Parte 1. Resolución de una ecuación f(x)=0

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Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Parte 1. Resolución de una ecuación f (x) = 0
Gustavo Montero
Escuela Universitaria Politécnica
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2005-2006
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
f (x) = 0
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
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Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
Ejemplo
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
0
1
h − z0 − D
C
d
C, se puede
Llamando
=
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
B
Bk
@
log
n = 1 + nk
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Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
Ejemplo
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
0
1
h − z0 − D
C
d
C, se puede
Llamando
=
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
B
Bk
@
log
n = 1 + nk
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
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Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
Ejemplo
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
0
1
h − z0 − D
C
d
C, se puede
Llamando
=
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
B
Bk
@
log
n = 1 + nk
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
Ejemplo
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
0
1
h − z0 − D
C
d
C, se puede
Llamando
=
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
B
Bk
@
log
n = 1 + nk
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Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Planteamiento del problema
Encontrar los ceros de la función f (x), es decir, las raı́ces de la ecuación
131
f (x) = 0
tomática de mallas de tetraedros adaptadas a orografı́as irregulares
dominio a discretizar. En estas condiciones el número de puntos definidos en la
´a n + 1 y la función de espaciado vertical (Figura 1) se puede expresar como
zi =
h − z0 α
i + z0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n
nα
Ejemplo
(2)
Figura 1. Distribución de n + 1 puntos sobre el eje de ordenadas mediante la
función de espaciado vertical
iones conviene expresar la altitud de un punto en función de la del punto anterior,
ı́ tener que conservar en memoria el valor de z0
h−z0
nα
h−z0
log
d
α=
log n
h−z
zn−1 = nα 0 (n − 1)α + z0
h−z0 −D
log
log (n−1)
d
=
h−z0
log n
log
d
d = z1 − z0 =
0
1
h − z0 − D
C
d
C, se puede
Llamando
=
A
h − z0
log
d
comprobar fácilmente que (0 ≤ k < 1). De esta forma,
la ecuación se transforma en
B
Bk
@
log
n = 1 + nk
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Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Separación de raı́ces
Existencia de raı́ces: Teorema de Bolzano
Supongamos que f ∈ C [a, b] y f (a)f (b) < 0. Entonces existe un número
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Unicidad de raı́ces: Teorema de Rolle
Para que en un intervalo existan más de una raı́z, necesariamente se debe
cumplir el teorma de Rolle tomando como extremos dos de las raı́ces y
Suponiendo que f ∈ C [a, b] y es derivable en (a, b).
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Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones polinómicas
P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + ... + an−1 x + an = 0
Teorema de acotación
Si λ =
maxi ai ,
todas las raı́ces reales y complejas z de la ecuación polinómica
a0
verifican |z| ≤ λ + 1
Sucesión de Sturm
Sean f0 , f1 , ..., fm , m + 1 funciones reales continuas en [a, b], con f0 ∈ C 1 [a, b]. Se dice
que estas funciones forman una sucesión de Sturm en [a, b] si se verifican las
siguientes condiciones:
f0 no tiene ceros múltiples en [a, b].
fm no se anula en [a, b].
Si para algún r ∈ [a, b] y algún j(0 < j < m), se tiene fj (r ) = 0, entonces
fj−1 (r )fj+1 (r ) < 0.
Si para algún r ∈ [a, b] se tiene f0 (r ) = 0, entonces f00 (r )f1 (r ) > 0.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Teorema de Sturm
Si {f0 , f1 , ..., fm } es una sucesión de Sturm en [a, b] y si a y b no son raı́ces de
f0 (x) = 0, el número de raı́ces de esta ecuación comprendidas en (a, b) es igual a la
diferencia entre el número de cambios de signo que hay en {f0 (a), f1 (a), ..., fm (a)} y en
{f0 (b), f1 (b), ..., fm (b)}.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Teorema de Sturm
Si {f0 , f1 , ..., fm } es una sucesión de Sturm en [a, b] y si a y b no son raı́ces de
f0 (x) = 0, el número de raı́ces de esta ecuación comprendidas en (a, b) es igual a la
diferencia entre el número de cambios de signo que hay en {f0 (a), f1 (a), ..., fm (a)} y en
{f0 (b), f1 (b), ..., fm (b)}.
Obtencı́ón en la práctica de una sucesión de Sturm
f0 (x) = P(x)
f1 (x) = P 0 (x)
f0 (x)
f1 (x)
......................
fm−2 (x)
−Resto
fm−1 (x)
−Resto
Siendo fm+1 = 0.
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Separación de raı́ces
Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Teorema de Sturm
Si {f0 , f1 , ..., fm } es una sucesión de Sturm en [a, b] y si a y b no son raı́ces de
f0 (x) = 0, el número de raı́ces de esta ecuación comprendidas en (a, b) es igual a la
diferencia entre el número de cambios de signo que hay en {f0 (a), f1 (a), ..., fm (a)} y en
{f0 (b), f1 (b), ..., fm (b)}.
Obtencı́ón en la práctica de una sucesión de Sturm
f0 (x) = P(x)
f1 (x) = P 0 (x)
f0 (x)
f1 (x)
......................
fm−2 (x)
−Resto
fm−1 (x)
−Resto
Siendo fm+1 = 0.
Separación de raı́ces
Si sabemos que todas las raı́ces de
P(x) = 0 están en [a, b], podemos
dividir
el intervalo
en dos,
a+b
a+b
a,
y
, b , y aplicar
2
2
el teorema de Sturm para saber el
número de raı́ces que tiene cada
uno. Aplicando esta técnica
sucesivamente podemos aislar
cada raı́z en un intervalo.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
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Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Algoritmo
Supongamos que f (a)f (b) < 0
a0 = a, b0 = b
a0 + b0
c0 =
2
Si f (a0 )f (c0 ) < 0 entonces
a1 = a0 , b1 = c0
Caso contrario a1 = c0 , b1 = b0
........................
an + bn
cn =
2
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an ,
bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn ,
bn+1 = bn
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Bipartición
Algoritmo
Supongamos que f (a)f (b) < 0
a0 = a, b0 = b
a0 + b0
c0 =
2
Si f (a0 )f (c0 ) < 0 entonces
a1 = a0 , b1 = c0
Caso contrario a1 = c0 , b1 = b0
........................
an + bn
cn =
2
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an ,
bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn ,
bn+1 = bn
Convergencia
Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-ésimo paso, el método de bipartición aproxima una raı́z con un error
b+a
máximo de
.
2n+1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Bipartición
Representación gráfica
Algoritmo
Supongamos que f (a)f (b) < 0
a0 = a, b0 = b
a0 + b0
c0 =
2
Si f (a0 )f (c0 ) < 0 entonces
a1 = a0 , b1 = c0
Caso contrario a1 = c0 , b1 = b0
........................
an + bn
cn =
2
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an ,
bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn ,
bn+1 = bn
Convergencia
Sea f ∈ C [a, b], con f (a)f (b) < 0. En el n-ésimo paso, el método de bipartición aproxima una raı́z con un error
b+a
máximo de
.
2n+1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Convergencia (condición fuerte)
Si g ∈ C [a, b] es una contracción de [a, b] en [a, b] (de un espacio métrico completo
en sı́ mismo) entonces g tiene un punto fijo en [a, b] y es único.
g (x)
− g (x 0 ) ≤ c x − x 0 < x − x 0 Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Convergencia (condición fuerte)
Si g ∈ C [a, b] es una contracción de [a, b] en [a, b] (de un espacio métrico completo
en sı́ mismo) entonces g tiene un punto fijo en [a, b] y es único.
g (x)
− g (x 0 ) ≤ c x − x 0 < x − x 0 Cota del error
|x − xn | ≤
cn
|x1 − x0 |
1−c
∀n ≥ 1
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Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Algoritmo
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Convergencia (condición débil)
Si g ∈ C [a, b] y a ≤ g (x) ≤ b ∀x ∈ [a, b], entonces g tiene al menos un punto fijo en
[a, b].
Supongamos, además, que g 0 (x) es continua en (a, b) y que existe una constante
positiva c tal que
g 0 (x) ≤ c < 1
∀x ∈ (a, b) .
Entonces existe un único punto fijo α de g en [a, b]. Además, la iteración
xn+1 = g (xn )
n≥0
converge a α para cualquier elección de x0 en [a, b].
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
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Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Bipartición
Método de Punto Fijo
Método de Punto Fijo
Definición
Se dice que x es un punto fijo de g (x) si x = g (x).
Por tanto, obtener un punto fijo es equivalente a resolver la
ecuación x − g (x) = 0
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 = g (xn )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Newton-Raphson
Deducción del algoritmo
Supongamos que f (x), f 0 (x) y f 00 (x) son continuas en un
entorno de la raı́z x ∗ ,
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) +
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x ∗ − x0 ) +
f 00 (x0 ) (x − x0 )2
2!
f 00 (x0 ) (x ∗ − x0 )2
2!
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Newton-Raphson
Deducción del algoritmo
Supongamos que f (x), f 0 (x) y f 00 (x) son continuas en un
entorno de la raı́z x ∗ ,
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) +
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x ∗ − x0 ) +
f 00 (x0 ) (x − x0 )2
2!
f 00 (x0 ) (x ∗ − x0 )2
2!
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
f (xn )
xn+1 = xn − 0
f (xn )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Newton-Raphson
Deducción del algoritmo
Supongamos que f (x), f 0 (x) y f 00 (x) son continuas en un
entorno de la raı́z x ∗ ,
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) +
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x ∗ − x0 ) +
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
f (xn )
xn+1 = xn − 0
f (xn )
xn+1 → xn
f 00 (x0 ) (x − x0 )2
2!
f 00 (x0 ) (x ∗ − x0 )2
2!
Convergencia (condición débil)
g 0 (x)
=
|f (x)f 00 (x)|
|f 0 (x)|2
≤c<1
∀x ∈ (x ∗ − δ, x ∗ + δ) .
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Newton-Raphson
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un x0 ∈ [a, b]
f (xn )
xn+1 = xn − 0
f (xn )
xn+1 → xn
Convergencia (condición débil)
g 0 (x)
=
|f (x)f 00 (x)|
|f 0 (x)|2
≤c<1
∀x ∈ (x ∗ − δ, x ∗ + δ) .
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de la Secante
Deducción del algoritmo
f 0 (xn ) ≈
f (xn ) − f (xn−1 )
xn − xn−1
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de la Secante
Algoritmo
Deducción del algoritmo
f 0 (xn ) ≈
f (xn ) − f (xn−1 )
xn − xn−1
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 =
f (xn ) (xn − xn−1 )
xn −
f (xn ) − f (xn−1 )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de la Secante
Algoritmo
Deducción del algoritmo
f (xn ) − f (xn−1 )
f (xn ) ≈
xn − xn−1
0
Representación gráfica
Elegir un x0 ∈ [a, b]
xn+1 =
f (xn ) (xn − xn−1 )
xn −
f (xn ) − f (xn−1 )
xn+1 → xn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Regula Falsi
Deducción del algoritmo
Es similar al de bipartición, pero el punto intermedio elegido resulta
de la intersección de la recta secante que pasa por los puntos
(a, f (a)) y (b, f (b))
x −b
b−a
c−b
b−a
=
=
c =b−
y − f (b)
f (b) − f (a)
0 − f (b)
f (b) − f (a)
f (b)(b − a)
f (b) − f (a)
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Regula Falsi
Deducción del algoritmo
Es similar al de bipartición, pero el punto intermedio elegido resulta
de la intersección de la recta secante que pasa por los puntos
(a, f (a)) y (b, f (b))
x −b
b−a
c−b
b−a
=
=
c =b−
y − f (b)
f (b) − f (a)
0 − f (b)
f (b) − f (a)
f (b)(b − a)
f (b) − f (a)
Algoritmo
Elegir un a0 = a, b0 = b
f (bn ) (bn − an )
cn = bn −
f (bn ) − f (an )
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Regula Falsi
Método de Regula Falsi
Representación gráfica
Algoritmo
Elegir un a0 = a, b0 = b
f (bn ) (bn − an )
cn = bn −
f (bn ) − f (an )
Si f (an )f (cn ) < 0 ⇒ an+1 = an , bn+1 = cn
Si f (cn ) = 0 ⇒ cn es cero de f
Si f (an )f (cn ) > 0 ⇒ an+1 = cn , bn+1 = bn
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
Velocidad de convergencia
Orden de una raı́z
Supongamos que f (x) y sus derivadas f 0 (x), ..., f (M) (x) están definidas y son
continuas en un intervalo centrado en el punto x ∗ . Se dice que f (x) = 0 tiene una
raı́z de orden M en x = x ∗ si
f (x ∗ ) = 0, f 0 (x ∗ ) = 0, ..., f (M−1) (x ∗ ) = 0, f (M) (x ∗ ) 6= 0
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
Velocidad de convergencia
Orden de una raı́z
Supongamos que f (x) y sus derivadas f 0 (x), ..., f (M) (x) están definidas y son
continuas en un intervalo centrado en el punto x ∗ . Se dice que f (x) = 0 tiene una
raı́z de orden M en x = x ∗ si
f (x ∗ ) = 0, f 0 (x ∗ ) = 0, ..., f (M−1) (x ∗ ) = 0, f (M) (x ∗ ) 6= 0
Orden de convergencia
∗
∗
Supongamos que {xn }∞
n=0 converge a x y sea En = x − xn para cada n ≥ 0. Si
existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que
lim
n→∞
|x ∗ − xn+1 |
|x ∗ − xn |R
= lim
n→∞
|En+1 |
|En |R
= A,
entonces se dice que la sucesión converge a x ∗ con orden de convergencia R y el
número A se llama constante asistótica del error.
Si R = 1 se llama convergencia lineal
Si R = 2 se llama convergencia cuadrática
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia del método de Newton-Raphson
Si el grado de
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadrática:
multiplicidad
f 00 (x ∗ )
2
|En+1 | ≈
|En |
2 |f 0 (x ∗ )|
Si el grado de multiplicidad de x ∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:
M−1
|En |
|En+1 | ≈
M
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia del método de Newton-Raphson
Si el grado de
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadrática:
multiplicidad
f 00 (x ∗ )
2
|En+1 | ≈
|En |
2 |f 0 (x ∗ )|
Si el grado de multiplicidad de x ∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:
M−1
|En |
|En+1 | ≈
M
Orden de convergencia del método de la Secante
Si el gradode multiplicidad
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:
f 00 (x ∗ ) 0.618
|En+1 | ≈ |En |1.618
2f 0 (x ∗ ) Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Velocidad de convergencia
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia de algunos métodos
Orden de convergencia del método de Newton-Raphson
Si el grado de
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene convergencia cuadrática:
multiplicidad
f 00 (x ∗ )
2
|En+1 | ≈
|En |
2 |f 0 (x ∗ )|
Si el grado de multiplicidad de x ∗ es M > 1 entonces se obtiene convergencia lineal:
M−1
|En |
|En+1 | ≈
M
Orden de convergencia del método de la Secante
Si el gradode multiplicidad
de x ∗ es M = 1 entonces se obtiene una orden de convergencia igual a 1.618:
f 00 (x ∗ ) 0.618
|En+1 | ≈ |En |1.618
2f 0 (x ∗ ) Método de Newton-Raphson acelerado para raı́ces múltiples
xn+1 = xn − M
f (xn )
f 0 (xn )
siendo M es grado de multiplidad de la raı́z x ∗ .
De esta forma, obtenemos convergencia cuadrática a x ∗ ,
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Planteamiento del problema
Ecuación compleja
Sea f : C → C , con f ∈ C 2 [C , C ].
f (z) = 0
z = x + iy ,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Planteamiento del problema
Ecuación compleja
Sea f : C → C , con f ∈ C 2 [C , C ].
f (z) = 0
z = x + iy ,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )
Método de Newton
zn+1 = zn −
f (zn )
f 0 (zn )
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Planteamiento del problema
Ecuación compleja
Sea f : C → C , con f ∈ C 2 [C , C ].
f (z) = 0
z = x + iy ,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y )
Método de Newton
zn+1 = zn −
f (zn )
f 0 (zn )
Condición de Cauchy-Riemann
∂f
∂u
∂v
∂f ∂z
∂f
=
+i
=
=
∂x
∂x
∂x
∂z ∂x
∂z
∂f
∂u
∂v
∂f ∂z
∂f
=
+i
=
=i
∂y
∂y
∂y
∂z ∂y
∂z
Por tanto,
∂f
∂u
∂v
∂v
∂u
=
+i
=
−i
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Obtención del algoritmo
zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −
u(xn , yn ) + i v (xn , yn )
∂v (xn , yn )
∂u(xn , yn )
+i
∂x
∂x
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Planteamiento del problema
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Obtención de la parte real e imaginaria de la raı́z
Obtención del algoritmo
zn+1 = xn+1 + i yn+1 = xn + i yn −
u(xn , yn ) + i v (xn , yn )
∂v (xn , yn )
∂u(xn , yn )
+i
∂x
∂x
Parte real
∂u(xn , yn )
∂u(xn , yn )
− v (xn , yn )
∂x
∂y
∂u(xn , yn ) 2
∂u(xn , yn ) 2
+
∂x
∂y
u(xn , yn )
xn+1 = xn −
Parte compleja
∂u(xn , yn )
∂u(xn , yn )
+ u(xn , yn )
∂x
∂y
∂u(xn , yn ) 2
∂u(xn , yn ) 2
+
∂x
∂y
v (xn , yn )
yn+1 = yn −
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
1
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
2
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
3
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
4
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
5
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
6
Resumen
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
Planteamiento del problema. Separación de raı́ces
Métodos de Bipartición y de Punto Fijo
Métodos de Newton-Raphson, de la Secante y de Regula Falsi
Análisis de la rapidez y condiciones de convergencia
Generalización del método de Newton para raı́ces complejas
Resumen
Resumen
Al resolver una ecuación debemos localizar la zona (intervalo) de existencia de
cada raı́z y si es posible separar cada una de ellas en intervalos diferentes.
En el caso de ecuaciones polinómicas, el método de Sturm junto con la
bisección permite separar las raı́ces en intervalos diferentes.
Disponemos de una gran variedad de métodos. En cada caso debemos elegir el
más adecuado. En cuanto a rapidez, el método de Newton-Raphson gana al ser
de orden 2. Sin embargo, no siempre es posible disponer de la derivada de la
función de forma explı́cita. Entonces habrı́a que pensar en otros métodos.
Hay que tener cuidado con las raı́ces múltiples. La convergencia puede ser muy
lenta. Debemos aplicar Newton-Raphson Acelerado.
En caso de raı́ces complejas, debemos aplicar la versión generalizada de
Newton-Raphson.
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