Transformaciones Canónicas

Mecánica Teórica
Tema: Transformaciones Canónicas
Mayo – 2009
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Una transformación canónica es un cambio de las coordenadas generalizadas tal que dan lugar a
un nuevo Hamiltoniano (“Kamiltoniano”)
H(q,p; t)  K(Q,P; t)
[1]
Las nuevas coordenadas se definen en función de las antiguas, es decir:
Qi  Qq, p, t 
Pi  Pq, p, t 
No cualquier cambio de coordenadas es canónico. La transformación cambia la forma del
Hamiltoniano pero ha de preservar las ecuaciones de Hamilton, o sea:
K
P  
Q
;
K
Q 
P
[2]
*Si la transformación no incluye la coordenada temporal t, se le denomina transformación canónica restringida. Aquí
se tratarán este tipo.
Para verificar que la transformación es canónica, se emplean las denominadas condiciones
directas, que consiste en reconstruir las ecuaciones de Hamilton para al Hamiltoniano original con
las nuevas coordenadas, esto es:
H H q H p


q Pi p Pi
Pi
[3]
Q
Q
Q H Q H

Q i 
q 
p 
q
p
q p p q
[4]
Luego hay que igualar [3] con [4] (ecs. Hamilton). De igualarlas salen las condiciones directas:
Qi p j

q j Pi
[5]
q
Qi
 j
p j
Pi
[6]
De la misma manera, a partir de la ecuación de Hamilton
condiciones:
H
  Pi , obtenemos las otras dos
Qi
Pi p j

q j Qi
[7]
q
Pi
 j
p j
Qi
[8]
A veces para garantizar que la transformación es canónica, se recurre a una función generatriz de
la transformación G que ha de ser función de una coordenada generalizada antigua (q o p), una
coordenada generalizada nueva (Q o P) y opcionalmente, del tiempo. Esta función satisface la
siguiente igualdad (fruto del teorema de Liouville):
  pq  H (q, p, t )  PQ  K (Q, P, t ) 
[9]
dG
dt
En general, el factor para una transf. Canónica se iguala a 1. En caso contrario, se trata de una
transformación canónica extendida.
A partir de combinaciones de coordenadas antiguas y nuevas, existen 4 tipos fundamentales de
funciones generatrices:
Función G
Derivadas
G  G1 (q, Q, t )
p
G1
q
y P
G1
Q
G  G2 q, P, t   QP
p
G2
q
y Q
G1
P
G  G3  p, Q, t   qp
q
F3
p
y P
G3
Q
G  G4  p, P, t   qp  QP
q
G4
p
y Q
G4
P
Por ejemplo, si la función generatriz es del primer tipo, la ecuación [9] resulta en:
G G
G
pq  H (q, p, t )  PQ  K Q, P, t   1  1 q  1 Q
t
q
Q
[10]
Para que se cumpla [9] se han de cumplir la siguientes relaciones:
p
G1
q
;
P
G1
Q
; KH
G1
t
En la tabla aparecen las relaciones que permiten encontrar las diferentes funciones generatrices a
partir de las coordenadas nuevas y viceversa.
Algunos ejemplos de transformaciones canónicas podrían ser:
1) La transformación simple G(q,Q,t) = qQ
En este caso, p 
G
G1
 Q y P   1  q
q
Q
y con K=H
--2) Mostrar si es canónica la transformación
 sin p 

Q  ln
 q 
P  q cot( p )
H
Si lo es, entonces la ecuación de Hamilton P  
ha de cumplirse también para las nuevas
Q
coordenadas. Así, por un lado tenemos que
P
P
P 
q 
p
q
p
[11]
Y por el otro,

 K q K p 
K

 

Q
 q Q p Q 
[12]
La matriz jacobiana de la transformación sería
 Q

 Q, P   q

M
 q, p   P
 q

Q 


cot( p)
p    1 q


P   cot( p)  q cosec 2 ( p ) 


p 
En este caso, |M|=1 . Esto quiere decir que la transformación está bien definida (el sistema es
compatible ya que |M| no es cero)
La matriz inversa de esta transformación vendrá dada por
 q

q, p   Q
1

M 
 Q, P   p
 Q

q 
2

P    q cosec ( p)  cot( p) 

 1 
p    cot( p )
q 

P 
Esto nos ayuda a calcular [11] y [12] respectivamente
H
H
 q cosec2 ( p)
P  cot( p)q  q cosec2 ( p) p  cot( p)
p
q

 K

K
K
 
 q cosec2 ( p) 
 cot( p) 
Q
p
 q

[13]
[14]
Si igualamos las expresiones [13] y [14] e identificando términos,
tenemos que H = K , y por lo tanto la transformación es canónica.
¿Cuál sería la función generatriz asociada?
Partimos de que se trata de una transformación canònica restringida (no depende del tiempo y
G
 0 ), así que K = H
t
Siendo esto así, tendremos que el diferencial total de G es
dG 
G
G
dq 
dp [15]
q
p
Por otro lado, podemos desarrollar [9] teniendo en cuenta que aquí K = H y nuevamente que
G
0 …
t
dG

pq  H  PQ  K 
dt
dG
 pq  PQ  H  K 

dt
 p
dq
dQ dG
 (dividimos entre 1/dt)…
P

dt
dt
dt
 Q
Q 
dq 
dq  =dG 
 pdq  P
p 
 q

 Q  G
Q 
G
dq  P
dp  
dq 
dp [16]
(agrupando términos)   p  P
q 
p

 p  q
El segundo término de [16] es lo mismo que [15] e identificando términos entre sí:

 1 
 Q 

Q 
dp   p  q cot( p )   dq  q cot( p ) cot( p ) dq 
dq   P
dG   p  P
q 
 q 
 p 


  p  cot p dq  q cot 2 pdp
O sea
dG   p  cot p dq  q cot 2 pdp
[17]
Identificando términos con la diferencial total, al final tenemos que
G
 p  cot p ;
q
G
  q cot 2 p
p
A partir de aquí podemos hallar una expresión para G a partir de integrandos estos dos términos, o
sea (pág. Siguiente >)
G
 p  cot p  G  pq  q cot p  q ( p  cot p)  f ( p)
q
Análogamente…
G
*
  q cot 2 p  G  q p  cot p 
p
Así pues, finalmente tenemos que
G (q, p )  q  p  cot p 
__
* Ya que  cot 2 xdx  cot x  x