Fórmulas de Derivación Numérica: Aproximación de la derivada de

Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Fórmulas
Fórmulas de
de Derivación
Derivación Numérica:
Numérica:
Aproximación
Aproximación de
de la
la derivada
derivada de
de orden
orden “k”
“k”
de
de una
una función
función
Prof. Arturo Hidalgo López
Prof. Alfredo López Benito
Prof. Carlos Conde Lázaro
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Abril, 2007
33
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
OBJETIVOS
OBJETIVOS
1º. Conocer el concepto de fórmula de derivación numérica
2º. Obtener y aplicar fórmulas de derivación numérica de tipo
interpolatorio para aproximar primeras derivadas de funciones.
3º. Analizar y obtener cotas del error de aproximación de derivadas
primeras mediante fórmulas de tipo interpolatorio.
4º. Conocer las principales propiedades de las fórmulas de derivación
numérica de tipo interpolatorio para aproximar derivadas primeras
de funciones.
5º. Obtener y aplicar fórmulas de tipo interpolatorio para aproximar
derivadas de orden superior al primero, y conocer sus propiedades
principales.
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
34
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Fórmulas
Fórmulas numéricas
numéricas para
para la
la aproximación
aproximación de
de
derivadas
derivadas de
de orden
orden kk
Sean k y n dos números naturales tales que k ≤ n
Datos:
{x0, x1, ..., xn}
Expresión general:
{f(x0), f(x1), ..., f(xn)}
n
f (k (x*) ≈ fx*(k = ∑ ci .f(xi )
i= 0
Error de truncatura: Rf(x*) = f(k(x*) – f(kx*
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
35
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Fórmulas
Fórmulas de
de tipo
tipo interpolatorio
interpolatorio para
para la
la
aproximación
aproximación de
de derivadas
derivadas de
de orden
orden kk
Proceso de obtención:
n
n
pn(x) = ∑ Li (x ).f (xi )
p (x ) = ∑ f (xi ).L(ki (x )
(k
n
i=0
i=0
n
f (x*) ≈ f = ∑ L(ki (x*).f (xi )
(k
(k
x*
i= 0
ci
Análisis del error en las fórmulas de tipo interpolatorio
f(x) = pn(x) + E(x)
Rf(x*) = f(k(x*) – p(kn(x*) = E(k(x*)
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
36
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
h = sup(h0, h1) = sup(|x*-x0|, |x*-xn| )
x*
x0 x1
h0
xn
xi = x* + θi·h
(i = 0, ..., n) θi ∈ [ −1,1]
h1
Si f∈Cn+1((a, b)):
θij ·h j ( j
θin+1·hn+1 (n+1
f (xi ) = f (x * +θi ·h) = f (x*) + θi ·h·f '(x*) + ∑
·f (x*) +
·f (x * +δ i ·h)
j!
(n
+
1)!
j= 2
n
n
⎛
⎞
⎛ n
⎞
(k
f ( x*) ≈ ∑ ci·f(xi ) = f( x*)·⎜ ∑ ci ⎟ + h·f '( x *)·⎜ ∑ ciθi ⎟ + ... +
i= 0
⎝ i= 0 ⎠
⎝ i= 0
⎠
n
hk ( k
⎛ n
⎞
+ ·f ( x*)·⎜ ∑ ciθik ⎟ +
k!
⎝ i= 0
⎠
⎛ (j
hj ⎛ n
j ⎞⎞
⎜ f ( x *)· ·⎜ ∑ ci·θi ⎟ ⎟ +
∑
j ! ⎝ i= 0
j=k +1 ⎝
⎠⎠
n
n
hn + 1
+
·∑ ci·θin + 1·f (n + 1 ( x * +δ i·h)
(n + 1) ! i = 0
(
)
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
37
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
(Ver la demostración en apartado anterior)
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
n
⎛ n ⎞
⎛ n
⎞
f ( x*) ≈ ∑ ci·f(xi ) = f( x*)·⎜ ∑ ci ⎟ + h·f '( x *)·⎜ ∑ ciθi ⎟ + ... +
i= 0
⎝ i= 0 ⎠
⎝ i= 0
⎠
(k
1
⎛ n
⎞
hk ( k
+ ·f ( x*)·⎜ ∑ ciθik ⎟ +
k!
⎝ i= 0
⎠
⎛ (j
hj ⎛ n
j ⎞⎞
⎜ f ( x *)· ·⎜ ∑ ci·θi ⎟ ⎟ +
∑
j ! ⎝ i= 0
j=k +1 ⎝
⎠⎠
n
n
hn + 1
·∑ ci·θin + 1·f (n + 1 ( x * +δ i·h)
+
(n + 1) ! i = 0
(
Si ci = L(ki(x*)
n
......
Propiedad 4
∑ c·θ
Propiedad 5
∑ ci ·θki =
i= 0
n
i= 0
)
i
j
i
(j = 0, …, k-1)
= 0
k!
hk
Propiedad 6 Si k < n:
n
∑ c ·θ
i= 0
i
j
i
=0
(Ver la
demostración
en proyecciones
41, 42 y 43)
(j = k+1, ..., n)
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
38
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
n
hn + 1
f ( x*) ≈ ∑ ci·f(xi ) = f ( x*) +
·∑ ci·θin + 1·f (n + 1 ( x * +δ i·h)
(n + 1) ! i = 0
i= 0
n
(k
(
(k
Si ci = L(ki(x*) y se denota por hi = θi·h = xi – x*:
n
n
h
(k
(k
(n + 1
f ( x*) ≈ ∑ ci·f(xi ) = f ( x*) +
·∑ ci·θin·h·
( x * +δ i·h)
i f
(n + 1) ! i = 0
i= 0
n
(
αi
ξi
h
f '( x*) ≈ ∑ ci·f(xi ) = f '( x *) +
·∑ αi·f (n + 1 ( ξi )
(n + 1) ! i = 0
i= 0
n
n
n
hn
Rf ( x *) =
·∑ αi·f (n + 1 ( ξi )
(n + 1) ! i = 0
(
n
(
)
)
)
)
n
hn
Rf ( x *) ≤
·∑ αi ·f (n + 1 ( ξi )
(n + 1) ! i = 0
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
(
)
39
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(
n
hn
R f ( x *) ≤
·∑ αi · f (n+1(ξi )
(n + 1)! i= 0
)
Lema
Si g∈C((a,b)), dados (n+1) coeficientes no negativos y no todos nulos
{γ0,γ1, ...,γn} y (n+1) puntos {ξ0,ξ1, ..., ξn} de (a,b), existe algún punto ξ∈(a, b)
tal que: n
n
γ i ·g(ξi ) = γ ·g(ξ)
γi
donde: γ =
∑
∑
i= 0
i= 0
(Ver demostración en los apuntes)
Luego:
n
R f ( x *) ≤
∑( α )
i= 0
i
(n + 1)!
·hn · f (n+1(ξi ) = β·hn · f (n+1 (ξi )
β
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
40
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 4
Si k ≤ n y ci = Li’(x*):
n
∑ c·θ
i= 0
i
j
i
(j = 0, …, k-1)
= 0
Demostración:
Interpolando la función f(x) = xj (polinomio de grado j que se interpolará sin error en el soporte de (n+1) puntos) se tiene
1 = L0(x) + L1(x) + …….+Ln(x)
1=
n
∑ L (x)
i= 0
i
Derivando k veces la identidad anterior y particularizando en x = x*
se tiene demostrada esta propiedad
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
41
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 5
Si k ≤ n y ci = Li’(x*):
n
k!
ci ·θ = k
∑
h
i= 0
k
i
Demostración:
Interpolando la función f(x) = (x-x*)k (polinomio de grado k ≤ n que
se interpolará sin error en el soporte de (n+1) puntos) se tiene
(x-x*)k = L0(x)·(x0–x*)k + L1(x)·(x1–x*)k + …….+Ln(x)·(xn–x*)k
( x − x *)
k
= h
k
n
k
L
(x)·
θ
∑ i
i
i= 0
Derivando k veces la identidad anterior
y particularizando en x = x*
se tiene
n
n
k!
k
k
k ! = h ∑ ci·θi ⇒ ∑ ci·θik = k
h
i= 0
i= 0
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
42
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Uso
Uso de
de desarrollos
desarrollos en
en serie
serie de
de Taylor
Taylor
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
Propiedad 6
Si k < n y ci = Li’(x*):
n
∑ c ·θ
i= 0
i
j
i
=0
(j = k+1, ..., n)
Demostración:
Ejercicio propuesto
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
43
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Ejemplo:
Ejemplo: fórmula
fórmula usual
usual para
para la
la aproximación
aproximación
de
de derivadas
derivadas de
de segundo
segundo orden
orden
Soporte con 3 puntos: {x0, x1, x2}
p2(x) = f(x0) + f[x0,x1].(x–x0) + f[x0,x1,x2].(x–x0). (x–x1)
p’2(x) = f[x0,x1]. + f[x0,x1,x2]·(2·x–x0–x1)
p’’2(x) = 2·f[x0,x1,x2]
p’’2(x*) = 2·f[x0,x1,x2]
f (x 2 ) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x 0
''
f ''(x*) ≈ fx* = 2.
x2 − x0
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
44
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Ejemplo:
Ejemplo: fórmula
fórmula usual
usual para
para la
la aproximación
aproximación
de
de derivadas
derivadas de
de segundo
segundo orden
orden
f (x 2 ) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x 0
f ''(x*) ≈ fx*'' = 2.
x2 − x0
Caso particular: x0 = x* - h x1 = x*
x2 = x* + h
x0
x1 =x*
x2
h
h
f(x 2 ) − f (x1 ) f(x1 ) − f(x 0 )
−
h
h
=
f ''(x*) ≈ fx''* = 2.
2.h
f (x * +h) − 2.f (x *) + f (x * −h)
=
h2
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
45
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Ejemplo:
Ejemplo: fórmula
fórmula usual
usual para
para la
la aproximación
aproximación
de
de derivadas
derivadas de
de segundo
segundo orden
orden
Error de truncatura:
f(x*+h) = f (x*) + h. f’(x*) + (1/2).h2. f”(x*) + (1/6).h3.f’’’(x*) + (1/24).h3.f’’’(x*) + ...
f(x*- h) = f (x*) - h. f’(x*) + (1/2).h2. f”(x*) - (1/6). h3.f’’’(x*) + (1/24).h3.f’’’(x*) + ...
f(x*+h) - 2.f(x*) + f(x*- h) = h2. f’’(x*) + (1/12). h4. f(iv(x*) + ...
f (x * +h) − 2.f (x*) + f (x * −h)
1 2 (iv
f =
.h .f (x*) + ...
= f ''(x *) +
2
1
2
h
'
x*
Rf(x*) = - (1/12).h2.f(iv (ζ)
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
46
Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
47