Montaje del circuito

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Fundamento
Las impedancias de condensadores y bobinas varían con la frecuencia en los circuitos
de corriente alterna. Consideraremos por separado circuitos simples RC y RL.
Circuito RC
La impedancia de un condensador en función de la frecuencia f (Hz) es Z C =
−j
,
Cω
donde la frecuencia angular ω = 2πf y j representa la unidad imaginaria. En corriente
alterna también es útil el empleo del concepto de reactancia, definida como el módulo
de la impedancia, de modo que la reactancia capacitiva se define como X C =
1
, y la
Cω
impedancia puede expresarse Z C = − jX C .
Sea un circuito RC serie, donde el voltaje de la
fuente se expresa como v(t ) = Vm cos ωt (véase
v(t ) = Vm cos ωt
figura 1). La impedancia del circuito puede
expresarse como una cantidad compleja Z:
Z = R + Z C = Z e − jϕ
C
2
1 Cω
 1 
donde Z = R 2 + 
 y tg ϕ =
R
 Cω 
(véase representación gráfica en figura 2).
La intensidad de corriente que circula puede
R
determinarse aplicando la ley de Ohm en c.a.,
Figura 1. Circuito RC serie.
que se expresa del modo siguiente:
V 
V
V
I = / 0º = / 0º =   = I / ϕ
Z
Z / −ϕ  Z 
/ϕ
donde V/ 0º y I / ϕ son los fasores de voltaje y corriente, respectivamente, y V es el valor
V 

eficaz del voltaje de la fuente V = m  .
2

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(En función del tiempo la corriente del circuito RC puede escribirse como
i (t ) = I m cos(ωt + ϕ ) , de ahí que se diga que la corriente está adelantada respecto al
voltaje).
Im
Los voltajes en condensador y resistencia son:
VC = VC e j (ϕ − 90º ) y
V R = V R e jϕ
En cada uno de los elementos del circuito RC
circula la misma corriente, pues están en
serie, y por tanto se cumple que
ZC
V
VC
V
I /ϕ =
= R = Cω VC e jϕ = R e jϕ
R
R
− j Cω
de donde Cω VC = V R R
Esto permite expresar el cociente
VR
VC
ϕ
R
Re
Z
Figura 2. Representación gráfica
impedancias circuito RC.
VR
VC
como
= 2πRC ⋅ f
Ecuación [1]
Por lo tanto, si se miden en
función de la frecuencia los
módulos de los voltajes en
los
dos
elementos
v R (t )
del
circuito (o bien cantidades
VR
VC
vC (t )
proporcionales a éstos, ya
que vamos a trabajar con
cocientes), se debe obtener
una recta de regresión cuya
pendiente es 2πRC .
Su medida experimental
Figura 3. Señales de voltaje en un osciloscopio
(explicación en texto)
permite obtener el valor de la capacidad si se conoce la resistencia.
En la figura 3 se muestra una fotografía de la pantalla de un osciloscopio donde
aparecen registradas las señales de voltaje v R (t ) y vC (t ) . En esta figura también se han
señalado los valores máximos como valores de los módulos de los voltajes (realmente
no es así, son proporcionales ya que los módulos son valores eficaces, pero para la
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representación gráfica de la ecuación [1] sólo hay que tener en cuenta el cociente entre
ambos valores).
Circuito RL
La impedancia de una bobina de inductancia L en función de la frecuencia f (Hz) es
Z L = jLω , donde la frecuencia angular ω = 2πf y j representa la unidad imaginaria.
Empleando de nuevo el concepto de reactancia, la reactancia inductiva se define como
X L = Lω , y la impedancia de la bobina puede expresarse como Z L = jX L .
v(t ) = Vm cos ωt
Sea un circuito RL serie, donde el voltaje de la
fuente se expresa como v(t ) = Vm cos ωt (véase
figura 4). La impedancia del circuito es la
cantidad compleja Z:
L
Z = R + Z L = Z e jϕ
donde Z = R 2 + (Lω )2 y tg ϕ =
Lω
R
(véase representación gráfica en figura 5).
R
La intensidad de corriente que circula puede
determinarse aplicando la ley de Ohm en c.a.,
igual que hicimos en el caso del condensador:
Figura 4. Circuito RL serie.
V 
V
V
I = / 0º = / 0º =  
= I / −ϕ
Z
Z / ϕ  Z 
/ −ϕ
donde V/ 0º y I / −ϕ son los fasores de voltaje y corriente, respectivamente, y V es el valor
V 

eficaz del voltaje de la fuente V = m  .
2

Los voltajes en la bobina y la resistencia son, respectivamente:
VL = VL e j (90º −ϕ ) y
VR = VR e − jϕ
En cada uno de los elementos del circuito RL circula la misma corriente, pues están en
serie, y por tanto se cumple que
I / −ϕ =
V
1
VL
V
= R =
VL e − jϕ = R e − jϕ
jLω
R
Lω
R
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Por lo tanto se cumple que
Im
1
VL = VR R
Lω
ZL
y a partir de
VL
VR
VL
VR
=
ϕ
Lω
tenemos que
R
= 2π
L
⋅f
R
Z
R
Ecuación [2]
Re
Figura 5. Representación gráfica
impedancias circuito RL.
Análogamente a lo que ocurre con el condensador, la representación gráfica del cociente
VL
VR
en función de la frecuencia también es una línea recta, cuya pendiente es 2π
L
.
R
Experimental
Deben montarse los tres circuitos indicados a continuación y en cada uno realizar las
medidas que se indican. Las resistencias utilizadas deben medirse con un óhmetro.
1. Medidas en circuito RC
Conéctese un condensador C (del orden de
f
algunos µF) en serie con una resistencia óhmica R
(del orden de 1 kΩ). Alimentaremos el circuito RC
serie con un generador de señal, utilizando una
amplitud del orden de 2 V. Para las medidas
emplearemos un osciloscopio de dos canales, con
VC
C
V/0º
la conexión de tierra según muestra la figura 6.
Para medir iremos variando la frecuencia del
generador de señal, y anotando el voltaje máximo
en cada elemento. Respecto al desfase de las dos
-VR
R
señales, hay que tener en cuenta que, según el
montaje realizado, estamos midiendo VC y -VR
(¿qué señal está atrasada respecto a la otra?).
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Figura 6. Montaje circuito RC serie
Debe medirse el cociente
VR
VC
en función de la frecuencia y verificar la ecuación [1].
Mídase también la corriente que circula por el circuito (¿cómo se hace esto?
Explíquese).
2. Medidas en circuito RL
Conéctese una inductancia L (del orden de la
f
decena de mH) en serie con una resistencia
óhmica R (del orden de 0.1 kΩ). Alimentaremos el
circuito RL serie con un generador de señal,
utilizando una amplitud del orden de 2 V. Para las
medidas emplearemos un osciloscopio de dos
VL
L V
/0º
canales, con la conexión de tierra según muestra la
figura 7. Para medir iremos variando la frecuencia
del generador de señal, y anotando el voltaje
máximo en cada elemento. Respecto al desfase de
las dos señales, hay que tener en cuenta que, según
-VR
R
el montaje realizado, estamos midiendo VL y − VR
(¿qué señal está atrasada respecto a la otra?).
Debe medirse el cociente
VL
VR
Figura 7. Montaje circuito RL serie
en función de la frecuencia y verificar la ecuación [2].
Mídase también la corriente que circula por el circuito (¿cómo se hace esto?
Explíquese).
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3. Medidas en circuito RCL
Conéctese una inductancia L (del orden de la
f
decena de mH) en serie con un condensador (del
orden de una decena de µF) y una resistencia
óhmica R (del orden de 1 kΩ). Alimentaremos el
circuito RCL serie con un generador de señal,
utilizando una amplitud del orden de 2 V. Para las
VL
L
V/0º
medidas emplearemos un osciloscopio de dos
canales, con la conexión de tierra según muestra la
figura 8. Para medir iremos variando la frecuencia
del generador de señal. Respecto al desfase de las
dos señales, hay que tener en cuenta que, según el
-VC
R
montaje realizado, estamos midiendo VL y − VR
(¿qué señal está atrasada respecto a la otra?).
Figura 8. Montaje circuito RCL serie
Debe medirse la frecuencia de resonancia, a la cual la impedancia del circuito serie es
mínima (¿cómo se hace esto? ¿cuál es ese valor mínimo de la impedancia?). Mídase
también la intensidad circulante cuando se alcanza la situación de resonancia. ¿Hay que
hacer algún cambio en alguna conexión del circuito para realizar esta última medida?
Una vez determinada la frecuencia de resonancia f R , hágase una gráfica de la
intensidad circulante en función de la frecuencia desde el valor f = f R / 10 hasta
f = 10 f R .
Presentación de resultados
1º)
Se presentarán esquemas gráficos para justificar en cada caso el atraso o adelanto
de las señales de voltaje. ¿Cómo influye en esto el punto donde se pone a tierra
cada circuito?
2º)
Se presentarán las gráficas indicadas en los apartados 1, 2 y 3 (bien en papel
milimetrado, bien usando algún programa de tratamiento de datos). En los casos 1
y 2, determínese el valor de C y el valor de L a partir de las medidas realizadas,
con su correspondiente estimación de error.
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