Sucesiones con Números Primos entre sus Términos Consecutivos

Sucesiones con Números Primos entre sus Términos
Consecutivos, Teoremas y Conjeturas
José Acevedo Jiménez
Santiago, Rep. Dom.
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“Los matemáticos han intentado en vano, hasta la actualidad, descubrir algún
orden en la secuencia de números primos, y tenemos razones para creer que se
trata de un misterio que la mente humana nunca resolverá.”
Leonhard Euler (1713 – 1783), matemático suizo.
En cuanto a los misterios que guardan los números primos, hasta el mismísimo
Euler parecía sentirse atenuado ante ellos. Si bien es cierto que hemos logrado dar
uno que otro paso por la senda que conduce hacia el gran cofre lleno de oro, pues
es lo que representan tales guarismos para los matemáticos, aun no contamos con
un mapa exacto que nos conduzca hasta el punto exacto donde se marca la x.
Existen conjeturas, que de resultar ciertas, podrían acercarnos bastante hacia ese
intricado mundo que forman los números primos. Entre tales conjetura podemos
destacar la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. Quien logre
demostrar alguna de las conjeturas, antes mencionadas, sin duda alguna escribirá
su nombre con letras dorada en el gran libro de la historia matemática.
Conjeturas como las citadas nos hacen pensar que quizás realmente exista alguna
vía matemática que nos conduzca al total entendimiento de los hasta hoy
indomables números primos, por lo que debemos ser optimistas.
Que no
hayamos podido encontrar el secreto que durante tanto tiempo nos han ocultado
los números primos, no significa que realmente sean indomables y que no vale la
pena seguir sus rastros. Muy por lo contrario, mientras sigan resistiéndose al
ingenio humano existirán motivos de sobra para seguir adelante e ir tras su
búsqueda.
Tras el rastro de “los indomables”
Un paso importante en la carrera por conocer los números primos fue dado por
Euclides en la antigüedad. Euclides fue el primero en demostrar la existencia de
infinitos números primos. Otro paso agigantado fue dado por los matemáticos
Legendre y Gauss al conjeturar lo que hoy conocemos como: Teorema de los
números primos. Dicho teorema trata sobre la distribución de los números
primos.
Defínase
afirma que:
como el número de primos menores o iguales a
. El teorema
Siguiendo con el orden de los avances logrados por los matemáticos hacia el total
entendimiento de los números primos, no podemos dejar de mencionar el
teorema de Bertrand-Chebyshov o postulado de Bertrand como se conoce
comúnmente.
En 1845 el matemático francés Joseph Bertrand conjeturó que existe por lo
menos un número primo
entre
matemáticamente de la siguiente forma:
y
tal que:
. Lo dicho se expresa
En 1850, el matemático ruso Pafnuti Chebyshov dio una demostración de la
conjetura formulada por Bertrand, elevando su estatus al de teorema. A simple
vista el teorema de Bertrand-Chebyshov parece ser poco interesante, pero
tratándose de los números primos, por el interés que suscitan entre los
matemáticos y por lo caóticos que aparentan ser, todo lo que a ellos concierne es
de interés. El teorema nos indica un claro patrón seguido por los números primos,
y eso es algo muy importante, ya que tendemos a pensar que el comportamiento
de los primos es caótico y aleatorio. Sin embargo dicho pensamiento va en
contraposición con el postulado de Bertrand y conjeturas que se han presentado
sobre los números primos, estas nos sugieren un orden entre “los indomables” y
sólo es cuestión de tiempo para que la mente humana pueda resolver un misterio
que en antaño parecía imposible.
Sucesión de números
Por el postulado de Bertrand sabemos que existe por lo menos un número primo
entre:
Por lo que podemos erigir sucesiones que contengan siempre al menos un
número primo entre dos de sus términos consecutivos. Una de tales sucesiones es
la siguiente:
4, 6, 10, 18, 34…
Se puede demostrar que:
tal que:
Y de esto sacamos la siguiente sucesión:
4; 6; 9; 13.5; 20.25; 30.375; 45.5625…
Como los primos son números enteros podemos redondear las cifras decimales y
convertir la sucesión resultante en:
4; 6; 9; 14; 20; 30; 46…
La sucesión ideal.
Una sucesión en la cual exista un único número primo entre dos términos
consecutivos sería la sucesión ideal. Si encontramos un método que nos genere
dicha sucesión, entonces, es lo mismo que decir que hemos descubierto un orden
en la secuencia de los números primos, lamentablemente parece ser que dicho
orden no está al alcance de nuestro conocimiento matemático actual. Dicha
sucesión sería de la siguiente manera:
2, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30…
Conjeturando.
En la siguiente sucesión infinita de números pares, ¿existe siempre un número
primo entre dos de sus términos consecutivos?
4, 6, 10, 16, 24, 34, 46…
En la sucesión dada podemos observar un patrón recurrente, el primer término
es: 4; el segundo
; el tercero
y así sucesivamente.
;
el
quinto
; el cuarto
Dar respuestas a conjeturas como la mostrada podría ser la clave que nos permita
finalmente domar “lo indomable”.