exp `" x

NOT
Sobre algunas funciones
A S
trascenc/entes
En [21 J. Garavito define
enteras.
las siguientes funciones :
(1)
xl/(x)
=
X 2 11
+ __
+",+
X /I
J + _
11!
(211)'
las cuales convergen para todo x E~·
es decir. que X,/x)
X k 11
__
+".
t kn )!
kn
00
'" ~
_x__
k=o
(k1l)!
,
Y demuestra enseguida que x~1I)(x) = XJx),
es soluci6n de la ecuaci6n diferencial lineal homoqenea
usaido el metodo de Euler [1; paqs , 110-1111 encontramos las si-
/1/)_y=O,'
guientes soluciones linealmente independientes
=
Yk(x)
.
donde
'/I
= ex p (277 il1/)
exp ! I;kx)
, k
11
=
0,1,
es una raiz primitiva
...
,11-1
,
»-esima de 1. Es facll verificar
que
. (/k
(2)
exp '"/I
k
= O.
x
/.k X
) _
J,....
1/-
/k(n-2)xl/
(11-])
- X 1/ + '" III/
+ ••• + s 1/
11
+
/k(11-])X'
S
11
11
'
J ,
y como el determinante
I;
11-
J
11
¥
,1/11
J. ..
I; (11- J )(11- 1)
1/
(pues es un Vandermonde y las cantidades
312
0
1/-1
1. I; , ...
1/
, I;
11
son di stintas entre
,
si) ,las
dientes.
(n-I)"
Xn' Xn
,
".
., Xn 'Xn
10 obtieqe Garavito,
Este resultado
Sumando las ecuaciones
n-L
I
k=o
k
x)=nX
n
exp('
son soluciones
n
reales linealmente
indepen-
pero su argumento es incorrecto.
en (2) obt enernos
(
n
(x)+xn-
1) (n-I
I'
k=o
k)
+ ••• +x'(x)
n
n
c:
( n-L
I
k=o
(l)k
n
)
=nX
n
t x)
pues cad a suma entre parentesls, en el miembro derecho, vale cero ya que las
'/'
n-L
exp (,
n k=o
n =2 en (3),
que obtiene
necesario
adivinar
Garavito
sistema
(2)
X· (x), ' , .,
n
Y
bastante
, n
= sh x ,
X~(x)
cuandopasa
complicado
se pueden encontrar
x n(n·l)(x)
x ) ,
usando una inteqracion
en Garavito
a 10 largo de un canlno
n
obtenemos
Xn ix) = ch x
resultado
.. esdecir,
k
= 1. I
X (»)
n
Poniendo
r',...
+t+I
son las rafces'deillolinomio
j=I,.",n·l,
>3 .
expresiones
de variable
*.
compleja;
real a variable
Aplicando
Garavito]
es
complejal
la regia de Cramer
mas complicadas
[Esto no 10 menciona
-
(en variable
al
que (3) para
.
Strvlendo se de
exp (,
n
x)
= x n +'
(n-I)
n
xn
(n·I)
+••. + , n
.•
X
n
y de las relaciones
;-k=
'"
n
Garavito
obtiene
2k1T. + , sen --,
2k1T
cos __
n
n
la siguiente
generalizacion
• Aqui mue str a al gun conocimiento
sabre las
k-O-
,1"
.. , n- 1 ,
de la formula de Euler
superficies
(x E.1R)
de Riemann
313
(4)
e xp (,
n
x ) = [X
+
la cual coincide
con
n
+ X (n-1)
2TT
sen + ••• + X' sen
n
n
" [X(n-1)
n
t
e x p l ix)
=
carse tras senci Ilos y rutinarios
U s aido
tes para
(n-1)2TT1
n
i s en x tomando
cos x }
k
Luego Garavito
x) , k
= 2,
estudia
' , "
calcu los.
expres iones semej an-
n-1 ,
con un poco mas de detalle
miento sigue las siguientes
'
como puede verifi-
n=4,
Ias otras expresi ones en (2), podri an obtenerse
exp ('n
(n-1) 2TT 1
n-
2TT + ... + X' cos
n
n
cos
n
pautas : Observa
el case
n=3.
Su razona-
que
y hace
obteniendo
u+v+w=o
dul dx
=
dvl dx
=
w , dwl dk
=u
(5 )
Tomando
'3 = t + t i
tes reales
e imaqinarias
11
V3
314
cP + i sen cP, cP = TTI3
Y comparando
las par-
de (5), obtiene
= exp(-xcosCP)[sen(xsenCP+TT/3)lsenCP]
v = e xpt-« x cos cp) [sen
(x sen cP + TT) I sen cP 1
u: = exp (-x
(x sen cP + 4 TT13)1 sen
.Esta ultima es incorrecta
vaentoncesque
= -cos
1I,V,W
cos
cp) [sen
pues debiera
aparecer
2TTI3
separecenalasfuncionesauxiliares
cP
1
en vez de 4TTI3
°1,°2,°3
! Obser-
deJa-
cobi, que permiten
de las funciones
estudiar
las funciones
t.
analiticas,
de Xn(x).
476-481]
(6)
Cj)
n
donde
Teoria
. Para
n
>
Xn i z)
mo punto
n
.l:I
(() =
algebraico
2!
para
relacion
1
1, a excepcion
es una funcion
z
n
analitica
en el punto
«]
del misn-for-
1, (Vease
{2
112
(w ~1) -
-
3!
obtenemos
( w -1)
La mayoria de los resultados
usando el metodo de Euler.
CJl (w)
del punto
de orden
n =2,
ri enen faci Imente del estud io cuidadoso
mente de
=
'
Usando (il) es pos i bl e, teori camente, en contrar los prirneroster-
/"2
estudiar
•••
(3 nr.
)1
(2n)1
deduce que Cj)n(w)
Arc ch w = -
irnpidio
2n
+ ~+
(6) en una vecindad
minos de (6). Asi, por ejemplo,
Comentarios:
Mir, Moscu, 1970, paqs.
(=0
n
L
+
n.
1. De aquise
l.
de Lagrange
(w_1)kln.
d(
la expresion
paq. 481]
de inversion
t.l,
analiticas,
k 1
d · . [yn((Jkln)
k 1
me con un punto de ramiflcacicn
[3;
el procedimiento
de la funcion
y
y
siendo vauda
Teoria
pero de alii no pasa.
es la de las propiedades
de las funciones
i:
=
A, Markushevich,
obtenemos
1,
(w) = z =
2...
k= 1 k!
w
Garavito
Parece desconocer
[A. Markushevich,
[cfr.
2, Mir, Moscu, 1970],
Otra pregunta que no absuelve
inversa
elipticas
=
log w
=
de
z.
con algunas (htpoteticasl
Xn(z)
+ •••
de Garavito
en su trabajo
del procedirniento
'" W , n
>
1 , las
wales
de Lagrange,le
difieren
La pregunta sobre las funciones
fwnciones
sante, pero no pasa de alii Garavito;
ojala
semejantes
alguien
se ob-
i n)= y,
de Ia ecu actcn diferenc i al lineal
EI rlesconocimiento
las inversas
312
u, u, w
a las e lipticas
este interesado
esencialy su
es intere-
en responder-
315
la. En resumen, se trata de verdaderos elementos,
cuyo estudio'posterior
nunca
fue hecho, posiblemente por falta de aolicaciones y motivacidn. EI profesor Yu
Takeuchi, sefiala. nor otra parte, Que el comportamiento asintotico de las soluciones
,
xn' xn •...
(n·I)
, xn
de
y
in)
.
•
= v . no ofrece mayor interes ,
Bibliografia
1. L. Eisgoltz, EC'Ulciones diferenciales
2. J. Garavito,
Elementos
de Ingenierfa, 24(916),
y calndo variacional,
de algunas fl.lt1ciones trascendentes
Mir, Moscu,l969.
enteras, Anales
150-157 .
3. A. Markushevich, Teorfa de las funciones
anal fticas , 2 tomos, Mir, Moscu ,
1970 .
Proyecto de Investigaciones Hlstor icas
Sociedad Colombiana de Matematicas
316
- Colciencias