Halla el rango de la matriz A dependiendo del valor del parámetro:

I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Matemáticas II
RANGO (con determinantes)
Halla el rango de la matriz A dependiendo del valor del parámetro:
a)
1 2 3 
A = 1  1 1 
2 1 m 
b)
m  3 1 


A= 1 m 1
 3  1 m


c)
 1 1 k 1


A =  1 k 1 2
k 1 1 1


d)
1 m 2 
A =  2 4 1 
1 1 n 
e)
3 
a 1 1

3 
A = 1 a 1
 1 1 a a  2
f)
2 p  1 3 p p  2 6
A = 2 p  1 p 2 p  1 2
 4 p  1 3 p 3 p  2 1 
g)
 a  1 a  1  (a  1) 2 


a
1
0
A=  0
 a  1 2a  1
a 1
1 

I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Matemáticas II
SOLUCIONES
1 2 3  1 2 3
a)
A = 1  1 1 ; 1  1 1  3m  12;  3m  12  0  m  4
2 1 m 2 1 m
Si m  4, entonces ran (A) = 3.
1 2
0
Si m = 4, entonces ran (A) = 0, porque
1 1
m  3 1  m  3 1


b)
A =  1 m 1 ; 1 m 1  m 3  m  10; m 3  m  10  0  m  2
 3  1 m
3 1 m


Si m  2, entonces ran (A) = 3
2  3 1


2 3
 0 , por lo tanto ran (A) = 2
Si m = 2, entonces A =  1 2 1  y
1
2
 3 1 2


1 1 k 1 1 1 k


c) A =  1 k 1 2 ; 1 k 1   k 3  3k  2;  k 3  3k  2  0  k  1(doble ), k  2
k 1 1 1 k 1 1 *


Si k  1 y k  2 , entonces ran (A) = 3
1 1 1 1 


Si k = 1, entonces A = 1 1 1 2  y ran (A) = 2, porque f3=f1.
1 1 1 1 


Si k=-2, entonces:
1 -2 1
1
1 2
 1

 1 1
 0,
1  2 1  0( ya estaba hecho en *) ;
A =  1  2 1 2 ;
1 2
 2 1

1 1
2 1
1

y por lo tanto ran (A) = 3.
1
1
1
-2 2 0
-2
1
1 m 2
1 m 2 
2 4


 0; 2 4 1  4n  m  2mn  5
d) A =  2 4 1  ;
1 1
1 1 n 
1 1 n
Si 4n + m –2nm – 5  0, ran (A) = 3
Si 4n + m –2nm – 5 = 0, ran (A) = 2
3  a 1 1
a 1 1

3 ; 1 a 1  a 3  3a  2; a 3  3a  2  0  a  1(doble ) y a  2
e) A = 1 a 1
1 1 a a  2 1 1 a *
Si a  1 y a  2 , entonces ran (A) = 3.
1 1 1 3
Si a = 1, A = 1 1 1 3 las tres filas son iguales y ran (A) = 1.
1 1 1 3
1
1
I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Matemáticas II
1 3
-2 1 1
 2 1

2
1
 0 y ya hemos visto en * que 1 - 2 1  0 ,
Si a = -2, A =  1  2 1 3;
1 2
 1
1  2 0
1 1 -2
2 1 3
 2 3  0 , luego ran (A) = 3
hallamos, ahora, el otro menor de orden tres: 1
1
2 p  1 3 p p  2 6 2 p  1
f) A = 2 p  1 p 2 p  1 2; 2 p  1
4 p  1 3 p 3 p  2 1  4 p  1
2
2p  p 1
2
2
c 3  c1
 2p 1
3
p
0
 p 2p 1 1
p
 p 1
3
1
0
3p
p2
p
2p 1
3p 3p  2
f1  f 2
f3  2 f2
 p 1
0
2
2p
 2p 1
3
2
 p3
p
2p 1 
p
 p4
2 1
 p ( p  1) 2 p  1 1 0  p ( p  1)2 p
1  p 1
Si 2p2(p+1) = 0 entonces p = 0 (doble) y p=-1.
Si p  0 y p  1entonces, ran (A) = 3.
 1 0  2 6
1  2
0
Si p = 0 entonces A =  1 0 1 2;
1
1
 1 0  2 1 
3
1 1
1  2 6
y
1
1
2  0 , luego ran (A) = 3.
1  2 1
 3  3  3 6
Si p = -1, A =   1  1  1 2
por tanto f1 no sirve para el rango y ran (A) = 2.
f1  3 f 2
 5  3  5 1 
 a  1 a  1  (a  1) 2 


0
a
1
0
;
g) A = 
 a  1 2a  1 a  1 1 


a 1
0
a 1
a
a  1 2a  1
 a 1
1
a 1
f1  f 3
 2a
1 =
a  1 2a  1 a  1
0
 0
a
a
= (a+1)(- a +2·a2); Si (a+1)(- a +2·a2)= entonces a = -1, a = 0 ó a = 1/2
1
Si a  1, a  0 y a  , ran(A) = 3
2
 0  2 0 2  2 0 2


1 0 ;  1 1 0  0  ran (A) = 3
Si a = -1,  0  1
0  3  2 1  3  2 1


1  1  1 2  1  1 2


1 0 ; 0
1 0  0  ran (A) = 3
Si a = 0,  0 0
1 1  1 1  1 1 1


3
3
 3 1
 1

2

2

2
2
2
1  3 4
2 2

1
1
1
1
1
1
0 ;
1 0
1
2 0  0  ran (A) = 3
Si a = 1/2 ,  0


2
2
222
0 1 2
3

1
1
0
1
0
1

2
2
2

Por lo tanto para cualquier número a, ran (A) = 3.
I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Matemáticas II
RANGO (con determinantes) II
Halla el rango de la matriz A dependiendo del valor del parámetro:
1 1 3

a) A =  2 5 4
1 3 m2

 1

 2
m 
a 1 1 
b) A = 1 a 0 
8 0 a 
 3 2 a 1


c) A =  5 3 3 2 
 a 1  1 1


1
1
a 1 
a  1

a 1
1
a  3 
d) A =  1
 1
1
1  a  2a  4
1
1

1
2
e) A = 
3
3

 5  (a  1)

3 

3
4 
4
7 

7 8  a 
1
a2 
1 a 1

f) A = 1 1 a  2(a  1)
a 1 1

a
I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Matemáticas II
SOLUCIONES
1 1 3  1

 1
a) A =  2 5 4  2 ;
1 3 m2 m  5


Si m  1 , entonces ran (A) = 3
 1 1 3 1  1


Si m = -1,A=  2 5 4  2 ; 5
 1 3 1 1  3


1
2
3
1 1
 0;
1
2 5  2  3m  3; 3m  3  0  m  1
*
1 3 m
1
1 3
1
4  2  2  0; 2 4  2  0 (ya estaba hecho en *); ran(A)=3.
1
1
1 1
1
a 1 1  a 1 1
b) A = 1 a 0 ; 1 a 0  a 3  9a; a 3  9a  0  a  0,  3
*
8 0 a  8 0 a
Si a  0 y a  3 , entonces ran (A) = 3
0
Si a = 0, A =  1
8
3
Si a = 3, A =  1
8
1 1
0 0
; ran(A) = 2
f3  8 f2
0 0
1 1
3 0 ; ran(A) = 2 (el determinante de orden tres ya estaba hecho en *)
0 3
1
- 3 1

Si a = -3, A =  1 - 3 0  ; ran(A) = 2 (el determinante de orden tres ya estaba hecho en *)
 8 0  3
3 2 a

c) A =  5 3 3
a 1 1

Si a  2, ran (A) = 3
3

Si a = 2, A =  5
2

1

2 ;
1 
3 2 1
5 3 2  a  2; a  2  0  a  2
a 1 1
1

3 3 2 ;
1  1 1 
2
2
2
2
1
3
3
2  0 , ran ( A) = 3
1 1 1
Por lo tanto para cualquier a real, ran (A) = 3.
1
1
a 1 
a  1
a 1
1
a  3 ;
d) A =  1
 1
1
1  a  2a  4
a3+3·a2 = 0  a = 0 (doble) y a = -3
a 1
1
1
1
a 1
1
1
1
a 1
*
 (a  1) 3  2  3(a  1)  a 3  3a 2
I.E.S. “Gonzalo Nazareno”
Si a  0
y
Matemáticas II
a  3 , entonces ran(A) = 3
1 1 1 1 
Si a = 0, A = 1 1 1 3  y ran (A) = 2 (las tres primeras columnas son iguales)
1 1 1 4
1  2  2 1  2
 2 1

0 ;
1  2 0  0  ran (A) =2 (el otro determinante de
Si a = -3, A =  1  2 1
 1
1  2 2 
1
1
2
orden tres ya estaba hecho en *)
1
1

1
2
e) A = 
3
3

 5  (a  1)

1
1
1
3
3 

3
4 
;
4
7 

7 8  a 
1
1 1 1
2  1 3  0;
3 1 4
1
1
1
3
2
3
1
3
3
4
4
7
5  (a  1) 7 8  a
f 2  2 f1
f3  3 f 
f 4  5 f1
3
1 2
2
2
 1·(1) ·  6
1  2  3a  9; 3a  9  0  a  3
2
a6 2 a7
0 a6 2 a7
Si a  3, ran (A) = 4
y
si a = 3, ran (A) = 3.
0
0
3
6
1
f) A = 1
a
Si a  1
1
1
a2  1 a 1
1 a  2(a  1); 1 1 a  a 3  3a  2; a 3  3a  2  0  a  1(doble ), a  2
*
 a 1 1
1 1
a
a 1
y
a  2, ran (A) = 3
1 1 1 3 
Si a = 1, A = 1 1 1  4 , ran (A) = 2(las tres primeras columnas son iguales)
1 1 1 1 
0  2 1
0
 1 2 1


1  2 1 ; 1  2 1  0, ran (A) = 3 ( el otro determinante de
Si a = -2, A =  1
 2 1
1  2
1
1 2
orden tres ya está hecho en *)