Dinámica Estructural - Laboratorio de Vibraciones Mecánicas y

Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
Dinámica Estructural
Apuntes para el curso ME706
Viviana Meruane
Índice general
Contenidos
II
1 Introducción
2
1.1
Sistemas de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Ecuación de movimiento, función de transferencia . . . . . .
2
1.1.2
Polos del sistema, frecuencias naturales y factores de
amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3
Solución de la ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . .
4
1.1.4
Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.5
Función de respuesta en frecuencia y función de respuesta a
un impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Influencia de cambios en la masa, rigidez y amortiguación .
8
Sistemas con multiples grados de libertad . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Ecuación del sistema, función de transferencia . . . . . . . .
10
1.2.2
Polos, frecuencias naturales y factores de amortiguamiento
12
1.2.3
Vectores modales, residuos
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.4
Función de respuesta en frecuencia (FRF) y función de
respuesta a un impulso (IRF) . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Sistemas sin amortiguamiento y con amortiguamiento
proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Ortogonalidad y coordenadas modales . . . . . . . . . . . .
18
1.1.6
1.2
1.2.5
1.2.6
ii
ÍNDICE GENERAL
iii
2 El Método de Elementos Finitos
2.1
2.2
2.3
2.4
Elemento de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.1
Coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Elemento de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.1
Coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Elemento de viga 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Ensamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Rotación
3 Integración numérica de las ecuaciones de movimiento
3.1
3.2
4.2
4.3
35
Métodos de integración directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.1
El método de las diferencias centrales . . . . . . . . . . . .
36
3.1.2
El método de Wilson θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.3
El método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1.4
Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Superposición modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.2.1
43
Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Procesamiento de señales
4.1
21
45
La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.1.1
Algunos parámetros importantes . . . . . . . . . . . . . . .
48
Errores y ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2.1
Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2.2
Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2.3
Ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Funciones de respuesta en frecuencia y funciones de coherencia . .
54
4.3.1
56
Efectos del ruido experimental . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Estimación de parámetros modales
60
ÍNDICE GENERAL
5.1
5.2
5.3
5.4
iv
Métodos de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.1.1
Peak picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.1.2
Circle fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Métodos con multiples grados de libertad en el dominio de frecuencias 64
5.2.1
Método de mı́nimos cuadrados no lineales, LSFD . . . . . .
64
5.2.2
Rational Fractional Polynomials . . . . . . . . . . . . . . .
65
Métodos con multiples grados de libertad en el dominio del tiempo
68
5.3.1
El método Ibrahim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.3.2
El método least-squares complex exponential (LSCE) . . .
70
Diagramas de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6 Medición Experimental
6.1
6.2
6.3
6.4
74
Análisis previo a las mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.1.1
Rango de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.1.2
Selección de la ubicación de las respuestas . . . . . . . . . .
75
6.1.3
Selección de los puntos de excitación . . . . . . . . . . . . .
76
6.1.4
Selección de los puntos de suspensión . . . . . . . . . . . .
77
El montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.2.1
Mecanismo de Excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.2.2
Acelerómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.2.3
Sensor de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Selección de la fuerza de excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.3.1
Excitación sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.3.2
Excitación aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.3.3
Excitación pseudo-aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.3.4
Excitación aleatoria en trenes (burst random) . . . . . . . .
84
6.3.5
Excitación de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Evaluación inicial de las FRFs medidas . . . . . . . . . . . . . . . .
86
ÍNDICE GENERAL
v
6.4.1
Repetibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4.2
Reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4.3
Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4.4
Caracterı́sticas especiales de una FRF . . . . . . . . . . . .
87
7 Correlación Numérico-Experimental y Ajuste de Modelos
7.1
7.2
7.3
Parear modelos numéricos y experimentales . . . . . . . . . . . . .
92
7.1.1
Técnicas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.1.2
Técnicas de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Técnicas de correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7.2.1
Diferencia en las frecuencias de resonancia . . . . . . . . . .
96
7.2.2
Comparación visual de los modos . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.2.3
Modal Assurance Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
7.2.4
Frequency Response Assurance Criterion
. . . . . . . . . .
98
Métodos iterativos de ajuste de modelos . . . . . . . . . . . . . . .
98
7.3.1
Modos y frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.2
Funciones de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . 102
8 Ejemplos de Análisis Modal en Estructuras Reales
8.1
Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tubo de escape de un auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4.1
8.5
Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Viga de concreto reforzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.1
8.4
Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Modelo a escala de un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.1
8.3
104
Estructura de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.1
8.2
89
Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
El puente I-40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
ÍNDICE GENERAL
1
8.5.1
Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Bibliografı́a
124
Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
Sistemas de un grado de libertad
1.1.1.
Ecuación de movimiento, función de transferencia
Consideremos el sistema de un grado de libertad mostrado en la Figura 1.1. La
ecuación de movimiento de este sistema viene dada por:
mẍ + cẋ + kx = f (t)
(1.1)
donde,
m: masa
k: coeficiente de rigidez
c: coeficiente de amortiguación
ẍ, ẋ, x: aceleración, velocidad y desplazamiento
f : fuerza de excitación externa
t: tiempo
2
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
3
k
f(t)
m
x(t)
c
Figura 1.1:
Transformando la ecuación 1.1 al dominio de Laplace y asumiendo que el
desplazamiento y velocidad inicial son 0, se obtiene:
(mp2 + cp + k)X(p) = F (p)
(1.2)
Lo que se puede escribir como:
Z(p)X(p) = F (p)
(1.3)
Z(p) se denomina la rigidez dinámica.
Invirtiendo la ecuación 1.2 ó 1.3 se obtiene la función de transferencia H(p) =
Z −1 (p):
X(p)
=
H(p)
=
1.1.2.
H(p)F (p)
p2
1/m
+ (c/m)p + (k/m)
(1.4)
(1.5)
Polos del sistema, frecuencias naturales y factores de
amortiguamiento
El denominador de la ecuación 1.5 representa la ecuación caracterı́stica del sistema.
Las raı́ces de esta ecuación son:
r
c
c 2
k
λ1,2 = −
±
−
(1.6)
2m
2m
m
Esta ecuación permite la introducción de varios conceptos importantes. Si no hay
amortiguamiento, el sistema en estudio es un sistema conservativo (c=0), y la
frecuencias natural (rad/seg) del sistema sin amortiguamiento se define como:
r
k
ωn =
(1.7)
m
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
4
Se define como amortiguamiento crı́tico, cc , al valor del amortiguamiento que hace
que el termino dentro de la raı́z en la ecuación 1.6 sea cero:
r
k
cc = 2m
(1.8)
m
A partir de esta definición, se define la razón de amortiguamiento, ζ, como:
c
ζ=
(1.9)
cc
Las raı́ces presentadas en la ecuación 1.6, se pueden escribir como dos raı́ces
complejas conjugadas:
λ
=
σ + jωd
(1.10)
λ∗
=
σ − jωd
(1.11)
donde σ es el factor de amortiguamiento, ωd es la frecuencia natural del sistema
amortiguado y ∗ representa el complejo conjugado
A partir de la definición anterior se pueden definir las siguientes relaciones:
λ
=
p
−ζ + j 1 − ζ 2 ωn
(1.12)
ωn
=
q
ωd2 + σ 2
(1.13)
ζ
=
σ
−p 2
ωd + σ 2
(1.14)
σ
=
ωd
=
1.1.3.
−ζωn
p
ωn 1 − ζ 2
(1.15)
(1.16)
Solución de la ecuación de movimiento
La solución de la ecuación 1.1 en el tiempo se puede determinar asumiendo una
solución de la forma:
x = Aeλt
(1.17)
donde A es una constante. Por lo tanto:
ẋ
= λAeλt
(1.18)
ẍ
= λ2 Aeλt
(1.19)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5
Sustituyendo en la ecuación 1.1 y asumiendo que las fuerzas externas son nulas, se
obtiene:
mλ2 Aeλt + cλAeλt + kAeλt = 0
(1.20)
Dividiendo por Aeλt se obtiene la ecuación caracterı́stica del sistema:
mλ2 + cλ + k = 0
(1.21)
cuya solución son las raı́ces de la ecuación 1.6. Por lo tanto, x = A1 eλ1 t y x = A2 eλ2 t ,
son soluciones del problema y su suma es la solución general:
x = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t
(1.22)
Las soluciones particulares dependen de las constantes, A1 y A2 , que se determinan
a partir de las condiciones iniciales.
La ecuación 1.22 se puede escribir como:
x = e−ζωn t A1 ejωd t + A2 e−jωd t
(1.23)
Utilizando las identidades: ejωd t = cosωd t + jsenωd t y e−jωd t = cosωd t − jsenωd t,
la ecuación 1.23 se puede escribir como:
x = e−ζωn t (Bcosωd t + Dsenωd t)
(1.24)
Amplitud
ζ<1
0
Amplitud
ζ=1
0
Amplitud
ζ>1
0
Tiempo
Figura 1.2:
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
6
Dependiendo del valor de la razón de amortiguamiento el sistema se puede clasificar
como sobreamortiguado (ξ > 1), con amortiguamiento crı́tico (ξ = 1) o con
amortiguamiento débil (ξ < 1). Como se muestra en la Figura 1.2, la respuesta de
un sistema sobreamortiguado es decreciente sin oscilaciones. En cambio, la respuesta
de un sistema con amortiguamiento débil es una respuesta oscilatoria decreciente.
Amortiguamiento crı́tico es el caso de borde entre un sistema sobreamortiguado y
con amortiguamiento débil.
Para el caso de una respuesta forzada, en donde f (t) de la ecuación 1.1 es distinto
de cero. La solución viene dada por la solución general cuando f = 0 más una
solución particular X:
x = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t + X
(1.25)
La forma de X depende de la forma de la fuerza de excitación, la tabla a continuación
muestra varios casos particulares:
Forma de f (t)
f (t) = A, constante
f (t) = At
f (t) = At2
f (t) = Asen(ωt) o Acos(ωt)
Solución particular
B
Bt + D
Bt2 + D
Bcos(ωt) + Dsen(ωt)
Tabla 1.1:
1.1.4.
Residuos
Conociendo las raı́ces del sistema, la ecuación 1.5 se puede escribir como:
H(p) =
1/m
(p − λ)(p − λ∗ )
(1.26)
Ocupando fracciones parciales se tiene que:
H(p) =
A
A∗
1/m
+
, con A =
(p − λ) (p − λ∗ )
2jωd
(1.27)
En esta formulación A y A∗ se denominan residuos.
1.1.5.
Función de respuesta en frecuencia y función de respuesta
a un impulso
En las secciones anteriores se discute la relación entre la fuerza y la respuesta
de un sistema de un grado de libertad en el dominio de Laplace. Esta relación
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
7
también se puede expresar en el dominio de frecuencias o del tiempo. La función
de transferencia evaluada en el eje de frecuencias (jω) se denomina función de
respuesta en frecuencia (FRF):
H(p)|p=jω = H(ω) =
A
A∗
+
(jω − λ) (jω − λ∗ )
(1.28)
En general, la contribución de la parte del complejo conjugado (o la parte de la
frecuencia negativa) es despreciable cerca de la resonancia, ω = ωd . En consecuencia,
la función de respuesta en frecuencia para un grado de libertad frecuentemente se
aproxima por:
H(ω) '
A
(jω − λ)
(1.29)
Amplitud
La Figura 1.3 muestra un gráfico de la amplitud y fase de una función de respuesta
en frecuencia. Notar que el peak en la FRF se obtiene cuando ω = ωd , a esta misma
frecuencia la fase cambia en −180◦ .
Fase
0
-pi
ωd
Figura 1.3:
Aplicando una transformada inversa de Laplace a la expresión de la función de
transferencia se obtiene la función de respuesta a un impulso. La respuesta a un
impulso corresponde a la respuesta a un delta de Dirac en t = 0. Para un grado de
libertad la función de respuesta a un impulso es:
h(t) = eσt Aeiωd t + A∗ e−iωd t
(1.30)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
8
El residuo A define la amplitud inicial, σ la tasa de decrecimiento y ωd la frecuencia
de oscilación. Notar que el gráfico de la función de respuesta a un impulso es
equivalente al de la Figura 1.2.
1.1.6.
Influencia de cambios en la masa, rigidez y amortiguación
Las Figuras 1.4, 1.5 y 1.6 muestran como, la función de respuesta en frecuencia
de un sistema de 1 grado de libertad, se ve afectada por cambios en la rigidez,
amortiguamiento y masa.
log(FRF)
Un incremento en la rigidez resulta en una frecuencia de resonancia mayor y un
valor menor de la FRF en el rango de frecuencias bajas. Debido al efecto dominante
de la rigidez a bajas frecuencias, esta región de la FRF se denomina la linea de
rigidez o “compliance line”.
frecuencia
Figura 1.4: Incremento de la rigidez
Un incremento del amortiguamiento produce una pequeña reducción de la frecuencia
de resonancia. Sin embargo, la mayor contribución es una disminución de la amplitud
de la función de respuesta en frecuencia en las cercanı́as a la resonancia. También,
la fase cambia más suavemente. Si el amortiguamiento es cero, la magnitud en la
resonancia se vuelve infinito y la fase disminuye repentinamente en 180 grados.
Adicionalmente, los polos del sistema, λ, se vuelven puramente imaginarios
y en
p
amplitud iguales a la frecuencia natural sin amortiguamiento ωn = k/m.
9
log(FRF)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
frecuencia
Figura 1.5: Incremento del amortiguamiento
log(FRF)
Un incremento de masa disminuye el valor de la frecuencia de resonancia. La
amplitud de la FRF a altas frecuencias también disminuye. Debido al efecto
dominante de la masa a altas frecuencias esta área de la FRF se denomina la “linea
de masa”.
frecuencia
Figura 1.6: Incremento de la masa
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
1.2.
10
Sistemas con multiples grados de libertad
En esta sección vamos a extender los conceptos vistos en la sección anterior para el
caso con multiples grados de libertad.
1.2.1.
Ecuación del sistema, función de transferencia
En la mayorı́a de los casos el sistema no se puede describir como un sistema
de un grado de libertad. La mayorı́a de los sistemas consisten en un ensamble
de un número infinito de masas, resortes y amortiguadores. A continuación se
mostrará como se relaciona la función de transferencia de sistema con multiples
grados de libertad con los parámetros modales (frecuencias de resonancia y vectores
modales).
En el caso de un sistema con multiple grados de libertad la ecuación de movimiento
equivale a la ecuación de un grado de libertad, pero matricial. Para ilustrar esto, se
desarrollará el caso de un sistema de dos grados de libertad mostrado en la Figura
1.7.
f2(t)
x2 (t)
f1(t)
x1 (t)
k2
k1
m2
m1
c1
k3
c2
c3
Figura 1.7: Ejemplo de un sistema de dos grados de libertad
Las ecuaciones de movimiento para este sistema son:
m1 ẍ1 + (c1 + c2 )ẋ1 − c2 ẋ2 + (k1 + k2 )x1 − k2 x2
= f1
(1.31)
m2 ẍ2 + (c2 + c3 )ẋ2 − c2 ẋ1 + (k2 + k3 )x2 − k2 x1
= f2
(1.32)
En notación matricial:
m1 0
ẍ1
c + c2 −c2
ẋ1
k + k2 −k2
x1
f1
+ 1
+ 1
=
(1.33)
0 m2 ẍ2
−c2 c2 + c3 ẋ2
−k2 k2 + k3 x2
f2
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
11
que se puede escribir como:
M {ẍ} + C {ẋ} + K {x} = {f }
(1.34)
donde,
M: matriz de masa
K: matriz de rigidez
C: matriz de amortiguación
{x}: vector de respuesta
{f }: vector de fuerzas
Esta ecuación también describe el comportamiento de sistemas con más grados
de libertad. La dimensión de las matrices aumenta con el número de grados de
libertad. Transformando esta ecuación de movimiento en el dominio de Laplace,
asumiendo que las velocidades y desplazamientos iniciales son cero, se obtiene:
(M p2 + Cp + K)X(p) = F (p)
(1.35)
Lo que se puede escribir como:
Z(p)X(p) = F (p)
(1.36)
Z(p) es la matriz de rigidez dinámica.
Invirtiendo la ecuación 1.35 ó 1.36 se obtiene la matriz función de transferencia
H(p):
X(p)
=
H(p)F (p)
H(p)
=
Z(p)−1 =
(1.37)
adj(Z(p))
|Z(p)|
(1.38)
donde: adj(Z(p)) es la matriz adjunta de Z(p) y |Z(p)| es el determinante de Z(p).
T
La matriz adjunta viene dada por adj(Z(p)) = [εij |Zij |] . Donde:
|Zij | es el determinante de Z(p), eliminando la fila i y la columna j
εij = 1, si i + j es par; = -1, si i + j es impar
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
1.2.2.
12
Polos, frecuencias naturales y factores de amortiguamiento
La ecuación caracterı́stica del sistema viene dada por el denominador de la ecuación
1.38, es decir, el determinante de Z(p). Al igual que en el caso de un grado de
libertad, las raı́ces de esta ecuación o polos del sistema, definen las frecuencias
naturales. Estas raı́ces se pueden determinar resolviendo un problema de valores
propios. Para transformar la ecuación 1.35 en una ecuación general de valores
propios, se añade la siguiente identidad:
(pM − pM ) {x} = 0
(1.39)
combinando las ecuaciones 1.35 y 1.39 se obtiene:
(pA + B) {y} = {f 0 }
(1.40)
donde:
A=
0
M
M
−M
, B=
C
0
0
px
0
, {y} =
y {f 0 } =
K
x
f
(1.41)
Por lo tanto, los polos del sistema son los valores de p que satisfacen:
|pA + B| = 0
(1.42)
Notar que las raı́ces de esta ecuación, también son las raı́ces de la ecuación
|Z| = 0. Esta ecuación genera 2n (n= número de grados de libertad) valores propios
complejos, que aparecen en pares de complejos conjugados:

λ1
 ..

.
0


λ
n
[Λ] = 

λ∗1


..

.
0

λ∗n

σ1 + jω1
 
..
 
.
0
 
 
σ
+
jω
n
n
=
 
σ1 − jω1
 
 
..
 
.
0










σn − jωn
(1.43)
Como en el caso de un grado de libertad, la parte real del polo, σi , es el factor de
amortiguamiento y la parte imaginaria, ωi , es la frecuencia natural amortiguada.
1.2.3.
Vectores modales, residuos
A cada valor propio del sistema le corresponde un vector propio. Para sistemas
con multiples grados de libertad estos vectores propios introducen el concepto de
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
13
modos normales, formas modales o vectores modales, φi . Estos también aparecen
en pares de complejos conjugados. Cada vector propio, se relaciona a un valor
propio especifico.
λ1 φ1 . . . λn φn λ∗1 φ∗1 . . . λ∗n φ∗n
Φ=
(1.44)
φ1
...
φn
φ∗1
...
φ∗n
En general, los vectores propios contiene desplazamientos modales con valores
complejos. Para el valor propio correspondiente, λi , se cumple que:
(M λ2i + Cλi + K)φi = 0
(1.45)
De manera similar al caso de un grado de libertad, se puede introducir el concepto
de residuos. Dado que λi , λ∗i son raı́ces de la ecuación caracterı́stica del sistema, la
ecuación 1.37 se puede escribir como:
adj(Z(p))
E(p
− λi )(p − λ∗i )
i=1
H(p) = Qn
(1.46)
donde E es una constante. Utilizando fracciones parciales:
H(p) =
n X
i=1
[A]∗i
[A]i
+
(p − λi ) (p − λ∗i )
(1.47)
Los términos [A]i y [A]∗i se denominan residuos, y vienen dados por:
[A]i = Pi adj(Z(λi ))
(1.48)
Pi es una constante que depende del polo. Estudiando estos residuos se puede
esclarecer la relación entre la matriz de función de transferencia y los vectores
modales. Reescribiendo la ecuación 1.38:
Z(p)adj(Z(p)) = |Z(p)| [I]
(1.49)
Evaluando para p = λi , se obtiene:
Z(λi )adj(Z(λi )) = 0
(1.50)
Si consideramos una columna arbitraria de adj(Z(λi )) se cumple que:
Z(λi ) {adj(Z(λi ))}k = 0
(1.51)
Esta ecuación es equivalente a la ecuación 1.45. Esto quiere decir la columnas de
adj(Z(λi )) son proporcionales al i-ésimo vector modal. Considerando que la matriz
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
14
adj(Z(λi )) es simétrica, entonces sus filas también son proporcionales al i-ésimo
vector modal. Es decir, la matrix adj(Z(λi )) es de la forma:


φi,1 φi,1 φi,1 φi,2 . . . φi,1 φi,n
 φi,2 φi,1 φi,2 φi,2 . . . φi,2 φi,n 


adj(Z(λi )) = Ri φi φTi = Ri  .
(1.52)

..
..
..

 ..
.
.
.
φi,n φi,1
φi,n φi,2
...
φi,n φi,n
donde Ri es una constante asociada al vector φi . A partir de la ecuación anterior,
se tiene que cada residuo es de la forma:
[A]i = Qi φi φTi
(1.53)
Y se obtiene finalmente que:
n X
Q∗ φ∗ φ∗T
Qi φi φTi
+ i i ∗i
H(p) =
(p − λi )
(p − λi )
i=1
1.2.4.
(1.54)
Función de respuesta en frecuencia (FRF) y función de
respuesta a un impulso (IRF)
La función de respuesta en frecuencia (FRF) es la función de transferencia evaluada
en el eje de frecuencias (jω):
n X
Q∗i φ∗i φ∗T
Qi φi φTi
i
H(jω) =
+
(jω − λi ) (jω − λ∗i )
i=1
(1.55)
La función de respuesta a un impulso (IRF) viene dada por la transformada inversa
de la función de respuesta en frecuencia:
h(t) =
N
X
∗
λr t
(Qr φr φTr eλr t + Q∗r φ∗r φ∗T
)
r e
(1.56)
r=1
Se debe notar que, en el caso de multiples grados de libertad, para cada valor de ω,
H(jω) es una matriz. Hik (jω) corresponde a función de respuesta en frecuencia,
cuando se excita la estructura en k y se mide la respuesta en i, o viceversa (H(jω)
es simétrica):
Hik (jω) = Hki (jω) =
Xi (jω)
Xk (jω)
=
Fk (jω)
Fi (jω)
(1.57)
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
15
log(H11)
Las Figuras 1.8,1.9 y 1.10 muestran un ejemplo de las tres FRF para el sistema
de dos grados de libertad de la Figura 1.7. Los “peaks” en las curvas son las
frecuencias de resonancia, que tienen el mismo valor para todas las FRF, ya que son
propiedades globales de la estructura. Por otro lado, las frecuencias donde las FRF
tienen “caı́das” se denominan antiresonancias. Los valores de las antiresonancias
varı́an para cada FRF, ya que son propiedades locales de la estructura.
w1
w2
frecuencia
log(H12)
Figura 1.8: Función de respuesta en frecuencia, excitación en 1, respuesta en 1
w1
w2
frecuencia
Figura 1.9: Función de respuesta en frecuencia, excitación en 1, respuesta en 2
ó excitación en 2, respuesta en 1
16
log(H22)
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
w1
w2
frecuencia
Figura 1.10: Función de respuesta en frecuencia, excitación en 2, respuesta en 2
Imag(H11)
Se debe recalcar que la función de respuesta en frecuencia posee valores complejos,
y se puede representar de distintas maneras: parte real e imaginaria vs frecuencia,
amplitud (usualmente en escala logarı́tmica) y fase vs frecuencia, y por último se
puede graficar la parte real vs imaginaria con la frecuencia como un parámetro
variable dentro de la curva. Éste último se denomina diagrama de Nyquist, en la
Figura 1.11 se muestra un ejemplo.
Real(H11)
Figura 1.11: Diagrama de Nyquist, H11
1.2.5.
Sistemas sin amortiguamiento y con amortiguamiento
proporcional
En las secciones anteriores se vio es caso más general, en donde, el amortiguamiento
es aproximado como un amortiguamiento viscoso general. Estos sistemas entregan
polos de valores complejos, vectores modales de valores complejos con fases distintas
para cada vector y funciones de respuesta en frecuencia complejas. A continuación
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
17
se estudiaran dos casos particulares: sin amortiguamiento y con amortiguamiento
proporcional.
Si la matriz de amortiguamiento, C, es cero, el sistema de ecuaciones en el dominio
de Laplace es:
p2 M + K {x} = {f }
(1.58)
2
En este caso, las raı́ces del polinomio caracterı́stico p M + K , se encuentran
fácilmente resolviendo el siguiente problema de valores y vectores propios:
p2 M + K {x} = 0
(1.59)
La solución a este problema entrega los valores propios, −ωi2 , y los vectores propios
correspondientes, φi . Se debe notar que en este caso, los vectores propios tienen
valores reales. Es por esto, que en el caso sin amortiguamiento, los vectores modales
se denominan vectores modales normales o reales.
La matriz de rigidez dinámica en el dominio de frecuencias (p = jω),
Z(jω) = −ω 2 M + K
(1.60)
tiene valores reales. Por lo tanto, su inversa, la matriz de frecuencia en respuesta
H(jω), también tiene valores reales. La expresión general 1.55 se puede simplificar
a:
n
X
2jωi Qi φi φTi
H(jω) =
(1.61)
(ωi2 − ω 2 )
i=1
Notar que dado que H(jω) posee valores reales, entonces Qi es puramente
imaginario.
El caso de amortiguamiento proporcional es una forma hipotética de amortiguamiento. En su forma más sencilla, la matriz de amortiguamiento, C, toma la forma:
C = αM + βK
(1.62)
donde α y β son constantes reales.
En este caso el sistema de ecuaciones es:
p2 M + p(αM + βK) + K {x}
=
{f }
(1.63)
(p2 + pα)M + (pβ + 1)K {x}
=
{f }
(1.64)
Considerando la versión homogénea de esta ecuación y dividendo por (pβ + 1):
2
p + pα
M + K {x} = 0
(1.65)
pβ + 1
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
18
Esta ecuación es similar al caso sin amortiguamiento. Los sistemas con
amortiguamiento proporcional tienen polos complejos, λi , que cumplen:
λ2i + λi α
= −ωi2
λi β + 1
(1.66)
y modos normales, iguales a los del caso sin amortiguamiento. La complejidad
de los cálculos para el caso de amortiguamiento proporcional es menor al caso
de amortiguamiento general. Esta es la razón principal para la introducción
del amortiguamiento proporcional. Éste entrega un intermedio entre el caso
sin amortiguamiento y el caso de amortiguamiento viscoso general. Con
amortiguamiento proporcional, la función de respuesta en frecuencia posee valores
complejos y toma la forma:
H(jω) =
n
X
i=1
1.2.6.
2jωi Qi φi φTi
(σi2 + ωi2 − ω 2 ) − 2jωσi
(1.67)
Ortogonalidad y coordenadas modales
Los modos normales satisfacen un set de condiciones, conocidas como condiciones
de ortogonalidad. Consideremos el problema de valores y vectores propios para el
caso sin amortiguamiento o con amortiguamiento proporcional:
−ωi2 M + K φi = 0
Consideremos ahora dos modos arbitrarios r y s:
Kφr
=
ωr2 M φr
Kφs
=
ωs2 M φs
pre-multiplicando la primera ecuación por φTs y la segunda ecuación por φTr :
φTs Kφr
= ωr2 φTs M φr
φTr Kφs
=
ωs2 φTr M φs
Transponiendo la segunda ecuación y restándola a la primera, se tiene que:
(ωr2 − ωs2 )φTs M φr = 0
(1.68)
Esta ecuación nos da dos posibilidades diferentes:
φTs M φr = 0
r 6= s
(1.69)
φTs M φr 6= 0
r=s
(1.70)
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
19
La primera ecuación nos dice que dos modos distintos son ortogonales con la matriz
de masa (también con la matriz de rigidez) y que cuando se calcula el producto del
mismo modo con la matriz de masa como en la segunda ecuación, el producto no
es cero. El valor de este producto se denomina masa generalizada mi
mi = φTi M φi
(1.71)
De manera similar se define la rigidez generalizada ki
ki = φTi Kφi
(1.72)
Dado lo anterior, se tiene que:
ΦT M Φ
= m
(1.73)
ΦT KΦ
= k
(1.74)
Φ es la matriz de modos normales, m y k son matrices diagonales denominadas
matriz de masa modal y matriz de rigidez modal respectivamente.
Debido a que la matriz de modos normales esta sujeta a una normalización arbitraria,
los valores de ki y mi no son únicos. Lo que si se puede demostrar es que la
razón ki /mi es única y tiene un valor igual a ωi2 . Entre los distintos métodos de
normalización de los modos, él más relevante en análisis modal es la normalización
con respecto a la matriz de masa. Los modos normalizados con respecto a la matriz
de masa tiene la propiedad:
ΦT M Φ
= I
(1.75)
ΦT KΦ
=
(1.76)
Ω
donde Ω es una matriz diagonal que contiene los valores caracterı́sticos ωi2 en la
diagonal principal.
Introduciendo la transformación modal x = Φq en la ecuación 1.58 y premultiplicando por ΦT , se obtiene que:
p2 ΦT M Φq + ΦT KΦq
=
ΦT {f }
(1.77)
(−ω 2 m + k)q
=
ΦT {f }
(1.78)
Para el caso de amortiguamiento proporcional, se define la matriz de amortiguamiento modal:
c = ΦT CΦ
(1.79)
SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
20
Lo que da el siguiente sistema de ecuaciones desacopladas:
(p2 m + pc + k)q = ΦT {f }
(1.80)
Capı́tulo 2
El Método de Elementos
Finitos
Fundamentalmente, existen dos tipos de métodos de elementos finitos; el método
de las fuerzas, donde se asumen las fuerzas y se calculan los desplazamientos y el
método de los desplazamientos, donde se asumen los desplazamientos y se calculan
las fuerzas. Este último es el más utilizado para análisis de vibraciones y será el
que se describirá a continuación.
El primer paso para construir un modelo en elementos finitos es discretizar la
estructura en un número de elementos. Se pueden definir tres familias de elementos.
(1) Elementos unidimensionales (linea), (2) Elementos bidimensionales (planos) y
(3) elementos tridimensionales (sólidos).
Elementos
bidimensionales
Elementos
unidimensionales
Resorte, barra, viga, etc.
Membrana, placa, etc.
Elementos
tridimensionales
Sólidos, fluidos, temperatura, etc.
Figura 2.1: Tipos de elementos finitos
Para cada elemento se define û como los desplazamientos en los nodos y u(x), ε(x)
y σ(x) como los desplazamientos, deformaciones y esfuerzos en el elemento, en
21
EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
22
función de las coordenadas del elemento x. û y u se relacionan por la matriz de
funciones de forma N (x), la que es caracterı́stica para cada tipo de elemento.
u(x) = N (x)û
(2.1)
la deformación se puede expresar como:
ε(x) = Du(x) = DN (x) û = B(x)û
| {z }
(2.2)
≡B(x)
D es el operador diferencial espacial, que para el caso general viene dado por:

∂
∂x1
0
∂
∂x2
D= 0
0
0
0
0
∂
∂x3
∂
∂x2
∂
∂x1
0
0
∂
∂x3
∂
∂x2
∂ T
∂x3
0 
(2.3)
∂
∂x1
Se puede demostrar que las matrices de rigidez y masa de un elemento viene dadas
por:
Z
K
=
B T HBdV
(2.4)
ρN T N dV
(2.5)
V
Z
M
=
V
Donde V es el volumen del elemento, ρ es la densidad del material y H es una
matriz del material. La tabla a continuación entrega las expresiones de H para
cada tipo de elemento.
Problema
Matriz H
Barra
E
Viga
EI

Deformaciones planas
E
1−ν 2
1
ν
0
ν
1
0

Esfuerzos planos
E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)

0
0 
1−ν
2
1
 ν
 (1−ν)
0
ν
(1−ν)
1
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)



ELEMENTO DE BARRA
23

Axisimétrico
E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)
ν
(1−ν)
1
 ν
 (1−ν)

 0
1
0
Placa en flexión
Tridimensional
 ν
 (1−ν)
 ν
 (1−ν)
E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν) 
 0

 0
0
ν
(1−ν)
ν
(1−ν)
ν
(1−ν)
1
ν
(1−ν)
1
0
0
0
0
0
0
Notación: E=Modulo de Young, ν = Coeficiente de Poisson
h=Espesor de la placa, I=Momento de inercia
2.1.
Elemento de barra
Consideremos el elemento de barra de Figura 2.2:
ûi
ûj
A,E
i
j
x
L
Figura 2.2: Elemento de barra
L: largo del elemento
A: area de la sección
E: Modulo de Young
ûi : desplazamiento en nodo i
u(x): desplazamientos


0 
1
1−ν
2
1

0
ν
(1−ν)
ν 
(1−ν) 

0
0 
ν
1
0
1
Eh3

ν
12(1−ν 2 )
0
1−2ν
2(1−ν)
ν
(1−ν)
ν
(1−ν)

0
0
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)
0
0
0
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)
0
0
0
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)









ELEMENTO DE BARRA
24
Para el caso de una barra se definen dos funciones de forma:
Ni (x)
=
1−
Nj (x)
=
x
L
x
L
(2.6)
(2.7)
Los desplazamientos se pueden escribir como:
ûi
u(x) = Ni Nj
= N û
uˆj
(2.8)
Por lo tanto,
N
=
B
=
d
N = −1/L 1/L
dx
1 − x/L
x/L
(2.9)
(2.10)
Por ultimo las matrices de rigidez y masa viene dada por:
Z L EA 1 −1
−1/L
Kl =
E −1/L 1/L Adx =
1/L
L −1 1
x=0
Z
L
Ml =
ρ
x=0
1 − x/L 1 − x/L
x/L
L/3
x/L Adx = ρA
L/6
ûi
2.1.1.
L/6
L/3
(2.12)
ûj
Coordenadas locales
i
(2.11)
yA,E
globales
j
x
Consideremos una barra como la mostrada en la Figura 2.3. Para determinar las
L
matrices de rigidez y masa en función de las coordenadas globales, es necesario
definir las matrices de rotación.
v
y
u
y2
x
x2
y1
α
x1
Figura 2.3: Sistema de coordenadas locales y globales
ELEMENTO DE VIGA
25
De la Figura 2.3 se tiene que:

cos α
u1
=
0
u2
| {z } |
sin α
0
0
cos α
0
sin α
{z
ql



}
R
|
x1
y1
x2
y2
{z
qg




(2.13)
}
Dado que la energı́a es invariante respecto del sistema de referencia:
1 T
q Kl ql
2 l
=
1 T
q Kg qg
2 g
(2.14)
1 T
q̇ Ml q̇l
2 l
=
1 T
q̇ Mg q̇g
2 g
(2.15)
De donde se obtiene que las matrices con respecto al sistema global vienen dadas
por:
2.2.
Kg
=
RT Kl R
(2.16)
Mg
=
R T Ml R
(2.17)
Elemento de viga
Consideremos elemento de viga como el mostrado en la Figura 2.4.
y
vj, θj
vi, θi
E,I
i
j
L
Figura 2.4: Elemento de viga
L: Largo
I: Momento de inercia de la sección
E: Modulo de Young
x
ELEMENTO DE VIGA
26
v(x): Desplazamiento vertical
θ(x): Rotación en el eje z
Para el caso de un elemento de viga se definen las cuatro funciones de forma
mostradas en la Figura 2.5.
ܰଵ = 1-
ܰଷ =
ଷ௫ మ
௅మ
ଷ௫ మ
௅మ
−
+
ଶ௫ య
௅య
ܰଶ = x-
ଶ௫ య
௅య
ܰସ = -
ଶ௫ మ
௅
௫మ
௅
௫య
+ ௅మ
௫య
+ ௅మ
Figura 2.5: Funciones de forma para un elemento de viga
Por lo tanto, se tiene que:
N (x)
=
B(x)
=
h
2
3
x
x
1 − 3L
2 + 2 L3
2
x − 2 xL +
d
N (x) = − L62 +
2
d x
12x
L3
x3
L2
− L4 +
2
x
3L
2 −
6x
L2
6
L2
x3
L3
−
2
− xL +
12x
L3
x3
L2
− L2 +
i
6x
L2
(2.18)
(2.19)
ELEMENTO DE VIGA
27
De donde se obtiene finalmente que:
vi
Kl
=
θi

EI
12
6L
L3 

 −12
6L
2.2.1.
=
θj

6L −12 6L
4L2 −6L 2L2 

−6L 12 −6L 
2L2 −6L 4L2

Ml
vj
156
ρA 
22L

420  54
−13L
22L
54
4L2 13L
13L 156
−3L2 −22L
(2.20)

−13L
−3L2 

−22L 
4L2
(2.21)
Coordenadas locales y globales
Consideremos una viga como la mostrada en la Figura 2.6.
y
v
u
θ
y2
x
x2
y1
α
x1
Figura 2.6: Sistema de coordenadas locales y globales
De la Figura 2.6 se tiene que:




v1
− sin α
 θ1  
0

 
 v2  = 
0
θ2
0
|
cos α
0
0
0
0
0
1
0
0 − sin α
0
0
{z
R
0
0
cos α
0

0 


0 

0 

1 
}
x1
y1
θ1
x2
y2
θ2








(2.22)
ELEMENTO DE VIGA 3D
28
Las matrices con respecto al sistema global vienen dadas por:
2.3.
Kg
= RT Kl R
(2.23)
Mg
= R T Ml R
(2.24)
Elemento de viga 3D
Un elemento de viga 3D combina un elemento de viga, barra e incorpora además
torsión. La Figura 2.7 muestra un esquema, cada nodo tiene 6 grados de libertad.
y
x
z
v2
v1
θv2
θv1
u1
E, A, Ix, Iy, Iz
θw1
u2
θw2
w1
θu1
L
w2
θu2
Figura 2.7: Elemento de viga 3D
En este caso, las matrices de rigidez y masa del elemento de viga 3D en el sistema
coordenadas local vienen dadas por:
ELEMENTO DE VIGA 3D

Kl
u1
v1
EA
L
0
 0 12EIz

L3

0
 0

 0
0

EI 
0
0

=
6EIy
L3 
0

L2
 −EA 0
 L
 0 −12EIz

L3

0
 0

 0
0

 0
0
6EIz
0
L2

Ml
29










= ρAL 










1
3
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
0
0
13
35
0
0
0
11L
210
0
9
70
0
0
0
−13L
210
w1
0
0
12EIy
L3
0
−6EIy
L2
0
0
0
−12EIy
L3
0
−6EIy
L2
0
0
0
13
35
0
−11L
210
0
0
0
9
70
0
13L
210
0
θu1
θv1
θw1
0
0
0
0
0
0
GIx
L
0
0
0
0
0
−GIx
L
0
0
0
0
0
r2
3
0
0
0
0
0
r2
6
0
0
−6EIy
L2
0
4EIy
L
0
0
0
6EIy
L2
0
2EIy
L2
0
0
0
−11L
210
0
L2
105
6EIy
L2
0
0
0
4EIz
L
0
−6EIz
L2
0
0
0
2EIz
L2
0
11L
210
0
0
0
2
0
0
0
L
105
−13
420
0
0
0
0
−L2
140
0
0
13
420
2
−L
140
u2
v2
−EA
L
0
0
0
0
0
0
EA
L
−12EIz
L3
w2
0
0
0
−6EIz
L2
0
0
0
0
0
6EIy
L2
0
0
0
0
0
0
0
0
12EIy
L3
−6EIz
L2
0
1
6
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
9
70
0
0
0
13
420
0
13
35
0
0
0
−11L
210
θv2
θw2
0
0
0
0
0
0
0
0
−12EIy
L3
12EIz
L3
θu2
0
6EIy
L2
0
0
9
70
0
−13
420
0
0
0
13
35
0
11L
210
0
−GIx
L
0
0
0
0
0
GIx
L
0
0
0
0
0
r2
6
0
0
0
0
0
r2
3
0
0
−6EIy
L2
0
2EIy
L2
0
0
0
6EIy
L2
0
4EIy
L
0
0
0
13L
210
0
−L2
140
0
0
0
11L
210
0
L2
105
0

6EIz
L2



0 

0 

0 

2EIz 
L2 
0 

−6EIz 
2

L

0 

0 

0 
4EIz
L
0
−13L
210
0
0
0
−L2
140
0
−11L
210
0
0
0
L2
105






















ELEMENTO DE VIGA 3D
2.3.1.
30
Rotación
A continuación se construirá el operador de rotación, que permite expresar las
matrices con respecto a un sistema global de coordenadas. Sean,
p1
p2
=
=

 x1
y1

z1

 x2
y2

z2






las posiciones de los nodos del elemento en el sistema global de coordenadas.
−
La dirección del eje neutral del elemento, →
e se define por:
x
p2 − p1
p2 − p1
→
−
ex =
=
kp2 − p1 k
L
(2.25)
−
−
ey y →
ez , es necesario definir un tercer punto p3 que junto a p1 y p2
Para definir →
definen el plano Oxz del elemento. Definiendo p3 se tiene que:
(p3 − p1 ) × (p2 − p1 )
k(p3 − p1 ) × (p2 − p1 )k
→
−
ey
=
→
−
ez
−
−
= →
ex × →
ey
(2.26)
(2.27)
× es el producto cruz entre dos vectores. Ahora se puede definir el operador de
rotación que relaciona:
xg = Rxl
(2.28)
donde xg es la posición de los ejes globales y xl es la posición de los ejes locales:
−→
T
−
ex −
ey →
ey
R= →
(2.29)
Se tiene que:


 u 
v
=


w


 θu 
θv
=


θw


 x 
y
R


z


 θx 
θy
R


θz
(2.30)
(2.31)
ENSAMBLE
31
De donde, se puede expresar el vector de desplazamientos del elemento en los ejes
locales y globales como:




x1 
u1 












y1 
v1 
















z
w



1 
1 











θ
θ




x1
u1














θ
θ
R
0
0
0




y1
v1





 



θz1
0
R
0
0
θ
w1


=
(2.32)
x2 
0 0 R 0 
u2 













y2 
0 0 0 R 
v2 






 |

{z
}




z
w



2
2 




T







θx2 
θu2 















θ
θ




y2
v2








θz2
θw2
Las matrices de rigidez y masa del elemento, expresadas en el sistema global de
coordenadas quedan,
2.4.
Kg
=
T T Kl T
(2.33)
Mg
=
T T Ml T
(2.34)
Ensamble
La matrices de masa y rigidez de un sistema es un ensamble de las matrices de
cada elemento. Para realizar el ensamble, necesitamos saber que grados de libertad
están asociados que elemento en la estructura. Por ejemplo, consideremos el caso
de una viga simple apoyada en ambos extremos que se muestra en la Figura 2.8.
1
2
3
4
5
Figura 2.8:
Esta viga esta compuesta por 5 elementos de viga, cada uno con 4 grados de
libertad. La estructura en total tiene 5 elementos, 6 nodos y 12 grados de libertad
(2 grados por nodo). La matriz de rigidez de la viga completa es un ensamble de
las 5 matrices de rigidez, ubicadas en los grados de libertad correspondiente. Esto
es, la matriz K1 del primer elemento abarca los grados 1 a 4, la matriz K2 los
ENSAMBLE
32
elementos 3 a 6, etc. La Figura 2.9 ilustra este ensamble. La matriz de masa se
construye de manera equivalente.
K1
0
K2
K=
K3
K4
0
K5
Figura 2.9: Ensamble matriz de rigidez
La condición de borde, es que los grados de libertad de desplazamiento vertical
en los nodos 1 y 6 están fijos. Para fijar grados de libertad, se eliminan las filas y
columnas asociadas a estos grados en las matrices ensambladas. El siguiente código
resuelve el problema en Matlab:
%Propiedades de la viga
E=3.2e10; %Pa modulo de elasticidad
rho=2500; %densidad Kg/m3
A=0.05; %mˆ2 área
Iz=1.66e-4; %mˆ4 inercia sección
%Definición de los elementos
l=6; %largo total en metros
n=5; %número de elementos
le=l/n; %m largo de un elemento
ne=(n+1)*2; %grados de libertad
%Nodos con restricciones de libertad
fix=[1 11]; %Nodos con restricciones
%matriz de masa de un elemento
Me=rho*A*le/420*[156
22*le
54
22*le
4*leˆ2 13*le
54
13*le
156
-13*le -3*leˆ2 -22*le
-13*le;
-3*leˆ2;
-22*le;
4*leˆ2];
ENSAMBLE
%matriz de rigidez de un elemento
Ke=E*Iz/leˆ3*[12
6*le
-12
6*le;
6*le
4*leˆ2 -6*le 2*leˆ2;
-12
-6*le
12
-6*le;
6*le
2*leˆ2 -6*le 4*leˆ2];
%matrices iniciales
K=zeros(ne,ne);
M=zeros(ne,ne);
%locel: grados de libertad asociados a cada elemento
for i=1:n
j=2*(i-1)+1;
locel(i,1:4)=(j):(j+3);
end
%ensamble
for i=1:n
K(locel(i,:),locel(i,:))=K(locel(i,:),locel(i,:)) + Ke;
M(locel(i,:),locel(i,:))=M(locel(i,:),locel(i,:)) + Me;
end
%fijar grados de libertad
free=setdiff(1:ne,fix);
K=K(free,free);
M=M(free,free);
%frecuencias naturales y modos
[Phif,W]=eig(K,M);
w=sqrt(diag(W))/2/pi;
Phi=zeros(ne,ne-length(fix));
Phi(free,:)=Phif;
%Gráfica los primeros tres modos
for i=1:3
figure
set(gcf,’Position’,[100 100 500 400])
set(gca,’FontSize’,18)
set(gca,’Units’,’centimeters’)
set(gca,’Position’,[1.0 1.5 11 8])
set(gcf, ’PaperUnits’,’inches’);
plot(0:ne/2-1,Phi(1:2:ne,i),’-b’,’LineWidth’,3)
33
ENSAMBLE
34
xlim([0 ne/2-1])
set(gca,’YTick’,[]); set(gca,’XTick’,[0:5]);
set(gca,’XTicklabel’,[1:6]); xlabel(’Nodo’,’FontSize’,16)
title([’Modo ’ num2str(i) ’, \omega= ’ num2str(w(i),3)
’Hz’],’FontSize’,16) grid on; end
La Figura 2.10 muestra los primeros tres modos de la viga.
Modo 1, ω= 9Hz
1
2
3
4
Nodo
Modo 3, ω= 81.6Hz
5
6
1
2
3
4
Modo 2, ω= 36Hz
5
6
Nodo
Figura 2.10: Modos de la viga
1
2
3
4
Nodo
5
6
Capı́tulo 3
Integración numérica de las
ecuaciones de movimiento
Para un problema general, la ecuación de movimiento viene dada por:
M ẍ + C ẋ + Kx = F
(3.1)
Donde M, C y K son las matrices de masa, amortiguación y rigidez respectivamente.
F es un vector de fuerzas externas, y ẍ, ẋ, x son vectores de aceleración, velocidad
y desplazamiento respectivamente.
Matemáticamente, la ecuación 3.1 representa un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales de segundo orden, las que en un principio, se pueden resolver por
procedimientos estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo,
estos procedimientos pueden ser muy costosos (en términos de tiempo y cantidad
de cálculos necesarios) si las matrices son grandes. En el análisis de elementos
finitos, se utilizan algunos algoritmos eficientes para resolver las ecuaciones de
movimiento, los que veremos en las secciones siguientes. Los métodos que veremos
se dividen en dos categorı́as: integración directa y superposición modal. Aunque
ambas técnicas puedan parecer muy distintas a primera vista, están fuertemente
relacionadas, y la selección de una u otra depende de su eficiencia para calcular la
solución numérica.
3.1.
Métodos de integración directa
En la integración directa las ecuaciones de movimiento son integradas por un
procedimiento numérico por pasos, el término “directa” significa que no es necesario
35
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
36
hacer transformaciones de las ecuaciones previo a la integración numérica.
En los procedimientos de integración temporal, se asume que los vectores de
aceleración, velocidad y desplazamiento en el tiempo t = 0 ,ẍ(0), ẋ(0), x(0), son
conocidos. La solución se divide en pasos de tiempo ∆t.
3.1.1.
El método de las diferencias centrales
El método de las diferencias centrales utiliza la aproximación:
ẍ(t) =
1
(x(t − ∆t) − 2x(t) + x(t + ∆t))
∆t2
(3.2)
El error en la expansión de 3.2 es del orden de ∆t2 , para tener el mismo orden de
error en la expansión de la velocidad se utiliza:
ẋ(t) =
1
(x(t + ∆t) − x(t − ∆t))
2∆t
(3.3)
El desplazamiento en el tiempo t + ∆t se obtiene al considerar la ecuación de
movimiento en t:
M ẍ(t) + C ẋ(t) + Kx(t) = F (t)
(3.4)
Substituyendo, se obtiene:
1
1
2
1
1
M
+
C
x(t+∆t)
=
F
(t)−
K
−
M
x(t)−
M
−
C
x(t−∆t)
∆t2
2∆t
∆t2
∆t2
2∆t
(3.5)
Se debe notar que para calcular x(t + ∆t), son necesarios x(t) y x(t − ∆t). Por
lo tanto, se debe utilizar un procedimiento especial de inicialización. Dado que se
conocen ẍ(0), ẋ(0), x(0), las ecuaciones 3.2 y 3.3 se pueden utilizar para calcular
x(−∆t):
x(−∆t) = x(0) − ∆tẋ(0) +
∆t2
ẍ(0)
2
(3.6)
En general, para llegar a soluciones estables se requiere un paso de tiempo
relativamente pequeño. De hecho, en el método de las diferencias centrales es
paso de tiempo debe ser menor que un valor crı́tico ∆tcr . El paso de tiempo crı́tico
se determina como:
∆tcr =
Tn
π
(3.7)
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
37
donde Tn es el menor periodo en el sistema, entre el inverso de la mayor frecuencia
natural y la frecuencia de las fuerzas externas. La Tabla 3.1 ilustra el procedimiento
paso a paso para resolver las ecuaciones de movimiento mediante el método de las
diferencias centrales.
Tabla 3.1: Procedimiento paso a paso, método de diferencias
centrales
Cálculos iniciales:
1. Crear matrices de rigidez K, masa M y amortiguación C.
2. Inicializar ẍ(0), ẋ(0), x(0).
3. Seleccionar paso de tiempo ∆t, ∆t ≤ ∆tcr . Calcular constantes de integración.
a0 =
1
;
∆t2
a1 =
1
;
2∆t
a2 = 2a0 ;
a3 =
1
a2
4. Calcular x(−∆t) = x(0) − ∆tẋ(0) + a3 ẍ(0)
5. Formar matriz de masa efectiva M̂ = a0 M + a1 C.
Para cada paso de tiempo:
1. Calcular fuerzas efectivas en t:
F̂ (t) = F (t) − (K − a2 M )x(t) − (a0 M − a1 C)x(t − ∆t)
2. Determinar desplazamientos en t + ∆t:
x(t + ∆t) = M̂ −1 F̂ (t)
3. Si se requiere, evaluar las aceleraciones y velocidades en t:
ẍ(t) = a0 (x(t − ∆t) − 2x(t) + x(t + ∆t))
ẋ(t) = a1 (x(t + ∆t) − x(t − ∆t))
3.1.2.
El método de Wilson θ
En el método de Wilson θ se asume una variación lineal de la aceleración entre
un paso de tiempo t y t + θ∆t, donde θ ≥ 1, como se ilustra en la Figura 3.1.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
38
Si θ = 1, el método se reduce a un esquema de aceleración lineal. Pero se puede
demostrar que para asegurar estabilidad incondicional es necesario utilizar θ ≥ 1,37,
usualmente se emplea θ = 1,4
‫ݔ‬ሷ (‫ ݐ‬+ θ∆‫)ݐ‬
‫ݔ‬ሷ (‫ ݐ‬+ ∆‫)ݐ‬
‫ݔ‬ሷ (‫)ݐ‬
t + ∆t
t
t + θ∆t
Figura 3.1: Supuesto de aceleración lineal, método de Wilson θ
Denotemos τ como el incremento en el tiempo, donde 0 ≤ τ ≤ θ∆t. Entonces en el
intervalo t a t + θ∆t se tiene que:
ẍ(t + τ ) = ẍ(t) +
τ
(ẍ(t + θ∆t) − ẍ(t))
θ∆t
(3.8)
Integrando la ecuación anterior se obtiene que,
ẋ(t + τ ) = ẋ(t) + τ ẍ(t) +
τ2
(ẍ(t + θ∆t) − ẍ(t))
2θ∆t
(3.9)
y
1
τ3
x(t + τ ) = x(t) + τ ẋ(t) + τ 2 ẍ(t) +
(ẍ(t + θ∆t) − ẍ(t))
2
6θ∆t
(3.10)
Usando 3.9 y 3.10, se tiene en el tiempo t + θ∆t,
θ∆t
(ẍ(t + θ∆t) + ẍ(t))
2
ẋ(t + θ∆t)
=
ẋ(t) +
x(t + θ∆t)
=
x(t) + θ∆tẋ(t) +
θ2 ∆t2
(ẍ(t + θ∆t) + 2ẍ(t))
6
(3.11)
(3.12)
De donde se puede expresar ẍ(t + θ∆t) y ẋ(t + θ∆t) en términos de x(t + θ∆t):
ẍ(t + θ∆t)
=
6
6
(x(t + θ∆t) − x(t)) −
ẋ(t) − 2ẍ(t)
θ2 ∆t2
θ∆t
(3.13)
ẋ(t + θ∆t)
=
θ∆t
3
(x(t + θ∆t) − x(t)) − 2ẋ(t) −
ẍ(t)
θ∆t
2
(3.14)
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
39
Para obtener la solución de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones en el
tiempo t + ∆t, se considera la ecuación de movimiento en el tiempo t + θ∆t. Sin
embargo, dado que la aceleración varia linealmente, se utiliza un vector de fuerzas
extrapolado linealmente, i e., la ecuación utilizada es:
M ẍ(t + θ∆t) + C ẋ(t + θ∆t) + Kx(t + θ∆t) = F̄ (t + θ∆t)
(3.15)
F̄ (t + θ∆t) = F (t) + θ(F (t + ∆t) − F (t))
(3.16)
Sustituyendo las ecuaciones 3.13 y 3.14 en 3.15, se obtiene una ecuación en donde
se puede despejar x(t + θ∆t). Luego, sustituyendo x(t + θ∆t) en 3.13, se obtiene
ẍ(t + θ∆t) la que es usada en las ecuaciones 3.8 a 3.10, todas evaluadas en τ = ∆t
para calcular x(t + ∆t), ẋ(t + ∆t) y ẍ(t + ∆t). El algoritmo completo se da en la
Tabla 3.2
Se debe notar que con este método no se requiere inicializaciones especiales, dado
que los desplazamientos, velocidades y aceleraciones en el tiempo t + ∆t se expresan
en términos de las mismas cantidades en el paso de tiempo anterior t.
Tabla 3.2: Procedimiento paso a paso, método de Wilson θ
Cálculos iniciales:
1. Crear matrices de rigidez K, masa M y amortiguación C.
2. Inicializar ẍ(0), ẋ(0), x(0).
3. Seleccionar paso de tiempo ∆t y θ. Calcular constantes de integración.
a0 =
6
;
(θ∆t)2
a5 =
−a2
;
θ
a1 =
3
;
θ∆t
3
a6 = 1 − ;
θ
a2 = 2a1 ;
a7 =
∆t
;
2
a3 =
a8 =
θ∆t
;
2
a4 =
a0
θ
∆t2
6
4. Formar matriz de rigidez efectiva K̂ = K + a0 M + a1 C.
Para cada paso de tiempo:
1. Calcular fuerzas efectivas en t + θ∆t:
F̂ (t + θ∆t) = F (t) + θ(F (t + ∆t) − F (t)) + M (a0 x(t) + a2 ẋ(t) + 2ẍ(t))
+C(a1 x(t) + 2ẋ(t) + a3 ẍ(t))
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
40
2. Determinar desplazamientos en t + θ∆t:
x(t + θ∆t) = K̂ −1 F̂ (t + θ∆t)
3. Evaluar aceleraciones, velocidades y desplazamientos en t + ∆t:
ẍ(t + ∆t) = a4 (x(t + θ∆t) − x(t)) + a5 ẋ(t) + a6 ẍ(t)
ẋ(t + ∆t) = ẋ(t) + a7 (ẍ(t + ∆t) + ẍ(t))
x(t + ∆t) = x(t) + ∆tẋ(t) + a8 (ẍ(t + ∆t) + 2ẍ(t))
3.1.3.
El método de Newmark
El método de Newmark también se puede relacionar con un método de aceleraciones
lineales. Utiliza los siguientes supuestos:
ẋ(t + ∆t)
=
x(t + ∆t)
=
ẋ(t) + [(1 − δ)ẍ(t) + δ ẍ(t + ∆t)] ∆t
1
x(t) + ẋ(t)∆t +
− α ẍ(t) + αẍ (t + ∆t) ∆t2
2
(3.17)
(3.18)
donde α y δ son parámetros que determinan la precisión y estabilidad del método
de integración. Cuando δ = 12 y α = 16 , las ecuaciones 3.17 y 3.18 corresponden
al método de aceleraciones lineales (que también se obtiene con θ = 1 en
el método de Wilson θ). Newmark propuso originalmente como condición de
estabilidad incondicional el esquema de promedio constante de la aceleración
(también denominado regla trapezoidal), en donde δ = 12 y α = 14 (ver Figura 3.2).
‫ݔ‬ሷ (‫ ݐ‬+ ∆‫)ݐ‬
‫ݔ‬ሷ (‫)ݐ‬
t
1
‫ݔ‬ሷ ‫ ݐ‬+ ‫ݔ‬ሷ (‫ ݐ‬+ ∆‫)ݐ‬
2
t + ∆t
Figura 3.2: Esquema de promedio de aceleración constante de Newmark
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
41
Adicionalmente a las ecuaciones 3.17 y 3.18, para la solución de los desplazamientos,
velocidades y aceleraciones en t + ∆t, se utilizan las ecuaciones de movimiento en
t + ∆t:
M ẍ(t + ∆t) + C ẋ(t + ∆t) + Kx(t + ∆t) = F (t + ∆t)
(3.19)
De la ecuación 3.18 se puede despejar ẍ(t + ∆t) en función de x(t + ∆t) y después
se puede reemplazar en la ecuación 3.17. De esta manera se obtienen ẍ(t + ∆t)
y ẋ(t + ∆t) en función del desplazamiento x(t + ∆t). Sustituyendo estas dos
expresiones en la ecuación 3.19, se puede despejar x(t + ∆t), de donde también se
tienen ẍ(t + ∆t) y ẋ(t + ∆t).
El algoritmo completo utilizando el algoritmo de Newmark se ilustra en la tabla
3.3. Se debe notar la cercana relación entre el método de Wilson θ y el método de
Newmark.
Tabla 3.3: Procedimiento paso a paso, método de Newmark
Cálculos iniciales:
1. Crear matrices de rigidez K, masa M y amortiguación C.
2. Inicializar ẍ(0), ẋ(0), x(0).
3. Seleccionar ∆t y los parámetros α y δ. Calcular constantes de integración.
δ ≥ 0,50;
α ≥ 0,25(0,5 + δ)2
1
1
1
δ
;
a1 =
;
a2 =
;
a3 =
− 1;
α∆t2
α∆t
α∆t
2α
∆t δ
−2 ;
a6 = ∆t(1 − δ);
a7 = δ∆t
a5 =
2 α
a0 =
4. Formar matriz de rigidez efectiva K̂ = K + a0 M + a1 C.
Para cada paso de tiempo:
1. Calcular fuerzas efectivas en t + θ∆t:
F̂ (t + ∆t) = F (t + ∆t) + M (a0 x(t) + a2 ẋ(t) + a3 ẍ(t))
+C(a1 x(t) + a4 ẋ(t) + a5 ẍ(t))
2. Determinar desplazamientos en t + ∆t:
a4 =
δ
−1
α
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DIRECTA
42
x(t + ∆t) = K̂ −1 F̂ (t + ∆t)
3. Evaluar aceleraciones y velocidades en t + ∆t:
ẍ(t + ∆t) = a0 (x(t + ∆t) − x(t)) − a2 ẋ(t) − a3 ẍ(t)
ẋ(t + ∆t) = ẋ(t) + a6 ẍ(t) + a7 ẍ(t + ∆t)
3.1.4.
Ejemplo
Consideremos un sistema simple, cuyas ecuaciones de movimiento son las siguientes:
2
0
0
1
ẍ1
ẍ2
0,3
+
−0,1
−0,1
0,2
ẋ1
ẋ2
6
+
−2
−2
4
x1
x2
=
0
10
(3.20)
Las frecuencias naturales del este sistema son 0.23Hz y 0.36Hz, por lo tanto el menor
periodo del sistema es 2.78s. El paso de tiempo crı́tico es ∆tcr = 2,78
π = 0,88s.
Utilizando un paso de tiempo 0.18s se obtienen, de acuerdo a los algoritmos
descritos en las secciones anteriores, los resultados mostrados en la Figura 3.3. Los
tres algoritmos de integración dan resultados similares, aunque el método de las
diferencias centrales es que método que más se acerca a la solución exacta. Se
asumieron desplazamientos y velocidades iniciales nulas.
Dif. Centrales
Wilson
Newmark
Exacta
3
2.5
2
x1(t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
Tiempo (s)
4
Figura 3.3: Desplazamientos obtenidos
5
SUPERPOSICIÓN MODAL
3.2.
43
Superposición modal
En los métodos de integración directa se deben realizar muchas operaciones en
cada paso de tiempo. Si se debe integrar en un numero alto de pasos de tiempo,
puede ser más conveniente transformar las ecuaciones de movimiento en una forma
que requiera de menos operaciones para cada paso de tiempo.
Aprovechando las propiedades ortogonales de los modos propios, se puede definir
la transformación:
x(t) = Φy(t)
(3.21)
De donde se obtiene la ecuación de movimiento:
ΦT M Φÿ + P hiT CΦẏ + P hiT KΦy = ΦT F
(3.22)
Las matrices ΦT M Φ, ΦT CΦ y ΦT KΦ son matrices diagonales, por lo que el sistema
de ecuaciones 3.22 es un sistema de ecuaciones desacoplado. En consecuencia, se
tienen n ecuaciones individuales de la forma:
mi y¨i + ci y˙i + ki yi = ri
ri = φTi F (t)
i = 1, 2, 3, . . . , n
(3.23)
La solución para cada una de las ecuaciones se puede obtener utilizando los
algoritmos de integración antes descritos o de acuerdo al procedimiento descrito en
la sección 1.1.3.
Una vez calculada la solución para cada una de las ecuaciones. La solución general
se obtiene al superponer las soluciones modales:
x(t) =
n
X
φi yi (t)
(3.24)
i=1
3.2.1.
Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones 3.20. Para este sistema los modos normales
son:
−0,5774 −0,4082
Φ=
(3.25)
−0,5774 0,8165
Reemplazando Φ en ecuación 3.22, se obtiene:
1 0
ÿ1
0,1 0,0
ẏ1
2 0
y1
−5,7735
+
+
=
(3.26)
0 1
ÿ2
0,0 0,25
ẏ2
0 5
y2
8,1650
SUPERPOSICIÓN MODAL
44
Este sistema de ecuaciones se puede resolver utilizando algún algoritmo de
integración. Utilizando diferencias centrales con el mismo paso de tiempo del
ejemplo anterior, se obtiene la solución para y(t). La solución, x(t), viene dada por:
x(t) =
−0,5774
−0,5774
y1 (t) +
−0,4082
0,8165
y2 (t)
(3.27)
La solución obtenida se muestra en la Figura 3.4. Como es de esperarse, la solución
es la misma que si se utiliza diferencias modales con o sin transformación modal de
las ecuaciones. La ventaja de la transformación modal es que se reduce el tiempo
requerido para calcular la solución a cada paso de tiempo.
3
2.5
2
1
x (t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
Superposicion Modal
Dif. Centrales
-1
0
1
2
3
Tiempo (s)
4
Figura 3.4: Desplazamientos obtenidos
5
Capı́tulo 4
Procesamiento de señales
El procesamiento de digital señales es una herramienta muy importante en el
análisis de sistemas. En esta sección se dará un resumen de los conceptos básicos
asociados al procesamiento de señales.
La señales, en general, se pueden clasificar de acuerdo a la tabla 4.1. Las señales
estacionarias son aquellas cuyas propiedades promedio no varı́an con el tiempo,
pueden ser o deterministicas o aleatorias. El grupo más importante de señales
deterministicas son las señales periódicas. Una función pseudo-aleatoria es una
señal aleatoria que se repite con un cierto periodo.
Las señales no estacionarias se pueden dividir en continuas o transientes. Las señales
transientes se pueden definir como señales que comienzan y terminar en cero en el
periodo de observación.
Señales
Estacionarias
No estacionarias
Determinı́stica Aleatoria Continua Transiente
Periódica
Cuasi-periódica
Pseudo-aleatoria
Tabla 4.1: Tipos de señales
Dado que el objetivo del procesamiento de señales es extraer el máximo de
información de las señales, es en general beneficioso estudiar las señales en distintos
dominios. Las señales medidas son, claramente, funciones en el dominio del tiempo.
Para estudiar su contenido en frecuencias, es más fácil examinar las señales en el
45
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
46
dominio de frecuencias. La transformada (inversa) de Fourier, permite transformar
de manera sensilla una señal en el tiempo a una señal en frecuencia y viceversa. En
consecuencia, la transformada de Fourier es uno de los temas más importante en
procesamiento de señales.
4.1.
La transformada de Fourier
J.B. Fourier probó que una función periódica en el tiempo se puede representar
como una suma de componentes sinusoidales a frecuencias equiespaciadas:
g(t) =
+∞
X
G(k∆f )ej2πk∆f t
(4.1)
−∞
Los coeficientes de fourier viene dados por:
Z
1 +T /2
G(k∆f ) =
g(t)e−j2πk∆f t dt
T −T /2
(4.2)
con:
t: tiempo
k: entero que cuenta los pasos en frecuencia
∆f : espaciado de frecuencias o resolución de frecuencia: ∆f = 1/T
√
j = −1
T: periodo de tiempo: T = 1/∆f
El set de valores G(k∆f ) se denomina espectro de la función g(t). En general el
espectro posee valores complejos.
Al utilizar computadores digitales, es necesario adquirir la señal continua en
intervalos de tiempo. Esto significa que la señal continua es representada por
una señal discreta con valores a tiempos equidistantes. Considerando esto la
transformada de Fourier queda como:
Z
1 +fs /2
G(f )ej2πf n∆t df
(4.3)
g(n∆t) =
fs −fs /2
G(f ) =
+∞
X
−∞
con:
g(n∆t)e−j2πf n∆t
(4.4)
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
47
n: entero contando el numero de pasos de tiempo
∆t: intervalo de muestreo: ∆t = 1/fs
fs : frecuencia de muestreo: fs = 1/∆t
En condiciones reales de medición experimental es imposible medir la señal temporal
hasta un tiempo infinito. Una parte de la señal debe ser seleccionada. Se asume que
la señal capturada se repite con un periodo T, entregando una función periódica.
Combinando la hipótesis de periodicidad con un muestreo temporal de la señal, se
obtiene la definición de la transformada discreta de Fourier:
g(n∆t) =
Ns −1
1 X
G(k∆f )ej2πnk/Ns
fs
(4.5)
k=0
G(k∆f ) =
Ns −1
1 X
g(n∆t)e−j2πnk/Ns
Ns n=0
(4.6)
con: Ns : número de datos: T = Ns ∆t y fs = Ns ∆f
La evaluación directa de la transformada discreta de Fourier requiere Ns2 operaciones.
Con la transformada rápida de Fourier (FFT) se reduce el número de operaciones a
Ns log2 Ns . La transformada rápida de Fourier es el núcleo de todos los procesadores
de señal modernos.
Consideremos como ejemplo una señal sinusoidal, con periodo T=0.02s y amplitud
A=1:
x(t) = sen(2π50t)
(4.7)
La señal es muestreada a una frecuencia de 10kHz y se considera el periodo de
tiempo 0-0.2s. En la Figura 4.1 se ilustra el resultado de la transformada rápida de
Fourier de la señal.
ERRORES Y VENTANAS
48
1
1.5
0.5
Amplitud
Amplitud
1
0
0.5
-0.5
-1
0
0.05
0.1
Tiempo (s)
0.15
0.2
0
0
20
40
60
Frecuencia (Hz)
80
100
Figura 4.1: Espectro de una señal periódica
4.1.1.
Algunos parámetros importantes
Aquı́ se resumen algunos de los parámetros mencionados en los párrafos anteriores:
T : Periodo de tiempo en donde se adquieren Ns muestras equiespaciadas
de la señal a ser analizada. En la mayorı́a de los analizadores de Fourier
Ns está restringidos a potencias de 2 (por ejemplo, 1024). Relaciones: T =
Ns ∆t = 1/∆f
fs : Frecuencia de muestreo, frecuencia a la cual se adquieren y digitalizan
los datos. Relaciones: fs = 1/∆t = Ns ∆f
∆t : Intervalo de muestreo: intervalo de tiempo al cual la señal es muestreada.
Relaciones: ∆t = T /Ns = 1/fs
∆f : Espaciado de frecuencias en el espectro. Relaciones: ∆f = 1/T = fs /Ns .
En consecuencia, mediciones con un espaciado de frecuencias pequeño (i.e.
una resolución en frecuencias alta) conllevan tiempos de medición mayores.
fmax : Frecuencia máxima: frecuencia mayor contenida o permitida en la
señal temporal. Según el teorema de Shannon: fmax ≤ fs /2
Ns : Número de muestras en el periodo de tiempo T: Ns = T /∆t = fs /∆f
4.2.
Errores y ventanas
Durante el proceso de análisis digital de una señal pueden ocurrir muchos errores.
Errores tı́picos son sobrecargas, ruido digital, errores de cuantificación, limitaciones
del rango dinámico. Sin embargo, los dos errores principales son aliasing y leakage.
ERRORES Y VENTANAS
4.2.1.
49
Aliasing
El aliasing se produce debido al hecho que la señal temporal debe ser muestreada.
Componentes de alta frecuencia en la señal pueden causar errores de amplitud y
frecuencia en el espectro. Si la mayor frecuencia contenida en una señal no cumple
con el teorema de Shannon: fmax ≤ fs /2, entonces las frecuencias por sobre fs /2
van a aparecer como frecuencias menores a fs /2. La Figura 4.2 muestra un ejemplo
de Aliasing, se muestran tres senos con frecuencias de 1, 4 y 6 Hz muestreados a 5
Hz, a la frecuencia de muestreo los tres senos son idénticos.
1
1 Hz
4 Hz
6 Hz
Amplitud
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
Tiempo (s)
0.8
1
Figura 4.2: Aliasing: Seno a 1, 4 y 6 Hz, muestreados a 5 Hz (cı́rculos)
Aliasing se puede evitar removiendo todos los componentes con frecuencias mayores
a fs /2. Esto se puede lograr con una señal de excitación apropiada, aunque se
logra generalmente utilizando un filtro pasa bajas. Dado que no existen filtros que
remuevan todas las frecuencias altas a cero sin influenciar en las bajas, los filtros
se fijan normalmente a un 40 % de fs .
4.2.2.
Leakage
El Leakage se origina debido a que los datos deben ser adquiridos en un periodo
de observación finito T . La transformada discreta de Fourier asume entonces que
la señal es periódica con periodo T. Si esta condición no se cumple, se produce un
error de “leakage”. La Figura 4.3 ilustra el espectro obtenido de una señal tipo
coseno, cuando la función es periódica en T y cuando no lo es. En el segundo caso,
ERRORES Y VENTANAS
50
el espectro discreto no coincide con el real. El error en la hipótesis de periodicidad
produce errores importantes de amplitud y frecuencia.
1.5
Amplitud
Amplitud
1
0.5
0
1
2
0
0
3
2
4
6
Frecuencia (Hz)
8
10
2
4
6
Frecuencia (Hz)
8
10
Tiempo (s)
1.5
Amplitud
Amplitud
1
0.5
0
0.8
1.6
Tiempo (s)
2.4
0
0
Figura 4.3: Hipótesis de periodicidad, Leakage
La única solución al problema de leakage, es asegurarse que la señal es periódica o
se observa completamente en el periodo de adquisición, lo que en general, es muy
difı́cil de lograr. En sistemas perfectamente lineales, se puede lograr al excitarlos
con una señal periódica en el intervalo de tiempo considerado. Aumentar el tiempo
de adquisición, i.e. aumentar la resolución en frecuencias, ayuda a mejorar la
periodicidad de la señal. El uso de ventanas de tiempo también ofrecen una solución
parcial al problema de leakage.
4.2.3.
Ventanas
El uso de ventanas de tiempo no se puede evitar en el procesamiento digital de una
señal. Al medir una señal temporal, solo una parte de la señal total es considerada.
ERRORES Y VENTANAS
51
Esto equivale a multiplicar la señal actual con una ventana de tiempo rectangular
(Figuras 4.4(a) y 4.5(a)). Sin embargo, una mejor selección de la ventana puede
reducir considerablemente el error debido a leakage. En general, se buscan ventanas
que reduzcan las discontinuidades en los extremos de la señal, dado que reducen el
error por leakage al forzar la señal a ser periódica. La selección de una ventana de
tiempo, es siempre un compromiso entre una buena estimación de la amplitud y
una buena resolución espectral. La figura 4.4 muestra un conjunto de ventanas de
tiempo que son usualmente empleadas.
0
Hamming
Amplitud
Amplitud
Hanning
Amplitud
Rectangular
0
Tiempo (s)
0
Tiempo (s)
(a) Rectangular
Tiempo (s)
(b) Hanning
(c) Hamming
Flat-top
Amplitud
Amplitud
Gaussian
0
0
Tiempo (s)
(d) Gaussian
Tiempo (s)
(e) Flat-top
Figura 4.4: Diferentes ventanas de tiempo
En la Figura 4.5 se muestra el espectro obtenido de una señal periódica utilizando las
distintas ventanas de tiempo. La señal esta compuesta por un coseno de frecuencia
f1 y amplitud 1, y un coseno de frecuencia f2 y amplitud 0.01. El coseno de
frecuencia f1 no es periódico en el intervalo de tiempo considerado. Se observa que
solo algunas ventanas son capaces de separar bien ambas señales.
Es importante notar, que dado que la señal no es periódica en el periodo considerado,
la amplitud en el dominio de frecuencias depende de la ventana y de la ubicación
de la señal no-periódica con respecto a los puntos de frecuencias muestreadas. En
consecuencia, este error no puede ser corregido por un factor general. También es
importante destacar, que el uso de ventanas no rectangulares, reduce el total de
energı́a en la señal. Lo que conlleva a una reducción en la amplitud mostrada en
el dominio de frecuencias. La cantidad de energı́a solo depende de la forma de la
ventana y por lo tanto, este error puede ser compensado.
52
Amplitud
log(Amplitud)
ERRORES Y VENTANAS
f1 f2
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
Amplitud
log(Amplitud)
(a) Rectangular
f1 f2
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
Amplitud
log(Amplitud)
(b) Hanning
f1 f2
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
Amplitud
log(Amplitud)
(c) Hamming
f1 f2
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
Amplitud
log(Amplitud)
(d) Gaussian
f1 f2
Tiempo (s)
Frecuencia (Hz)
(e) Flat-top
Figura 4.5: Diferentes ventanas, f (t) = cos(f1 (2πt)) + 0,01cos(f2 (2πt))
ERRORES Y VENTANAS
53
Existen dos ventanas especiales que se utilizan test de impacto. En el caso de
test de impacto la señal de entrada es una señal tipo pulso y la respuesta es una
combinación de sinusoides que disminuye en el tiempo (Figura 4.6).
Para la respuesta se usa una ventana exponencial w(t) = e−αt . En el caso
de estructuras con baja amortiguación o si el tiempo de adquisición es muy
breve, la respuesta no llegará a cero al final del bloque de tiempo, lo que
causa discontinuidades y leakage. Al multiplicar esta respuesta con una ventana
exponencial da como resultado una señal que es casi zero al final del bloque de
tiempo. En el caso de estructuras con alta amortiguación o con un tiempo de
adquisición alto, la señal llega a cero antes del final del bloque de tiempo y el
resto de lo medido es básicamente ruido experimental. Al aplicar una ventana
exponencial, en este caso, se reduce la contribución del ruido.
Dado que la fuerza es de corta duración, cualquier ruido durante el resto de la
señal no es deseable. Aplicar una ventana que sea igual a la ventana exponencial
durante el pulso, suavemente desciende a cero justo después del pulso y permanece
igual a cero durante el resto del bloque de tiempo, ofrece una solución al problema
del ruido (Figura 4.7).
Figura 4.6: Señal tı́pica de impacto y respuesta al impacto
Figura 4.7: Ventanas de fuerza y exponencial
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
54
La combinación de una venta de fuerza y una ventana exponencial, añade
amortiguamiento al sistema. La funciones de respuesta en frecuencia resultantes
van a contener el efecto de este amortiguamiento extra. No es fácil remover este
amortiguamiento de las funciones de respuesta en frecuencia, sin embargo, puede
ser considerado en la etapa de estimación de parámetros.
4.3.
Funciones de respuesta en frecuencia y funciones
de coherencia
Sea F (f ) el espectro en frecuencia de una señal de entrada f (t) y X(f ) es espectro
en frecuencia de una señal de salida x(t), la función de respuesta en frecuencia
(FRF), H(f ), entre ambas señales se define como:
H(f ) =
X(f )
F (f )
(4.8)
Al calcular H(f ) con la expresión anterior se corre el riesgo que existan términos
donde F (f ) sea cero. Por lo tanto, en la practica se utilizan maneras alternativas
de calcular H(f ), utilizando las potencias espectrales:
H1 (f )
=
X(f ) F ∗ (f )
GXF
=
∗
F (f ) F (f )
GF F
(4.9)
H2 (f )
=
GXX
X(f ) X ∗ (f )
=
F (f ) X ∗ (f )
GF X
(4.10)
El principal motivo para estimar las funciones de respuesta en frecuencia con las
ecuaciones anteriores es la reducción del ruido no correlacionado en las señales de
entrada o salida al promediar.
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
55
En la práctica, la función de respuesta en frecuencia es estimada con valores
promedio de las potencias espectrales,
ĜF F
=
Na
1 X
(GF F )n
Na n=1
(4.11)
ĜXX
=
Na
1 X
(GXX )n
Na n=1
(4.12)
ĜF X
=
Na
1 X
(GF X )n
Na n=1
(4.13)
ĜXF
=
Na
1 X
(GXF )n
Na n=1
(4.14)
donde Na es el numero de promedios (el ensayo se repite Na veces), lo que entrega
una aproximación de mı́nimos cuadrados de H(f ).
Dado que las funciones de respuesta en frecuencia se obtiene de una aproximación
de mı́nimos cuadrados, se puede definir un coeficiente de correlación. En este caso,
la correlación se denomina función de coherencia y es una medida del error de
mı́nimos cuadrados. La coherencia se define por:
2
ĜF X H1 (f )
2
γ =
(4.15)
=
H2 (f )
ĜF F ĜXX
La coherencia varia entre 0 y 1. Un valor de 1, indica una relación perfectamente
lineal entre las señales de entrada y salida por sobre todos los promedios. Una
coherencia menor a uno, se puede deber a uno de los siguientes motivos:
Ruido no correlacionado en las mediciones de f (t) y/o x(t)
No-linealidades del sistema en investigación
Leakage en el análisis
Desfase en las mediciones no compensado en el análisis.
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
4.3.1.
56
Efectos del ruido experimental
Consideremos que las señales de excitación y respuesta “verdaderas” son e(t) y
r(t), respectivamente, las señales medidas son:
f (t)
=
e(t) + m(t)
(4.16)
x(t)
=
r(t) + n(t)
(4.17)
donde m(t) y n(t) representa representan ruido no correlacionado. La ecuación
anterior implica que las potencias espectrales de la señal son:
GF F
=
GEE + GM M + GEM + GM E
GXX
=
GRR + GN N + GRN + GN R
GF X
=
GER + GEN + GM R + GM N
GXF
=
GRE + GRM + GN E + GN M
(4.18)
La función de respuesta en frecuencia verdadera viene dada por:
H(f )
=
GRE
GRR
=
GEE
GER
2
=
GRR
GEE
|H(f )|
(4.19)
De la ecuación anterior se tiene:
GER GRE = GRR GEE
(4.20)
Bajo el supuesto razonable que las señales de ruido no están correlacionadas entre
ellas ni con las señales de excitación y de respuesta, entonces GEM = GM E =
GRN = GN R = GEN = GN E = GM R = GRM = GM N = GN M = 0, se pueden
estudiar tres casos de interés.
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
57
Caso 1. Ruido en la señal de excitación, sin ruido en la respuesta
Dado que n(t) = 0, ecuación 4.18 se convierte:
GF F
=
GEE + GM M
GXX
=
GRR
GF X
=
GER
GXF
=
GRE
Evaluando H1 de acuerdo a la ecuación 4.9:
GRE
H
H1 =
=
GEE + GM M
1 + GM M /GEE
(4.21)
(4.22)
Se ve la verdadera función de respuesta en frecuencia es subestimada ya que el
denominador es mayor a uno. Evaluando ahora H2 de acuerdo a la ecuación 4.10:
GRR
GRE
=
=H
(4.23)
GER
GEE
lo que demuestra que, bajo la hipótesis de ruido no correlacionado, H2 es insensible
a ruido en la señal de excitación.
H2 =
De lo anterior se deduce que si la señal de la fuerza esta contaminada por ruido no
correlacionado, un estimador preferente para H es H2 .
La función de coherencia en este caso viene dada por,
1
γ2 =
1 + GM M /GEE
(4.24)
como es esperado, la coherencia depende de la razón entre la señal y el ruido:
mientras menor sea la razón entre el ruido y la señal, más cercana a uno es la
coherencia.
Caso 2. Sin ruido en la señal de excitación, ruido en la respuesta
Ecuación 4.18 es en este caso:
GF F
=
GEE
GXX
=
GRR + GN N
GF X
=
GER
GXF
=
GRE
(4.25)
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
58
Evaluando H1 de acuerdo a la ecuación 4.9:
H1 =
GRE
=H
GEE
(4.26)
Por lo tanto, H1 es insensible a ruido no correlacionado en la respuesta. Evaluando
ahora H2 de acuerdo a la ecuación 4.10:
GRE (1 + GN N /GRR )
GN N
GRR + GN N
=
=H 1+
(4.27)
H2 =
GER
GEE
GRR
La ecuación anterior muestra que H2 sobreestima a la verdadera FRF, dado que el
valor en el paréntesis es mayor a 1.
De lo anterior se deduce que si la respuesta esta contaminada por ruido no
correlacionado, un estimador preferente para H es H1 .
La coherencia viene dada por,
γ2 =
1
1 + GN N GRR
(4.28)
Caso 3. Ruido en ambas señales
En este caso,
GF F
=
GEE + GM M
GXX
=
GRR + GN N
GF X
=
GER
GXF
=
GRE
(4.29)
De donde se tiene:
H1 =
H
GRE
=
GEE + GM M
1 + GM M /GEE
GRR + GN N
GN N
H2 =
=H 1+
GER
GRR
(4.30)
(4.31)
y la función de coherencia viene dada por,
γ2 =
1
(1 + GN N GRR )(1 + GM M /GEE )
(4.32)
FUNCIONES DE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y FUNCIONES DE COHERENCIA
59
Es evidente que:
H1 < H < H2
(4.33)
por lo tanto una buena estimación para H es la media geométrica de estas dos
cantidades. Esta estimación se denomina Hv
s
p
1 + GM M /GRR
Hv = H1 H2 = H
(4.34)
1 + GM M /GEE
A partir de los resultados anteriores se pueden sacar algunas conclusiones. En las
resonancias la señal de excitación es particularmente susceptible al ruido, ya que
se requiere una pequeña fuerza para generar desplazamientos significativos, por
otro lado, la respuesta tiene una razón señal-ruido baja. Por lo tanto, en las zonas
cercanas a la resonancia se puede esperar una mejor estimación si se utiliza el
estimador H2 .
En contraste, en las zonas lejanas a la resonancia (y especı́ficamente cerca de las
antiresonancias) la respuesta es más sensible a contaminación por ruido. Entonces
en estas zonas se obtiene una mejor estimación con H1 .
Capı́tulo 5
Estimación de parámetros
modales
Los métodos de identificación de parámetros buscan extraer la información modal
de una estructura a partir de mediciones experimentales. Estos métodos se clasifican
principalmente en métodos en el dominio del tiempo o métodos en el dominio de
frecuencias. Los métodos en el dominio del tiempo siempre se pueden utilizar, ya
sea para respuesta libre o forzada (con o sin conocimiento de las fuerzas). Por otro
lado, los métodos en el dominio de frecuencias se pueden utilizar sólo en casos de
vibraciones forzadas y cuando las fuerzas son conocidas.
Para cada dominio hay métodos que utilizan información de un sólo punto de
medición y otros que utilizan la información de varios puntos simultáneamente. En
cada uno de estos casos pueden haber una o varias fuerzas de excitación externas.
Lo que lleva a la siguiente clasificación:
1. Una respuesta debido a una fuerza (SISO) single-input single-output
2. Varias respuestas debido a una fuerza (SIMO) single-input multiple-output
3. Varias respuestas debido a varias fuerzas (MIMO) multiple-input multipleoutput
4. Una respuesta debido a varias fuerzas (MISO) multiple-input multiple-output
En el dominio de tiempo, las respuestas contienen naturalmente información acerca
del contenido en frecuencias, aunque está “escondida”, por lo que no es posible
definir a priori cuantas resonancias hay presentes en un cierto periodo de tiempo. En
60
MÉTODOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
61
consecuencias, los métodos en el dominio del tiempo deben estimar simultáneamente
varias resonancias de la estructura y para los métodos SIMO y MIMO varios modos
de vibración. Estos métodos son conocidos como métodos de multiples grados
de libertad (MDOF). En el dominio de frecuencia, dado que los “peaks” de las
resonancias son visibles, es posible realizar una identificación modo por modo. Estos
métodos se denominan métodos de un grado de libertad (SDOF).
A continuación se detallarán algunos de los métodos de identificación de parámetros
más utilizados.
5.1.
Métodos de un grado de libertad
En general, la respuesta dinámica de un sistema es una superposición de muchos
de sus modos. Sin embargo, si en una cierta banda de frecuencia se asume que
un solo modo es importante, lo parámetros de este modo se pueden determinar
separadamente. Los métodos basados en este supuesto se denominan “métodos
de un grado de libertad”, estos métodos son una manera rápida de obtener los
parámetros modales ya que requieren poco esfuerzo y memoria computacional.
5.1.1.
Peak picking
El método “peak picking” es talvez el método más sencillo dentro de los de un grado
de libertad. Este método utiliza la curva de la FRF en la cercanı́a a una resonancia
como si fuese la curva de un sistema de un grado de libertad. El procedimiento del
método peak picking es el siguiente:
Estimar la frecuencia natural
La frecuencia natural se selecciona como la frecuencia del máximo en la curva
de FRF, ωr = ωmáx .
Estimar el amortiguamiento
Para estimar el amortiguamiento, se ubican las frecuencia ubicadas a cada
lado del máximo identificado y que corresponden a una amplitud de la FRF
αmáx
igual a √ (ver Figura 5.1). La razón de amortiguamiento se puede estimar
2
como,
ζr =
ωb2 − ωa2
ωb − ωa
≈
2
4ωr
2ωr
(5.1)
Estimar la constante modal
La función de respuesta en frecuencia a un sistema de un grado de libertad
ηr =
ζr =
or
(c)
2ω r2
≈
(8.5)
ωr
ω b2 – ω a2 ω b – ω a
≈
2ω r
4ω r2
(8.6)
Estimating the modal constant
Ar
. The
η r ω r2 62
MÉTODOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2
modal constant Ar can be estimated from Ar = α max η r ω r . For viscous damping
model, this becomes Ar = 2α maxζ r ω r2 .
From the SDoF model, the FRF at the peak is known to be α max =
cerca de la resonancia viene dada por (ecuación 1.29),
Due to its remarkable simplicity, the peak-picking method (Figure 8.4) can derive
quick analysis results. However,
it is not capable
of producing
accurate
modal data.
A
A
A
A
' the peak FRF
= value, which is very=difficult
−
=to measure accurately,
(5.2)
r ) on
This methodH(ω
relies
(jωr − λr )
(jωr − σr − jωr )
σr
ζr ωr
to estimate the natural frequency and modal constant. Damping is estimated from
Conocido
el valor
de data
la FRF,
la are
constante
A sehalf
puede
estimar
half power
points
only. del
No máximo
other FRF
points
used. The
power
points
como:
αmáx ζr ωr as it is unlikely that they are two of the measured data points.
have to
be interpolated,
FRF (dB)
| α (ωr) |
| α (ω r ) |
2
Frecuencia
ωb
ωr
ωa
Figure 8.4 Peak-picking method
Figura 5.1: Peak picking
5.1.2.
Circle fitting
El método de “circle fitting” es un de método de un grado de libertad, puede estimar
los polos del sistema y los modos normales (reales o complejos). Este método se
basa en el hecho que la función de respuesta en frecuencia de un sistema de un
grado de libertad describe un circulo en el diagrama de Nyquist (ver Figura 1.11).
Si la influencia de otros modos se aproxima por una constante compleja R + jI,
la función de respuesta en frecuencia cerca de la resonancia, ωr , se puede escribir
como,
H(ω) '
U + jV
+ R + jI
−σr + j(ω − ωr )
(5.3)
Para determinar los parámetros de H, primero se selecciona un conjunto de puntos
en las cercanı́as de la resonancia seleccionada. Luego se ajusta un circulo a estos
puntos, como se ilustra en la Figura 5.2.
MÉTODOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
63
Figura 5.2: Circle fitting
La frecuencia natural amortiguada, ωr , corresponde al punto de máxima razón de
cambio de ángulo entre puntos (máxima distancia angular entre puntos) o con un
ángulo de fase cercano al ángulo de fase del centro del circulo, para modos bien
separados la diferencia entre estos ángulos será pequeña.
La razón de amortiguamiento, ζr , se puede estimar como,
ζr =
ω2 − ω1
ωr (tan(θ1 /2) + tan(θ2 /2))
(5.4)
donde, ω1 y ω2 son dos frecuencias a ambos lados de ωr
θ1 y θ2 son los ángulos entre el radio de ω1 y ω2 y el radio de ωr .
El diámetro del circulo y la posición angular de la frecuencia natural contiene la
información del residuo complejo U + jV :
√
φ
=
tan(α)
=
U
V
U2 + V 2
σr
(5.5)
(5.6)
donde φ es el diámetro del circulo y α es el ángulo entre la linea que conecta el
centro del circulo con la frecuencia natural y el eje imaginario.
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS
64
5.2.
Métodos con multiples grados de libertad en el
dominio de frecuencias
5.2.1.
Método de mı́nimos cuadrados no lineales, LSFD
El método de mı́nimos cuadrados no lineales en el dominio de frecuencias, es un
método para estimar los polos y modos normales (si se utilizan multiples respuestas).
Se basa en el modelo modal en el dominio de frecuencias. La función de respuesta
en frecuencia entre una respuesta en el punto i y una excitación en el punto k se
puede aproximar por:
Nm X
LRik
φir Lrk
φ∗ir L∗rk
Hik (ω) =
+ U Rik −
+
∗
jω
−
λ
jω
−
λ
ω2
r
r
r=1
|
{z
}
(5.7)
Gi k(ω)
donde U Rik y LRik son los residuos superiores e inferiores respectivamente.
Los residuos aproximan el efecto de modos bajo y sobre el rango de frecuencias en
estudio. Hik (ω) es la función de respuesta en frecuencia medida experimentalmente,
mientras que el lado derecho de la ecuación es el modelo modal considerando Nu
parámetros desconocidos λr , φir , Lrk , U Rik , LRik , indicado en la función:
Gik (ω) = Gik (ω, λr , φir , Lrk , U Rik , LRik )|r=1,...,Nm
(5.8)
La diferencia entre la función de respuesta en frecuencia medida y estimada viene
dada por:
eik (ω) = Hik (ω) − Gik (ω)
(5.9)
El error total en el rango de frecuencias de interés es:
Eik =
Nf
X
eik (ωf )e∗ik (ωf )
(5.10)
f =0
Considerando todas las funciones de respuesta en frecuencia entre Ni entradas y
No respuestas, el error total es:
E=
N0 X
Ni
X
i=1 k=1
Eik
(5.11)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS
65
Los parámetros desconocidos se obtienen al imponer que éstos minimicen el error
total:
∂E
∂λr
=
0
(5.12)
..
.
∂E
∂LRik
=
(5.13)
0
(5.14)
El sistema de ecuaciones anterior es altamente no-lineal, pero puede resolverse
iterativamente como un problema linealizado (con una expansión de primer orden).
Debido a las desventajas conocidas de estos algoritmos, como la necesidad de
tener buenos valores de partida, la velocidad de convergencia limitada, el riesgo de
divergencia, etc., estos métodos nunca se hicieron populares. Sin embargo, pueden
ser una herramienta útil para mejorar la precisión de un modelo modal existente.
Si los polos del sistema y los factores de participación modal ya fueron estimados,
la ecuación 5.7 se convierte en un set de ecuaciones lineales en función de los
parámetros desconocidos: φir , U Rik y LRik . El set de ecuaciones resultantes es
relativamente fácil de resolver.
5.2.2.
Rational Fractional Polynomials
La idea detrás de este método es expresar la función de respuesta en frecuencia como
el cuociente entre dos polinomios. Estableciendo la relación entre los coeficientes
de los polinomios y los parámetros modales, se puede llegar a la identificación de
los parámetros.
La definición de la función de respuesta en frecuencia como el cuociente de dos
polinomios viene de la definición de la función de transferencia en el dominio de
Laplace,
H(s) =
N (s)
a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + am sm
=
D(s)
b0 + b1 s + b2 s2 + . . . + sn
(5.15)
En este caso el orden del denominador, n, es mayor que el del numerador, m, por
2. Para simplificar se define:
p0 (s) = 1,
p1 (s) = s,
p2 (s) = s2 ,
...,
pm (s) = sm
(5.16)
q0 (s) = 1,
q1 (s) = s,
q2 (s) = s2 ,
...,
qm (s) = sm
(5.17)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS
Entonces la función de respuesta en frecuencia se puede expresar como:
Pm
ak pk (jω)
H(ω) = Pk=0
n
k=0 bk qk (jω)
66
(5.18)
Para el análisis subsiguiente se asume que hay mediciones en p frecuencias ω1 , ω2 ,
. . ., ωp . También se asume que hay p frecuencias negativas ωp , ωp−1 , . . ., ω−1 . Se
puede demostrar para las frecuencias negativas se cumple que,
H(ω−i ) = H(−jωi ) = H ∗ (jωi )
(5.19)
El propósito de las frecuencias negativas quedará claro más adelante. Para comenzar
la identificación de los coeficientes se define la función de error,
e(ω) = H(ω) − H̃(ω)
(5.20)
donde H(ω) es la FRF estimada como el cuociente de dos polinomios y H̃(ω) es la
FRF experimental. Lo que lleva a:
Pm
ak pk (jω)
e(ω) = Pk=0
− H̃(ω)
(5.21)
n
k=0 bk qk (jω)
Este error es una función no-lineal de los coeficientes ak y bk . Para facilitar el
análisis el error se re-define como:
!
n
m
n−1
X
X
X
ê(ω) = e(ω)
bk qk (jω) =
ak pk (jω)− H̃(ω)
bk qk (jω) + qn (jω) (5.22)
k=0
k=0
k=0
El error total para todas las frecuencias se puede escribir en forma matricial:
E
=
{e(ω−p ), . . . , e(ω−1 ), e(ω1 ), . . . , e(ωp )}
E
=
[P ]{A} − [Q]{B} − {W }
T
(5.23)
(5.24)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS
67
donde,

[P ]
=










[Q]
=









p0 (jω−p ) p1 (jω−p ) . . . pm (jω−p )
..
. ...
...
...
p0 (jω−1 ) p1 (jω−1 ) . . . pm (jω−1 )
p0 (jω1 )
p1 (jω1 )
. . . pm (jω1 )
..
. ...
...
...
p0 (jωp )
p1 (jωp )
. . . pm (jωp )










H̃(jω−p )q0 (jω−p ) H̃(jω−p )q1 (jω−p ) . . .
..
.
...
...
H̃(jω−1 )q0 (jω−1 ) H̃(jω−1 )q1 (jω−1 ) . . .
H̃(jω1 )q0 (jω1 )
H̃(jω1 )q1 (jω1 )
...
..
.
...
...
H̃(jωp )q0 (jωp )
H̃(jωp )q1 (jωp )
...
H̃(jω−p )qm (jω−p )

...
H̃(jω−1 )qm (jω−1 )
H̃(jω1 )qm (jω1 )









...
H̃(jωp )qm (jωp )
A
=
{a0 , a1 , . . . , am }T
B
=
{b0 , b1 , . . . , bn−1 }T
W
=
{H̃(jω−p )qn (jω−p ), . . . , H̃(jω−1 )qn (jω−1 ), H̃(jω1 )qn (jω1 ), . . .
, H̃(jωp )qn (jωp )}T
La magnitud total del error se puede definir como:
J = {E}H {E}
(5.25)
donde H denomina la transpuesta conjugada. Para determinar los coeficientes {A}
y {B} que minimizan la magnitud del error, las siguientes derivadas parciales deben
ser iguales a cero:
∂J
∂J
=
=0
∂{A}
∂{B}
(5.26)
Lo que lleva al siguiente sistema de ecuaciones para estimar los coeficientes:
1
+ [P ]T [P ]∗ )
(−Re([P ]H [Q]))T
H
2 ([P ] [P ]
−Re([P ]H [Q])
1
H
T
∗
2 ([Q] [Q] + [Q] [Q] )
{A}
Re([P ]H {W })
=
{B}
Re([Q]H {W })
(5.27)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
68
Los parámetros modales se puedes determinar a partir de los coeficientes {A} y
{B}, al representar el cuociente entre polinomios como fracciones parciales:
H(ω) =
n/1 X
k=1
rk
rk∗
+
jω − pk
jω − p∗k
(5.28)
donde pk es el k-esimo polo y rk el k-esimo residuo.
5.3.
Métodos con multiples grados de libertad en el
dominio del tiempo
Los métodos en el dominio del tiempo, a diferencias de los algoritmos en el dominio
de frecuencias, utilizan información de la respuesta en el tiempo. Estos algoritmos
ajustan los datos a la función de respuesta a un impulso. La función de respuesta
al impulso para un sistema con multiples grados de libertad viene dada por:
h(t)
=
N
X
λ∗
r t)
(Qr φr φTr eλr t + Q∗r φ∗r φ∗T
r e
(5.29)
r=1
=
N
X
∗
(Ar eλr t + A∗r eλr t )
(5.30)
r=1
=
2N
X
Ar eλr t , para r > N : Ar = A∗r ; λr = λ∗r
(5.31)
r=1
5.3.1.
El método Ibrahim
El método de Ibrahim, también conocido como ITD, construye un problema de
valores y vectores propios a partir de la respuesta en el tiempo del sistema. La
solución de este problema permite derivar las frecuencias naturales, factores de
amortiguamiento y los modos normales.
La respuesta en el tiempo en un punto i, para un instante de tiempo tj se puede
expresar como la suma de respuestas individuales de cada modo:
xi (tj ) =
2N
X
r=1
φir eλr tj
(5.32)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
Considerando q puntos de medición
 

x1 (t1 ) . . . x1 (tL )
φ11



..
.
.
.
..
..
 =  ..

.
xq (t1 )
|
...
{z
xq (tL )
φq1
}
q×L
|
69
y L instantes de tiempo, se tiene que,

 λ t
. . . φ1L
e 1 1 . . . eλ1 tL

..  
..
..
..
..
 (5.33)
.
.
. 
.
.
λ2N t1
λ2N tL
. . . φq2N
e
... e
{z
}|
{z
}
2N ×L
q×2N
o bien,
X = ΦΛ
(5.34)
donde Λ es una matriz constituida por los elementos eλi tj . Esta ecuación por si sola
es insuficiente para determinar los parámetros modales. Consideremos entonces un
segundo set de L puntos, desfasados en ∆t con respecto al set anterior:
xi (tj + ∆t) =
2N
X
φir eλr (tj +∆t) =
r=1
2N
X
φir eλr ∆t eλr tj
(5.35)
r=1
Definiendo:
xi (tj )∗
=
xi (tj + ∆t)
(5.36)
φ∗ir
=
φir eλr ∆t
(5.37)
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, se obtiene un segundo set de ecuaciones:
X ∗ = Φ∗ Λ
(5.38)
Definiendo una matriz As de q × q con la siguiente propiedad:
As Φ = Φ∗
(5.39)
Premultiplicando la ecuación 5.34 por As :
As X = As ΦΛ = Φ∗ Λ
(5.40)
Sustituyendo 5.38:
As X = X ∗
(5.41)
Si X y X ∗ son conocidos, As se puede despejar como:
As = X ∗ X +
(5.42)
donde X + es la pseudoinversa de X y viene dada por: X + = X T (X T X)−1
asumiendo que L > q.
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
70
Recordando que As Φr = Φ∗r , se tiene que:
A s Φr
As − eλr ∆t I Φr
=
Φr eλr ∆t
(5.43)
=
{0}
(5.44)
La ecuación anterior es una ecuación de valores propios. Los modos normales
corresponden a los vectores propios y las frecuencias naturales y factores de
amortiguamiento se deducen de los valores propios:
eλr ∆t
= e(σr +jωdr )∆t = αr + jγr
(5.45)
αr
= eσr ∆t cos(ωr ∆t)
(5.46)
γr
= eσr ∆t sin(ωr ∆t)
(5.47)
σr
=
ωdr
=
ln(αr2 + γr2 )
2∆t
arctan αγrr
∆t
(5.48)
(5.49)
Finalmente, los parámetros dinámicos se obtienen como:
q
2 + σ2
ωdr
r
ωr
=
ζr
σr
= −p 2
ωdr + σr2
5.3.2.
(5.50)
(5.51)
El método least-squares complex exponential (LSCE)
Tenemos que la respuesta a un impulso IRF, se puede expresar como:
h(t) =
2N
X
r=1
Ar eλr t
(5.52)
MÉTODOS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
71
Si consideramos que los datos son adquiridos en intervalos de tiempo k∆ (k =
0, 1, . . . , 2N ), se tiene la siguiente serie
h(k∆)
=
2N
X
Ar eλr k∆
(k = 0, 1, . . . , 2N )
(5.53)
r=1
hk
=
2N
X
Ar zrk
(k = 0, 1, . . . , 2N ),
zrk = eλr k∆
(5.54)
r=1
Cada termino de la suma posee valores reales, aunque los residuos Ar y los polos λr
tienen valores complejos. Se puede demostrar que existe un polinomio de coeficientes
reales de manera que:
β0 + β1 zr + β2 zr2 + . . . + β2N zr2N = 0
(5.55)
Esta ecuación se conoce como la ecuación de Prony. Dado que hay 2N +1 ecuaciones
en la expresión 5.58, se pueden multiplicar las ecuaciones por un coeficiente β
correspondiente y sumarlas para formar siguiente ecuación:
2N
X
βk hk
=
r=1
2N
X
βk
r=1
=
2N
X
2N
X
Ar zrk
(5.56)
βk zrk
(5.57)
r=1
Ar
r=1
2N
X
r=1
Esta última expresión sabemos que es igual a 0, si zr es una raı́z de la ecuación
5.55. Lo que nos lleva a una relación simple entre los coeficientes β y los datos de
la respuesta a un impulso:
2N
X
βk hk = 0
(5.58)
r=1
A partir de la ecuación anterior se pueden determinar los valores de βk . Conocidos
los coeficientes βk se puede resolver la ecuación 5.55 y extraer las raı́ces zr . A partir
de zr se calculan las frecuencias naturales y razones de amortiguamiento:
ωr
=
1p
ln zr ln zr∗
∆
(5.59)
ζr
=
− ln(zr zr∗ )
2ωr ∆
(5.60)
DIAGRAMAS DE ESTABILIDAD
72
Para identificar los modos propios del sistema,
de la siguiente forma:


1
1
...
1
A1
 z1
  A2
z
.
.
.
z
2
2N



  ..
..
..
..
..

 .
.
.
.
.
z12N −1
z22N −1
...
2N −1
z2N
podemos reescribir la ecuación 5.54
A2N


 
 
=
 
h0
h1
..
.





(5.61)
h2N −1
La solución de este sistema de ecuaciones entrega los residuos y por lo tanto los
modos normales.
5.4.
Diagramas de estabilidad
En todos los algoritmos anteriores se debe definir a priori cual es el numero de polos
que se desea estimar. Lo que muchas veces no es una decisión simple. Si se utilizan
menos polos que lo actuales, el ajuste no será adecuado. En cambio, si se definen
más polos que los reales, los algoritmos van a entregar polos “computacionales”
que no corresponden a polos reales del sistema, sino que son polos que tratan de
modelar el ruido en los datos. Una metodologı́a muy útil para determinar el numero
de polos reales en un sistema son los diagramas de estabilidad.
Los diagramas de estabilidad son una herramienta muchas veces imprescindible
en un análisis modal experimental, ellos ayudan a separar los polos reales de los
polos computacionales. Estos diagramas se obtienen, al repetir el análisis modal
incrementando el orden del sistema (número de polos asumidos). Para cada orden
se estiman los polos, los resultados son presentados gráficamente en el diagrama de
estabilidad (Figura 5.3). En el eje vertical se encuentra el orden y el eje horizontal
representa la frecuencia natural del polo estimado.
En general, los polos reales aparecen a la misma frecuencia en el diagrama,
independiente del orden del sistema. En cambio, la frecuencia de los polos
computacionales, varı́a al aumentar el orden del sistema. El diagrama de la Figura
5.3 se representan los polos estables (en frecuencia y amortiguamiento) con un
circulo y con una cruz los polos inestables. Normalmente, se define que un polo
es estable si la frecuencia no varı́a más del 1 % de su magnitud y la razón de
amortiguamiento no varı́a más del 5 %.
DIAGRAMAS DE ESTABILIDAD
73
40
Orden
30
20
10
0
20
40
60
80
Frecuencia (Hz)
100
Figura 5.3: Diagrama de estabilidad
120
Capı́tulo 6
Medición Experimental
El primer paso en un análisis modal experimental es adquirir las funciones de
respuesta frecuencia experimentales de una estructura. El método más usual es
excitar la estructura con una fuerza conocida y medir de forma simultanea la fuerza
y las respuestas en la estructura. Como resultado, se obtiene un grupo de FRFs
que pueden ser utilizadas posteriormente para derivar los parámetros modales de
la estructura utilizando algunos de los algoritmos descritos en el capitulo anterior.
6.1.
Análisis previo a las mediciones
Al preparar un montaje experimental para un análisis modal se debe considerar el
propósito del experimento, los datos requeridos (FRFs o parámetros modales), la
precisión requerida, etc. Para ello se necesita la mayor cantidad de información
posible de la estructura, la que se puede obtener de experimentos anteriores en
estructuras similares o de modelos numéricos de la estructura. A continuación se
describirán algunas herramientas útiles para definir el montaje experimental de
acuerdo a los requerimientos.
Desde un punto de vista práctico, los criterios siguientes se deben cumplir en un
buen diseño de un montaje experimental:
Correspondencia: Los modos medidos experimentalmente deben corresponder a los modos reales, los que desafortunadamente son desconocidos.
Sin embargo, experimentos previos en estructuras similares o un modelo en
elementos finitos pueden ayudar a estimar los modos. Adicionalmente, el
test debe producir modos claramente distinguibles. La independencia del los
74
ANÁLISIS PREVIO A LAS MEDICIONES
75
modos esta directamente relacionada con el rango de la matriz de vectores
propios Φ.
Excitación: El montaje debe incluir un sistema de excitación que garantice
que todos los modos de interés son excitados.
Identificación: Los datos medidos deben contener la información necesaria
para identificar los parámetros de interés. Por lo tanto, el diseño del montaje
depende del propósito del experimento.
Visualización: En la práctica, se requiere visualizar los modos obtenidos,
de manera de evaluar de precisión de éstos y para compararlos con modos
estimados. La visualización también es importante para detectar posibles
discrepancias.
Robustez: Dado que el montaje está basado en experimentos previos o en
modelos numéricos, donde ambos contiene errores, éste debe ser robusto: No
debe ser muy sensible a estos errores. Por lo tanto, es preferible algún grado
de redundancia.
Accesibilidad: Las ubicaciones seleccionadas para medir la respuesta y para
excitar la estructura deben ser accesibles.
6.1.1.
Rango de frecuencias
Es importante definir bien el rango de frecuencias para identificar todos los modos
de interés. Si se sabe cuantos modos se quieren identificar, el rango de frecuencias
se puede definir con un análisis previo de un modelo en elementos finitos. Desde
luego se debe considerar un margen de error.
En caso que no se cuente con un modelo en elementos finitos, el rango de frecuencias
se puede definir in situ. Al intentar en una primera instancia con una rango de
frecuencias amplio, luego contar los peaks de una de las FRFs para definir la
frecuencia máxima que se debe medir para identificar n modos.
6.1.2.
Selección de la ubicación de las respuestas
En un análisis modal se deben definir suficientes puntos de medición de manera
que los modos identificados sean independientes. A continuación se describirán
algunos de los algoritmos disponibles para determinar la ubicación óptima de los
puntos de medición. En los algoritmos a continuación se asume que se cuenta con
los modos normales obtenidos a través de algún método numérico.
La independencia de los modos se puede determinar a partir del rango de la
matriz Φ. Este rango equivale al rango de la matriz ΦT Φ (la matriz de Fisher).
ANÁLISIS PREVIO A LAS MEDICIONES
76
La contribución de cada grado de libertad i al rango de la matriz de Fisher, viene
dado por el siguiente indicador (independencia efectiva):
−1 T EfIi = diag Φ ΦT Φ
Φ
(6.1)
Al ir eliminando iterativamente los grados de libertad con menor EfIi y re-calculando
los nuevos EfI, se llega a un set óptimo de puntos de medición con respecto a la
independencia de los modos de interés.
Otro indicador de la independencia entre modos es el MAC (Modal Assurance
Criterion), el que se define como:
2
φTi φj
M ACij = T T φi φi φj φj
(6.2)
Donde φi es el iesimo modo normal. MAC es un factor que mide la correlación
entre dos modos. Un valor de 0 indica que no hay correlación, mientras que un
valor de 1 indica dos modos perfectamente correlacionados.
Si se calcula la correlación para todos los pares de modos, se puede construir la
matriz MAC. Si los modos son 100 % independientes, los valores fuera de la diagonal
de la matriz son todos cero y en la diagonal son todos 1. Los puntos de medición
se determinan al encontrar al menor set de puntos de medición que minimize los
valores fuera de la diagonal de la matriz MAC. En general, se aceptan valores
de hasta un 20 % de correlación cruzada. Este es el método más utilizado en la
selección de los puntos de medición.
6.1.3.
Selección de los puntos de excitación
Los puntos de excitación de la estructura se deben seleccionar de manera garantizar
que todos los modos de interés sean excitados adecuadamente. Un modo en
particular va a estar bien excitado si la fuerza se aplica en un punto de alto
desplazamiento.
El método más usual para seleccionar los puntos de excitación es a través de los
“driving point residues” (DPR). El residuo Aikr esta definido por la expresión de la
función de respuesta en frecuencia en términos de los parámetros modales:
ANÁLISIS PREVIO A LAS MEDICIONES
Hik (ω)
=
N X
Qr φir φkr
r=1
=
146
Modal Analysis
jω − λr
77
Q∗ φ∗ φ∗
+ r ir kr
jω − λr
N X
A∗ikr
Aikr
+
jω − λr
jω − λr
r=1
(6.3)
(6.4)
obtained
from del
a laboratory
measurement to analyse and simulate the
De modal
donde data
se define
el DPR
punto i como:
dynamic behaviour in situ. Other structures cannot fit into a laboratory environment
for FRF measurement.
They have to be tested in situ. In both cases, it is vital to
φ2ir
A
=
(6.5)
iir
ensure that2jω
the test conditions are stable and repeatable so that the measured FRF
r
data are reliable and representative.
If an FRF measurement in the laboratory is desired and feasible, a structure is
Al estudiar
los DPR
para todas
candidatos
de excitación
y para todos
often prepared
to simulate
free orpuntos
grounded
boundary conditions.
The subsequent
use los
modos
de
interés,
se
obtiene
información
útil
para
la
selección
de
los
puntos
of the modal model to be derived from the measurement determines which boundary de
excitación.
Entogeneral,
grados detolibertad
DPR
para el mayor
numero
conditions
use. It islosimpossible
imitate con
perfect
freealtos
or grounded
conditions.
posible
modos van
a serbebuenos
puntosinde
Thesede
conditions
can only
approximated
theexcitación.
laboratory with reasonable accuracy.
The free boundary condition is simulated by supporting the structure with soft
materials such as springs or elastic bands. Such an arrangement creates one or more
rigid body
modes fromde
thelos
stiffness
of these
materials and the total mass
6.1.4.
Selección
puntos
desupporting
suspensión
of the structure. If the natural frequencies of these rigid body modes are far from the
firstque
natural
frequency
the structure,
the measured
FRFreales
data should
be affected en
Dado
es muy
difı́cilofimitar
condiciones
de borde
en unnot
laboratorio,
by this boundary condition. Figure 7.7 shows a simple plate supported by four soft
la mayorı́a de las mediciones experimentales la estructura se monta de manera de
springs. For the same principle, a heavy structure can be put on top of an inflated car
simular
unaorcondición
libre
(sin condiciones
de borde).
tyre tube
a few layers
of thick
porous packaging
material.Esta condición se logra
al suspender
la
estructura
con
materiales
blandos
resortes
o elásticos.
The grounded boundary condition is more difficultcomo
to simulate
in the
laboratory.Con
esteTheoretically,
arreglo se producen
de means
cuerpothat
rı́gido.
lasdegrees
frecuencias
naturales
a groundedmodos
condition
all theSisix
of freedom
at the de
los boundary
modos rı́gidos
son lejanas
a lacan
primera
naturalinde
la estructura,
are rigidly
fixed. This
almost frecuencia
never be achieved
reality.
In modal la
medición
FRF no se verá
afectada
condición
de borde.
la Figura
testing,de
thelaarrangement
is often
to ‘fix’por
theesta
structure
to a much
moreEn
rigid
and
objectun
such
as a concrete
6.1 heavier
se muestra
montaje
de unafloor.
placa suspendida por cuatro resortes.
Figure 7.7 A simple plate supported by four soft springs
Figura 6.1: Una placa suspendida por cuatro resortes.
It is only for some special cases that a true grounded condition can be simulated.
For example, accurate measurement of the cantilever in Figure 7.8 needs a rigid
boundary condition at the built-in end which may be difficult to realize. The alternative
is to measure the beam on the right which is freely supported with a doubled length.
Any odd number of modes from this beam will be the equivalent modes for the
cantilever. This is due to the fact that for these modes, the middle cross-section of the
free–free beam is truly ‘fixed’.
For the simulation of the free boundary condition, we often know the limitation
EL MONTAJE EXPERIMENTAL
78
Al contrario de los puntos de excitación, los puntos de suspensión se deben
seleccionar en puntos con muy bajas amplitud de movimiento. La técnica, por lo
tanto es similar a la de la sección anterior, pero ahora se deben seleccionar los
grados de libertad con DPR bajos.
6.2.
El montaje experimental
6.2.1.
Mecanismo de Excitación
La primera parte de un montaje experimental es el mecanismo de excitación que
aplica una fuerza de suficiente amplitud y contenido en frecuencia a la estructura.
Existen diferentes mecanismo capaces de excitar la estructura. Los dos más comunes
son el shaker (Figura 6.2) y el martillo (Figura 6.3).
Un shaker electromagnético, también conocido como shaker electrodinámico, es el
tipo de shaker más utilizado en análisis modal. Consiste en un imán, un bloque libre
y una bobina. Cuando una señal eléctrica pasa por la bobina, se genera una fuerza
proporcional a la corriente y a la densidad de flujo magnético generado, la que
mueve al bloque. Un shaker electromagnético tiene un rango amplio de frecuencias
y de amplitudes. Para frecuencias bajas y altas amplitudes de excitación, se puede
utilizar un shaker electro-hidráulico.
Generador
de la señal
Analisador
Amplificador
de poder
Shaker
Sensor de
fuerzas
Signal
flow
Acondicionador de
la señal
Acelerómetro
Figura 6.2: Set-up experimental con excitación por shaker
Un martillo es un aparato que produce una fuerza de excitación de la forma de
un pulso. Consiste en la punta del martillo, un sensor de fuerzas, una masa y el
mango. La punta del martillo se puede cambiar para alterar su dureza. Materiales
tı́picos para puntas de martillo son; goma, plástico y acero. La dureza de la punta,
en conjunto con la dureza de la superficie de la estructura, está directamente
EL MONTAJE EXPERIMENTAL
79
relacionada con el rango de frecuencias contenida en la señal de la fuerza. Mientras
mayor es la dureza, mayor es el rango de frecuencias contenido.
142 Modal Analysis
Figure 7.2 A measurement set-up with hammer excitation
Figura 6.3: Set-up experimental con excitación por martillo
A hammer is a device that produces an excitation force pulse to the test structure.
It consists of hammer tip, force transducer, balancing mass and handle. The hammer
tip can beAcelerómetro
changed to alter the hardness. Typical materials for the tip are rubber,
6.2.2.
plastic and steel. The hardness of the tip, together with that of the structure surface
to be tested, is directly related to the frequency range of the input pulse force. For a
El acelerómetro es el sensor más común utilizado en análisis modal. Mide la
hard tip striking on a hard surface, we can expect the force pulse to distribute energy
aceleración de un punto en la estructura, la señal de salida viene en la forma de
to a wide range of spectrum. This is the only mechanism to control the frequency
voltaje.
Estaofseñal
es transformada
por
un acondicionador de la señal antes de ser
components
excitation
in a hammer
test.
procesada
por
otro
hardware
o
software.
An electromagnetic shaker, also known as an electrodynamic shaker, is the most
common
typecomún
of shaker
used in modal testing.
consists of a magnet,
a moving
El
tipo más
de acelerómetros
son losItpiezoeléctricos,
ilustrados
en lablock
Figura
and
a
coil
in
the
magnet.
When
an
electric
current
from
a
signal
generator
passes
6.4. Estos sensores contienen un cristal piezoeléctrico en su interior, éste
cristal
through the
inside
the shaker,
a force
proportional
to the current
the magnetichay
produce
unacoil
carga
eléctrica
al ser
deformado.
Al seleccionar
unand
acelerómetro
flux density is generated which drives the moving block. An electromagnetic shaker
distintos factores importantes que se deben considerar, estos son; el rango de
has a wide frequency, amplitude and dynamic range. For low frequency and large
frecuencias, sensibilidad, masa y estabilidad bajo cambios de temperatura. La
amplitude excitation, an electrohydraulic exciter can be used.
sensibilidad de un acelerómetro determina la razón entre la señal medida y el
ruido. Mientras más alta es la sensibilidad del acelerómetro más precisas son las
mediciones.
La masa del acelerómetro también es muy importante, ya que puede
7.2.2 Accelerometer
modificar las caracterı́sticas de la estructura. Mientras menor es la masa mejor,
aunque
esto significa
veces sensor
una menor
sensibilidad.
An accelerometer
is themuchas
most common
for modal
testing. It measures acceleration
of a test structure and outputs the signal in the form of voltage. This signal will be
transformed by a signal conditioner before it is processed by an analyser, other
hardware or software. The accelerometer does not assume the properties of the measured
structure such as linearity. An accurate accelerometer only records faithfully the
acceleration at the measurement location.
There are two aspects in the acceleration measurement that a sensor needs to be
capable of dealing with. One is the frequency and the other is the amplitude. Both are
reflected in the input–output relationship of an accelerometer. An ideal accelerometer
should have a linear input and output relationship in order to ensure that the amplitude
content of the acceleration signal at different frequencies is truthfully recorded. The
FRF of the accelerometer should be uniformly flat so that the amplitude of no frequency
is distorted. The accelerometer should also impose zero phase shift to the signal
measured.
shape to
ofshow
a crystal
thus leadingFigure
to the7.3change
electric
charge.
At the
lowoffrequency
their characteristics.
shows aof
typical
frequency
response
curve
end, piezoelectric
accelerometers
do
not
respond
to
DC
signal.
At
the
high
frequency
an accelerometer.
end, the accuracy of measurement is degraded by the natural frequency of the sensor.
When selecting an accelerometer
for modal testing,
number of factors need to be
Sensitivity
Phasea[degrees]
[dB]
thought through. The main parameters affecting the performance of a piezoelectric
30
accelerometer are: the frequency response property; the sensitivity and its stability
under temperature
change;
cross-axial sensitivity and base strain.
20
EL MONTAJE EXPERIMENTAL
80
Ar
10
10
Amplitude
0
Resorte 0
pre-comprimido
–10
Phase
–20
–10
1
2
5
10
20
50
Masa
100 kHz
Cristal
+ an accelerometer
Figure 7.3 A typical chart for
q
The characteristics of an accelerometer are its–potential. They can be fully realized
Cuerpo
if the sensor is connected rigidly on the structure. In reality,
this is not to be the case.
An accelerometer has to be mounted non-rigidly on a structure for measurement. If
of
a acelerómetro
piezoelectric
considered Figure
as aFigura
rigid7.5
mass
block, thede
accelerometer
and piezoeléctrico
its accelerometer
mount can be modelled
6.4:Diagram
Esquema
un
as an SDoF system as shown in Figure 7.4.
The frequency response property determines the linearity of the sensor. The sensitivity
Sensor the signal to noise ratio.
of an accelerometer dictates
Large and stable sensitivity
Acelerómetro
means accurate
Estructura measurement. Cross-axial sensitivity causes inaccuracy in measurement.
Base strain is caused by the flexure of the accelerometer base
interacting non-rigid
Montaje
structure surface. Usually, a more sensitive accelerometer is more bulky. The
accelerometer mass has the potential to change the characteristics ofEstructura
the test structure.
This is particularly so if the accelerometer is located at or close to an anti-nodal point
7.4 An SDoF model of an accelerometer and its mounting
Figura
6.5: mass
Montaje
de un acelerómetro
of a vibration Figure
mode where
a minute
change
can cause significant natural frequency
shift. Thus, when selecting a better sensitivity, we need to be mass conscious.
La precisión de un acelerómetro tiene una alta dependencia con la manera en que
The accuracy of the acceleration measurement depends largely on the mounting
es montado sobre la estructura. En la Figura 6.5 se muestra el montaje tı́pico de un
which
is modelled by a spring and a damper. The accelerometer is of course more
acelerómetro. La flexibilidad del montaje afecta las mediciones del sensor, mientras
just
a mass
block. As Figure 7.3 shows, it has its own natural frequency. This
7.2.3than
Force
más rı́gidotransducer
es el montaje mayor es la precisión. Existen diferentes mecanismos
frequency
is
usually
much
higher magnético,
than the frequency
of the de
SDoF
Figure
de montaje; tornillo,
adhesivo,
capa delgada
cera,system
entre in
otros.
Al
7.4.
The
best
accuracy
would
arise
if
the
mounting
were
rigid.
The
flexibility
ofesto
the
atornillar el sensor
a la estructura
se obtienen
los
mejores
resultados,
aunque
A forcemounting
transducer
is
another
type
of
sensor
used
in
modal
testing.
Like
an
accelerometer,
that the
characteristics
of the accelerometer
aresólo
compromised
significa means
un montaje
experimental
más complejo.
En la práctica,
se utilizan
a piezoelectric
force
transducer
generates
anthe
output
charge
or
voltage
that isthat
proportional
somewhat.
Because
of
it,
acceleration
from
structure
may
be
different
sensores atornillados en estructuras que deben ser monitoreadas de forma from
continua.
by the
However,
if the
natural
frequency
of this SDoF though,
to the experienced
force applied
to accelerometer.
the transducer
(Figure
7.6).
Unlike
an accelerometer
system
is
five
times
or
more
of
the
frequency
of
the
acceleration
signal
from the element.
a force transducer does not have an inertial mass attached to the transducing
Sensor de
fuerzas
It has to6.2.3.
be physically
compressed
or stretched so that the transducing part can
generate output. For a shaker test, a force transducer has to be connected between the
El sensor de fuerzas es otro tipo de sensor utilizado en análisis modal. Al igual que
structureunsurface
and the
shaker.
For a hammer
test,produce
the transducer
located at the
acelerómetro,
un sensor
de fuerzas
piezoeléctrico
una carga ois
voltaje
hammerproporcional
tip and is acompressed
whenA impact
isdeapplied
to.
la fuerza aplicada.
diferencia
un acelerómetro,
un sensor de
fuerzasthe
no tiene
una masa inercial
su interior,
si no que
debe measurement
ser comprimido accuracy
The ways
characteristics
of a enforce
transducer
affect
o estirado fı́sicamente para generar la carga (Figura 6.6). Para un montaje con
EL MONTAJE EXPERIMENTAL
81
un shaker, el sensor de fuerzas se conecta entre la superficie de la estructura en el
shaker. En el caso de un martillo, el sensor se ubica en la punta del martillo y es
comprimido cuando el martillo impacta la superficie.
Las consideraciones para seleccionar un sensor de fuerzas son similares a las de un
acelerómetro: rango de frecuencias, sensibilidad, masa y estabilidad bajo cambios
de temperatura.
Frequency response function measurement
F
Cristales
+
q
–
F
FigureFigura
7.6 6.6:
A diagram
ofuna sensor
piezoelectric
force transducer
Esquema de
de fuerzas piezoeléctrico
are similar to that for an accelerometer. They include frequency response characteristics,
sensitivity and cross-axial sensitivity. The mass of the force transducer can also
potentially affect the measurement outcome. For both force and acceleration sensors,
this problem is most acute when the structure resonates.
The main consideration in selecting a force transducer is to understand how it
interacts with the excitation device to which it connects. For example, when a force
transducer is used on an impact hammer, variation of the hammer tip and the mass of
the hammer handle can cause a different force transducer calibration. When the force
transducer is used with an excitation shaker, the presence of its mass may cause
significant distortion to the force signal measured at structural resonance. The extent
of distortion is dependent on the mass difference between the transducer and the
structure. The mass of the transducer may also be responsible for the sensitivity the
transducer has to bending moments.
7.3 Preparation of the test structure
A real structure is often connected to its surroundings. Therefore, its dynamic
characteristics in situ are determined by the boundary conditions as well as by itself.
When the FRF measurement is to be carried out, the question to be answered is:
‘Under what conditions do we want to test the structure, stand alone or in situ?’ The
answer to this question hinges on two considerations when preparing the structure for
test: (1) do we need the modal model of the structure in its working condition or in
the laboratory environment; and (2) is it realistic to test the structure in situ or in
145
SELECCIÓN DE LA FUERZA DE EXCITACIÓN
6.3.
82
Selección de la fuerza de excitación
La precisión de las mediciones experimentales depende en gran parte de la forma
de la fuerza de excitación utilizada. Aunque teóricamente una FRF no debiese
depender de la excitación utilizada, en la práctica la precisión y calidad de una
FRF depende, entre otros factores, en la elección de la fuerza de excitación. Es
por lo tanto, muy importante en un análisis modal experimental evaluar todos los
métodos posibles de excitación de manera de elegir el más adecuado.
6.3.1.
Excitación sinusoidal
La excitación sinusoidal es la forma más tradicional en análisis modal. La fuerza
contiene una sola frecuencia en un tiempo y la excitación cambia de una frecuencia
a otra con un paso dado, permitiendo a la estructura excitar un modo a la vez.
Esta excitación es efectiva para excitar una estructura con niveles de vibración
altos, para caracterizar no-linealidades de una estructura y para excitar modos
normales de una estructura amortiguada.
La Figura 6.7 presenta una señal sinusoidal tı́pica y su contenido en frecuencias.
Figura 6.7: Señal sinusoidal
SELECCIÓN DE LA FUERZA DE EXCITACIÓN
83
En este caso la dinámica de una estructura se descompone fı́sicamente por frecuencia
y posición. Al sintonizar cerca de una frecuencia natural, la respuesta de la estructura
es dominada por ese modo de vibración. Esta segregación natural proporciona una
via para la identificación directa de parámetros, la que usualmente tiene una buena
razón señal/ruido. Esta es una posibilidad que otros métodos de excitación no
ofrecen.
6.3.2.
Excitación aleatoria
Una señal de excitación aleatoria es una señal aleatoria estacionaria que sigue una
distribución Gaussiana. Contiene todas las frecuencias en el rango seleccionado.
Para una estructura que tiene un comportamiento no-lineal, una excitación aleatoria
tiende a linealizar este comportamiento. Por lo tanto la función de respuesta en
frecuencia derivada de una excitación puramente aleatoria va a ser una versión
linealizada de la FRF. Esta FRF, aunque no contiene información sobre las nolinealidades, es en realidad una función muy útil y es percibida como la “mejor”
estimación para las FRFs. Sin embargo, el hecho que para una excitación aleatoria
ni la fuerza ni las respuestas son periódicas, puede llevar a errores de leakage.
La Figura 6.8 presenta una señal aleatoria tı́pica y su contenido en frecuencias.
Figura 6.8: Señal aleatoria
SELECCIÓN DE LA FUERZA DE EXCITACIÓN
6.3.3.
84
Excitación pseudo-aleatoria
Una señal de excitación pseudo-aleatoria es una señal aleatoria estacionaria que
consiste en frecuencias discretas formadas múltiplos de la resolución en frecuencia
utilizada en la transformada de Fourier. Es una señal periódica con amplitud fija y
fase aleatoria. Esta excitación elimina el problema de leakage de la señal aleatoria
y usualmente entrega FRFs precisas.
La Figura 6.9 presenta una señal pseudo-aleatoria tı́pica y su contenido en
frecuencias.
Figura 6.9: Señal pseudo-aleatoria
6.3.4.
Excitación aleatoria en trenes (burst random)
Una mejor señal que la pseudo-aleatoria es la denominada señal aleatoria en trenes.
Una señal aleatoria en trenes se crea al encender y apagar una señal aleatoria,
de esta manera la medición comienza con una excitación aleatoria y continua
luego que la excitación se ha apagado. El espectro de la señal aleatoria en trenes
tiene amplitud y fase aleatorias y contiene suficiente energı́a en todo el rango de
frecuencias. Al seleccionar adecuadamente el tiempo de apagado de la señal, esta
asemeja una señal pseudo-aleatoria pero sin la necesidad de esperar el decaimiento
de la parte transiente de la respuesta. La proporción de tiempo que esta apagada la
señal de excitación se debe seleccionar de manera que la respuesta de la estructura
SELECCIÓN DE LA FUERZA DE EXCITACIÓN
85
sea cero al final del periodo de medición, este tiempo depende principalmente del
nivel de amortiguamiento en la estructura.
La Figura 6.10 presenta una señal de excitación aleatoria en trenes, su contenido
en frecuencias y la respuesta tı́pica.
Figura 6.10: Señal aleatoria en trenes
6.3.5.
Excitación de impacto
La señal en el tiempo de una señal de fuerza debido a un impacto, es un pulso con
un contenido en frecuencias no controlable. En términos de hardware involucrado,
la excitación por impacto es relativamente simple comparado con la excitación con
un shaker. Es conveniente de usar y muy portable para mediciones en terreno y
laboratorio. Debido a que no existe conexión fı́sica entre la fuerza de excitación y
la estructura, el test de impacto evita el problema de su interacción.
La principal desventaja del test de impacto es la dificultad de controlar el nivel de
la fuerza y su contenido en frecuencias. Esto puede afectar la razón señal/ruido en
las mediciones, resultando en datos de baja calidad.
En la Figura 6.11 se muestra un tı́pica señal de impacto.
EVALUACIÓN INICIAL DE LAS FRFS MEDIDAS
86
Figura 6.11: Señal de impacto
6.4.
Evaluación inicial de las FRFs medidas
La calidad de un análisis modal recae principalmente en la calidad de las FRFs
medidas. Aunque algunos métodos de análisis modal pueden minimizar ciertos
errores en la información obtenida experimentalmente, ningún método puede
rectificar errores fundamentales o mediciones erróneas. Las propiedades modales
obtenidas de FRFs erróneas son susceptibles a errores inaceptables. Debido a esto
se vuelve esencial verificar la calidad de las funciones de respuesta en frecuencia
obtenidas experimentalmente.
Las FRFs medidas deben cumplir básicamente con dos requerimientos: (1) la
estructura satisface los supuestos requeridos en análisis modal y (2) los errores de
sistema y humanos son minimizados o eliminados. Básicamente en análisis modal la
estructura debe cumplir con reciprocidad, invariabilidad en el tiempo y linealidad.
Si estos supuestos no son verificados, las propiedades modales obtenidas no serán
confiables.
Aunque existen algunos métodos para asistir en la búsqueda de posibles errores
en las FRFs medidas, algunos de estos errores no pueden ser identificados. Por
ejemplo, no es posible detectar a partir de las FRFs si el sistema de medición esta
calibrado correctamente.
EVALUACIÓN INICIAL DE LAS FRFS MEDIDAS
6.4.1.
87
Repetibilidad
La verificación más simple, pero no menos útil, es la repetibilidad de las mediciones.
Esto es, asegurar que el comportamiento dinámico de la estructura y de todo el
montaje experimental no depende del tiempo. Para una fuerza de excitación y
un punto de medición seleccionados, una estructura lineal deberı́a dar resultados
idénticos en cada medición. Para un par de puntos de entrada y salida (fuerza
y respuesta), se pueden realizar mediciones a intervalos de tiempo. Tı́picamente,
una FRF seleccionada se mide antes y después que se termine de medir toda la
estructura. Este proceso que parece trivial, puede ser muy útil para verificar no
sólo que el comportamiento de la estructura es constante, sino también que las
condiciones de medición no han cambiado durante todo el experimento.
6.4.2.
Reciprocidad
Una estructura lineal e invariante en el tiempo debe tener la propiedad de
reciprocidad. Esto significa, que una FRF deberı́a ser idéntica si se intercambian la
ubicación de la fuerza y la respuesta. Teóricamente, esta propiedad se puede derivar
a partir de la simetrı́a de las matrices de masa, rigidez y amortiguación. Debido
a esta simetrı́a, la matriz FRF, que es la inversa de la matriz dinámica, también
va a ser simétrica. La propiedad de reciprocidad de la FRF se puede utilizar para
evaluar la fiabilidad y exactitud de los datos medidos.
6.4.3.
Linealidad
El supuesto más común en análisis modal es que la estructura se comporta de
manera lineal. Sin este supuesto, el análisis modal no tiene sentido.
Una manera de verificar la linealidad de una estructura es asegurar que la medición
de las FRFs es independiente de la amplitud de las fuerzas de excitación. Para
verificar esto, se pueden repetir mediciones en una misma ubicación, pero variando
la amplitud de la fuerza de excitación.
6.4.4.
Caracterı́sticas especiales de una FRF
A partir de la teorı́a de análisis modal, se pueden derivar algunas caracterı́sticas de
las FRFs, las que se pueden utilizar para evaluar la calidad de los datos medidos.
Esta evaluación puede detectar errores en las mediciones.
La primera caracterı́stica es la de una FRF directa, en donde el punto de excitación
es el mismo punto de medición. En este caso se espera siempre ver una antiresonancia
Frequency response function measurement
155
response function measurement
7.7.4 Special characteristicsFrequency
of an FRF
155
7.7.4
of derive
an FRF
From theSpecial
theory of characteristics
modal analysis, we can
some characteristics of an FRF and
use them to assess the FRF data measured in modal testing. This assessment has the
88
derive some
characteristics
of an FRF and
potential to detect measurement errorscan
or mistakes
made
during the testing.
useThe
them
to
assess
the
FRF
data
measured
in
modal
testing.
This
assessment
has
the
first characteristic is that for a point FRF measurement we expect to see an
potential
to detect
measurement
errorsresonances.
or mistakes
made
duringofthe
anti-resonance
between
two adjacent
The
rationale
thistesting.
characteristic
characteristic
that
for
a point
measurement
wenot
expect
to
see an
entre
dos
resonancias.
loistanto,
si esta
caracterı́stica
no se observa
en
la medición
hasThe
beenfirst
explained
inPor
Chapter
5. Therefore,
ifFRF
this characteristic
is
fully
observed
between
two
adjacent
resonances.
The
oftransducers
deanti-resonance
una
FRF measurement,
directa,
es muy
probable
quethe
losforce
sensores
de
fuerza
ythis
de characteristic
respuesta
no
on
a point
it is
likely that
andrationale
response
are not
has
been
Chapter
5.as
Therefore,
if this
is not
observed
estén
en realidad
en in
la
misma coordinada.
actually
atexplained
the same
coordinate,
they should
be. characteristic
Any minor offset
offully
the two
could
on
a point measurement,
it is likely that the force and response transducers are not
degenerate
some of the anti-resonances.
Para
una
estructura
empotrada,
aasbajas
frecuencias,
la the
caracterı́stica
actually
at
the
same
coordinate,
theyfrequency
should
be.
Any
minor
offset ofpredominante
the
two could
For a grounded structure, at very
low
range,
predominant
characteristic
some
of
the
anti-resonances.
dedegenerate
la
estructura
es
su
rigidez
estática.
Por
lo
tanto,
al
comienzo
de
una
FRF,
of the structure is its static stiffness. Therefore, at the beginning of the FRF,
we
For asee
grounded
structure,
at
very
low
frequency
range,
the
predominant
characteristic
se should
deberı́a
observar
una
linea
de
rigidez
antes
de
la
primera
resonancia,
como
se
a stiffness line before the first resonance appears. On the other hand, for
of
the
structure
is
its
static
stiffness.
Therefore,
at
the
beginning
of
the
FRF,
we
muestra
en
la
Figura
6.13.
Por
otro
lado,
para
una
estructura
libre,
la
caracterı́stica
a freely supported structure, the prevailing characteristic at very low frequency is the
should
seeinertia.
a astiffness
line
before
thelafirst
resonance
appears.
the other
for
predominante
bajas
masa
la inercia.
significa
que
se FRF.
debe
mass and
Thisfrecuencias
means
we es
should
see
ay mass
line
atEsto
the On
beginning
of hand,
the
aFigures
freelyuna
supported
structure,
prevailing
characteristic
very lowen
frequency
is the
observar
de
masa
althe
inicio
la FRF,
como seatmuestra
la Figura
??.
7.13linea
and 7.14
illustrate
thesedetwo
cases.
mass and inertia. This means we should see a mass line at the beginning of the FRF.
Figures 7.13 and 7.14 illustrate these two cases.
Receptance
FRF(dB)
(dB)
EVALUACI
ÓN INICIAL
FRFS
MEDIDASwe
From the
theory DE
of LAS
modal
analysis,
0
Frecuencia (log)
Figure07.13 A point FRF of a grounded
structure
with the dotted stiffness line
Frequency
(log)
Figura 6.12: FRF directa de una estructura empotrada
Figure 7.13 A point FRF of a grounded structure with the dotted stiffness line
–150
Receptance (dB)
FRF (dB)
–200
–150
–250
–200
–300
–250
–350
–300
–400
–350
–450
–400
–450
0
1
2
3
4
5
Frequency (log)
0
1
2
4 mass line
Figure
7.14 A point
FRF of a free
structure 3with the dotted
Frecuencia (log)
Figure 7.14 A point FRF of a free structure with the dotted mass line
Figura 6.13: FRF directa de una estructura libre
5
Capı́tulo 7
Correlación
Numérico-Experimental y
Ajuste de Modelos
En el diseño de estructuras mecánicas, el comportamiento dinámico es un tema
de vital importancia. La vida útil bajo cargas cı́clicas, niveles de vibración o
ruido, interacción entre sistemas de control y la vibración de la estructura, . . .
son restricciones relevantes en el diseño. Sin embargo, el análisis dinámico de una
estructura no es directo. Los parámetros modales se pueden determinar de manera
experimental o por métodos numéricos. En general, los resultados experimentales
entregan información de la estructura sólo para la configuración experimental.
Un modelo en elementos finitos, en cambio, permite predecir el comportamiento
dinámico de la estructura bajo distintas condiciones de borde y carga, pero la
confiabilidad de un modelo en elementos finitos muchas veces no está garantizada.
Los métodos de ajuste de modelos permiten verificar y corregir estos modelos en
elementos finitos por medio de los datos experimentales. El resultado de un ajuste
de modelo es un modelo en elementos finitos que es más confiable para predicciones
futuras.
El ajuste de un modelo numérico busca desarrollar un modelo en elementos finitos
que entregue predicciones confiables de la dinámica de una estructura mecánica.
En la Figura 7.1 se ilustra el esquema general de un método de ajuste de modelos.
89
•
En los objetivos, agrega ajuste del modelo numérico (o matemático)…para tener un
modelo validado de la suspensión del auto y a partir de este modelo validado realizar
simulaciones y modificaciones.
CORRELACIÓN NUMÉRICO-EXPERIMENTAL Y AJUSTE DE MODELOS
•
90
En la parte de correlación experimental, yo agregaría un esquema como el siguiente:
Funciones de
respuesta en
frecuencia
Modelo
numérico
Estructura real
Análisis
modal
Test dinámico
Frecuencias
naturales y modos
propios
FRFs
experimentales
Frecuencias
naturales y modos
propios
Correlación
buena
Fin
Ajuste del modelo
numérico
Figura 7.1: Esquema general de un ajuste de modelo
En la parte de avance del trabajo, del modelo matemático también obtuviste las
frecuencias y modos de vibración. Pon esas frecuencias, y haz un esquema de los tres
El procedimiento
comienza con la construcción de un modelo en elementos finitos.
modos de vibración.
•
La estructura se divide en elementos conectados por nodos. Cada nodo tiene uno
o más• grados
de libertad.
Los grados
libertad representan
Que diferencia
existe entre
el modelode
"computacional"
y el modelodesplazamientos
matemático? Dado y
deformaciones
de la estructura
en forma
discretizada.
modelo
está
representado
que el modelo
computacional
considera
al auto comoEste
un cuerpo
rígido,
deberían
ser el
por tres mismo
matrices:
de rigidez K, masa M y amortiguación C. A partir de estas
modelo...
matrices se pueden determinar las propiedades modales de la estructura (ver sección
1.2).
Por otro lado, se realiza un análisis modal experimental de la estructura. En
donde se miden las funciones de respuesta en frecuencia en distintos puntos de
la estructura. Luego los parámetros modales se pueden identificar a partir de un
método de identificación de parámetros.
CORRELACIÓN NUMÉRICO-EXPERIMENTAL Y AJUSTE DE MODELOS
91
El ajuste de modelos comienza primero al parear los puntos de medición
experimentales con nodos del modelo numérico. Generalmente, los puntos
experimentales no coinciden completamente con los nodos numéricos. Primero, los
nodos numéricos y los puntos experimental pueden diferir en su ubicación fı́sica.
Esto se puede solucionar con una buena comunicación entre la persona que realiza
el modelo numérico y el que realiza las mediciones experimentales. Segundo, y más
importante, un modelo en elementos finitos tiene muchos mas grados de libertad
que los que se miden experimentalmente. Para algunas técnicas de correlación
es necesario que los grados medidos experimentalmente y los grados del modelo
numérico coincidan. Para resolver esta incompatibilidad con las mallas, se puede o
reducir el modelo numérico a los grados de libertad medidos experimentalmente, o
expandir los datos experimentales al número de grados de libertad numéricos. La
reducción de matrices o expansión datos experimentales es un obstáculo importante
en ajuste de modelos.
Luego de coincidir ambos modelos, el procedimiento continua con la correlación
entre los datos numéricos y experimentales. Existen distintas técnicas de correlación
que se pueden utilizar. Si la correlación es buena el algoritmo termina, y el modelo
en elementos finitos se considera suficientemente bueno. En caso contrario (y más
probable), si la correlación es mala, el modelo en elementos finitos debe ser corregido
por medio de un procedimiento de ajuste.
Los datos numéricos con los experimentales muchas veces no son compatibles por
alguna de las razones siguientes:
Los grados libertad experimentales no coinciden con los grados de
libertad del modelo en elementos finitos: Esto se puede solucionar
parcialmente con algoritmos de redución/expansión.
El conjunto de datos experimentales es incompleto: No sólo el número
de grados experimentales esta limitado, sino también el número de modos que
se pueden determinar experimentalmente. La medición de las funciones de
respuesta en frecuencia se realiza en rango de frecuencias limitado. Por lo tanto,
los modos fuera de este rango no pueden ser identificados. Dependiendo de la
cantidad de información experimental, los resultados del ajuste de modelos
pueden no ser únicos.
Los datos experimentales están contaminados con ruido: En general,
se esperan errores del orden del 3 % en las frecuencias naturales y del 10 %
en las formas modales. El uso de información experimental contaminada con
ruido puede llevar a una ajuste de modelos inadecuado.
El amortiguamiento no se puede incluir de manera precisa en el
modelo numérico: La información de amortiguamiento está inherentemente
presente en los datos experimentales, pero usualmente no se considera en el
PAREAR MODELOS NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
92
modelo en elementos finitos. Esta discrepancia puede causar errores en el
modelo ajustado.
7.1.
Parear modelos numéricos y experimentales
En la mayorı́a de los casos de número de grados de libertad del modelo numérico
excede por mucho el número de grados de libertad medidos. Los modelos en
elementos finitos requieren mallas finas para poder entregar resultados precisos.
No es practico , y muchas veces no es posible, medir todos los grados de libertad
en la estructura real:
Muchos de los grados de libertad son internos y no se puede acceder a ellos
para realizar mediciones.
Los grados de libertad de rotación son difı́ciles de medir.
Para el propósito de análisis modal, no es necesaria una malla muy fina de
puntos de medición.
Sin embargo, muchos algoritmos de ajuste de modelos requieren una correspondencia
uno-a-uno entre los grados de libertad analı́ticos y experimentales. Para lograr esto
se utilizan algoritmos de reducción de modelos numéricos y de expansión de los
datos experimentales.
7.1.1.
Técnicas de reducción
Las técnicas de reducción expresan las ecuaciones de movimiento en términos de los
grados de libertad medidos experimentalmente. En una primera fase, se identifican
los grados de libertad analı́ticos para cada grado de libertad experimental. Esto
define a los grados de libertad “activos”. El resto de los grados de libertad analı́ticos
se denominan grados de libertad “eliminados”:
Xf =
Xa
Xd
donde: Xa = grados de libertad activos
Xd = grados de libertad eliminados
Xf = set completo de grados de libertad
(7.1)
PAREAR MODELOS NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
93
Las técnicas de reducción establecen una relación entre los grados de libertad activos
y los grados de libertad eliminados por medio de una matriz de transformación Td
o Tf :
Xd
=
Td Xa
(7.2)
Xf
=
(7.3)
Tf
=
Tf Xa
I
Td
(7.4)
Tf se utiliza para construir matrices de masa y rigidez reducidas Mr y Kr
respectivamente. Para un sistema sin amortiguamiento se cumple la siguiente
relación:
XfT M Xf
=
XaT Mr Xa
(7.5)
XfT KXf
=
XaT Kr Xa
(7.6)
Sustituyendo Xf por Tf Xa se obtiene:
Mr
= TfT M Tf
(7.7)
Kr
= TfT KTf
(7.8)
Las matrices del sistema reducido entregan sólo una descripción aproximada del
comportamiento dinámico “exacto” del sistema con las matrices completas.
Se sabe que todos los grados de libertad deben cumplir con la ecuación de
movimiento:
K − ω 2 M Xf = Z(ω)Xf = Ff
(7.9)
Para el sistema reducido no deben haber fuerzas externas en los grados de libertad
eliminados. Dividiendo el sistema de ecuaciones en los grados de libertad activos y
los eliminados:
Zaa Zad
Xa
Fa
=
(7.10)
Zda Zdd
Xd
0
despejando Xd se obtiene que:
−1
Xd = −Zdd
Zda Xa
(7.11)
PAREAR MODELOS NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
94
De donde se deduce que:
Td = −Zdd (ωr )−1 Zda (ωr )
(7.12)
Se debe notar que Z está evaluada a una frecuencia ωr , en consecuencia las matrices
Mr y Kr darán resultados exactos para esta frecuencia. Para las otras frecuencias
Mr y Kr dan sólo resultados aproximados, siendo peores al alejarse de ωr . Un caso
particular es la bien conocida reducción de Guyan, en donde se utiliza ωr = 0.
7.1.2.
Técnicas de expansión
las técnicas de expansión expanden los modos experimentales desde el set de grados
de libertad activos al set de grados de libertad completo del modelo analı́tico. La
evaluación de los grados de libertad no medidos en los modos experimentales se
lleva a cabo la mayorı́a de las veces utilizando las relaciones entre los grados activos
y eliminados del modelo numérico.
El método de reducción presentado en la sección anterior se puede utilizar también
como un método de expansión ya que define la relación entre los grados de libertad
activos y eliminados en el modelo analı́tico:
Xd = Td Xa
(7.13)
La misma matriz de transformación se puede utilizar para los modos experimentales:
φde = Td φae
(7.14)
Donde φde representa los grados de libertad eliminados de un modo (o matriz de
modos) experimental y φae los grados de libertad activos.
A continuación se presentan métodos de expansión alternativos.
Mezcla de vectores modales
Este método simplemente completa los grados de libertad faltantes en los modos
experimental con los valores correspondientes de los modos analı́ticos:
a φe
f
φe =
(7.15)
φda
φfe representa un modo experimental (o matriz de modos) con el set completo de
grados de libertad, φda es el modo analı́tico en los grados de libertad no medidos y
φae es el modo experimental en los grados de libertad medidos.
TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
95
Antes de completar el modos experimental con los valores del modo analı́tico, éstos
deben tener la misma escala de modo que:
kφae k = kφaa k
(7.16)
Método de coordenadas modales
Este método define los modos experimentales como una combinación lineal de los
modos analı́ticos. Los coeficientes de la combinación lineal son calculados con los
grados de libertad activos:
φae
=
φaa q
(7.17)
q
=
a
φa+
a φe
(7.18)
La matriz q se utiliza luego para evaluar los grados de libertad experimental
faltantes:
φde = φda q
(7.19)
Interpolación
Los grados de libertad faltantes también se pueden aproximar por medio de
métodos de interpolación. Una ventaja de este método es que no se necesitan
datos numéricos para expandir los datos experimentales. Este método depende
fuertemente de la conexión entre los distintos grados de libertad. En consecuencia,
cada interpolación depende mucho del caso en estudio, lo que dificulta su uso
práctico. En la práctica, estos métodos se aplican en estructuras que consisten en
componentes unidimensionales. También se pueden utilizar para estimar grados
de libertad de rotación a partir de los grados de libertad de traslación, pero este
procedimiento es numéricamente poco estable.
7.2.
Técnicas de correlación
El propósito de los métodos de ajuste de modelo es lograr que el modelo numérico
se acerque lo más posible a los datos experimentales. Para evaluar el nivel de
correlación entre los datos numéricos y experimentales es necesario definir que
parámetros se van a comparar y en que forma. A continuación, se describirán
algunas técnicas usuales de correlación numérica-experimental.
TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
7.2.1.
96
Diferencia en las frecuencias de resonancia
La manera más sencilla de verificar la correlación es comparando las frecuencias
naturales analı́ticas y experimentales. La diferencia máxima permitida depende en
la precisión de las frecuencias naturales.
7.2.2.
Comparación visual de los modos
Modo experimental
Una manera de visualizar la correlación entre dos modos son los denominados
gráficos de 45◦ . En estos gráficos se gráfica un modo experimental versus el modo
analı́tico correspondiente en un gráfico x-y. Si ambos modos son idénticos y tienen
la misma escala, entonces todos los puntos se encuentran sobre una linea de 45◦
que parte desde el origen. La distancia entre los puntos y la lı́nea de 45◦ da una
indicación de la correlación entre los modos. En la Figura 7.2 se ilustra un gráfico
de 45◦ tı́pico.
Modo analítico
Figura 7.2: Gráfico de 45◦
Una manera de asegurar que los modos experimentales tengan la misma escala que
los modos analı́ticos es utilizando el “Factor de Escala Modal (MSF)”. El MSF mide
el factor de escala entre dos modos, los modos experimentales se pueden escalar a
los modos analı́ticos multiplicados por el MSF correspondiente:
φ∗e,i
M SFi
= φe,i · M SFi
(7.20)
φTa,i φe,i
φTe,i φe,i
(7.21)
=
TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
97
Donde φ∗e,i y φe,i es el iésimo modo experimental escalado y original, φa,i es el
iésimo modo analı́tico, y M SFi es el factor de escala modal para el modo i. Al
multiplicar el modo experimental por el MSF correspondiente, también se soluciona
el problema que los modos analı́tico y experimental pueden estar con un desfase de
180◦ .
7.2.3.
Modal Assurance Criterion
El “Modal assurance criterion (MAC)” expresa la correlación que es visualizada en
un gráfico de 45◦ en un sólo número. Se define como:
2
φTa,i φe,j
M ACij = T
φa,i φa,i φTe,j φe,j
(7.22)
Donde φa,i es el iesimo modo analı́tico y φe,j es el jesimo modo experimental. Un
valor de 0 indica que no hay correlación, mientras que un valor de 1 indica dos
modos perfectamente correlacionados. Al ordenar todos los valores M ACij en una
matriz, la diagonal deberı́a tener valores altos (en general mayores a 0.8) para una
buena correlación. Una ventaja del MAC es que la correlación no depende de la
escala de los modos, sino que sólo de forma de éstos. En la Figura 7.3 se representa
gráficamente una matriz de valores MAC tı́pica.
1
116
0.9
Modos Experimentales (Hz)
58.9
56.6
0.8
44.7
0.7
39
0.6
31.2
0.5
28.4
0.4
26.3
24.2
0.3
19
0.2
15.4
0.1
13
12.7 15.2 19.4 24.2 26.3 28.3 31.4 38.4 43.8
57 58.7 116
Modos numéricos (Hz)
Figura 7.3: Matriz de valores MAC
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
7.2.4.
98
Frequency Response Assurance Criterion
Tal como el MAC mide la correlación de dos vectores modales, el “Frequency
Response Assurance Criterion (FRAC)” mide la correlación entre dos funciones de
respuesta en frecuencia. Se define de manera equivalente al MAC como:
2
a
e
ω=ω1 Hpq (ω)Hpq (ω)
Pω2
Pω2
e
e
a
a
ω=ω1 Hpq (ω)Hpq (ω)
ω=ω1 Hpq (ω)Hpq (ω)
Pω2
F RACpq =
(7.23)
Donde Hpq es la función de respuesta en frecuencia cuando la excitación es en
el punto p y se mide en el punto q. Los indices a y e se refieren a analı́tico y
experimental respectivamente. Por último, ω1 y ω2 es el rango de frecuencias en
que se quiere correlacionar las FRFs.
Como en el caso del MAC, un valor del FRAC igual a 1 equivale a dos FRFs
perfectamente correlacionadas, mientras que un valor cercano a 0 indica una mala
correlación.
7.3.
Métodos iterativos de ajuste de modelos
Los métodos más utilizados en ajuste de modelo son métodos iterativos basado
en gradientes. Estos métodos minimizan una función error ε que relaciona los
parámetros experimentales con los entregados por el modelo numérico. Esta función
de error puede estar compuesta de distintos residuos:
La diferencia entre las frecuencias naturales analı́ticas y experimentales.
La diferencia entre los modos analı́ticos y experimentales.
El balance de fuerzas a una frecuencia especifica.
La diferencia entre las funciones de respuesta en frecuencia analı́ticas y
experimentales.
El problema se resuelve con una aproximación de Taylor de primer orden
ε(β) = ε(β0 ) +
X ∂ε
∆βi
∂βi
i
(7.24)
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
99
Donde β = {β1 , β2 , . . . βm } es un vector de parámetros a ser actualizados. ∆βi =
βij+1 − βij , βij es el valor actual del parámetro y βij+1 es el valor estimado.
Las derivadas parciales de primer orden son evaluadas numéricamente. Definiendo
una matriz S que contenga las derivadas parciales del residuo con respecto a los
parámetros β:


∂ε1 ∂ε1
∂ε1
...
 ∂β1 ∂β2
∂βn 
 ∂ε
∂ε2
∂ε2 
2


...


∂β
∂β
∂β


1
2
n
(7.25)
S=

..
..
 ...
. ... 
.


 ∂εn ∂εn
∂εn 
...
∂β1 ∂β2
∂βn
la ecuación 7.24 se puede escribir como:
∆ε = S∆β,
∆ε = zE − zA (β)
(7.26)
Donde zE and zA (β) son los datos experimentales y analı́ticos respectivamente, ∆ε
es el vector de residuos.
El vector de parámetros β es estimado al minimizar la siguiente función objetivo,
T
J(β) = (S∆β − ∆ε) (S∆β − ∆ε)
(7.27)
Este problema de minimización se resuelve por mı́nimos cuadrados. La solución
viene dada por,
∆β = S + ∆ε
Donde S + es la pseudoinversa

S −1

+
T
(S S)−1 S T
Sn×m =
 T T −1
S (S S)
(7.28)
de la matriz S:
n=m
n>m
n<m
(7.29)
donde n es el número de mediciones y m el número de parámetros. La ecuación
7.28 se puede escribir de manera equivalente como,
β j+1 = β j + S(β j )+ ∆ε(β j )
(7.30)
Donde ∆βi = βij+1 − βij , βij es el valor actual del parámetro y βij+1 es el valor
estimado. El valor final de β se obtiene por un procedimiento iterativo; la ecuación
7.30 es iterada hasta que se alcanza convergencia.
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
100
La ecuación 7.27 pondera de igual forma a todos los datos experimentales. Sin
embargo, serı́a preferible dar mayor peso a los datos que se saben son más precisos.
Por ejemplo, se sabe que las frecuencias naturales se pueden determinar de manera
más precisa que los modos, o que los primeros modos contienen menos contaminación
por ruido que los modos de frecuencias más altas. Para compensar estas diferencias
se pueden utilizar matrices de ponderación. La función a minimizar considerando
una matriz de ponderación viene dada por,
T
J(β) = (S∆β − ∆ε) Wεε (S∆β − ∆ε)
(7.31)
Donde Wεε es una matriz definida positiva. En general, se define Wεε como
una matriz diagonal cuyos elementos son la inversa de la varianza de los datos
experimentales. La solución del problema de minimización viene dada por,
−1
β j+1 = β j + S(β j )T Wεε S(β j )
S(β j )T Wεε ∆ε(β j )
(7.32)
El problema iterativo definido en la ecuación 7.32 puede estar mal condicionado. En
un problema mal condicionado no se puede asegurar la convergencia. Una solución
al problema de mal condicionamiento es la regularización de las ecuaciones. La
regularización de Tikonov es el método mas utilizado. En este caso, se añade un
termino adicional a la función objetivo para penalizar por el cambio relativo de los
parámetros. De esta manera se incentivan cambios pequeños de los parámetros en
cada paso, favoreciendo la convergencia. La función objetivo queda como,
T
J(β) = (S∆β − ∆ε) Wεε (S∆β − ∆ε) + ∆β T Wββ ∆β
(7.33)
Donde Wββ = Iα es una matriz diagonal cuyos elementos son iguales al parámetro
de regularización α. La solución a la ecuación 7.33 es,
−1
β j+1 = β j + S(β j )T Wεε S(β j ) + Wββ
S(β j )T Wεε ∆ε(β j )
(7.34)
El valor del parámetro de regularización α se selecciona utilizando la curva ‘L’
de Hansen. La curva de ‘L’ es un gráfico de la norma de ∆β T Wββ ∆β versus la
T
norma del residuo (S∆β − ∆ε) Wεε (S∆β − ∆ε). El valor óptimo del parámetro
de regularización corresponde al punto de máxima curvatura en la curva del gráfico
log-log de la curva de ‘L’.
Existen algunos métodos estándar para construir la matriz de gradientes S. A
continuación se describirán estos métodos cuando los siguientes datos son utilizados:
(1) modos y frecuencias naturales y (2) funciones de respuesta en frecuencia.
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
7.3.1.
101
Modos y frecuencias naturales
Un método bien establecido es el “inverse eigen-sensitivity method” (IESM). El
que correlaciona valores y modos propios. La función de error se define como,
ελ,k
=
λE,k − λA,k
λE,k
(7.35)
εφ,k
= φE,k − φA,k
(7.36)
Donde λk , φk son los kesimo valor y modo propio respectivamente. Los subı́ndices
A, E se refieren a analı́tico y experimental respectivamente.
Las derivadas de los valores y modos propios, se pueden calcular a partir de las
relaciones dadas por Fox y Kapoor (1968),
∂λA,k
∂K
∂M
T
= φA,k
− λA,k
φA,k
(7.37)
∂βi
∂βi
∂βi

∂K
∂M
T
φ
−
λ
φ
N
A,k
A,k 
X
 A,j ∂βi
∂βi

 φA,j
=


(λA,k − λA,j )

∂φA,k
∂βi
(7.38)
j=1,6=r
K y M son las matrices de rigidez y masa del modelo numérico. La ecuación 7.38
requiere el calculo de todos los modos propios. Aunque, las derivadas se pueden
aproximar con los primeros términos de la serie en el ecuación 7.38.
Las derivadas de las matrices de rigidez y masa,
∂K
∂M
y
, se pueden estimar
∂βi
∂βi
utilizando diferencias finitas:
∂K
∂βi
=
K(βi + δ) − K(βi )
δ
(7.39)
∂M
∂βi
=
M (βi + δ) − M (βi )
δ
(7.40)
donde δ es un número pequeño.
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
La matriz de gradientes S y

∂λA,1
 ∂β1 /λA,1 ,

∂φA,1



∂β1

..
S=
.

 ∂λ
A,m

/λA,m ,

 ∂β1

∂φA,m
∂β1
el vector de residuos viene dados por,

∂λA,1
... ,
/λA,1 
∂βn

∂φA,1

...


∂βn

..
..

.
.


∂λA,m

... ,
/λA,m 
∂βn


∂φA,m
...
∂βn

(λE,1 − λA,1 )/λA,1




φE,1 − φA,1


..
∆ε =
.



(λ
−
λ

A,m )/λA,m

 E,m
φE,m − φA,m
7.3.2.







102
(7.41)
(7.42)






Funciones de respuesta en frecuencia
El método denominado “response function method (RFM)” propuesto por Lim y
Edwins (1990) utiliza directamente los funciones de respuesta en frecuencia. La
función de error está definida como,
j
j
εα = αA
− αE
(7.43)
Donde αj representa la jesima columna de la matriz de FRFs α. Los subı́ndices A,
E se refieren a analı́tico y experimental respecticamente.
Lim y Edwins demostraron la siguiente relación,
j
j
∂ αA
− αE
∂Z j
= αA
α
∂βi
∂βi E
(7.44)
Z es la matriz de rigidez dinámica. Sus gradientes a una frecuencia dada, ω, se
pueden determinar como,
∂ K − ω2 M
∂Z
∂K
∂M
=
=
− ω2
(7.45)
∂βi
∂βi
∂βi
∂βi
K y M son las matrices de rigidez y masa del modelo numérico. Los gradientes de
∂K
∂M
las matrices de rigidez y masa,
and
, se pueden determinar por diferencia
∂βi
∂βi
finitas, como se describe en la ecuaciones 7.39 y 7.40.
MÉTODOS ITERATIVOS DE AJUSTE DE MODELOS
103
La matriz de gradientes S y el vector de residuos viene dados por,



S=


∆ε =
∂Z j
α (ω1 ),
...
∂β1 E
..
..
.
.
∂Z j
−αA (ωnf )
α (ωnf ), . . .
∂β1 E





−αA (ω1 )
j
j
αE
(ω1 ) − αA
(ω1 )
..
.
j
αE
(ωnf )
−
j
αA
(ωnf )



∂Z j
α (ω1 )
∂βn E
..
.
∂Z j
, −αA (ωnf )
α (ωnf )
∂βn E
, −αA (ω1 )






(7.46)
(7.47)


Donde ω1 , ω2 , . . . ωnf representan las frecuencias seleccionadas para definir la
función de error.
Capı́tulo 8
Ejemplos de Análisis Modal en
Estructuras Reales
8.1.
Estructura de barras
La estructura consiste en un ensamble tridimensional de barras estáticamente
indeterminado, compuesto por 43 barras y 20 uniones. Las dimensiones de la
estructura son: largo 3m, ancho 0.5m y alto 0.5m. Las barras están formadas por
tubos de aluminio con un diámetro de 22mm y un espesor de 1mm. En la Figura
8.1 se muestra el montaje experimental, la estructura esta suspendidas por resortes
blandos para simular una condición de borde libre.
Los puntos de medición, excitación y suspension se definieron con la ayuda de
un modelo numérico. Este modelo utiliza elementos de viga 3D para modelar las
barras y masas concentradas en las uniones. La configuración óptima de puntos de
medición se definió al minimizar los valores fuera de la diagonal de la matriz MAC.
Este procedimiento asegura que los modos sean independientes entre sı́. Para efectos
de visualización, se utilizaron acelerómetros tri-axiales en los puntos seleccionados.
Como resultado se midieron 20 × 3 grados de libertad, un acelerómetro triaxial por
unión.
La ubicación de los puntos de excitación y suspensión se seleccionó de acuerdo
a un estudio de los driving point residues (DPR). Los puntos de excitación son
los grados de libertad con DPR altos para el mayor numero de modos. En la
Figura 8.2 se muestra los DPR promedio (en los primeros 12 modos) para los
60 grados de libertad medidos. Los primeros cuatro máximos corresponden a las
cuatro esquinas inferiores de la estructura cuando son excitadas en la dirección
104
ESTRUCTURA DE BARRAS
105
x. Los cuatro máximos siguientes corresponden a las esquinas superiores cuando
son excitadas en la dirección z. De acuerdo a estos resultados se seleccionaron dos
puntos de excitación (ver Figura 8.3(a)), el primero en una esquina inferior en la
dirección x y el segundo en una esquina superior en la dirección z.
z
y
x
Figura 8.1: Montaje experimental de la estructura de barras
4.5
x 10
-3
↓ ↓ ↓ ↓
4
Average DPR
3.5
3
↓
↓
↓
↓
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
Degree of Freedom
Figura 8.2: Driving point residues promedio para los posibles puntos de excitación
ESTRUCTURA DE BARRAS
106
z
y
x
(a) Puntos de excitación
(b) Puntos de suspensión
Figura 8.3: Puntos de excitación y suspensión seleccionados
Los puntos de suspensión se seleccionaron buscando puntos donde fuese factible
suspender la estructura y que tuviesen un DPR promedio bajo. En la Figura 8.4 se
muestran los puntos candidatos para la suspensión y sus valores DPR. La ubicación
fı́sica de los puntos seleccionados se puede visualizar en la Figura 8.3(b).
El rango de frecuencias de medición es de 0 a 256Hz con una resolución de 0.25Hz.
Este rango contiene todos los modos globales y unos pocos modos locales. En la
Figura 8.5 se muestran los 12 modos globales identificados.
4.5
x 10
-3
4
Average DPR
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
↓
10
↓
20
↓
30
40
↓
50
60
Degree of Freedom
Figura 8.4: Driving point residues promedio para los posibles puntos de suspensión
ESTRUCTURA DE BARRAS
107
(a) Modo 1, ω = 13,03Hz
(b) Modo 2, ω = 15,37Hz
(c) Modo 3, ω = 19,05Hz
(d) Modo 4, ω = 24,23Hz
(e) Modo 5, ω = 26,31Hz
(f) Modo 6, ω = 28,42Hz
(g) Modo 7, ω = 31,17Hz
(h) Modo 8, ω = 39,04Hz
(i) Modo 9, ω = 44,71Hz
(j) Modo 10, ω = 56,64Hz
(k) Modo 11, ω = 58,87Hz
(l) Modo 12, ω = 115,6Hz
Figura 8.5: Doce modos globales identificados
ESTRUCTURA DE BARRAS
8.1.1.
108
Modelo numérico
El modelo numérico se construyó en Matlab utilizan elementos de viga 3D para las
barras e inercias concentradas para las uniones. Cada barra se modeló con cuatro
elementos de viga, como se muestra en la Figura 8.6. Los grados de libertad de
rotación fueron eliminados por medio de una metodologı́a de reducción de Guyan.
En total, el modelo tiene 447 grados de libertad y 192 elementos. Se identifican
12 modos globales con frecuencias entre 12Hz y 125Hz, los modos siguientes son
modos locales de las barras.
Figure 2
1
2
3
4
Figura 8.6: Modelo en elementos finitos de cada barra
En la Figura 8.7 se muestra la correlación entre los modos numéricos y
experimentales, donde ωE y ωA son las frecuencias naturales experimentales y
analı́ticas respectivamente. El valor MAC indica la correlación entre las formas
modales numéricas y experimentales. La máxima diferencia en frecuencia es del
2,3 % y el MAC mı́nimo es 0,86.
Es importante destacar que la correlación numérico-experimental mostrada, es una
vez realizado el ajuste del modelo numérico.
ESTRUCTURA DE BARRAS
109
ωA = 12.72 Hz
ωA = 15.25 Hz
ωA = 19.38 Hz
ωE = 13.03 Hz
ωE = 15.37 Hz
ωE = 19.05 Hz
MAC = 0.97
MAC = 0.98
MAC = 0.99
(a) Modo 1
ωA = 24.25 Hz
(b) Modo 2
ωA = 26.29 Hz
(c) Modo 3
ωA = 28.33 Hz
ωE = 24.23 Hz
ωE = 26.31 Hz
ωE = 28.42 Hz
MAC = 0.98
MAC = 0.92
MAC = 0.93
(d) Modo 4
ωA = 31.43 Hz
ωE = 31.17 Hz
MAC = 0.92
(e) Modo 5
(f) Modo 6
ωA = 38.43 Hz
ωA = 43.84 Hz
ωE = 39.04 Hz
ωE = 44.71 Hz
MAC = 0.98
MAC = 0.97
(g) Modo 7
(h) Modo 8
(i) Modo 9
ωA = 115.8 Hz
Z = 56.93 Hz
A
ZA = 58.8 Hz
ZE = 56.64 Hz
ZE = 58.87 Hz
ωE = 115.6 Hz
MAC = 0.88
MAC = 0.86
MAC = 0.97
Numérico
(j) Modo 10
(k) Modo 11
Experimental
(l) Modo 12
Figura 8.7: Comparación entre los modos numéricos y experimentales
MODELO A ESCALA DE UN AVION
8.2.
110
Modelo a escala de un avion
La estructura simula el comportamiento dinámico de un avion. Está formada
por vigas de acero. El fuselaje consiste en una viga recta de sección rectangular,
mientras que vigas planas forman las alas y cola. Las turbinas están representadas
por dos masas conectadas a las alas.
El montaje experimental se ilustra en la Figura 8.8. La estructura está suspendida
por tres resortes y un shaker electrodinámico la excita con una señal aleatoria en
al punta del ala. La respuesta es capturada por 11 acelerómetros.
Figura 8.8: Montaje experimental del avion a escala
El test es realizado en una rango de frecuencias de 0 − 130Hz. Se obtuvieron modos
operacionales mediante en método en el dominio del tiempo (stochastic subspace
identification method). Los modos identificados se muestran en la Figura 8.9.
MODELO A ESCALA DE UN AVION
111
(a) Modo 1, ω = 18,44Hz
(b) Modo 2, ω = 39,84Hz
(c) Modo 3, ω = 81,34Hz
(d) Modo 4, ω = 83,44Hz
(e) Modo 5, ω = 91,18Hz
(f) Modo 6, ω = 99,32Hz
Figura 8.9: Primeros seis modos experimentales del avion a escala
8.2.1.
Modelo numérico
El modelo numérico se construyó en Matlab con elementos de viga 3D para el
fuselaje, alas y cola e inercias concentradas para las turbinas. El modelo numérico
tiene 43 elementos y 252 DOF, como se ilustra en la Figura 8.10.
Las propiedades iniciales del modelo numérico fueron ajustadas para coincidir con
los modos y frecuencias naturales. La Figura 8.11 presenta la correlación entre los
modos numéricos y experimentales, donde ωE y ωA son las frecuencias naturales
experimentales y analı́ticas respectivamente. El MAC mide la correlación entre los
modos numéricos y experimentales. El MAC mı́nimo tiene un valor de 0,82 y la
diferencia máxima de frecuencias es del 2,0 %.
MODELO A ESCALA DE UN AVION
112
40
30
39 38
37
36
35
34
33
31
32
29
28
27
26
16
25
15
14
24
13
12
11
22
19
9
21
10
9
42
21
23
20
8
41
7
6
20
5
18
4
17
3
2
8
1
43
Figura 8.10: Modelo en elementos finitos
MAC = 0.98
ωA = 18.43 Hz, ωE = 18.44 Hz
MAC = 0.99
ωA = 39.8 Hz, ω E = 39.84 Hz
MAC = 0.93
ωA = 82.17 Hz, ωE = 81.34 Hz
(a) Modo 1
(b) Modo 2
(c) Modo 3
MAC = 0.82
ZA = 82.75 Hz, ZE = 83.44 Hz
MAC = 0.91
ZA = 89.83 Hz, ZE = 91.18 Hz
0$& Z$ +]Z( +]
Numérico
(d) Modo 4
(e) Modo 5
([SHULPHQWDO
(f) Modo 6
Figura 8.11: Comparación entre los modos numéricos y experimentales
-
To avoid coupling between lateral and vertical modes, the width and height of the cross
section was chosen to be different.
-
The reinforcement ratio should be within a realistic range. By a proper choice of steel
quality, the interval between the first crack appearance and the failure of the beam, i.e.
yielding of tensile steel reinforcement is made large enough to be able to study the
VIGA DE CONCRETO REFORZADO
113
progressive degradation of the beams and its consequences for the modal parameters.
8.3.
Figure Viga
4.1 plotsde
the concreto
cross section ofreforzado
the beams: there are 6 reinforcement bars of diameter
16 mm, equally distributed over tension and compression zone, corresponding to a
La estructura consiste en una viga de concreto de largo 6m y una sección de
ratio
of about
1.4%.con
Theun
length
of all de
tested
beams
is 6 m. Shear
reinforcement
0,2 reinforcement
× 0,25m2 . Seis
vigas
de acero
diámetro
16mm
refuerzan
la viga.
30
vigas
de
acero
con
un
diámetro
de
8mm
refuerzan
transversalmente
la
viga,
como
consists of stirrups of diameter 8 mm placed every 200 mm. The total weight of each beam is
se muestra en la Figura 8.12. El peso total de la viga es de 750kg.
about 750 kg.
Figure 4.1 Cross section of the beam and steel reinforcement
Figura 8.12: Sección de la viga y refuerzos
4.1.3 Load program
The beams are damaged progressively during static loading (Figure 4.2a). The static supports
differ for the different beams as indicated in Table 4.1. The loading sequence is indicated in
Table 4.2 to 4.5. After every static load step, a dynamic test is performed on the beam in a
free set-up (Figure 4.2b).
The progressive crack patterns for the beams 2, 3, 4 and 5 are given in Figure 4.3 to 4.6. The
four point bending (beam 3) results in a wider damaged zone than the damaged zone of
beam 2 (three point bending). Two different damage zones are present in beam 4, both with a
maximal crack height at the location of the static force. This was established by moving the
static loads from one side of the beam to another after five load steps. The reason to do so is
to create different, non-equal damage zones at non-symmetrical locations in the beam. The
Figura 8.13: Montaje experimental para la viga reforzada
VIGA DE CONCRETO REFORZADO
114
La Figura 8.13 muestra el montaje experimental. La viga está suspendida
por resortes blandos, simulando una condición de borde libre. La aceleración
verticalmente en 62 puntos distribuidos equidistantes en la cara superior a lo
largo de la viga. Un martillo de impacto excita a la viga en uno de las esquinas,
excitando también los modos torsionales. Las mediciones son realizadas en un rango
de frecuencias de 0 − 625Hz. Se identifican los modos operacionales por medio de
un algoritmo en el dominio del tiempo (stochastic subspace identification method).
La Figura 8.14 muestra los primeros seis modos identificados.
(a) Modo 1, ω=22.76Hz
(b) Modo 2, ω=64.85Hz
(c) Modo 3, ω=126.9Hz
(d) Modo 4, ω=186.4Hz
(e) Modo 5, ω=208.4Hz
(f) Modo 6, ω=302.8Hz
Figura 8.14: Primeros seis modos experimentales
8.3.1.
Modelo numérico
El modelo numérico se construyó en Matlab utilizando elementos de viga 2D,
como se muestra en la Figura 8.15. Tiene 30 elementos de viga y 62 grados de
libertad. Luego de ajustar el modelo numérico las propiedades de la viga son:
Modulo de Young 3,60 · 1010 P a, densidad 2500kg/m3 , area 0,05m2 e inercia de la
sección 1,93 · 10−4 m4 . El modelo numérico no incluye grados de libertad torsionales.
Por lo tanto, solo se consideran los modos de flexión. La Figura 8.16 presenta la
VIGA DE CONCRETO REFORZADO
115
correlación numérica-experimental de los primeros cuatro modos de flexión. La
máxima diferencia en frecuencias es del 2,46 % y el MAC mı́nimo es 0,996.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Figura 8.15: Modelo en elementos finitos de la viga reforzada
ωA = 23.32 Hz, ωE = 22.76 Hz, MAC= 0.998
(a) Modo 1
(b) Modo 2
ZA = 126 Hz, ZE = 126.9 Hz, MAC= 0.997
Numérico
(c) Modo 3
ωA = 64.29 Hz, ωE = 64.85 Hz, MAC= 0.997
ZA = 208.4 Hz, ZE = 208.4 Hz, MAC= 0.996
Experimental
(d) Modo 4
Figura 8.16: Comparación entre los modos numéricos y experimentales
TUBO DE ESCAPE DE UN AUTO
8.4.
116
Tubo de escape de un auto
En la Figura 8.17 se muestra el montaje experimental. La estructure corresponde a
un tubo de escape de un auto. Las dimensiones son: largo 2.3m, ancho 0.45m. El
tubo de escape esta hecho de acero y tiene un diámetro de 38mm. Resortes blandos
suspenden a la estructura y un shaker electrodinámica la excita. La respuesta es
capturada por 20 acelerómetros distribuidos en la estructura. Las mediciones se
realizan en un rango de frecuencias de 0-1024Hz con una resolución en frecuencias
de 0.25Hz. La Figura 8.18 muestra los primeros cuatro modos identificados.
Figura 8.17: Montaje experimental del tubo de escape
(a) Modo 1, ω=27.2Hz
(b) Modo 2, ω=63.4Hz
(c) Modo 3, ω=169Hz
(d) Modo 4, ω=291Hz
Figura 8.18: Primeros cuatro modos experimentales
TUBO DE ESCAPE DE UN AUTO
8.4.1.
117
Modelo numérico
El modelo numérico se construyo en Matlab, el tubo de escape se aproximó como la
unión de varios tubos de diferentes diámetros, el espesor de los tubos fue definido
inicialmente como 0.8mm. En la Figura 8.19 se muestra la geometrı́a aproximada,
las dimensiones están en milı́metros y los ángulos en grados.
.2
54
10
235
45 57
75 81
75 60
47
38
60 45 25
360
30
44
195
20
5
300
44
38

30
597
140
20 40 45
190
15 44
Figura 8.19: Geometrı́a aproximada utilizada en el modelo númerico
El modelo numérico mostrado en la Figura 8.20 fue construido en Matlab con
elementos de viga 2D e inercias concentradas para las masas. Se utilizaron
propiedades genéricas para el acero; Modulo de Young 2,1 · 1011 P a, densidad
7800kg/m3 , coeficiente de Poisson 0,3. El modelo tiene 47 elementos de viga y 3
inercias, con 144 grados de libertad.
Se ajustó el espesor del tubo, el peso de las inercias y las propiedades del material
para coincidir con los modos experimentales. En la Figura 8.21 se presenta la
correlación numérica-experimental de los primeros cuatro modos de flexión. La
máxima diferencia en frecuencias es del 2.78 % y el MAC mı́nimo es 0.98.
TUBO DE ESCAPE DE UN AUTO
118
Figura 8.20: Modelo en elementos finitos
ωE=27.2 Hz, ωA=26.5 Hz, MAC= 0.988
ωE=63.4 Hz, ωA=63.5 Hz, MAC= 0.986
(a) Modo 1
(b) Modo 2
ZE=169 Hz, ZA =171 Hz, MAC= 0.994
Numérico
(c) Modo 3
ZE=291 Hz, ZA =287 Hz, MAC= 0.98
Experimental
(d) Modo 4
Figura 8.21: Correlación numérico-experimental de los modos
EL PUENTE I-40
8.5.
119
El puente I-40
La estructura corresponde al antiguo puente I-40 sobre Rio Grande en New Mexico.
En la Figura 8.22 se ilustra una vista en elevación de la porción del puente que fue
sometida a un análisis modal. La sección del puente consiste en tres tramos. Los
dos tramos en los extremos son de igual largo, 39m, el tramo central tiene 49.7m
de largo. En la Figura 8.23 se muestra una vista en sección del puente, el puente
esta conformado por una sección de concreto soportado por dos vigas laterales de
acero y tres vigas intermedias. Las cargas de las vigas intermedias se transmiten a
las vigas laterales por medio de vigas cruzadas ubicadas en intervalos de 6.1m.
39.9 m
49.7 m
39.9 m
y
Pier 3
Pier 2
z
Pier 1
Figura 8.22: Vista en elevación de la sección del puente estudiada
0.178m
Stringers (21 WF 62)
Plate Girder
3.05m
L 5x5x5/16
Bracing
2.06m
36 WF 182 or 36 WF 150
Floor Beam
Plate Girder
2.29m
2.29m
2.29m
2.29m
Figura 8.23: Sección del puente I-40
2.06m
EL PUENTE I-40
120
Durante las mediciones el puente fue excitado por medio de un shaker hidráulico y
se midió la respuesta por medio de 26 acelerómetros como se muestra en la Figura
8.24. La estructura fue excitada por una señal aleatoria de frecuencias entre 2Hz y
12Hz. Los modos se obtienen a partir de un método de identificación en el dominio
del tiempo. En la Figura 8.25 se muestran los primeros seis modos experimentales.
Shaker
Figura 8.24: Mediciones experimentales
(a) Modo 1, ω=2.48Hz
(b) Modo 2, ω=2.95Hz
(c) Modo 3, ω=3.49Hz
(d) Modo 4, ω=4.08Hz
(e) Modo 5, ω=4.17Hz
(f) Modo 6, ω=4.64Hz
Figura 8.25: Primeros seis modos experimentales
EL PUENTE I-40
8.5.1.
121
Modelo numérico
El modelo numérico se construyó utilizando una sección aproximada del puente, la
que se muestra en la Figura 8.26, la que consiste en los siguientes componentes:
1. Una sección de concreto de espesor constante, con un area equivalente a la
mostrada en la Figura 8.23.
2. Dos vigas de acero laterales.
3. Tres vigas de acero intermedias.
4. Vigas de acero cruzadas.
El modelo numérico se construyó en Matlab. La sección de concreto y las vigas
laterales se modelaron con elementos de placa. Las vigas de acero intermedias y
cruzadas se modelaron con elementos de viga 3D. Se utilizaron propiedades de
material genéricas:
Concreto: Modulo de Young: E = 3,0 · 1010 P a, densidad: ρ = 2300kg/m3 ,
coeficiente de Poisson: ν = 0,2.
Acero: Modulo de Young: E = 2,1 · 1011 P a, densidad: ρ = 7800kg/m3 , coeficiente
de Poisson: ν = 0,3.
261’’
21 WF 62
8.7’’
120’’
36 WF 182 or 36 WF 150
90’’
90’’
0.375’’
Y
21’’ or 24’’
1.5” or 2.625”
(top & bottom)
Figura 8.26: Sección aproximada del puente
X
EL PUENTE I-40
122
La Figura 8.27 muestra el modelo numérico. Tres resortes conectados en la parte
superior del último pilar simulan la rigidez añadida por la sección siguiente del
puente que comparte este pilar. Las constantes de los resortes vienen dadas por:
kx = 3,17 · 106 N/m
ky = 1,26 · 106 N/m
kz = 4,29 · 106 N/m
Donde kx , ky y kz son las rigideces de los resortes en las direcciones x, y y z. En
la parte inferior de los pilares se restringen los 6 grados de libertad. En el extremo
derecho del puente se restringen todos los grados de libertad de traslación y las
rotaciones con respecto a los ejes Y y Z. Se eliminaron los grados d libertad del
modelo numérico por medio del método de Guyan, como resultado se tienen 711
grados de libertad.
Las propiedades iniciales del modelo numérico fueron ajustadas para coincidir con
los resultados experimentales. En la Figura 8.28 se presenta la correlación numéricaexperimental de los primeros seis modos. La máxima diferencia en frecuencias es
del 2.45 % y el MAC mı́nimo es 0.979.
Figura 8.27: Modelo en elementos finitos
EL PUENTE I-40
123
ωA= 2.48 Hz, ωE= 2.48 Hz, MAC= 0.997
ωA= 3.02 Hz, ωE= 2.96 Hz, MAC= 0.992
(a) Modo 1
(b) Modo 2
ωA= 3.58 Hz, ωE= 3.50 Hz, MAC= 0.994
ωA= 4.18 Hz, ωE= 4.08 Hz, MAC= 0.979
(c) Modo 3
(d) Modo 4
ZA= 4.14 Hz, ZE= 4.17 Hz, MAC= 0.982
Z = 4.70 Hz, Z = 4.63 Hz, MAC= 0.981
1XPéULFo
(e) Modo 5
A
E
([SHULPHQWDO
(f) Modo 6
Figura 8.28: Comparación entre los modos numéricos y experimentales
Bibliografı́a
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2006.
[4] W. Heylen, S. Lammens, and P. Sas. Modal analysis theory and testing.
Katholieke Universteit Leuven, Departement Werktuigkunde, 2006.
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