Primeras propiedades de las Funciones Recursivas

Lógica Matemática III
Primeras propiedades de las
Funciones Recursivas
Proposición 1 . Sea g : N m  N y sean x 1 , … , x n variables distintas. Para cada
i ∈ 1, … , m, sea z i alguna de las variables x 1 , … , x n . Considere la función
f : Nn  N
fx 1 , … , x n   gz 1 , … , z m 
Así, si g es una Función Recursiva, también lo será f.
Prueba. Supongamos que para cada i ∈ 1, … , m, se tiene que z i  x j i con
j i ∈ 1, … , n. Pero entonces z i   nj i x 1 , … , x n . Así las cosas, tenemos que
fx 1 , … , x n   gz 1 , … , z m   g nj 1 x 1 , … , x n , … ,  nj m x 1 , … , x n 
y por tanto, f es recursiva ya que se obtiene por Sustitución a partir de la recursiva g y

de las Iniciales  nj 1 , … ,  nj m .
Algunas aplicaciones de este resultado:
1). Permutar variables:
Si g : N 2  N es recursiva, entonces
f : N2  N
fx 1 , x 2   gx 2 , x 1 
es recursiva. Pues, basta tomar m  2, n  2, z 1  x 2 y z 2  x 1 .
2). Añadir variables artificiales:
Si g : N 2  N es recursiva, entonces
f : N3  N
fx 1 , x 2 , x 3   gx 1 , x 3 
es recursiva. Pues, basta tomar m  2, n  3, z 1  x 1 y z 2  x 3 . La nueva variable x 2 ,
se le llama artificial pues no influye en el valor de fx 1 , x 2 , x 3 .
3). Repetir variables:
Si g : N 3  N es recursiva, entonces
f : N2  N
fx 1 , x 2   gx 1 , x 2 , x 1 
es recursiva. Pues, basta tomar m  3, n  2, z 1  x 1 , z 2  x 2 y z 3  x 1 .
La Regla de Sustitución puede ser extendida al caso en que cada H i puede ser
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una función de algunas y no necesariamente todas las variables involucradas:
Proposición 2 . (Método de Sustitución’) Sea G : N m  N recursiva y sean
x 1 , … , x n variables distintas. Para cada i ∈ 1, … , m, sean n i  0 y H ′i : N n i  N
funciones recursivas. Entonces, la función F ′ : N n  N dada por
F ′ x 1 , … , x n   G H ′1 z 11 , … , z 1n 1  , … , H ′m z m1 , … , z mn m 
donde z kj ∈ x 1 , … , x n , tambien es recursiva.
Prueba. Para cada i ∈ 1, … , m, sea H i : N n  N la función dada por
H i x 1 , … , x n   H ′i z i1 , … , z in i .
Ésta(s) es(son) recursiva(s) por la Proposición 1 . Pero entonces,
F ′ x 1 , … , x n   G H 1 x 1 , … , x n  , … , H m x 1 , … , x n 
la cual resulta ser recursiva ya que se obtiene por Sutitución a partir de la recursiva G
y de las recursivas H 1 , … , H m .
†
También en la regla de Recursión se puede extender.
Proposición 3 . (Método de Recursión’)
Sean n, k y l números positivos. Consideremos las Funciones Recursivas
′
H : N k  N y G ′ : N l  N, así como también la función F : ℕ n1  ℕ dada por,
i) Fx 1 , … , x n , 0  H ′ z 1 , … , z k 
ii) Fx 1 , … , x n , y    G ′ w 1 , … , w l
donde las z i ∈ x 1 , … , x n y las w j ∈ x 1 , … , x n , Fx 1 , … , x n , y, y
Así, la función F es una Función Recursiva.
Prueba: TAREA.
.
†
Proposición 4 . Considere la siguiente definición alternativa de función Inicial:
Son Iniciales, las siguientes funciones:
I) La función Sucesor:

II’) La funcion Constante Cero: Z : N  N, ∀x Zx  0
III) Las funciones Proyección:  nk
Toda función recursiva (primitiva) en el primer sentido es la misma que en este
segundo.
Prueba: TAREA.
Sugerencia: Basta ver que ∀k, C nk es recursiva (usando recursión’) y esto se hace
por inducción.

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Veamos unos primeros ejemplos de funciones recursivas.
Algunas Funciones Recursivas
Proposición. Las siguientes funciones son recursivas primitivas:
a) La Predecesor :  : N  N, dada por:
x−1
x 
si x  1
o
si x  0
0
sugerencia: 0
 0

x   x

b) La Diferecia Positiva : − : N 2  N; dada por:
x−y

x−y
si x ≥ y
o
si x  y
0

x−0  0
sugerencia:


x − y    x − y
_− _
c) El Valor Absoluto de la Diferencia :
x−y
x−y


si x ≥ y
o
y−x
sugerencia: x − y
: N 2  N; dada por:
si x  y

 x − y  y − x
d) El Mínimo de dos Números : min : N 2  N; dada por:
x
minx, y 
si x ≤ y
o
y
si x  y
sugerencia: minx, y  x − x − y
e) El Mínimo de varios números : min n : N n  N. con n ≥ 2
sugerencia: Por Inducción: para todo n ≥ 2, min n es una F.R.P. y para ello usar
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min n1 x 1 , . . . , x n , x n1   minmin n x 1 , . . . , x n , x n1 .
f) El Máximo de dos números : max : N 2  N; dada por:
x
maxx, y 
si x  y
o
y
si x ≤ y

sugerencia: maxx, y  y  x − y
g) El Máximo de varios números : max n : N n  N.
h) El Signo de un número : sg : N  N; dada por:
1
sgx 
o
0
sugerencia: sg0
si x  0
si x  0
 0
sgx    1
i) El Signo Contrario de un número : sg : N  N; dada por:
0
sgx 
si x  0
o
1
si x  0

sugerencia: sgx  1 − sgx
Recordar, El Algoritmo de la División para N :
∀x ∀y ≠ 0 ∃! q, r x  y  q  r con r  y
j) El Residuo de dividir x entre y : res : N 2  N. ( res x, y
k) El Cociente de dividir x entre y : coc : N 2  N. ( coc x, y
 r ).
 q ).
Nota: Si bien la división entre cero no está definida, queremos que coc y res lo
estén para todo par de naturales, en particular para x, 0 . Se le puede asignar
cualquier valor, para nosotros tomará el valor de 0 en ambos casos. Convenimos
pues, que
coc x, 0
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 0 y res x, 0
0
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Prueba: TAREA.
Sugerencia: Resolver primero res ′ x, y, coc ′ x, y, con la intención de que
y  x  coc ′ x, y  res ′ x, y
finalmente, resx, y  res ′ y, x y cocx, y  coc ′ y, x.
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