Práctica 4 - Laboratorio de procesado de imagen

Práctica 4
Variable Aleatoria Bidimensional
4.1.
Objetivos
1. Iniciar al alumno en los conceptos básicos de teorı́a de variable aleatoria bidimensional.
4.2.
Bibliografı́a
C. Alberola López, Probabilidad, Variables Aleatorias y Procesos Estocásticos. Una introducción orientada a las telecomunicaciones. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Editorial.
Universidad de Valladolid, 2004.
P. Z. Peebles, Probability, Random Variables and Random Signal Principles. Mc-Graw Hill Int.
Ed., 3rd Ed., 1994.
A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Mc-Graw Hill Int. Ed.,
3rd Ed., 1993.
4.3.
Ejercicios previos
1.- Suponiendo que la variable (X, Y) tiene una función de densidad de probabilidad igual a
fXY (x, y) = λ2 e−λx e−λ(y−x) u(x)u(y − x)
obtenga:
a) fY (y|x) y fY (y)
b) Sabiendo que la función gamma incompleta (de parámetro α) se define
Z
gammainc(x, α) =
0
x
1 α−1 −τ
τ
e dτ
Γ(α)
obtenga P (Y < y0 ).
c) Estimador Ŷ óptimo sin restricciones de Y como función de X.
2.- Suponga que la variable aleatoria (X, Y) es una gaussiana bivariante, con componentes respectivas
de media nula, desviación tı́pica σ y coeficiente de correlación ρ. Se pide:
a) fY (y|x)
b) Una expresión integral (de una única integral) de P (X2 + Y2 > r2 ).
c) Obtenga la función de densidad de la variable R = X2 + Y2 en el caso en que ρ = 0.
d) Si Z = aX+bY y W = cX+dY obtenga la relación que deben cumplir los coeficientes
a, b, c y d para que las variables Z y W sean incorreladas.
e) Estimador Ŷ óptimo sin restricciones de Y como función de X.
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Señales Aleatorias y Ruido
4.4.
4.4.1.
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Ejercicios de laboratorio
Generación y análisis de una variable bidimensional
En este apartado realizaremos una análisis de la variable bidimensional descrita en el ejercicio
primero. Concretamente:
1. Genere una matriz nula de N filas y 2 columnas. En la primera columna, introduzca un vector
de N datos exponenciales de parámetro λ.
2. A partir de la primera columna, genere la segunda, de forma que la variable bidimensional
ası́ creada tenga la función de densidad propuesta en el ejercicio 1. Para ello, genere para cada
fila de la matriz una muestra de una variable aleatoria cuya fdp condicionada al valor de la
primera fila sea la función fY (y|x) que ha calculado en el primer ejercicio previo, apartado a).
3. Emplee la orden scatter para obtener un diagrama de dispersión de los valores que acaba de
generar. Observe el diagrama en varias realizaciones de los datos empleando diferentes valores de
λ. Extraiga las oportunas conclusiones.
4. Calcule la probabilidad del ejercicio 1, apartado b), para valores de y0 a escoger. Puede emplear
la función gammainc.
5. Estime, a partir de los datos, la probabilidad anterior. Compruebe el ajuste entre valores teóricos
y muestrales.
6. Superponga al diagrama de dispersión de los datos anteriores el estimador calculado en el ejercicio
1, apartado c).
Genere ahora una nueva matriz de N filas y 2 columnas (de nombre, por ejemplo, Datos2). Copie
la primera columna de la matriz de datos original en la primera columna de Datos2. Asimismo, escriba
Datos2(:,2)=Datos2(:,1).^2+Z con Z un vector de N filas de variables exponenciales de parámetro
λ.
1. Obtenga el diagrama de dispersión de esta nueva variable bidimensional.
2. Superponga el estimador Ŷ óptimo sin restricciones de Y como función de X. Extraiga las
oportunas conclusiones.
4.4.2.
Generación y análisis de datos conjuntamente gaussianos
En este apartado se trata de generar muestras de una variable bidimensional conjuntamente gaussiana, con componentes de media nula, desviación tı́pica σ y coeficiente de correlación ρ. Para ello,
proceda de la manera siguiente
1. Genere una matriz nula de N filas y 2 columnas. En la primera columna, introduzca un vector
de N datos gaussianos de media nula y desviación tı́pica σ.
2. A partir de la primera columna, genere la segunda, de forma que la variable bidimensional
ası́ creada tenga la función de densidad propuesta en el ejercicio 2. Para ello, genere para cada
fila de la matriz una muestra de una variable aleatoria cuya fdp condicionada al valor de la
primera fila sea la función fY (y|x) que ha calculado en el segundo ejercicio previo, apartado a).
3. Emplee la orden scatter para obtener un diagrama de dispersión de los valores que acaba de
generar. Observe el diagrama en varias realizaciones de los datos empleando diferentes valores de
ρ, tanto positivos como negativos. Extraiga las oportunas conclusiones.
4. (Opcional) Calcule la probabilidad del ejercicio 2, apartado b), para un valor de r a escoger. Para
tal fin, emplee el método de Montecarlo.
5. Estime, a partir de los datos, la probabilidad anterior.
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Práctica 4. Variable Aleatoria Bidimensional
6. Obtenga el valor de esta probabilidad mediante la expresión obtenida en el ejercicio 2, apartado
c). Compruebe que ésta sólo tiende a coincidir con la anterior para valores de ρ cercanos a cero.
7. Genere una matriz con muestras de las variables Z y W con los coeficientes cumpliendo la
relación que ha hallado en el ejercicio 2, apartado d)1 . Obtenga el diagrama de dispersión de
dicha variable.
8. Estime a partir de los datos, para varios valores de ρ, RXY y RZW y compruebe si se cumple
que RXY = ηx ηy y RZW = ηz ηw .
9. Obtenga y superponga sobre el diagrama de dispersión, el estimador Ŷ óptimo sin restricciones
de Y como función de X, para varios valores de ρ. Extraiga las oportunas conclusiones.
1 En el ejercicio 2, apartado d), deberá haber obtenido una expresión del tipo d = −cλ(a, b) (ver soluciones a los
ejercicios previos). Dado que existen infinitas combinaciones de los parámetros a, b y c que cumplen esta relación, vamos
a establecer un criterio para fijarlos. Dicho criterio se basa enpforzar σZ = σW = σ y fijar uno de los parámetros, por
ejemplo a = 1. En estas condiciones se tiene: b = −2ρ, c = 1/ 1 + λ(a, b)2 − 2λ(a, b)ρ y d = −cλ(a, b).