Dada una teorı́a algebraica T = (Ω, E), constrúyase una categorı́a D cuyos objetos
sean los modelos de T (también llamados T -álgebras) definiendo adecuadamente la noción de
morfismo de T -álgebras. Para un conjunto fijado X Defı́nase la categorı́a D X análogamente a
como se hizo en el ejercicio anterior. Probar que F(Ω,E) (X) se puede interpretar como formando
parte de un objeto inicial de la categorı́a D X .
5
Problema 4 Demuéstrese que dos objetos iniciales de una categorı́a son necesariamente isomorfos. Conclúyase que las álgebras universales FΩ (X) y F(Ω,E) (X) son únicas salvo isomorfismo.
Problema 5 1. Sea Ω = {e, m} un tipo en el que e es de aridad 0 y m de aridad 2.Supongamos
que E está formado por las ecuaciones mex = x y mxe = x. Consideremos un conjunto A
que es modelo para dos (Ω, E) estructuras {ei , mi } (i = 1, 2) tales que las operaciones de la
segunda estructura son Ω-homomorfismos 1 → A y A×A → A para la primera. Demuéstrese
que A satisface las ecuaciones e1 = e2 y m1 m2 xzm2 yt = m2 m1 xym1 zt. Deducir que m1 =
m2 y que m1 es asociativa y conmutativa.
2.
Pı́dale a un topólogo algebraico que le explique qué tiene lo anterior que ver con el hecho de
que el grupo fundamental de un grupo topológico sea abeliano.
Sugerencia. El hecho de que las operaciones de la segunda Ω-estructura sean homomorfismos para
las de la primera hay que interpretarlo como la conmutatividad de los siguientes diagramas
(A × A) × (A × A)
m1A×A
/ A×A
m2A ×m2A
A×A
m2A
m1A
/A
1×1
1×1
e2A .
e2A ×e2A
A×A
/1
m1A
/A
Hay que tener en cuenta que m2A : A2 → A solo puede homomorfismo de la Ω-álgebra A2 a la
Ω-álgebra A y análogamente para e2A . Para la segunda parte del problema es mejor consultar la
referencia [2, p. 33-44].
Problema 6 Sea T = (Ω, E) una teorı́a algebraica tal que el tipo operacional Ω contiene una
operación de aridad dos s, otra de orden uno o y otra de orden cero e, tal que E contiene igualdades
que nos dicen que:
s es conmutativa, posee elemento neutro dado por la operación e y sxoy = soyx = e para
x, y ∈ X.
toda operación w ∈ Ω es distributiva respecto a s, es decir E contiene las ecuaciones
ωx1 · · · xi−1 sabxi+1 · · · xn = sωx1 · · · xi−1 axi+1 · · · xn ωx1 · · · xi−1 bxi+1 · · · xn , para a, b, xi ∈
X y todo i.
Estúdiese entonces la posibilidad de dar una noción de ideal para los modelos de T que permita la
construcción de cocientes en dichos modelos. Definir núcleos e imágenes para homomorfismos de
T -álgebras y estudiar los teoremas de isomorfı́a clásicos en el contexto de estas estructuras.
Problema 7 Construir el anillo Z[x] mediante un álgebra universal del tipo F (Ω,E) (X).
Problema 8 Sea Ω el tipo operacional de la teorı́a de anillos, es decir, Ω = {m, s, o, 0, 1} donde
m y s son de aridad 2 y representan la multiplicación y suma del anillo respectivamente, o es de
aridad uno y representa la operación de tomar opuestos, y 0 y 1 son de aridad cero y representan
a los elementos neutros de s y m respectivamente. Sea E el conjunto de identidades que se usa
para definir el concepto de anillo y consideremos la teorı́a algebraica R = (Ω, E) de anillos. Sea
X = {x, y} un conjunto de cardinal dos y consideremos el ideal I de A := F (Ω,E) (X) generado por
smxx1, smyy1, smxymyx. Sea Q := A/I el anillo cociente. Usando una notación estandar en la
que s se representa por + y m por la yuxtaposición, demuéstrese que cada clase de equivalencia
de Q tiene un representante de la forma n1 1 + n2 x + n3 y + n4 z donde cada ni es un entero y
z := xy. Si denotamos por 1 la clase de equivalencia de 1, por i la de x, por j la de y, y por k la
de z, demuéstrese que i2 = j 2 = ijk = −1.
6
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL
Capı́tulo 2
Cálculo proposicional
Problema 10 ¿Cuáles de las siguientes expresiones compuestas son tautologı́as?
i) (((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p)
ii) (((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q)
iii) (p ⇒ (¬p ∨ q))
iv) (((p ∧ ¬q) ⇒ r) ⇒ q)
v) (((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∨ s)))
vi) (((p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∨ s)))
Sol. Escrı́banse las tablas de veracidad de las diferentes proposiciones.
Problema 11 Escrı́base una deducción del teorema (⊥ ⇒ q) y complétese a otra del teorema
(¬p ⇒ (p ⇒ q)).
Sol. Sea a la proposición a = (¬¬q ⇒ q) que como se puede observar es el tercer axioma de
nuestra axiomática del cálculo de proposiciones. Entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(⊥ ⇒ a) ⇒
„
„
«
⊥ ⇒ ¬¬q) ⇒ (⊥ ⇒ q)
a
a ⇒ (⊥ ⇒ a)
⊥⇒a
⊥ ⇒ ¬¬q) ⇒ (⊥ ⇒ q)
⊥ ⇒ ¬¬q
⊥⇒q
«
Axioma
Axioma
Axioma
Modus Ponens 2,3
Modus Ponens 1,4
Axioma 1
Modus Ponens 5,6.
Vamos ahora a completar a una demostración formal de que ¬p ⇒ (p ⇒
q)). Para simplificar
algo la escritura definamos la proposición b = [(⊥ ⇒ q) ⇒ p ⇒ (⊥ ⇒ q) ] que es una forma del
axioma x ⇒ (y ⇒ x).
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
“
”
(⊥ ⇒ q) ⇒ (p ⇒ ⊥) ⇒ (⊥ ⇒ q)
⊥⇒q
“
”
(p ⇒ ⊥) ⇒ (⊥ ⇒ q)
“
”
b ⇒ (p ⇒ ⊥) ⇒ b
b
“
”
(p ⇒ ⊥) ⇒ b
»
–
“
”
(p ⇒ ⊥) ⇒ b ⇒ [(p ⇒ ⊥) ⇒ (⊥ ⇒ q)] ⇒ [(p ⇒ F ) ⇒ (p ⇒ (⊥ ⇒ q))]
[(p ⇒ ⊥) ⇒ (⊥ ⇒ q)] ⇒ [(p ⇒ F ) ⇒ (p ⇒ (⊥ ⇒ q))]
(p ⇒ F ) ⇒ (p ⇒ (⊥ ⇒ q))
7
Axioma
7.
Modus Ponens 8,9
Axioma
Axioma
Modus Ponens 11,12
M.P. 13,14
M.P. 10,15.
8
CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL
Consideremos ahora la proposición c = p ⇒ (⊥ ⇒ q)] ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ q)) que es una forma
del segundo axioma. Si escribimos c1 = (p ⇒ (⊥ ⇒ q)) y c2 = ((p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ q)), tenemos
c = (c1 ⇒ c2 ). Entonces Entonces:
17.
18.
19.
20.
“
21.
22.
23.
24.
25.
26
“
c
c ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ c)
(p ⇒ ⊥) ⇒ c
(p ⇒ ⊥)” ⇒ (c
“1 ⇒ c2 )
(p ⇒ ⊥) ⇒ c1 ⇒ (p ⇒ ⊥) ⇒ c2
(p ⇒ ⊥) ⇒ c2
(p ⇒ ⊥) ⇒ ((p” ⇒ ⊥)
“ ⇒ (p ⇒ q))
Ax.
Ax.
M.P. 17,18
pues c = (c1 ⇒ c2 )
”
Por 20 y Ax. II
(p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ q)
(p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ ⊥)
(p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ q)
”
M.P. 21,16
Sust. c2
Por 23 y Ax.II
Visto en clase
c.q.d.
En clase se ha demostrado p ⇒ p pero por si hay alguna duda lo repetimos aquı́:
“
”
p ⇒ (p ⇒ p) ⇒ p
1.
2.
3.
4.
[p ⇒ (p ⇒ p)] ⇒ (p ⇒ p)
p ⇒ (p ⇒ p)
p⇒p
Ax
Por 1 y Ax.II
Ax
M.P. 2,3.
Problema 12 Úsese el teorema de deducción para demostrar que el recı́proco del axioma (c), es
decir, (p ⇒ ¬¬p), es un teorema del cálculo de proposiciones.
Sol. Hagamos primero una demostración directa:
1.
2.
3.
p ⇒ [(p ⇒ ⊥) ⇒ p]
(p ⇒ ⊥) ⇒ (p ⇒ ⊥)
((p ⇒ ⊥) ⇒ p) ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ ⊥)
si hacemos a = ((p ⇒ ⊥) ⇒ p) ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ ⊥), entonces
4.
5.
6.
7.
8.
a ⇒ (p ⇒ a)
p⇒a
[p ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ p)] ⇒ [p ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ ⊥)] .
p ⇒ ((p ⇒ ⊥) ⇒ ⊥)
p ⇒ ¬¬p
Ahora, usando el Teorema de Deducción la cosa es más sencilla. Según el mencionado
teorema
` p ⇒ ¬¬p es equivalente a {p} ` ¬¬p, o lo que es lo mismo {p} ` (p ⇒ ⊥) ⇒ ⊥ . De nuevo
aplicado el teorema, esto será equivalente a {p, p ⇒ ⊥} ` ⊥. Ahora bien, una demostración formal
de esto último es:
1.
2.
3.
p
p⇒⊥
⊥
Premisa
Premisa
Modus Ponens 1,2.
Problema 13 Pruébese que (p ∧ q) = ((p ⇒ (q ⇒ ⊥) ⇒ ⊥) y escrı́base una deducción de (p ∧ q)
a partir de las premisas {p, q}. Indicación: será necesario recurrir repetidas veces al mecanismo
de la demostración del teorema 2.4.
Sol. Se define p ∨ q := ¬p ⇒ q y p ∧ q := ¬(¬p ∨ ¬q). Entonces
p ∧ q = ¬(p ⇒ ¬q) = (p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥.
9
Vemos entonces que {p, q} ` (p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
“
”
p⇒ x⇒p
p
x
⇒
p ”
“
p ⇒ (q ⇒ ⊥) ⇒ p
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (p ⇒ (q ⇒ ⊥))] ⇒
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ p] ⇒ [(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (q ⇒ ⊥)]
(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (q ⇒ ⊥)
(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (p ⇒ (q ⇒ ⊥))
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ p] ⇒ [(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (q ⇒ ⊥)]
(p ⇒“(q ⇒ ⊥)) ⇒ (q ⇒ ⊥)
”
premisa ⇒ (p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ premisa
(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ premisa
(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ q
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ (q ⇒ ⊥)] ⇒
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ q] ⇒ [(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥]
[(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ q] ⇒ [(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥]
(p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥]
para todo x
Premisa
Para todo x
Caso particular
Ax
M.P.
x⇒x
Ax
Caso particular
Ax
M.P. 9,13
M.P. 12, 14
Problema 14 Sea T el conjunto de las proposiciones compuestas de un conjunto de proposiciones
primitivas P .
i) Si {Ci }i∈I es una S
familia de subconjuntos consistentes de T totalmente ordenada por la inclusión, pruébese que i∈I Ci es un conjunto consistente.
ii) Recurriendo al lema de Zorn, dedúzcase que cada subconjunto consistente S de T está contenido
en un subconjunto consistente maximal.
iii) Demuéstrese el lema 2.5 sin utilizar el lema de Zorn y cuando el conjunto de primitivas P es
numerable.
Sol. Recordemos que un conjunto de proposiciones S no es consistente cuando S ` ⊥. Sea
C = ∪i Ci , si C no fuera consistente entonces C ` ⊥ pero aplicando el Teorema de complitud se
tendrı́a C ⊥ y por el Teorema de compacidad existe un subconjunto finito C 0 de C tal que C 0 ⊥.
Aplicando de nuevo el Teorema de complitud se tendrı́a C 0 ` ⊥. Pero C 0 ⊂ C = ∪i Ci y siendo C 0
finito y la familia {Ci }i totalmente ordenada, debe existir un i ∈ I tal que C 0 ⊂ Ci . Ahora bien
C 0 ` ⊥ implica que Ci ` ⊥ lo que contradice la suposición de que todos los Ci son consistentes.
Veamos ahora que casa subconjunto consistente de T está contenido en uno consistente maximal.
Sea F el conjunto formado por todos los conjuntos consistentes que contienen a uno dado S.
Aplicando el Lema de Zorn bastará demostrar que F, ordenado por inclusión, es un conjunto
inductivo (lo cual por definición quiere decir que toda cadena de F posee una mayorante en F).
Pero esto es precisamente lo que se ha demostrado en el apartado anterior. Por lo tanto F es
inductivo y esto fuerza la existencia de un elemento maximal en F. Por últimos demostremos
el Lema 2.5 sin para el caso en que el conjunto P de primitivas es numerable. Partimos de un
conjunto de proposiciones S tal que S ⊥ y queremos ver que S ` ⊥. Supongamos que S es
consistente, entonces tenemos que demostrar que existe una valoración v de P tal que v̄(t) = 1
para todo t ∈ S. Al igual que en la demostración ya vista del lema, se tiene que para cada t
o bien S ∪ {t} es consistente o bien lo es S ∪ {¬t}. Por lo tanto enumeramos las proposiciones
compuestas que se puedan construir a partir de P (la numerabilidad de P implica la del conjunto
de todas las proposiciones compuestas construibles a partir de P ). Supongamos por lo tanto que
las proposiciones compuestas construibles a partir de P son t1 , . . . , ti , . . .. Ampliemos entonces el
conjunto S de la forma siguiente: si S ∪{t1 } en consistente entonces S1 := S ∪{t1 } en caso contrario
S1 := S ∪ {¬t1 }. Ahora inductivamente definimos si Si−1 ∪ {ti } es consistente, Si := Si−1 ∪ {ti }
y en caso contrario Si := Si−1 ∪ {¬ti }. Finalmente S 0 = ∪i Si es consistente (igual que en la
demostración del lema). Construimos entonces v̄ : T → {0, 1} tal que v̄ es identicamente 1 sobre
10
CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL
S 0 y 0 fuera de S 0 . Se demuestra que v̄ es un {⊥, ⇒}-homomorfismo de la misma forma que en la
demostración del lema.
Problema 15 Sea T un conjunto de proposiciones compuestas en un conjunto de proposiciones
primitivas P . Para cada t ∈ T se define
U (t) = {v ∈ V : v̄(t) = 1},
donde V es el conjunto de todas las valoraciones de P en 2.
i) Demuéstrese que {U (t)}t∈T es base de una topologı́a en V , o, con mayor concreción, que
para cualesquiera t1 , t2 ∈ T se tiene
U (t1 ) ∩ U (t2 ) = U (t1 ∧ t2 ).
ii) Si S ⊂ T , pruébese que S |= ⊥ si y solo si {U (¬t)}t∈S es un recubrimiento abierto de V .
iii) Dedúzcase la equivalencia entre el teorema de compacidad y la afirmación de que el
espacio V es compacto.
Sol. Para el primer apartado téngase en cuenta que para toda valoración v : P → {0, 1} se
tiene v̄(t1 ∧ t2 ) = v̄(t1 )v̄(t2 ) para cualesquiera t1 , t2 ∈ T . Entonces v ∈ U (t1 ) ∩ U (t2 ), si y sólo si
v̄(t1 ) = v̄(t2 ) = 1 lo cual es equivalente a v̄(t1 ∧ t2 ) = 1, o lo que es lo mismo v ∈ U (t1 ∧ t2 ). Para el
segundo apartado supongamos primero que S ⊥. Tenemos que demostrar que V ⊂ ∪ t∈S U (¬t).
Sea pues v ∈ V , es decir una aplicación v : P → {0, 1}. Como S ⊥, debe existir algun t ∈ S tal
que v̄(t) = 0. Entonces v̄(¬t) = 1 y por lo tanto v ∈ U (¬t). Recı́procamente si V ⊂ ∪ t∈S U (¬t)
toda aplicación P → {0, 1} está en algún U (¬t) con t ∈ S, pero esto quiere decir que la valoración
se anula en t. Para el tercer apartado hay que notar primero, que un espacio topológico con una
base B, es compacto si y sólo si para cualquier recubrimiento del espacio por abierto de B, existe
un subrecubrimiento finito. Veamos entonces la equivalencia de las siguientes afirmaciones:
1. Si S t existe un subconjunto finito S 0 ⊂ S tal que S 0 t (T. de compacidad).
2. V es compacto.
1⇒2. Si V ⊂ ∪i∈I U (ti ) para un cierto conjunto de ı́ndices I tal que ti ∈ T , entonces definamos
S := {¬ti : i ∈ I}. Se comprueba que S ⊥ ya que toda valoración v pertence a algún U (t i ) y
por lo tanto se anula sobre el elemento ti ∈ S . Aplicando 1. se tiene la existencia de S 0 ⊂ S con
S 0 finito tal que S 0 ⊥. Si S 0 = {¬ti1 , . . . , ¬tik }, entonces aplicando lo demostrado en el segundo
apartado se tiene que V ⊂ U (ti1 ) ∪ · · · ∪ U (tik ).
2⇒ 1. Si S t entonces V ⊂ ∪s∈S U (¬s) ∪ U (¬t) y aplicando la hipótesis de compacidad de V se
tiene V ⊂ U (¬t1 ) ∪ · · · ∪ U (¬tk ) ∪ U (¬t) para cierto subconjunto finito S 0 := {t1 , . . . , tk } de S.
Por lo tanto S 0 ∪ {¬t} ⊥ y a partir de esto se tiene S 0 (¬t ⇒ ⊥) de donde S 0 t.
Problemas propuestos
Problema 9 Compruébese que las proposiciones
p ⇒ (q ⇒ p),
[p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)], y
¬¬p ⇒ p,
son tautologı́as.
Problema 10 En el conjunto 2 = {0, 1} se definen las operaciones ¬a = 1 − a, a ∧ b := mı́n(a, b),
a ∨ b = máx(a, b) y a ⇒ b := 0 si y sólo si a = 1 y b = 0. Escrı́banse estas operaciones en términos
de la multiplicación que dota a 2 de estructura de cuerpo (isomorfo al de los enteros módulo dos).
11
Problema 11 Demuestrese que {p, ¬q ⇒ ¬p} q para cualesquiera proposiciones p y q.
Problema 12 Sea P (X) el álgebra de las proposiciones construidad sobre el conjunto de variables
X. Para cada subconjunto A ⊂ P (X) definamos
Con(A) := {p ∈ P (X): A p}.
Demuéstrese que:
1.
A ⊂ Con(A) para todo A.
2.
A1 ⊂ A2 ⇒ Con(A1 ) ⊂ Con(A2 ) para cualesquiera A1 y A2 .
3.
Con(Con(A)) = Con(A), para todo A.
Problema 13 Encuéntrese una demostración de p ⇒ r a partir del conjunto de premisas
{p ⇒ q, q ⇒ r}.
Problema 14 Sea P (X) el álgebra de proposiciones sobre el conjunto de variables X. Consideremos la inclusión canónica iX : X → P (X). Demuéstrese que si φ : X → Y es una aplicación,
entonces existe un único homomorfismo de álgebras φ̄: P (X) → P (Y ) que hace conmutativo el
diagrama
iX
/ P (X)
XE
EE
EE
Sea A ⊂ P (X) y ω ∈ P (X). Demuéstrese que
EE
φ̄
E
E
iY φ
EE
1. A ` ω implica φ(A) ` φ(ω).
EE
E" 2. A ω implica φ(A) φ(ω).
P (Y )
Problema 15 Definamos para cada A ⊂ P (X) (notaciones como en el problema anterior). Sea
A el conjunto de axiomas del cálculo proposicional, es decir, el conjunto de todas las proposiciones
que aparecen en el Problema 9. Definamos Ded(A) := {p ∈ P (X): A ` p}. Demuéstrese que Ded(A)
es el menor subconjunto D de P (X) tal que D ⊃ A ∪ A y tal que si p y p ⇒ q son elementos de
D, entonces también q ∈ D.
12
CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL
Capı́tulo 3
Teorı́as de primer orden
En este capı́tulo usaremos eventualmente la notación f n para denotar una operación f n ∈ Ω de
aridad n en un tipo operacional Ω de un lenguaje de primer orden L = (Ω, Π). También usaremos
la notación Am para denotar un predicado Am ∈ Π de aridad m.
Problema 16 ¿Cuáles de las siguientes son fórmulas de un lenguaje L = (Ω, Π) de primer orden
?
1.
A2 (f 1 (x), x), A2 ∈ Π, f 1 ∈ Ω.
2.
f 3 (x, y, z), f 3 ∈ Ω.
3.
A1 (x2 ) ⇒ A1 (x1 , x2 ), A1 ∈ Π.
4.
(¬∀x2 )A2 (x1 , x2 ), A2 ∈ Π.
5.
((∀x2 )A1 (x1 )) ⇒ ¬A1 (x2 ), A1 ∈ Π.
6.
A3 (f 3 (x, y, z)), f 3 ∈ Ω, A3 ∈ Π.
7.
¬A1 (x1 ) ⇒ A1 (x2 ), A1 ∈ Π.
8.
(∀x1 )A3 (a1 , a2 , f 1 (a3 )), A3 ∈ Π, f 1 ∈ Ω.
Sol. No son fórmulas la tercera ni la sexta por un problema de incompatibilidad de aridades.
Problema 17 Sea L el lenguaje de primer orden con Ω = (f 2 , a1 ) donde f 2 es de aridad dos, a1
es una constante y Π = {A2 } donde el predicado A2 es de aridad dos. Consideremos la fórmula
A = (∀x1 )(∀x2 )[A2 (f 2 (x1 , x2 ), a1 ) ⇒ A2 (x1 , x2 )].
Sea I la interpretación I = Z con fI2 (n, m) := n − m, (a1 )I = 0, A2I (n, m) := (n < m). ¿Es AI
verdadera?. Búsquese una interpretación J tal que AJ resulte ser falsa.
Sol. La interpretación de A en I es el subconjunto [A]I (2) formado por las parejas (n, m) ∈ Z × Z
tales que n − m < 0 implique n < m. Obviamente [A]I (2) = Z × Z por lo que la A es verdadera en
la interpretación I. Una interpretación en la que A resulte ser falsa puede ser por ejemplo J = Z
con (a1 )J = 0, A2J (n, m) := (n < m) y f 2 (n, m) = nm.
Problema 18 ¿Existe una interpretación para un lenguaje de primer orden L tal que la siguiente
fórmula
(∀x1 ) A1 (x1 ) ⇒ A1 (f 1 (x1 )) ,
se interprete comno un enunciado falso?
13
14
CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN
Sol. Por ejemplo I = Z con A1I (n) := (n < 0) y fI1 (n) := n2 para cada entero n.
Problema 19 Sea p una fórmula con V L(p) = {x}. Calcular el enunciado de [(∀x)p] A (∅) en
cualquier interpretación A. Calcular también la interpretación de (∃x)p.
Sol. Hay que tener en cuenta que para todo conjunto S se tiene S 0 := {∅}. Por otra parte cuando
p es una fórmula con V L(p) = {x1 , . . . , xn+1 } entonces ((∀x)p)A : An → {0, 1} siendo
((∀x)p)A (a1 , . . . , an ) :=
n
1 si para todo an+1 ∈ A se tiene pA (a1 , . . . , an+1 ) = 1,
0 en caso contrario.
En el caso n = 0 se tiene entonces ((∀x)p)A : {∅} → {0, 1} tal que
((∀x)p)A (∅) :=
n
1 si para todo a1 ∈ A se tiene pA (a1 ) = 1,
0 en caso contrario.
Por lo tanto [(∀x)p]A (∅) = 1 si para cada a1 ∈ A se tiene pA (a1 ) = 1 y [(∀x)p]A (∅) = 0 en caso
contrario. Siguiendo razonamientos similares se llega a que [(∃x)p]A (∅) = 1 si existe algún a1 ∈ A
tal que pA (a1 ) = 1. En caso contrario [(∃x)p]A (∅) = 1.
Problema 20 Uno de los axiomas del cálculo de predicados establece que (∀x, y)[(x = y) ⇒ (p ⇒
p[y/x])] siempre que x ∈ V L(p) e y no esté ligada en p. Sea p una fórmula de un lenguaje de
primer orden L, con una única variable x que es libre en p. Demostrar que para dos términos
cualesquiera t1 y t2 se tiene
` (t1 = t2 ) ⇒ p(t1 /x) ⇒ p(t2 /x)
Sol. Sea q = (∀y)((x = y) ⇒ (p ⇒ p(y/x))) de tal modo que (∀x)q es un axioma del cálculo
de predicados (en las condiciones estipuladas arriba). Otro axioma establece que ((∀x)p ⇒ p(t/x)
siempre que x ∈ V L(p) y las variables del término t no aparezcan ligadas en p. Por lo tanto a partir
de (∀x)q podemos deducir q(t/x) siempre que las variables
de t sean distintas de y. Ası́ hemos
demostrado que (∀y) (t = y) ⇒ (p(t/x) ⇒ p(y/x)) siempre que y no sea una variable de t. Si
ahora s es otro término se tendrá (t = s) ⇒ (p(t/x) ⇒ p(y/x)(s/y) y como p(y/x)(s/y) = p(s/x)
tenemos lo que se requerı́a.
Problema 21 Descrı́base la teorı́a de primer orden T de los grupos abelianos totalmente ordenados(es decir grupos abelianos con una relación de orden total compatible con la operación del
grupo).
Sol. Empezaremos por definir el lenguaje L = (Ω, Π). El tipo operacional Ω deberá ser Ω =
{+, −, 0} donde + es de aridad dos, − de aridad uno y 0 de aridad cero. Para la operación binaria
+ utilizaremos notación infija. Por otra parte Π = {R} donde R es de aridad dos y usaremos
también notación infija para R. Como axiomas de la teorı́a tomaremos los siguientes:
A1: (∀x, y)(x + y = y + x)
A2: (∀x, y, z)(x + (y + z) = (x + y) + z).
A3: (∀x)(x + 0 = 0).
A4: (∀x)(x + (−x) = 0).
Hasta aquı́ tenemos descrita la teorı́a de primer orden de grupos abelianos. Para cubrir nuestro
objetivo debemos seguir axiomatizando:
A5: (∀x)(xRx).
A6: (∀x, y) (xRy ∧ yRx) ⇒ (x = y) .
A7: (∀x, y, z) (xRy) ∧ (yRz)
⇒ xRz .
A8: (∀x, y) (xRy) ∨ (yRx) .
Por último axiomatizamos la compatibilidad
de R con la operación +:
A9: (∀x, y, z) xRy ⇒ (x + z)R(y + z) .
15
Problema 22 En la teorı́a de primer
orden T descrita en el problema anterior, se consideran la
fórmulas P = ¬(x = 0) ∧ 0Rx
y
N
=
¬(x = 0) ∧ xR0 . Demuéstrese que
(1) T ` (∀x) x = 0 ∨ P ∨ N ,
(2) T ` (∀x) 0Rx ⇒ −xR0).
Sol. Para el primer apartado podemos demostrar que T ` (x = 0) ∨ P ∨ N y después aplicar
generalización. Para demostrar esto aplicamos el axioma ((∀x)p ⇒ p[t/x] del cálculo de predicados
a A8 definiendo p = (∀y)(xRy ∨ yRx) y t = x. Observemos que x no aparece ligada en p por lo
que podemos deducir p[x/x] = (∀y)(xRy ∨ yRx). Ahora podemos repetir el argument
para obtener
xR0 ∨ 0Rx. Abreviemos S := (xR0 ∨ 0Rx) y entonces tenemos S ⇒ (x 6= 0) ⇒ S y como hemos
demostrado S podemos concluir (x 6= 0) ⇒ (xR0 ∨ 0Rx). Ahora podemos utilizar el siguiente
resultado de cálculo proposicional
` p ⇒ (a ∨ b) ⇒ p ⇒ (a ∧ p) ∨ (b ∧ p)
que dejamos como ejercicio al lector, para concluir que (x 6= 0) ⇒ (xR0 ∧x 6= 0)∨(0Rx ∧x 6= 0) .
Ası́ hemos demostrado (x 6= 0) ⇒ P ∨ N o lo que es lo mismo (x = 0) ∨ P ∨ N , y aplicando
generalización (∀x)(x = 0 ∨ P ∨ N ) como pretendı́amos.
Para el segundo apartado usaremos de nuevo el axioma (∀x)p ⇒ p(t/x) (cuando las variables
de t no estén ligadas en p). Aplicando dicho axioma a A9 (véase problema anterior) se tiene
0Ry ⇒ −yR(y + (−y)) pero por A4 y + (−y) = 0 y aplicando lo establecido en el Problema 20
se tendrá 0Ry ⇒ −yR0. Usando ahora generalización tendremos (∀y)(0Ry ⇒ −yR0) y ahora
podemos hacer un cambio de variable para obtener (∀x)(0Rx ⇒ −xR0).
Problema 23 Se dirá que dos teorı́as de primer orden son equivalentes cuando tienen los mismos
modelos. Consideremos el lenguaje L0 = (Ω0 , Π0 ) tal que Ω0 = (+, −, 0) como en el problema
anterior, y Π0 = {P } donde P tiene aridad uno. Consideramos entonces la teorı́a T 0 de primer
orden cuyo conjunto de axiomas es: A1,
A2, A3, A4 y
A5’: (∀x, y) P (x) ∧ P (y) ⇒P (x + y) .
A6’: (∀x) (x = 0) ⇒ ¬P (x) .
A7’: (∀x) (x = 0) ∨ P (x) ∨ P (−x) .
Demuéstrese que para todo modelo A de la teorı́a T de grupos abelianos totalmente ordenados
(véase Problema 21), A es también un T 0 -modelo definiendo PA (x) := [(0RA x) ∧ x 6= 0] para cada
x ∈ A. Recı́procamente, si A es un T 0 -modelo, demuéstrese que A es un T -modelo defininiendo
para cualesquiera x, y ∈ A la relación xRA y si y sólo si x = y o PA (y − x).
Sol. Sea A un modelo de la teorı́a de primer orden de grupos abelianos totalmente ordenados.
Si la relación de orden RA la denotamos por ≤, Definamos PA como la relación unaria PA (x) =
[(0 ≤ x) ∧ x 6= 0], es decir, PA (x) = 1 si y solo si 0 ≤ x y x 6= 0. Vamos a usar la notación
0 < x o equivalentemente x > 0 para denotar que PA (x) = 1. Entonces tenemos que demostrar
que la interpretación de A1-A4 y A5’-A7’ en A proporciona enunciados verdaderos. Como A es
un grupo abeliano, los axiomas A1-A4 dan automáticamente enunciados verdaderos en A. Ahora,
la interpretación de A5’ en el modelo A es: ∀x, y ∈ A, x, y > 0 implica x + y > 0. Para demostrar
esto tengamos en cuenta que como 0 ≤ x entonces y ≤ x + y por la propiedad de compatibilidad
de la relación con la operación del grupo. Como además 0 ≤ y la transitividad implica 0 ≤ x + y.
Si tuviéramos x + y = 0 entonces x = −y y como 0 ≤ x entonces 0 ≤ −y lo que implica y ≤ 0 en
un grupo abeliano ordenado (véase el Problema 22). Pero entonces 0 ≤ y ≤ 0 implica y = 0 en
contra de la hipótesis y > 0. Vayamos ahora con la interpretación de A6’. Tenemos que demostrar
que si x ∈ A es nulo, entonces no se tiene x > 0. Esto es evidente dada la interpretación de <
en nuestro modelo. En cuanto a A7’, habrı́a que demostrar que para cada x ∈ A se tiene x = 0
o x > 0 o 0 < x. Como A es totalmente ordenado se tiene 0 ≤ x o x ≤ 0 pero si x no es nulo
entonces o x > 0 o x < 0. La última parte del problema nos pide demostrar que si A es un
T 0 -modelo, entonces definiendo xRA y por x = y o PA (y − x) = 1, tenemos una relación de orden
total RA compatible con la operación binaria del grupo. La relación RA es obviamente reflexiva.
Para ver que es antisimétrica supongamos xRA y, yRA x. Entonces si x 6= y tenemos PA (x − y) = 1
16
CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN
y PA (y − x) = 1. Por el axioma A5’ se tiene entonces PA (0) = 1 cosa imposible por el A5’. De
forma análoga se demuestra la transitividad de RA . Para acabar, tenemos que demostrar que si
xRA y entonces para cada z (x+z)RA (y +z). Ahora bien, esto es trivial si x = y. En caso contrario
PA (y − x) = 1 lo que trivialmente implica PA ((y + z) − (x + z)) = 1, es decir (x + z)RA (y + z)
como querı́amos ver.
Problema 24 Sea L un lenguaje de primer orden que contiene un predicado binario φ r para cada
real positivo r. En L se define la teorı́a T por medio de los axiomas:
(∀x, y)(φ0 (x, y) ⇔ (x = y)),
(∀x, y)(φr (x, y) ⇒ φs (y, x)), para cada par de reales positivos (r, s) con r ≤ s.
(∀x, y, z)((φr (x, y) ∧ φs (y, z)) ⇒ φr+s (x, z)), para cada r, s ∈ R+ .
Demuéstrese que cada espacio métrico (X, d) constituye un T –modelo si se interpreta φ r (a, b)
como d(a, b) ≤ r. ¿Cada T –modelo proviene de un espacio métrico en el sentido anterior?
Sol. Que cada espacio métrico es un modelo de la teorı́a es fácil de demostrar. El primer axioma de
T se cumple en la interpretación gracias a que en un espacio métrico (E, d) se cumple d(a, b) = 0 ⇔
a = b. El segundo axioma es consecuecia de que d(a, b) = d(b, a) para cualesquiera elementos a, b ∈
E. Análogamente la desigualdad triangular de los espacios métricos implica que el tercer axioma
proporcionará un enunciado verdadero en la interpretación. Por último, no cada T -modelo proviene
de un espacio métrico en el sentido anterior. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Para
cada real positivo r interpretemos φr (x, y) como x = y. Obtenemos ası́ un T -modelo. Si este
modelo proviniera de un espacio métrico querı́a decir que existe una métrica en X tal que para
todos x, y ∈ X se tiene d(x, y) ≤ r ⇔ x = y. Ahora bien si existen x, y ∈ X con x 6= y entonces
0 < r = d(x, y) por lo que x = y lo cual es un absurdo.
Problema 25 Sea A una interpretación de un lenguaje de primer orden L. Demuéstrese que si
A |= p, entonces A |= p̄ donde p̄ denota la clausura universal de la fórmula p.
Sol. Bastará demostrar que si x es una variable libre de p, entonces A |= (∀x)p. Con este fin tenemos
que demostrar que la interpretación de (∀x)p en A es un enunciado verdadero. Supongamos que
V L(p) ⊂ {x, y1 , . . . yn }. Entonces la interpretación de (∀x)p en A viene dada por la función
((∀x)p)A : An → {0, 1} tal que ((∀x)p)A (a1 , . . . , an ) = 1 si y solo si pA (a, a1 , . . . , an ) = 1 para
cada a ∈ A. Pero este es precisamente el caso, dado que A |= p.
Problema 26 Sea L un lenguaje de primer orden. Demuéstrese que si t es un término cuyas
variables no aparecen ligadas en la fórmula p, entonces la fórmula (∀x)p ⇒ p(t/x) es una tautologı́a. Recuérdese que p(t/x) o p[t/x] denotan la fórmula que se obtiene sustituyendo todas las
ocurrencias de la variable x por el término t.
Sol. Sea A una interpretación de L y supongamos V L(p) ⊂ {x, y1 , . . . , yn } siendo t = ωy1 · · · yk
con k ≤ n. Tenemos que demostrar que en caso de ser ((∀x)p)A (a1 , . . . , an ) = 1 entonces también
p(t/x)A (a1 , . . . , an ) = 1. Pero el hecho de ser ((∀x)p)A (a1 , . . . , an ) = 1 quiere decir que para cada
a ∈ A se tiene pA (a, a1 , . . . , an ) = 1. En consequencia:
p(t/x)A (a1 , . . . , an ) = p(tA (a1 , . . . , ak ), a1 , . . . , an ) = 1.
Problema 27 Sea L = (Ω, Π) un lenguaje de primer orden y A y B dos L-estructuras. Se dirá entonces que una aplicación f : A → B es un homomorfismo de L-estructuras cuando para cada
ω ∈ Ω de aridad n, y para cada R ∈ Π de aridad m, los siguientes diagramas son conmutativos:
An
ωA
fn
Bn
An
/A
f
ωB
/B
RA
/ {0, 1}
w;
ww
w
n
w
f
w
ww
wwww RB
Bn
17
donde f n : An → B n es la aplicación tal que f n (a1 , . . . , an ) = (f (a1 ), . . . , f (an )) para cada n-upla
(a1 , . . . , an ) ∈ An . Defı́nase el concepto de L-subestructura usando la aplicación de inclusión.
Demuéstrese que si B es una L-subestructura de A, entonces para cada término t cuyas variables
(libres) están contenidas en el conjunto de variables {x1 , . . . , xn } se tiene para cada (b1 , . . . , bn ) ∈
B n que tB (b1 , . . . , bn ) = tA (b1 , . . . , bn ).
Sol. La noción de L-subestructura puede enunciarse ası́: dadas dos L-estructuras A y B con
B ⊂ A, diremos que B es una L-subestructura de A cuando la inclusión es un homomorfismo
de L-estructuras. Respecto a la segunda parte del problema, el asunto es trivial para términos
del tipo t = ωx1 · · · xn donde las xi son variables. Para términos más generales t = ωt1 · · · tk
podemos suponer que la propiedad es cierta para cada término ti y que las variables de cada ti
están contenidas en {x1 , . . . , xn }. Entonces para cada (b1 , . . . , bn ) ∈ B n se tiene
tB (b1 , . . . , bn ) = ωB ((t1 )B (b1 , . . . bn ), . . . , (tn )B (b1 , . . . , bn ))
= ωA ((t1 )A (b1 , . . . bn ), . . . , (tn )A (b1 , . . . , bn ))
= tA (b1 , . . . , bn ).
Problemas propuestos
Problema 16 Sean s y t términos de un lenguaje de primer orden L tal que las variables de
ambos están contenidas en el conjunto de variables {x1 , . . . , xn }. Supongamos que A es una Lsubestructura de B siendo i: A → B la inclusión. Demuéstrese la conmutatividad del diagrama:
(s=t)A
/ {0, 1}
w;
ww
w
w
in
ww
w(s=t)
w
B
w
ww
Bn
An
Problema 17 Sea L = (Ω, Π) un lenguaje de primer orden y sea φ ∈ Π de aridad n y t 1 , . . . , tn
términos tales que V L(ti ) ⊂ {x1 , . . . , xm }. Supongamos que A es una L-subestructura de B siendo
i: A → B la inclusión. Demuéstrese la conmutatividad de los diagramas
φ(t1 ,...,tn )A
Am
im
B
/ {0, 1}
9
ss
s
s
s
s
ss
sφ(t
s
,...,tn )B
1
s
ss
m
⊥A
/ {0, 1}
A0 A
O
AA
AA
0
i
AA ⊥B
AA
B0
Problema 18 Sea L un lenguaje de primer orden y p, q fórmulas del mismo tales que V L(p) ∪
V L(q) ⊂ {x1 , . . . , xn }. Si A es una L-subestructura de B, demuéstrese la conmutatividad del diagrama
An
(p⇒q)A
/ {0, 1}
w;
ww
w
w
in
ww
w(p⇒q)
w
B
w
ww
Bn
Problema 19 Formúlense conjuntos de axiomas en convenientes lenguajes de primer orden (especifı́quense estos) para cada una de las siguientes teorı́as:
i) La teorı́a de los dominios de integridad.
ii) La teorı́a de los cuerpos algebraicamente cerrados de caracterı́stica 0.
iii) La teorı́a de los conjuntos parcialmente ordenados.
iv) La teorı́a de los conjuntos parcialmente ordenados con elemento máximo y elemento mı́nimo.
18
CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN
v) La teorı́a de los cuerpos ordenados.
vi) La teorı́a de los cuerpos ordenados completos.
vii) La teorı́a de los grupos de orden 168.
viii) La teorı́a de los grupos simples de orden 168.
ix) La teorı́a de los planos afines (rudimentarios).
Problema 20 Sea L un lenguaje de primer orden que contiene un predicado binario φ r para cada
real positivo r. El L se define la teorı́a T por medio de los axiomas:
(∀x, y)(φ0 (x, y) ⇔ (x = y)),
(∀x, y)(φr (x, y) ⇒ φs (y, x)), para cada par de reales positivos (r, s) con r ≤ s.
(∀x, y, z)((φr (x, y) ∧ φs (y, z)) ⇒ φr+s (x, z)), para cada r, s ∈ R+ .
Demuéstrese que cada espacio métrico (X, d) constituye un T –modelo si se interpreta φ r (a, b)
como d(a, b) ≤ r. ¿Cada T –modelo proviene de un espacio métrico en el sentido anterior?
Problema 21 a) Defı́nase la noción de subestructura de una L–estructura.
b) Demuéstrese que si B es una subestructura de una L–estructura A y p es una fórmula del
lenguaje sin cuantificadores en n variables libres, entonces
[p]B = [p]A ∩ B n .
Indicación: si no se resuelve esto con facilidad, es porque uno se ha complicado la vida en el
apartado (a).
c) Considerando el centro de un grupo, o el de un álgebra, o de cualquier otra manera, pruébese
que la conclusión de (b) puede fallar si p tiene cuantificadores.
Problema 22 a) Por teorı́a de primer orden universal se entiende a aquella cuyos axiomas cobran
la forma (∀~x)p, con p una fórmula sin cuantificadores y ~x una cadena finita (tal vez vacı́a) de
nombres de variables separados por comas. Pruébese que las teorı́as universales tienen la gracia
de que cada subestructura de un T –modelo es, ası́ mismo, un T –modelo.
b) De una teorı́a de primer orden T se dice que es inductiva si sus postulados responden
al esquema (∀~x)(∃~y )p, con p una fórmula libre de cuantificadores. Para una teorı́a inductiva T ,
supóngase que una estructura A del lenguaje se obtiene como unión de una cadena {B i }i∈I de
subestructuras. Demuéstrese que A es un T –modelo si cada Bi es un T –modelo.
c) ¿Cuáles de las teorı́as del ejercicio 3.1 son universales?, ¿Cuáles inductivas?
Problema 23 a) Dado un lenguaje de primer orden L = (Ω, Π), denótese por L ∗ = (∅, Π∗ ) el
lenguaje obtenido de L mediante la supresión de los sı́mbolos de operación de Ω y el añadido de
un sı́mbolo de predicado ω ∗ por cada ω ∈ Ω, haciendo α(ω ∗ ) = α(ω) + 1.
Si T es una teorı́a de primer orden escrita en el lenguaje L, explı́quese cómo construir una
teorı́a T ∗ en L∗ equivalente a T en el sentido de tener los mismos modelos.
b) Aplı́quese el método anterior a la teorı́a de primer orden de los grupos y a la de los conjuntos
ordenados con elemento mı́nimo.
Problema 24 a) Demuéstrese que las sentencias (∀x, y)((x = y) ⇒ (y = x)) y
(∀x, y, z)((x = y) ⇒ ((y = z) ⇒ (x = z))) son teoremas del cálculo de predicados con
igualdades.
b) Compruébese que s ∼ t si y solo si S |= (s = t) define una relación de equivalencia en el
conjunto A de los términos constantes de una teorı́a completa, consistente y con certificados S.
Problema 25 Demuéstrese que la teorı́a de primer orden T cuyo único axioma consiste en
(∀x)¬(x = x)
es consistente si y solo si el lenguaje L en que está escrita no tiene constantes. Bajo la suposición
de que T es consisente y L no contenga predicados primitivos 0–arios, pruébese que T es completa
y posee certificados.
19
Problema 26 Sea T una teorı́a de primer orden en un lenguaje numerable que solo tiene modelos
infinitos. Demuéstrese que T es completa si T es categórica en cardinal ℵ 0 .
Problema 27 De un conjunto se dice que es totalmente ordenado denso si hay definida en él una
relación binaria < tal que se dan las siguientes condiciones:
i) Para todo x, y se verifica una y solo una de las relaciones x < y, x = y o y < x.
ii) Si x < y, y < z, entonces x < z.
iii) Si x < y, existe un z tal que x < z, y z < y.
iv) Para cada x existen y, z con y < x y x < z.
a) Descrı́base la teorı́a de primer orden T de los conjuntos totalmente ordenados densos.
b) Demuéstrese que cualesquiera dos conjuntos totalmente ordenados densos de cardinal ℵ 0
son isomorfos. Indicación: numérense los conjuntos y establézcase entre ellos de forma inductiva
una aplicación que conserve el orden. La sobreyectividad se probará usando la propiedad de que
toda parte no vacı́a de N tiene un primer elemento.
c) Pruébese que T es consistente. Bastará con encontrar un modelo.
d) ¿Es T completa? El ejercicio anterior puede proporcionar la respuesta.
Problema 28 Supóngase que una teorı́a de primer orden T en un lenguaje (Ω, Π) tiene una teorı́a
algebraica subyacente (Ω, E), esto es, la clausura universal de cada identidad primitiva (s = t) ∈ E
es un axioma de T .
Pruébese que la clausura universal de las identidades derivadas de Ẽ (teorema 1.4) son demostrables en la teorı́a T .
Problema 29 Demuéstrese que las sentencias (∀x, y, z)(a x a y z = a a x y z) y (∀x, y)(a x y =
a y x) son deducibles de la aritmética de Peano. Indicación: la conmutatividad requiere de más
trabajo que la asociatividad. Recúrrase a la conclusión del ejercicio anterior cada vez que haga
falta.
Problema 30 Sea T la teorı́a de primer orden de los cuerpos ordenados completos (ejercicio
3.1.vi)). Demuéstrese que cada T –modelo es un cuerpo cerrado real, esto es, un cuerpo ordenado
en el que cada elemento positivo tiene raı́z cuadrada.
20
CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN
Capı́tulo 4
Funciones recursivas
En esta sección se utilizará reiteradamente el hecho de que si α: Nk → N, β: Nk+2 → N son
funciones recursivas primitivas, entonces la función h: Nk+1 → N tal que
h(n1 , . . . , nk , 0) = α(n1 , . . . , nk )
y
h(n1 , . . . , nk , n + 1) = β(n1 , . . . , nk , n, h(n1 , . . . , nk , n)
para cualesquiera n1 , . . . , nk , n ∈ N, es primitiva recursiva.
Problema 28 Describir una máquina de registros que inicialize el registro R i , es decir, que le
asigne el valor 0.
Sol. Usaremos como es habitual la notación S1 para el estado inicial (o de comienzo) de la maquina
y S0 para el estado de parada. Entonces la maquina se puede describir como en el diagrama de
abajo.
Ri −1
7
S0
S1
Problema 29 Demuéstrese que la función f : N → N tal que f (0) = 1 y f (n) = 0 para cada n 6= 0
es recursiva primitiva.
Sol. Apliquemos el resultado mencionado en el primer párrafo de este capı́tulo. Tomemos α: N → N
dada por α(n) = n + 1. Por otra parte sea β: N3 → N la proyección en la primera componente,
es decir, β(n1 , n2 , n3 ) = n1 . Entonces h: N2 → N satisface h(n, 0) = n + 1 y h(n, m + 1) =
β(n, m, h(n, m)) = n y es recursiva primitiva. Definamos ahora la función f : N → N tal que
f (n) := h(0, n) para cada n. Esta función es recursiva primitiva al ser composición de recursivas
primitivas. Se tiene además f (0) = h(0, 0) = 1 y f (n + 1) = h(0, n + 1) = β(0, n, h(0, n)) = 0.
Problema 30 Prefijemos a ∈ N y denotemos por σ: N → N la aplicación tal que σ(n) = n + 1.
Demuéstrese que dada una función recursiva primitiva γ: N → N existe otra función recursiva
primitiva g: N → N tal que g(0) = a y g(σ(n)) = γ(g(n)) para cada n > 0.
Sol. Apliquemos lo mencionado al principio del capı́tulo tomando como α la función constante de
valor a y β: N3 → N la función dada por β(x, y, z) = γ(z) que es recursiva primitiva. Entonces
la función h: N2 → N tal que h(n, 0) = a y h(n, m + 1) = β(n, m, h(n, m)) es recursiva primitiva.
Definamos g: N → N por g(n) := h(0, n). Claramente g es recursiva primitiva y además g(0) =
h(0, 0) = a y
g(σ(n)) = h(0, σ(n)) = β(0, n, h(0, n)) = β(0, n, g(n)) = γ(g(n)).
21
22
CAPÍTULO 4. FUNCIONES RECURSIVAS
Problema 31 Demostrar que la función r: N → N tal que r(n) es el resto de dividir n entre dos
es recursiva primitiva.
Sol. Sabemos que la función γ: N → N tal que γ(0) = 1 y γ(n) = 0 para n 6= 0 es recursiva primitiva
(véase el problema 29). Entonces dada esta función, el problema 30 asegura la existencia de otra
función recursiva primitiva g tal que g(0) = 0 y g(n + 1) = γ(g(n)). Ahora bien g(1) = γ(g(0)) =
γ(0) = 1. Veamos ahora inductivamente que si n es par g(n) = 0 mientras que si n es impar entonces
g(n) = 1. Lo hemos demostrado para n = 0 y n = 1. Supongámoslo demostrado para todos los
naturales menores que n. Entonces si n > 1 es par g(n) = g(σ(n − 1)) = γ(g(n − 1)) = γ(1) = 0
mientras que si n es impar un razonamiento similar demuestra que g(n) = 1.
Problema 32 Un subconjunto M de un conjunto parcialmente ordenado D se dice que es dirigido si cada subconjunto finito de M tiene una cota superior (en M ). Un conjunto parcialmente
ordenado D se dice que es completo (abreviado cpo) si:
Cada subconjunto dirigido M tiene una mı́nima cota superior ∨M .
Hay un elemento mı́nimo ⊥ en D.
Demuéstrese que cada conjunto parcialemente ordenado finito con un elemento mı́nimo es un cpo.
Sea N⊥ = N ∪ {⊥} y consideremos la relación definida por (1) ⊥ ≤ n para cada n ∈ N; y (2)
n ≤ m ⇔ n = m para n, m ∈ N. Demuéstrese que N⊥ es un cpo.
Sol. Si (D, ≤) es un conjunto finito parcialmente ordenado con un elemento mı́nimo ⊥ entonces
cada subconjunto dirigido M de D (necesariamente finito) es una cadena finita M = {m1 , . . . , mk }
con m1 ≤ · · · ≤ mi ≤ mi+1 ≤ · · · ≤ mk . Por lo tanto mk es una mı́nima cota superior de M . Para
la segunda parte el lector debe mostrar que los subconjuntos dirigidos M de N⊥ son de cardinal
uno o dos. En el primer caso M = {⊥} o bien M = {n} con n ∈ N. En el segundo caso M = {⊥, n}
para cierto n ∈ N.
Problema 33 Dados dos cpos D y E y una aplicación f : D → E, diremos que f es monótona
cuando x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) para cualesquiera x, y ∈ D. Demuéstrese que la imagen por una
función monótona de un conjunto dirigido es un conjunto dirigido. Diremos que f es continua
cuando f (∨M ) = ∨f (M ) para cada subconjunto dirigido M de D. Diremos que f es estricta
si f (⊥) = ⊥. Dadas dos funciones f, g: D → E definimos en el conjunto D → E de todas
las funciones continuas de D en E la relación f ≤ g si y solo si f (x) ≤ g(x) para cada x.
Demuéstrese que con esta relación el conjunto D → E es un cpo. Compruébese que el subconjunto
de aplicaciones estrictas de D a E es también un cpo.
Sol. Si f es monotona y M dirigido, para demostrar que f (M ) es un subconjunto dirigido de E
tomemos un subconjunto finito X = {f (m1 ), . . . , f (mk )} de f (M ). Entonces S = {m1 , . . . , mk }
es un subconjunto finito de M por lo que existe algún m ∈ S tal que mi ≤ m para todo i. Pero
entonces f (mi ) ≤ f (m) lo que implica que f (m) ∈ f (M ) es una cota superior de X. Veamos
ahora que D → E es un cpo. La relación definida en dicho conjunto se comprueba de inmediato
que es de orden parcial. Podemos definir la aplicación ⊥: D → E como la aplicación constante
de valor ⊥. Entonces claramente ⊥ es un elemento mı́nimo de D → E. Veamos ahora que cada
conjunto dirigido M ⊂ D → E tiene un mı́nima cota superior. Fijemos d ∈ D y consideremos el
conjunto M (d) := {m(d): m ∈ M }. Este subconjunto de E es dirigido como puede comprobarse
de inmediato. Por lo tanto tiene sentido ∨M (d) = ∨m∈M m(d). Definamos ahora la aplicación
f : D → E tal que f (d) = ∨M (d). Tenemos entonces que para cualesquiera m ∈ M , d ∈ D se da la
relación m(d) ≤ f (d). Consecuentemente m ≤ f . Ahora se deja al lector la tarea de demostrar que
f es continua con lo que f es un elemento de D → E que acota a M . Veamos que si otro elemento
g ∈ D → E es tal que m ≤ g para todo m ∈ M , entonces f ≤ g. En efecto: fijado d ∈ D se tiene
que m(d) ≤ g(d) para cada m ∈ M . Por lo tanto ∨M (d) ≤ g(d) o lo que es lo mismo f (d) ≤ g(d).
Como esto ocurre para cualquier d ∈ D se tiene f ≤ g. También se deja como ejercicio al lector
comprobar que el subconjunto de D → E de aplicaciones estrictas es un subcpo de D → E.
23
Problema 34 Sean D y E cpos. Demuéstrese que si f : D → E es monotona y D finito, entonces
f es continua.
Sol. Cada subconjunto dirigido finito es una cadena. Cualquier aplicación monótona transforma
el máximo de la cadena en el máximo de la cadena imagen.
Problema 35 Sea D un cpo y f : D → D continua. Demuéstrese que f tiene puntos fijos. Más
aún, demuéstrese que existe un punto fijo mı́nimo.
Sol. Partiendo de que ⊥ ≤ f (⊥) y usando inducción se tiene que f n (⊥) ≤ f n+1 (⊥). Definamos
x0 := ∨n f n (⊥). Entonces f (x0 ) = f (∨n f n (⊥)) = ∨n f n+1 (⊥) = ∨n f n (⊥) = x0 por lo tanto x0 es
un punto fijo de f . Sea ahora otro punto fijo x ∈ D de f . Como ⊥ ≤ x se tiene f n (⊥) ≤ x luego
x0 ≤ x. Ası́ hemos demostrado que f tiene un mı́nimo punto fijo.
Problema 36 Demostrar que existe una única función estricta f : N⊥ → N⊥ que satisface:
1
si n = 0
f (n) =
n f(n-1) si n > 0
Sol. Sea D el cpo de todas las funciones estrictas del cpo N⊥ en si mismo. Por comodidad vamos
a extender la multiplicación de N a una operación conmutativa N⊥ × N⊥ → N⊥ que denotaremos
también por yuxtaposición, definiendo ⊥⊥ = ⊥ y ⊥n = n⊥ = ⊥ para cada natural n. Definamos
la función F : D → D tal que para cada f ∈ D se tiene F (f ) : N⊥ → N⊥ (estricta) dada por
F (f )(0) = 1 y F (f )(n) = nf (n−1) para cada n > 0. Demostremos primero que F es monótona. Si
f ≤ g entonces F (f )(0) = 1 = F (g)(0) y por otra parte, para n > 0 se tiene F (f )(n) = nf (n−1) ≤
ng(n − 1) = F (g)(n). En consecuencia F (f ) ≤ F (g). Sea ahora M ⊂ D un subconjunto dirigido.
Entonces para cada m ∈ M se tiene m ≤ ∨M luego F (m) ≤ F (∨M ) implicando ∨F (M ) ≤
F (∨M ). La otra relación, F (∨M ) ≤ ∨F (M ) se deja como ejercicio al lector. Se tiene entonces que
F es continua y aplicando lo demostrado en el ejercicio 35 existe un punto fijo para F que será la
aplicación factorial. Conviene notar que la aplicación que acabamos de ver que existe f : N ⊥ → N⊥
se puede restringir a f : N → N por su propia definición.
Problema 37 Fijada una función r: N → N, demuéstrese que existe una única aplicación f : N →
N tal que f (0) = 0 y f (n) = f (n − 1) + [1 − r(n)] para n > 0.
Sol. Definamos D como el cpo de aplicaciones estrictas del cpo N⊥ en si mismo. Fijemos Consideremos ahora F : D → D dada por F (f )(0) = 0 y F (f )(n) = f (n − 1) + [1 − r(n)] para n > 0.
Tenemos que demostrar que F posee un punto fijo. En virtud de lo demostrado en el problema
35, bastará demostrar que F es continua. Empezaremos viendo que es monótona. Si f, g ∈ D son
tales que f ≤ g entonces F (f ) ≤ F (g) ya que F (f )(0) = F (g)(0) = 0 y para n > 0
F (f )(n) = f (n − 1) + [1 − r(n)] ≤ g(n − 1) + [1 − r(n)] = F (g)(n).
El resto de la demostración de que F es continua es similar a la del problema 36. Se tiene entonces
la existencia de un punto fijo mı́nimo de F . Ahora falta demostrar que f es única pero esto también
se deja como ejercicio al lector.
Problema 38 En el problema anterior cuando r(n) = resto de dividor n entre dos, comprobar
que la función f dada por las relaciones f (0) = 0 y f (n) = f (n − 1) + [1 − r(n)] para n > 0, es la
función parte entera de n/2, es decir, f (n) = E(n/2) siendo E(·) la función parte entera.
Sol. El lector puede comprobar que para cada natural n se tiene E(n/2) = E( n−1
2 ) + [1 − r(n)].
Aplicando lo demostrado en el problema anterior tendremos que f (n) = E(n/2).
Problema 39 Demostrar que la función f (n) = E(n/2) es recursive primitiva.
24
CAPÍTULO 4. FUNCIONES RECURSIVAS
Sol. Definamos g: N3 → N como g(n, m, k) := k + [1 − r(m + 1)] que es recursiva primitiva. Fijemos
α: N → N recursiva primitiva cualquiera tal que α(0) = 0. Aplicando el resultado del principio del
capı́tulo, la función h: N2 → N tal que h(n, 0) = α(n) y h(n, m + 1) = g(n, m, h(n, m)) es recursiva
primitiva. Pero entonces la aplicación f : N → N tal que f (n) := h(0, n) es recursiva primitiva.
Además f (0) = h(0, 0) = α(0) = 0 y para todo n se tiene
f (n + 1) = h(0, n + 1) = g(0, n, h(0, n)) = g(0, n, f (n)) = f (n) + [1 − r(n + 1)].
Aplicando entonces el problema 38 se tiene que f coincide con E(n/2).
Problemas propuestos
Problema 31 Descrı́base el funcionamiento del programa:
(1, -, 2, 4), (3, +, 3), (4, +, 1), (2 ,- ,5, 7), (5, +, 6), (6, +, 4),
(3, -, 8, 9), (5, -, 7, 16), (5, -, 10, 18), (5, +, 11), (4, -, 12, 14),
(7, +, 13), (3, +, 11), (7, -, 15, 17), (4, +, 14), (6, -, 17, 0), (2, +, 16),
(4, -, 19, 20), (1, +, 18), (1, +, 16),
con datos de entrada (n1 , n2 , 0, 0, . . .).
Problema 32 Escrı́banse sendos programas para máquina de registros los cuales, dada la entrada
(n, 0, 0, . . .), devuelvan los siguientes resultados:
(a) n2 − 5n + 2 si este polinomio toma un valor no negativo. El programa debe no finalizar en otro
caso.
(b) El (n + 1)–ésimo número primo pn .
Problema 33 Demuéstrese sucesivamente que las siguientes funciones son recursivas primitivas:
n
1 si n = 0,
(a) f1 (n) =
0 en otro caso.
(b) f2 (n) = resto de dividir n entre 2.
(c) f3 (n) = parte entera de n/2.
n
(d) f4 (n) = n/2 si n es par
0
en otro caso.
n
m
n/2
si este valor es un entero
(e) f5 (n, m) =
0
en otro caso.
(f ) f6 (n) = exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n, si n > 0, y f 6 (0) = 0.
Recuérdese que este ejercicio se dio por válido a fin de apoyar la demostración del teorema 4.2,
por lo que está prohibido recurrir a tal resultado para resolverlo.
Problema 34 Si E ⊂ N es un conjunto no vacı́o recursivamente enumerable, pruébese que existe
una función recursiva globalmente definida con E como rango de valores. Indicación: Es crucial
la hipótesis de que E contenga al menos un elemento.
Problema 35 Demuéstrese que un subconjunto infinito E de N es recursivo si y solo si existe
una función recursiva f : N → N globalmente definida y estrictamente creciente que tiene a E
como conjunto de valores.
Problema 36 Pruébese que la inversa f −1 de una biyección f : N → N recursiva es también
recursiva.
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO V
Problema 37 Pruébese que la suma y el producto de números naturales de von-Neumann son
funciones ZF–definibles en un modelo V de ZF.
Bibliografı́a
[1] P. T. Johnstone. Notes on logic and set theory. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. 1987.
[2] E. H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw Hill. 1966.
25