Demostración de la cota inferior de Cramer y Rao (CICR) Sea ˆθ = h

Demostración de la cota inferior de Cramer y Rao (CICR)
h i
ˆ Supongamos que
Sea ✓ˆ = h (x1 , . . . , xn ) y supongmos que E ✓ˆ = ✓ + B(✓).
f (x; ✓) cumple las condiciones de regularidad:
i) El modelo f (x; ✓) para la distribución de la población es tal que el soporte
de f no depende de ✓, es decir que los puntos tales que f (x) > 0 no es un
intervalo que depende de ✓.
ii) La funcion ln(f (x; ✓)) es dos veces diferenciable y continua, es decir, de clase
C 2.
iii) Las operaciones de derivación e integración (o suma en caso discreto) son
intercambiables
⇢ˆ
ˆ
d
· · · h (x1 , . . . , xn ) f (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn
=
d✓
ˆ
···
ˆ
h (x1 , . . . , xn )
d
f (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn ,
d✓
para cualquier función h (x1 , . . . , xn ) tal que E [h (x1 , . . . , xn )] < 1.
Por demostrar que
⇣
ˆ
V ar(✓)
nE
⇣ ⌘⌘2
1 + B 0 ✓ˆ
⇣
⌘2 ,
@ ln f (x;✓)
@✓
ˆ la derivada del sesgo respecto de ✓ del sesgo del estimador.
siendo B 0 (✓)
Demostración
Entonces primero veamos algunos resultados útiles
h
i
1 ,...,xn ;✓)
Paso 1 Priemero veamos que E @ ln f (x@✓
= 0:

@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
E
@✓
=
=
=
=
=
E
"
@f (x1 ,...,xn ;✓)
@✓
#
f (x1 , . . . , xn ; ✓)
ˆ
ˆ
@f (x1 ,...,xn ;✓)
@✓
···
f (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn
f (x1 , . . . , xn ; ✓)
ˆ
ˆ
@f (x1 , . . . , xn ; ✓)
···
dx1 · · · dxn
@✓
ˆ
ˆ
@
· · · f (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn
@✓
@
1 = 0.
@✓
1
h
i
⇣ ⌘
1 ,...,xn ;✓)
Paso 2 Ahora veamos que E ✓ˆ @ ln f (x@✓
= 1 + B 0 ✓ˆ :

@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
E ✓ˆ
@✓
ˆ
=
···
ˆ
d
✓ˆ f (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn
d✓
ˆ
ˆ (x1 , . . . , xn ; ✓) dx1 · · · dxn
· · · ✓f
ˆ
d
d✓
@ h ˆi
E ✓
@✓
⇣ ⌘⌘
@ ⇣
✓ + B 0 ✓ˆ
@✓
⇣ ⌘
1 + B 0 ✓ˆ
=
=
=
=
Paso 3 Usando el paso 1 y 2 calculamos la siguiente covarianza

ˆ @ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
Cov ✓,
@✓
=

@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
E ✓ˆ
@✓
=
⇣ ⌘
1 + B ✓ˆ
@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
V ar
@✓
=
=
=0
0
Paso 4 Por otro lado calculamos la varianza de

h i  @ ln f (x , . . . , x ; ✓)
1
n
E ✓ˆ E
@✓
|
{z
}
E
"✓
E
"✓
@ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
:
@✓
@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
@✓
◆2 #
@ ln f (x1 , . . . , xn ; ✓)
@✓
◆2 #
0
=0
.
Paso 5 Ahora al tomar el valor absoluta de la correlación entre ✓ˆ y
⇣
⌘
ˆ @ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
Cov ✓,
@✓
r
⇣ ⌘r
⇣
⌘
1 ,...,xn ;✓)
V ar ✓ˆ
V ar @ ln f (x@✓

1
⇣ ⌘
Al elevar al cuadrádo y despejar la V ar ✓ˆ tenemos
⇣
⇣
⌘⌘2
ˆ @ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
Cov ✓,
@✓
h
i
@ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
V ar
@✓
2

⇣ ⌘
V ar ✓ˆ .
12
@
ln
f
(x
,
.
.
.
,
x
;
✓)
1
n
@E
A
@✓
|
{z
}

@ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
@✓
Utilizando lo que obtuvimos en el paso 3
E
⇣
⇣
⇣ ⌘⌘2
1 + B 0 ✓ˆ
@ ln f (x1 ,...,xn ;✓)
@✓

⌘2
⇣ ⌘
V ar ✓ˆ
Paso 6 Por último usando la hipótesis de muestra aleatoria tenemos que f (x1 , . . . , xn ; ✓) =
n
(f (x; ✓))
⇣
nE
⇣ ⌘⌘2
1 + B 0 ✓ˆ
⇣
⌘2
@ ln f (x;✓)
@✓

⇣ ⌘
V ar ✓ˆ
Que es lo que buscabamos
⇤
3