Conjunto Factible
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ADM- METODO GRAFICO Gráfica de Restricciones En esencia una restricción es una limitación al modelo de programación lineal. Una restricción viene dada por una desigualdad. El gráfico de una restricción está dado por el gráfico de la desigualdad que representa la restricción PROGRAMACION LINEAL PARTE 2 MÉTODO GRAFICO Ing. José Villanueva Restricciones en el modelo Restricciones en el modelo Todo modelo de programación lineal presenta por lo general más de una restricción. En un plano se grafican todas las restricciones aplicables al modelo de programación lineal. En resumen se grafican el en mismo plano tantas desigualdades como restricciones presente el modelo a trabajar Al graficar todas las restricciones se generará un área delimitada por las mismas. Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Restricciones en el modelo La región encerrada por todas las restricciones del modelo se le llamará región factible. Siempre ocurrirá que, al añadir más restricciones, o bien se reduce el conjunto factible o bien no se altera. Nunca se podrá agrandar el conjunto factible. Ing. José Villanueva Conjunto Factible Es el conjunto de todos los valores no negativos de las variables de decisión que satisfacen todas las restricciones simultáneamente Ing. José Villanueva 1 ADM- METODO GRAFICO Conjunto Factible Ejemplo X2 Graficar la región: Si hablamos de un modelo con dos variables de decisión el conjunto factible viene dado por pares que corresponden a cada variable de decisión. 1.- 20X1 + 10 X2 <= 160 2.- 30X1 + 10 X2 >= 135 3.- 10X1 + 15X2 <= 150 4.- X1 - 3X2 <= 0 1 2 3 4 X1 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Función Objetivo Función Objetivo La representación gráfica de la función objetivo será la gráfica de un contorno. Un contorno es la gráfica de una recta y una familia de rectas (paralelas a la inicial). Recordemos que la función objetivo viene determinada de la siguiente forma: Max AX1 + BX2 Para graficar la función objetivo se le otorga un valor positivo arbitrario. La función quedará de la siguiente forma: AX1 + BX2 = K Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Función Objetivo Como la gráfica de la función objetivo es la gráfica de un contorno, entonces podemos desplazar la recta inicial paralelamente a sí misma y corresponderá a la misma función objetivo. Lo que cambiará es el valor de la función objetivo en cada posición diferente Ing. José Villanueva Ejemplo X2 Graficar la siguiente función objetivo: Max 3X1 + 5X2 Inicial: 3X1 + 5X2 = 15 X1 Ing. José Villanueva 2 ADM- METODO GRAFICO X2 Ejemplo 6X1 + X2 < = 15 Graficar el siguiente modelo de programación lineal: Función objetivo: Max 2X1 + 7X2 2X1 + 7X2 = 14 F.O. Max 2X1 + 7X2 sujeto a: 2X1 + 7X2 = 14 3X1 + 4X2 < = 12 X1 + 8X2 < = 8 6X1 + X2 < = 15 X1 + 8X2 < = 8 3X1 + 4X2 < = 12 Ing. José Villanueva X1 Ing. José Villanueva Ejercicios Ejercicios Graficar el siguiente modelo de programación lineal Función objetivo: Max 5A + 6B sujeto a: 3A + 5B < = 30 2A + 3B < = 12 A + 5B > = 15 4A+B < = 8 Graficar el siguiente modelo de programación lineal Función objetivo: Max 3A + 7B sujeto a: 6A + 11 B < = 66 2A + B < = 10 0.5 A + 0.4 B > = 6 A+B>=4 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Ejercicios Graficar el siguiente modelo de programación lineal Función objetivo: Max 12A + 10B sujeto a: 6A + B < = 6 9A + 4B < = 18 2 A + 5 B < = 20 A+B<=1 PROGRAMACION LINEAL PARTE 3 MÉTODO GRAFICO Ing. José Villanueva 3 ADM- METODO GRAFICO Solución Gráfica Solución Optima Determinar el conjunto factible. Dibujar la recta que identifica el contorno de la función objetivo. Determinar la solución óptima Para encontrar la solución óptima deslizamos o movemos la recta de la función objetivo paralelamente á sí misma a lo largo de la región factible. Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Solución Optima Ejemplo X2 solución óptima La solución óptima es el último punto de la región factible que toca la recta de la función objetivo en su movimiento. Función objetivo es maximizar función objetivo crece X1 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Punto óptimo Restricciones Activas Solución óptima: Valores óptimos de las variables de decisión Valor óptimo: Es el valor de la función objetivo evaluada en la solución óptima. Una restricción es activa sólo si se cumple la igualdad entre el primer miembro y el lado derecho cuando se evalúa para los valores óptimos. Son aquellas que pasan por la solución óptima Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva 4 ADM- METODO GRAFICO Holgura y Excedente Restricciones Inactivas Una restricción es inactiva si al evaluar la solución óptima en la restricción se cumple estrictamente la desigualdad. Es aquella que no pasa por la solución óptima Se dan holgura y excedente en restricciones del tipo inactivas Excedente: es la diferencia entre el primer miembro y el lado derecho de una desigualdad del tipo > =. Holgura: es la diferencia entre el segundo y el primer miembro de una desigualdad de la forma < =. Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Puntos extremos Solución óptima X2 3 2 Puntos extremos son los vértices de la región o conjunto factible 1 4 Cuando el contorno del objetivo óptimo coincide con una de las recta se restricción sobre la frontera de la región factible se presenta un caso de infinitas soluciones óptimas X1 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Método 1.- Graficar las restricciones sobre el cuadrante no negativo de las variables de decisión. 2.- Dibujar el contorno de la función objetivo. 3.- Determine la dirección ascendente del contorno de la función objetivo RESUMEN DEL MÉTODO DE SOLUCION PARA UN MODELO DE MAXIMIZACIÓN Ing. José Villanueva 5 ADM- METODO GRAFICO Método Método 4.- Encontrar el punto sobre el conjunto factible que esté sobre el contorno de máxima utilidad. 5.- Los valores de las variables de decisión de este último punto dan solución al modelo 6.- El valor óptimo se obtiene evaluando la solución óptima en la función objetivo. 7.- Identificar las restricciones activas e inactivas. Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Modelo de Minimización Problemas no acotados La única diferencia con la solución al modelo de maximización es el sentido en el que se desplaza la recta de contorno de la función objetivo. se debe buscar el sentido para el cual la función objetivo es decreciente Se producen problemas no acotados cuando el conjunto factible se extiende indefinidamente en la dirección del movimiento del contorno de la función objetivo Ing. José Villanueva X2 Ing. José Villanueva Ejemplo problema no acotado Ejemplo X2 3 contorno F.O. >= 2 <= <= >= <= 1 X1 Conjunto factible no acotado pero con una solución <= X1 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva 6 ADM- METODO GRAFICO Ejemplo Problemas no Factibles Un problema de programación lineal es no factible o inconsistente cuando no existe un conjunto factible, o el conjunto factible es vacío. X2 3 <= <= <= 5 4 <= 2 1 <= X1 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva Situaciones posibles EJERCICIO Hallar la solución gráfica para el siguiente modelo de programación lineal: 1. El problema tiene una solución óptima 2.- El problema carece de solución óptima porque es no acotado 3.- El problema carece de solución óptima porque es no factible. F.O. Max 5X1 + 3X2 sujeto a : 3X1 +2X2 < = 6 X1 +4X2 < = 12 7X1 +3X2 < =21 X1,X2 > = 0 Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva EJERCICIO Hallar la solución gráfica para el siguiente modelo de programación lineal: F.O. MIN 4X1 + 7X2 sujeto a : X1 +12X2 < = 6 9X1 +4X2 < = 18 2X1 +8X2 < = 32 X1,X2 > = 0 Ing. José Villanueva 7
