Departamento de Economía Financiera I. Área de Matemática

Departamento de Economía Financiera I.
Área de Matemática Financiera
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA I.
1.- Para que F(t, p) = a - b (t - p) pueda ser utilizada como ley financiera de descuento, ha
de cumplir, supuesto p <t, las siguientes propiedades:
a)
F(t, t) =1
y
F(p, p) =1
Que exige se verifique: a – b (t-t)=1 y a – b (p-p)=1
necesariamente que a = l
y por tanto implica
b)
F(t, p)>0
Admitido que a toma el valor 1, para que la función sea positiva, deberá ser:
F(t, p)= [1 - b(t – p)]>0 por lo que b(t – p)<1 y por tanto b< 1/(t - p)
c)
Creciente con p y decreciente con t. Puesto que la función F(t, p) es
derivable, esta propiedad exige que:
∂F (t ; p )
∂F (t ; p )
= b>0
y
= -b <0
∂t
∂p
Necesariamente el parámetro b ha de ser positivo
d)
F(t, p)<l
Con las anteriores restricciones: a = 1 y 0 <b < 1/(t – p) se cumple siempre que
F(t, p)=[1 – b(t - p)]<1
e)
Continua parcialmente respecto a t y p.
Supuesto p, punto de aplicación fijo, la función F(t, p) =1 - b (t - p) es función lineal
de t y, por consiguiente continua, y supuesto t fijo, resulta que es una función lineal
respecto de p, por lo que también es continua respecto a esta.
Por tanto la función F(t, p) = a - b (t - p) puede utilizarse como ley financiera de descuento
bajo las siguientes condiciones:
p<t ;
a= 1; b> 0; b < 1/(t – p) lo que implica que t< (1/b) + p
De donde resulta la ley de descuento es A(t, p) = 1 - b (t - p), con b>0, aplicable al intervalo
[p , p+1/b].
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2.- La equivalencia de los capitales (80, t + 4) y (192, t + 10) en base a la ley financiera de
descuento A(t, p) =1-b(t-p) con p = t implica que se verifique:
80 [1 - b(t + 4 - t)] = 192 [1 -b(t + 10 -t)]
donde operando y despejando b, obtenemos su valor b = 0,07
La cuantía C equivalente en t +12 a (80, t + 4) es:
80 [1 - 0,07 • 4] = C [1 - 0,07 •12] luego C = 360
y La cuantía C equivalente en t +12 a (192, t +10) se obtiene de igual forma
192 [1 - 0,07 •10] = C [1 - 0,07 •12]; así C =360
3.- Si llamamos C1 y C2 a los capitales equivalente en 2015 y 2020 respectivamente ha de
verificarse
(10.000 ; 2010) p% (C1 ; 2015) p% (C2 ; 2020)
donde
10.000 L(2010;2020) = C1 L(2015; 2020) = C 2 L(2020; 2020)
despejando obtenemos los valores de C1 y C2
C1 = 10.000
1 + 0,1(2020 − 2010)
= 13.333,33 €
1 + 0,1(2020 − 2015)
C 2 = 10.000
1 + 0,1(2020 − 2010)
= 20.000 €
1 + 0,1(2020 − 2020)
4.- Para que el capital (S, τ) sea suma financiera de los capitales sumandos (100, 0),
(250, 3), y (300, 5) ha de verificarse:
100 ⋅ L(0; p ) + 250 ⋅ L(3; p ) + 300 ⋅ L(5; p ) = S ⋅ L(2; p )
donde operando se obtiene
S=
100 ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 7) + 250 ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 4) + 300 ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 2)
= 595,71
(1 + 0,08 ⋅ 5)
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5.- Para determinar cual de los dos conjuntos de capitales es preferible tendremos que
calcular la suma financiera de cada uno de ellos y será preferible aquel que tenga una suma
financiera mayor. Sí calculamos en el punto t la suma financiera de cada conjunto de
capitales, denotamos por SA y SB las cuantías del capital suma en t de los conjuntos A y B:
1
p −(t + )
2
S A 1, 08 p − t = 10.000 .1, 08 p − ( t −1) + 10.000.1, 08
+ 20.000 ⋅ 1, 08 p − ( t +1)
SA = 10.000 .1,08 + 10.000 . 1,081/2 + 20.000 . 1,08 -1 = 38.941,023
S B 1, 08 p − t = 15.000 ⋅ 1, 08 p − ( t − 2 ) + 10.000 ⋅ 1, 08 p − t + 15.000 ⋅ 1, 08 p − ( t + 3 )
SB = 15.000 . 1,082 + 10.000 + 15.000 . 1,08-3 = 39.403,483
Por lo que podemos decir que el segundo conjunto de capitales, es decir el conjunto B,
es preferible al conjunto A, en base a la ley acordada para la valoración.