ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA SAMAEL NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Universidad Nacional Profesor facultad de Matemáticas FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ BOGOTÁ Diciembre 2005 INDICE GENERAL INTRODUCCION .............................................................................................4 I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS....................................5 1.1 NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ALGEBRA. .......................................................................5 1.2 AXIOMAS DE CUERPO PARA NÚMEROS COMPLEJOS ..................................................5 1.3 LOS NÚMEROS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS .......6 1.4 REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS ..............................6 1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA ...................................................................6 1.6 PROPIEDADES DE ESPACIO VECTORIAL PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS...............7 1.6.1 Para la Suma ........................................................................................................7 1.6.2 Para el Producto por Escalar..............................................................................7 1.7 ESPACIO VECTORIAL NORMADO. ...............................................................................8 1.8 COMPLEJO CONJUGADO ..............................................................................................9 1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado ..............................................................9 1.9 REPRESENTACIÓN POLAR .................................................................................9 1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar ........11 1.9.2 División de Números Complejos .....................................................................12 1.10 DESIGUALDAD TRIANGULAR ..................................................................................13 1.11 SUPERFICIE DE RIEMANN .......................................................................................14 1.12 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO .......................................................................15 1.13 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO..............................................................17 II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C.............................................. 18 III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA............................................. 20 3.1 FUNCIONES ...............................................................................................................20 3.2 LIMITES .....................................................................................................................21 3.2.1 Propiedades de los Límites. .............................................................................23 3.3 CONTINUIDAD. .........................................................................................................29 3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad. ...............................................29 3.4 FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE ...........................................................30 3.5 DERIVADAS ................................................................................................................30 3.5.1 Derivadas Parciales...........................................................................................33 3.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA .......................................................................34 3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja.......................................................35 3.7 MAPEO.......................................................................................................................36 3.8 FUNCIÓN LOGARITMO COMPLEJO ...........................................................................39 3.9 FUNCIÓN POTENCIA.................................................................................................42 3.10 FUNCIONES TRASCENDENTALES............................................................................42 3.11 CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANALITICIDAD ............................................45 3.12 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD ..........................................48 3.13 FUNCIONES ARMÓNICAS.........................................................................................50 3.14 ARMÓNICOS CONJUGADOS......................................................................................50 IV INTEGRAL COMPLEJA ............................................................................ 51 4.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LÍNEA ..............................................................51 4.2 INTEGRALES DE LÍNEA.............................................................................................51 4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea ................................................................54 4.4 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY.............................................................................60 2 CONCLUSIONES ............................................................................................ 65 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 66 3 INTRODUCCION Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia en la relación con sus propiedades. Las cantidades ficticias de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizo para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación i = − 1 , tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos modernos C recibe la topología de R 2 y la relación de esta topología con su aritmética es la misma que se da en R . 4 I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1.1 Números Complejos y su Algebra. De los axiomas que gobiernan la relación < se deduce que el cuadrado de un número no es nunca negativo. Entonces, ecuaciones cuadráticas elementales tales como, por ejemplo x 2 = −1 no posee solución entre los números reales. Ahora con los números complejos, podemos conseguir soluciones para tales ecuaciones. Resulta entonces que al introducir los números complejos, se proporciona, soluciones de las ecuaciones algebraicas de la forma ao + a1 z + ... + an z n = 0 donde los coeficientes a 0 , a1 ,..., a n son números reales cualesquiera. (Este resultado es conocido como Teorema fundamental del Algebra). 1.2 Axiomas de Cuerpo para Números Complejos Por número complejo entenderemos un par ordenado de números reales, que designaremos por ( x1 , x 2 ) . La primera componente, ( x1 ) se llama parte real del número complejo; la segunda componente, ( x2 ) se llama parte imaginaria. Dos números complejos x = ( x1 , x 2 ) e y = ( y1 , y 2 ) son iguales, y escribiremos x = y , si, solo si, x1 = y1 y x2 = y 2 . Definimos la suma x + y y el, producto xy por x + y = ( x1 + y1 , x2 + y 2 ) , xy = x ∗ y = ( x1 y1 − x2 y 2 , x1 y 2 + x2 y1 ) las cuales satisfacen los siguientes axiomas. Axioma 1. (Leyes conmutativas) x + y = y + x y xy = yx . Axioma 2. (Leyes asociativas) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z y x( yz ) = ( xy ) z . Axioma 3. (Leyes distributivas) x ( y + z ) = xy + xz y ( x + y ) z = ( az + bz ) . Axioma 4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen que 0 ≠ 1 y x + 0 = x = 0 + x y x *1 = x = 1 * x . Axioma 5. Inversos. Cada número complejo z tiene un inverso aditivo (− z ) y, si z ≠ 0 un inverso multiplicativo z −1 que satisfacen z + (− z ) = 0 = (− z ) + ( z ) y zz −1 = 1 = z −1 z . 5 El inverso multiplicativo de z = x + iy es ( x + iy ) −1 = x − iy x2 + y2 . 1.3 Los Números Reales como Subconjunto de los Números Complejos Se identifica el par ordenado (x,0) con el número real x , notamos que la suma y la multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y multiplicación de números reales: ( x,0) + ( a,0) = ( x + a,0) y ( x,0)( a,0) = ( xa,0) Entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales. 1.4 Representación Cartesiana de los Números Complejos Considere el número complejo z = ( x, y ) escrito de la siguiente forma z = ( x, y ) = ( x,0) + (0,1)( y ,0) , si se representa (x,0) por x y se denota (0,1) por el símbolo (i ) , se puede reescribir z = ( x, y ) de la forma z = x + iy . Esta es la notación más conocida para los números complejos. El símbolo (i ) se llama unidad imaginaria y satisface la propiedad i 2 = (0,1)(0,1) = (−1,0) o también i 2 = −1 . Ejemplo 1 Encuentre las partes real e imaginaria de z = 2 + 3i . Solución: tenemos que Re z =2 e Im z =3. 1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Al asociar el número complejo z = x + iy con un punto del plano cuyas coordenadas rectangulares son e . Cada número complejo corresponde a un punto. El número − 2 + i , por ejemplo, se asocia al punto (-2,1) en la (figura 1.1). El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos referimos al número complejo z = x + iy , llamamos a x parte real de z , y la 6 denotamos por Re ( z ). El número y llamado parte imaginaria de z , se denota por Im ( z ). Si x = 0 , tendremos z = iy , y entonces se dice que z es imaginario puro. Figura 1.1 1.6 Propiedades de Espacio Vectorial para los Números Complejos. El conjunto C de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales con las operaciones de suma definida en C y producto por escalares tal que para todo z ∈ C y α ∈ R , se tiene que αz ∈ C además se cumplen las siguientes 10 propiedades para todo α, β de R y u, v, w de C: 1.6.1 Para la Suma (i). v + w ∈ C . La suma vectorial es una operación cerrada en C . (ii). u + (v + w) = (u + v) + w . Asociatividad de la suma vectorial en C . (iii). Existe un elemento 0 en C tal que para todo v de C , v + 0 = v . Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en C . (iv). Para todo v ∈ C , existe un elemento − v ∈ C , tal que v + (−v) = 0 . Existencia del elementos opuestos respecto a la suma en C . (v). v + w = w + v . Conmutatividad de la suma vectorial en C . 1.6.2 Para el Producto por Escalar (i). αv ∈ C . El producto por escalares es una operación cerrada en C . (ii). α ( βv) = (αβ )v . Asociatividad del producto por escalares en C . (iii). Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo de escalares R, entonces 1v = v . Neutralidad del uno del campo de escalares. 7 (iv). α (v + w) = αv + αw . Distributividad con respecto a la suma vectorial. (v). (a + b)v = av + bv . Distributividad con respecto a la suma escalar. Las propiedades de la 1 a la 5 indican que C es conmutativo o Abeliano bajo la suma vectorial. Figura 1.2 De hecho la definición de suma coincide con la suma según la regla del paralelogramo para la suma vectorial en R2. (Figura 1.2). 1.7 Espacio Vectorial Normado. El modulo, o valor absoluto, de un número complejo z = x + iy se define como el número real negativo x 2 + y 2 y se denota por z ; esto es, z = x2 + y2 . C es un espacio vectorial. Una función que hace corresponder a cada vector z ∈ C el número real z = z es una norma de C si, y solo si, para todos z , w ∈ C y k ∈ R , verifican los siguientes axiomas. Axioma 1. z ≥ 0 y z = 0 si, y solo si, z = 0 . Axioma 2. z + w ≤ z + w . Axioma 3. kz = k z . 8 1.8 Complejo Conjugado El complejo conjugado de un número complejo z = x + iy se obtiene cambiando el signo de la parte compleja y se denota por el símbolo z . Entonces z = x − iy . 1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado Dado que si z = x + iy , entonces i) z + z = ( x + yi = + ( x + yi ) = 2 x = 2Re ( z ), ii) z − z = ( x + yi ) − ( x − yi ) = 2iy = 2 i Im ( z ), 2 2 iii) z z = ( x + yi )( x − yi ) = x + y = z . 2 iv) De esta forma tendremos las identidades z−z z+z Im( z ) = , , 2i 2 v) Si z1 = x1 + iy1 y z 2 = x 2 + iy 2 , entonces Re( z ) = z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + i ( y1 + y 2 ) = ( x1 + x 2 ) − i ( y1 + y 2 ) = ( x1 − iy1 ) + ( x 2 − iy 2 ) = z1 + z 2 . Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus conjugados: z1 + z 2 = z1 + z 2 . De manera semejante se muestra que z1 − z 2 = z1 − z 2 , vi) z1 z 2 = z 1 z 2 ⎛ z1 ⎞ = z1 z 2 , z ≠ 0 . ⎜ z ⎟ 2 2 2⎠ ⎝ z2 vii) 1.9 REPRESENTACIÓN POLAR 9 Figura 1.3 Los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo, utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en plano complejo. Consideremos el vector no nulo z = x + iy la longitud r del vector z se muestra en la (figura 1.3) se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras. Llamamos a esta longitud valor absoluto (norma ó magnitud) del número complejo z, y lo denotamos como z = x2 + y2 . Regresando a la (figura 1.3) vemos que el ángulo θ que forma el vector z = x + iy con el eje real positivo se llama argumento del complejo z y se nota arg(z), esta dado por la expresión: θ = arctan x + 2kπ donde k = 0,±1,±2,... y El ángulo θ tal que − π ≤ θ < π , se llama valor principal del argumento y se designa Arg(z). Ejemplo 1 Encuentre la representación polar de 1 − i Solución: remitiéndonos a la (figura 1.4). El valor absoluto de 1 − i es 1 − i = 12 + (−1) 2 = 2 , Mientras que el valor principal del argumento de 1 − i es π Arg (1 − i ) = − . 4 10 Como los ángulos polares no están determinados las superficies de Riemann se tienen en forma única, y su argumento es arg(1 − i ) = −π + 2πk , 4 Donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de 1 − i es ⎡ ⎛ −π ⎞ ⎛ −π ⎞⎤ 1 − i = 2 ⎢cos⎜ + 2πk ⎟ + isen⎜ + 2πk ⎟⎥ . ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4 Figura 1.4 1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar La multiplicación de los números complejos z y w tienen interpretaciones geométricas cuando los escribimos en sus representaciones polares. Sean θ = arg(z ) y φ = arg(w) . Se tiene z = z (cosθ + isenθ ) y w = w (cosφ + isenφ ) . Entonces, zw = z w (cosθ + isenθ )(cos φ + isenφ ) = z w [(cosθ cos φ − senθsenφ ) + i(senθ cos φ + cosθsenφ )] y, por las formulas de suma de ángulos de trigonometría, zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )]. Como cos(θ + φ ) + isen(θ + φ ) = 1, La ecuación zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )]. 11 Figura 1.5 Conduce a zw = z w Y arg( zw) = arg( z ) + arg( w) . Por lo tanto la longitud del vector zw es el producto de las longitudes de los vectores z y w , mientras que el ángulo polar del vector zw es la suma de los ángulos polares de los vectores z y w . Ya que el argumento se determina hasta la multiplicación de 2π la ecuación arg( zw) = arg( z ) + arg( w) se interpreta diciendo que, si se asignan valore particulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del tercer término para el cual se cumple la igualdad. La construcción geométrica del producto zw se muestra en la (figura 1.5). Para la multiplicación, el ángulo entre w y zw debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la (figura 1.5). De ello, los triángulos de 0i 1 z y 0i w zw son semejantes. 1.9.2 División de Números Complejos La división de números complejos conduce a la siguiente ecuación: z z = [cos(θ − φ ) + isen(θ − φ )] w w = re iθ r = e (θ −φ ) iφ β βe 12 = como r β [cos(θ − φ ) + isen(θ − φ )] w = w , obtenemos, por las formulas de sumas de ángulos de la trigonometría, z z w z (cos θ + isenθ ) w (cos φ − isenϕ ) = = , w ≠ 0. 2 w ww w Por lo tanto, z w = z w y ⎛z⎞ arg⎜ ⎟ = arg( z ) − arg( w) , ⎝ w⎠ ⎛z⎞ ⎟ = arg( z ) − arg( w) , sujeta a una interpretación similar a la ⎝ w⎠ de la ecuación arg( zw) = arg( z ) + arg( w) . con la ecuación arg⎜ 1.10 Desigualdad Triangular Definición 1.1 Dados dos números z1 y z 2 se verifica que z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 Demostración: Si tomamos z1 + z 2 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2 z1 + z 2 2 ≤ z1 + 2 z1 z 2 + z 2 2 2 = ( z1 + z 2 ) 2 . Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que el módulo es siempre positivo), recordemos que la longitud de un lado de cualquier triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del triangulo también se puede deducir inmediatamente considerando el triangulo sombreado en la (figura 1.6).■ 13 Figura 1.6 1.11 Superficie De Riemann Una superficie de Riemann es una generalización del plano complejo a una superficie de más de una hoja tal que una función multivaluada tiene sólo un valor correspondiente a cada punto de esa superficie. Una vez construida esa superficie para una función dada, la función es univaluada sobre la superficie y se le puede aplicar allí la teoría de funciones univaluadas (figura 1.7). Las complicaciones que aparecen ligadas al carácter multivaluado de la función quedan así evitadas por un truco geométrico. Sin embargo, la descripción de esas superficies y la relación entre sus hojas pueden ser muy engorrosas. Figura 1.7 14 Teorema 1.2 Teorema De Moivre Si n es un número entero entonces (cos θ + isenθ ) n = (e iθ ) n = e iθn = cos nθ + isennθ , Demostración. Por inducción sobre n. El producto zw = z w [cos(θ + φ ) + isen(θ + φ )], donde θ = arg(z ) y φ = arg(w) , y cuando z = w obtendremos que: Si θ = φ , tenemos z 2 = z [cos(2θ ) + isen(2θ )] 2 con w = z 2 , obtenemos z (z ) = z z [cos(θ + 2θ ) + isen(θ + 2θ )] 2 2 o z 3 = z [cos(3θ ) + isen(3θ )] . 3 Como z = z (cos θ + isenθ ) , hemos demostrado que: (cos θ + isenθ )2 y = cos(2θ ) + isen(2θ ) (cos θ + isenθ )3 = cos(3θ ) + isen(3θ ) . Mediante este proceso hemos obtenido el teorema De Moivre. z = z (cosθ + isenθ ) y w = w (cosφ + isenφ ) . Donde n es un entero positivo. 1.12 Raíces de un Número Complejo Definición 1.3 Si z = w n , entonces w se llama la raíz enésima de z y podemos escribirla como: w=n z que posee n distintos valores. Es decir Sean n z está multivaluada. w = R(cos φ + isenφ ) , z = r (cosθ + isenθ ) 15 Entonces por el teorema de Moivre: wn = z entonces w n = R n [cos(nφ ) + isen(nφ )] = r (cos θ + isenθ ) luego r = Rn o R = n r y nφ = θ + 2kπ o φ = θ n + 2kπ n tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces. Resumiendo: n ⎛ ⎛ θ + 2kπ z = n r ⎜⎜ cos⎜ n ⎝ ⎝ ⎛ θ + 2kπ ⎞ ⎟ + isen⎜ n ⎠ ⎝ ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ , k = 0,1,..., n − 1 . ⎠⎠ Los n valores se reparten equitativamente en una circunferencia de radio n r con centro en el origen, constituyendo los vértices de un polígono regular de n caras. El valor de n z obtenido al tomar el valor principal de arg(z ) y k = 0 en la fórmula de arriba se asume como valor principal de w = n z . El teorema De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w , entonces z n = w. para encontrar z , establezcamos que z = z (cos θ + isen θ )y w = w (cos φ + isenφ ) , donde θ = arg(z ) y φ = arg(w) . De tal forma que con el teorema De Moivre, tenemos: z n (cos θ + isenθ ) = w (cos φ + isenφ ) . Así, podemos tomar z = w 1 n y 1 n 1 n θ = arg(w) = ( Arg ( w) + 2πk ) , k = 0,±1,±2,... , 16 aunque la ecuación anterior proporciona un número infinito de valores para θ , solo se obtienen n ángulos polares diferentes porque: 2π (k + n ) 2πk = + 2π n n pues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, limitamos nuestra atención a los n ángulos polares: θ= 1 ( Argw + 2πk ), n k = 0,±1,±2...., n − 1. Ejemplo 2 Encontrar las tres raíces cúbicas de w = 1 − i , donde 2e i ( 2 kπ −π ) 4 = 1+ i = z3 . Solución: sea z una raíz cúbica de 1 − i . Entonces z 3 = 1 − i , y por el teorema de Moivre, ⎡ ⎛ −π 3 ⎞ ⎛ −π ⎞⎤ + 2kπ ⎟ + isen⎜ + 2kπ ⎟⎥ , z (cos 30 + isen30) = 2 ⎢cos⎜ ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4 De tal forma que − π 2kπ , + 12 3 En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 1 − i son: z =2 1 y 6 ⎡ ⎛ −π z 0 = 6 2 ⎢cos⎜ ⎣ ⎝ 12 θ= k = 0,1,2. ⎞ ⎛ − π ⎞⎤ 6 ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎟ + isen⎜ ⎟⎥ = 2 ⎢cos⎜ ⎟ − isen⎜ ⎟⎥ , ⎠ ⎝ 12 ⎠⎦ ⎝ 12 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 12 ⎠ ⎡ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 7π ⎞⎤ z1 = 6 2 ⎢cos⎜ ⎟ + isen⎜ ⎟⎥ , ⎝ 12 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 12 ⎠ ⎡ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π z 2 = 6 2 ⎢cos⎜ ⎟ + isen⎜ ⎝ 4 ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎞⎤ ⎟⎥ . ⎠⎦ Una consecuencia de estas definiciones es el siguiente teorema. 1.13 Teorema Fundamental del Cálculo. Si una función real f(x) es continua en un intervalo a ≤ x ≤ b , entonces f (x) posee antiderivadas en ese intervalo. Si f ( x) es cualquier antiderivada de f ( x) en a ≤ x ≤ b entonces. 17 ∫ b a f ( x)dx = F (b) − F (a) . Donde F ' ( x) = f ( x) . II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C Si z = x + iy entonces B ( z 0 , r ) = {z : z − z 0 < r } son los discos abiertos en C. Se define la topología generada por discos abiertos como: Sea S un subconjunto de C, y sea a ∈ S . Entonces a se denomina punto interior de S si existe una n-bola abierta con centro en a , contenida en S . Interior de S se designa por (int S ). Definición de Punto Interior 2.1 Un conjunto S de C es abierto si todos sus puntos son interiores o S es abierto si, y solo si, S =int S . Definición de Punto Adherente 2.2 Sea S un subconjunto de C, y sea z un punto de C, no necesariamente de S . Entonces se dice que z es adherente a S si toda n-bola B (z ) contiene un punto de S , por lo menos. Definición de Punto Acumulación 2.3 Si S ⊆ C y x ∈ C , entonces z se llama punto de acumulación de S si cada n-bola B(z ) contiene por lo menos un punto de S distinto de z . Ejemplo 3 Sea S 0 el conjunto de todos los puntos z tales que z < 1 . Encuentre el interior, la frontera y el exterior del conjunto S 0 . Solución: sea z 0 un punto cualquiera de S 0 . Note que el disco z − z 0 < ε esta situado completamente dentro de S 0 siempre que ε < 1 − z 0 . Así, todo punto de S 0 es un punto interior. Igualmente todo punto z 0 que satisfaga z > 1 será exterior a S 0 . Si z 0 = 1 , entonces toda ε -vecindad de z 0 contendrá puntos que están en S 0 y puntos que no lo están. Por tanto, la frontera de S 0 consiste en todos los puntos sobre el circulo z = 1 , el interior es el conjunto z < 1 , y el exterior es el conjunto de todos los puntos que satisfacen z > 1 (véase figura 1.8). 18 Figura 1.8 Definición de Conjunto Acotado 2.4 Un conjunto S es acotado si existe un número real positivo α tal que todo (z ) en S satisfaga z < α . Si esta condición no se cumple decimos que S es no acotado. Definición de Conjunto Inconexo 2.5 Un subconjunto A de C, es inconexo (o no conexo) si existen subconjuntos abiertos G y H de C tales que A ∩ G y A ∩ H son conjuntos no vacíos disjuntos cuya unión es A. en esta caso, G ∪ H e una inconexión de A. un conjunto es conexo si no es inconexo. Definición de Región 2.6 Un conjunto en C se llama región si es la unión de un conjunto conexo con alguno, ninguno o todos sus puntos fronteras. Si ninguno de sus puntos frontera esta incluido en la región, se dice que esta en una región abierta. Si todos los puntos frontera están incluidos, se dice que la región es una región cerrada. Teorema 2.7 Cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en la región. 19 Demostración. Por contradicción. Llamemos S a la región, y supongamos que z 0 esta dentro de S . Denotaremos por S1 todos aquellos puntos de S que puedan unirse a z 0 por medio de un polígono y denotaremos por S 2 aquellos puntos que no pueden unirse. Si z1 esta en S1 y por tanto en S , es un punto interior de S . Así, existe una vecindad de z1 contenida en S : z − z1 < δ . Todos estos puntos están en S1 , ya que cada uno puede unirse a z1 por medio de una que recta que pertenece a S , y que por ende puede unirse a z 0 por medio de un polígono contenido en S . Entonces todo punto de S1 es punto interior de S1 , así que S1 es abierto. Si z 2 esta en S 2 , sea z − z 2 < δ una vecindad contenida en S . Ningún punto de esta vecindad puede estar en S1 , porque si así fuera z 2 estaría en S1 . Por lo cual todo punto de S 2 es punto interior de S 2 , entonces S 2 es abierto. Ningún conjunto puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos. Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vació. Pero z 0 esta en S1 , así que S 2 es vació. Cualesquiera dos puntos pueden unirse a z 0 por medio de una trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, puede unirse entre si por una trayectoria poligonal que pasa por z 0 .■ III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3.1 Funciones Definición de Función 3.1 Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w . El numero w se llama el valor de f en z y se denota por f ( z ) ; esto es, w = f ( z) . Para definir una función es necesario dar tanto una regla de asignación como un dominio de definición. Si no se menciona el dominio de definición, sobreentendemos que se toma el mayor conjunto posible. Sea w = u + iv el valor de una función f en z = x + iy ; es decir, u + iv = f ( x + iy ) . Cada numero real u y v depende de las variables reales x y y , luego f ( z ) puede ser expresado en terminote un par de función con valores reales de las variables reales x y y; 20 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) . Ejemplo 4 Si f ( z ) = z 2 , entonces f ( x + iy ) = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy . Luego u ( x, y ) = x 2 − y 2 y v ( x, y ) = 2 xy . Si se usan coordenadas polares r y θ , en vez de x y y , entonces u + iv = f (re iθ ) , donde w = u + iv y z = re iθ . En este caso podemos escribir, f ( z ) = u ( r , θ ) + iv ( r , θ ) . 3.2 Limites Definición 3.2 Se dice que la función f ( z ) tiene limite A cuando z tiende hacia a , lim f ( z ) = A , z →a Si para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que f ( z) − A < ε Siempre que 0 < z − a < δ . Además, la función f (z ) es continua en a si y sólo si lim f ( z ) = f (a) z →a (Figura 2.0). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos donde está definida. Geométricamente, la definición de limite establece que cualquier ε -vecindad de a contiene todos los valores que f toma en alguna δ -vecindad de a excepto posiblemente en el valor f (a) . El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento usual para determinar δ con un ε > 0 dado. 21 Figura 2.0 Ejemplo 5 Pruebe que lim z →3 z −1 = 2. z−2 Solución: con la expresión f ( z ) − a , simplificada, obtenemos z −1 3− z δ −2 = < . z−2 z−2 z−2 Puesto que 0 < z − 3 < δ donde δ debe todavía expresarse en términos de ε . Si 1 2 δ < , mediante la desigualdad del triangulo, tenemos z − 2 = 1 − (3 − z ) ≥ 1 − 3 − z ) > 1 − δ > 1 2 de tal forma que z −1 − 2 < 2δ . z−2 ⎛1 1 ⎞ ⎝2 2 ⎠ Así dado cualquier número pequeño ε > 0 , si elegimos δ < min⎜ , ε ⎟ , obtenemos 22 z −1 −2 <ε . z−2 Al igual que la definición de límite de una función compleja de una variable compleja es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores absolutos se comportan como en el caso real, se aplican exactamente las mismas reglas de los límites. 3.2.1 Propiedades de los Límites. Sean lim f ( z ) = A y lim g ( z ) = B . z →a z →a Entonces (i) lim[ f ( z ) + g ( z )] = A ± B , z →a (ii) lim f ( z ) g ( z ) = AB , z →a (iii) lim z →a f ( z) A = , para B ≠ 0 . g ( z) B Demostración. Dado ε > 0 existe un número δ 1 > 0 tal que f ( z ) − A < ε , si z − a < δ 1 , y un número δ 2 > 0 tal que g ( z ) − B < ε , siempre que z − a < δ 2 . Sea z − a < δ , donde δ 1 = min(δ 1 , δ 2 ) . Entonces, por la desigualdad del triangulo, [ f ( z ) + g ( z )] − ( A + B) = [ f ( z ) − A] + [g ( z ) − B ] ≤ [ f ( z ) − A] + g ( z ) − B < ε + ε = 2ε y [ f ( z ) − g ( z )] − ( A − B) = [ f ( z ) − A] + [B − g ( z )] ≤ f ( z ) − A + B − g ( z ) < ε + ε = 2ε . Como ε > 0 es arbitrario, se muestra que f ( z ) ± g ( z ) puede estar arbitrariamente cercano a A ± B eligiendo a z suficientemente cercano a a . Por tanto, la propiedad (i) se cumple. Además, f ( z ) g ( z ) − AB = f ( z ) g ( z ) − f ( z ) B + f ( z ) B − AB f ( z) g ( z) − B + B f ( z) − A ≤ f ( z) g ( z) − B + B f ( z) − A y 23 f ( z) A f ( z) f ( z) f ( z) A − = − + − g ( z) B g ( z) B B B = f ( z) f ( z) − A f ( z )[B − g ( z )] f ( z ) − A . + ≤ B − g ( z) + Bg ( z ) B B g ( z) B Si 0 < ε < 1 B , tenemos 2 B = B − g ( z) + g ( z) ≤ ε + g ( z) , de tal forma que 1 B 2 f ( z) = f ( z) − A + A ≤ A + ε , g ( z) ≥ B − ε < por lo tanto f ( z ) g ( z ) − AB ≤ ε ( A + B + ε ) , y ⎞ f ( z ) A ε ⎛⎜ A + ε − < ⎜ + 1⎟⎟ , g ( z) B B ⎝1 2 B ⎠ así que podemos hacer f ( z ) g ( z ) y f ( z ) arbitrariamente cercanos a AB y A B , respectivamente, con z suficientemente cercano a a . Esto comprueba las reglas (ii) y (iii). Teorema 3.3 Sea lim f ( z ) = w0 y lim F ( z ) = W0 . z → z0 Entonces z → z0 lim [ f ( z ) + F ( z )] = w0 + W0 , z → z0 y lim [ f ( z ) F ( z )] = w0W0 z → z0 Y, si W0 ≠ 0 , entonces lim z → z0 f ( z ) w0 = . F ( z ) W0 El limite de un polinomio P ( z ) = a 0 + a1 z + a 2 z 2 + ... + a n z n cuando z tiende a z 0 es el valor del polinomio en ese punto: 24 lim P( z ) = P( z 0 ) . z → z0 Otra propiedad de los límites que nos será de utilidad. lim f ( z ) = w0 , entonces lim f ( z ) = w0 . z → z0 z → z0 En general las propiedades que aplican para los límites de los números reales también son las mismas que se utilizan para los complejos. Las reglas de los limites pueden usarse para probar que toda función polinomial en z f ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + ... + a1 z + a 0 es continua en los complejos. Sea una función definida en todos los puntos z de un entorno abierto de z 0 . La afirmación de que el limite de f ( z ) , cuando z tiende a z 0 , es número w0 , o sea lim f ( z ) = w0 , z → z0 significa que el punto w = f ( z ) puede hacerse tan próximo como se quiera a w0 si escogemos el punto z suficientemente cercano al punto z 0 , pero distinto de el. Entonces la afirmación lim f ( z ) = w0 significa que, para cada número positivo ε , z → z0 existe un número positivo δ tal que f ( z ) − wo < ε siempre que 0 < z − z0 < δ . Geométricamente, esta definición dice que para cada ε -entorno w − w0 < ε de w0 , existe un δ -entorno abierto 0 < z − z 0 < δ de z 0 tal que todo punto z en él tiene una imagen w que esta en el ε -entorno (figura 2.1). Figura 2.1 25 Teorema 3.4 Sea f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , z 0 = x0 + iy 0 , y w0 = u 0 + iv 0 . Entonces lim f ( z ) = w0 z → z0 Si y solo si lim ( x , y )→( x0 , y0 ) u ( x, y ) = u 0 y lim v ( x, y ) = v 0 . y lim ( x , y ) → ( x0 , y 0 ) Demostración: Supongamos que lim ( x , y )→( x0 , y0 ) u ( x, y ) = u 0 ( x , y ) → ( x0 , y 0 ) v( x, y ) = v0 entonces lim f ( z ) = w0 . z → z0 Supongamos que lim f ( z ) = w0 y de acuerdo con la definición de límites, donde z → z0 para cada número positivo ε existe un número positivo δ tal que (u − u 0 ) + i (v − v0 ) < ε siempre que 0 < ( x − x0 ) + i ( y − y 0 ) < δ . como u − u 0 ≤ (u − u 0 ) + i(v − v0 ) , y v − v0 ≤ (u − u 0 ) + i (v − v0 ) , se sigue que u − u 0 < ε y v − v0 < ε , si 0 < ( x − x0 ) 2 + i ( y − y 0 ) 2 < δ . Recíprocamente lim ( x , y ) → ( x0 , y 0 ) supongamos que lim ( x , y )→( x0 , y0 ) u ( x, y ) = u 0 y v( x, y ) = v0 . Para cada número ε positivo existen números positivos δ 1 y δ 2 tales que u − u0 < y v − v0 < ε 2 ε 2 si 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 1 si 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 2 , sea δ el menor de los números δ 1 y δ 2 . Dado que 26 (u − u 0 ) + i (v − v0 ) ≤ u − u 0 + v − v0 , concluimos que (u + iv) − (u 0 + iv0 ) < ε siempre que 0 < ( x + iy ) − ( x0 + iy 0 < δ . lo cual es igual a la ecuación lim f ( z ) = w0 .■ z → z0 Ejemplo para la superficie log(z ) . Correspondiendo a cada número no nulo z, la función multivaluada log( z ) = ln r + iθ Tiene infinitos valores. Para describir log(z ) como función univaluada, sustituimos el plano z , quitado el origen, por una superficie sobre la cual se coloca un nuevo punto cada vez que el argumento de z crece o decrece en 2π o en un múltiplo entero de 2π . Consideremos el plano z , sin el origen, como una fina hoja R0 cortada a lo largo del eje real positivo. Sobre esa hoja, θ varía de 0 a 2π . Sea R 1 otra hoja cortada del mismo modo y colocada sobre R0 . El borde inferior del corte en R0 se une entonces con el borde superior del corte de R 1 . Sobre R 1 , θ varía de 2π a 4π ; así que cuando z es representado por un punto en R 1 la componente imaginaria de log(z ) varía de 2π a 4π . Se corta ahora de la misma manera otra hoja R2 y se coloca sobre R 1 . El borde inferior del corte de R 1 se une con el superior del corte R2 , y análogamente para las hojas R3 , R4 ,... Una hoja R−1 en la que θ varía desde 0 hasta − 2π se corta y se coloca bajo R0 , con el borde inferior de su corte unido al borde superior del corte de R0 . Las hojas R−3 , R− 4 ,... se construyen de forma similar. Las coordenadas r y θ de un punto sobre cualquiera de las hojas pueden considerarse como coordenadas polares de la proyección del punto sobre el plano z original, estando restringida la variación de θ en cada hoja a un rango de 2π radianes. Consideremos cualquier curva continua sobre esta superficie conexa de infinitas hojas. Al describir un punto z esa curva, los valores de log(z ) varían continuamente ya que θ , al igual que r, varía continuamente; y log(z ) toma exactamente un valor correspondiente a cada punto de la curva. 27 Figura 2.2 Por ejemplo, si el punto da una vuelta completa en torno al origen sobre la hoja R0 por el camino indicado en la (Figura2.2), el ángulo cambia de 0 a 2π . Al atravesar el rayo θ = 2π , el punto pasa a la hoja R 1 de la superficie. Mientras completa una vuelta en R 1 , el ángulo θ varia de 2π a 4π , y al cruzar el rayo θ = 4π , el punto pasa a la hoja R2 . La superficie aquí descrita es una superficie de Riemann para log(z ) . Es una superficie conexa de infinitas hojas, construida de modo tal que log(z ) es univaluada sobre ella. La transformación w = log(z ) aplica la superficie de Riemann completa de manera uno a uno sobre todo el plano w . La imagen de la hoja R0 es la franja 0 ≤ v ≤ 2π . Cuando un punto z se mueve por la hoja R 1 a lo largo del arco que muestra la (Figura 2.3), su imagen w se mueve hacia arriba cruzando la recta v = 2π , como indica la (Figura 2.3). Nótese que log(z ) , definida sobre la hoja R 1 , representa la prolongación analítica de la función analítica univaluada f ( z ) = ln r + iθ , (0 < θ < 2π ) Por el eje real positivo hacia arriba. En ese sentido, log(z ) es no sólo una función univaluada de todos los puntos de la superficie de Riemann, sino también una función analítica en ellos. Las hojas podrían haberse cortado, claro está, a lo largo del eje real negativo o de cualquier otro rayo que parta del origen, y unidas adecuadamente por los bordes de sus cortes formarían otra superficie de Riemann para log(z ) . 28 Figura 2.3 Como sabemos la longitud de cualquier triángulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. 3.3 Continuidad. Una función f es continua en un punto z 0 si satisface las siguientes condiciones: 1. lim f ( z ) existe, z → z0 2. f ( z 0 ) existe, 3. lim f ( z ) = f ( z 0 ) . z → z0 La afirmación (3) dice que para cada número positivo ε existe un número positivo δ tal que, 4. f ( z ) − f ( z 0 ) < ε si z − z 0 < δ . Una función de una variable compleja se dice que es continua en una región R si lo es en todos sus puntos. 3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad. Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto también lo son; su cociente es continua en las mismas circunstancias siempre que el denominador no se anule en ese punto. Se sigue directamente de la definición (4) que la composición de dos funciones continuas es continua. Para verlo, sea w = f ( z ) una función definida para todo z de un entorno de z 0 y sea g ( w) una función cuyo dominio de definición contiene a la 29 imagen de ese entorno. Entonces la composición g [ f (z )] esta definida para todo z de ese entorno de z 0 . Supongamos ahora que f es continua en z 0 y que g es continua en el punto w0 = f ( z 0 ) . En vista de la continuidad de g en w0 , sabemos que para cada numero positivo ε existe un número positivo γ tal que g [ f ( z )] − g [ f ( z 0 )] < ε si f ( z ) − f ( z 0 ) < γ . Ahora correspondiendo a γ , existe un número positivo δ la segunda de estas igualdades se satisface siempre que z − z 0 < δ . 3.4 Funciones Continuas de una Variable Una función continua de una variable compleja es una regla que asigna un numero complejo w a cada numero complejo z de un conjunto S . Al escribir w = f ( z ) en términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria z = x + iy y w = u + iv de cada variable compleja, w = u ( z ) + iv( z ) = ( x, y ) + iv( x, y ), notamos que una función compleja de una variable compleja consiste en un par de funciones reales de dos variables reales. Las funciones reales de una variable real y = f ( x ) pueden describirse geométricamente por medio de una grafica en el plano xy . No es posible una representación para w = f ( z ) , ya que se requeriría cuatro dimensiones, dos para cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y w , e indicando la correspondencia existente entre puntos, o conjuntos de puntos, en los planos (figura 2.4). 3.5 Derivadas Definición 3.5 Sea f una función cuyo dominio de definición contiene un entorno de z 0 . La derivada de f en z 0 , escrita f ' ( z 0 ) , se define por la ecuación, f ( z) − f ( z0 ) , z → z0 z − z0 Supuesto que ese límite exista. La función f se dice diferenciable en z 0 cuando f ' ( z 0 ) = lim existe su derivada en z 0 . 30 Figura 2.4 f ( z) − f ( z0 ) en términos z → z0 z − z0 de la nueva variable compleja cuando z esta muy cerca de z 0 , se tiene, Expresando la variable z de la ecuación f ' ( z 0 ) = lim ∆z = z − z 0 de donde z = ∆z + z 0 , y la ecuación se puede escribir como f ' ( z 0 ) = lim ∆z →0 f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) . ∆z Siempre que ∆z sea suficientemente pequeño (Figura 2.5). Al utilizar la ecuación f ' ( z 0 ) = lim ∆z →0 f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) de la definición de ∆z derivada se suele omitir el subíndice de z 0 , y se introduce el número Que denota el cambio en el valor de f correspondiente a un cambio ∆z en el punto en el que evaluamos f . Entonces, si llamamos dw f ' ( z 0 ) = lim ∆z →0 dz a f ´(z ) , la ecuación f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) se convierte en ∆z ∆w dw = lim . dz ∆z →0 ∆z 31 ∆w = f ( z + ∆z ) − f ( z ) , Figura 2.5 Todo polinomio: P ( z )) a 0 + a1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + ... + a n z n Es entero, porque en cada punto z de los complejos tiene derivada P ' ( z ) = a1 + 2a 2 z + 3a 3 z 2 + ... + na n z n −1 . Ejemplo 6 2 Examinemos ahora la función f ( z ) = z . Aquí Figura 2.6 ∆w z + ∆z − z = ∆z ∆z 2 2 = ( z + ∆z )( z + ∆z ) − z z ∆z . = z + ∆z + z ∆z ∆z 32 Si el límite de ∆w ∆z existe, ese limite puede hallarse haciendo que el punto ∆z = (∆x, ∆y ) se aproxime al origen en el plano ∆z de forma arbitraria. En particular, cuando ∆z tiende hacia el origen horizontalmente por los puntos (∆x,0) del eje real (Fig. 2.6), podemos escribir ∆z = ∆z . Por tanto, si existe el límite de ∆w ∆z , su valor ha de ser z + z . Sin embargo, cuando ∆z tiende al origen verticalmente por los puntos (0, ∆y ) del eje imaginario, de modo que ∆z = − ∆z , hallamos que el límite debe ser z − z , si existe. Como los límites son únicos, se deduce que z + z = z − z , o sea z = 0 , si ha de existir dw Para ver que, en efecto, dw nuestra expresión para ∆w consecuencia, que dw dz dz ∆z dz . existe en z = 0 , sólo necesitamos observar que se reduce a ∆z cuando z = 0 . Concluimos, en existe sólo en el punto z = 0 , y su valor es 0 allí. El ejemplo anterior muestra que una función puede ser diferenciable en un cierto punto sin serlo en ningún otro punto de un entorno suyo. 3.5.1 Derivadas Parciales. Puesto que las partes real e imaginaria de f ( z ) = z u ( x, y ) = x 2 + y 2 2 y son v ( x, y ) = 0 , Respectivamente, muestra asimismo que las componentes real e imaginaria de una función de una variable compleja pueden tener derivadas parciales continuas de todo orden y, no obstante, la función no ser diferenciable allí. La función f ( z ) = z 2 es continua en todo punto del plano complejo, pues sus componentes u ( x, y ) = x 2 + y 2 y v( x, y ) = 0 , lo son. Así que la continuidad de una función en un punto no implica la existencia de derivada en él. Es cierto, sin embargo, que la existencia de derivada de una función en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Para verlo, supongamos que existe f ' ( z 0 ) y escribamos lim [ f ( z ) − f ( z 0 )] = lim z → z0 De donde z → z0 f ( z) − f ( z0 ) lim ( z − z 0 ) = f ´(z 0 ) * 0 = 0 , z → z0 z − z0 lim f ( z ) = f ( z 0 ) . z → z0 33 Esto asegura la continuidad de f en z 0 . 3.6 Función Exponencial Compleja Definición 3.6 La exponencial compleja dada por: e z = e x (cos y + iseny ) Es una función entera con valor diferente de cero que satisface la ecuación diferencial: f ' ( z ) = f ( z ), f (0) = 1 . Que e z ≠ 0 se sigue que ni e x ni cos y + iseny se anula. Además, observamos que como z = x + iy , la notación conduce a: e iy = 1 . e iy = cos y + iseny , Así, la representación polar de un número complejo se transforma en: z = z e i arg z . Si z1 = x1 + iy1 ,∧, z 2 = x 2 + iy 2 , entonces las formulas trigonométricas para la suma implican que e z1 e z2 = e x1 e x2 (cos y1 + iseny1 )(cos y 2 + iseny 2 ) = e x1 + x2 [(cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 ) + i (seny1 cos y 2 + cos y1 seny 2 )] = e x1 + x2 [cos( y1 + y 2 ) + isen( y1 + y 2 )] = e x1 + x2 e i ( y1 + y2 ) = e z1 + z2 Ya que e z1 − z2 e z2 = e z1 − z2 + z2 = e z1 , Se sigue que e z1 − z2 = e z1 e z2 . Si usamos repetidamente la formula para la suma de exponentes, obtenemos ( ) n e nz = e z . Esta identidad proporciona una prueba rápida del teorema de Moivre cuando z = e iθ : (cos θ + isenθ ) n = (e iθ ) n = e iθn = cos nθ + isennθ , Para n = 0 ± 1 ± 2 ± ... . 34 Con el teorema de Moivre, tenemos: (1 − i ) 23 = ( 2e =2 23 2 e πi 4 −πi 4 ) 23 = 2 = 211 ( 2e πi 4 23 2 e −23πi 4 ) = 211 (1 + i ). 3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja. Teorema 3.7 Si z1 = x1 + iy1 y z 2 = x 2 + iy 2 , son dos números complejos, entonces tenemos e z1 e z2 = e z1 + z2 . Demostración. e z1 = e x1 (cos y1 + iseny1 ) , e z2 = e x2 (cos y 2 + iseny 2 ) , e z1 e z2 = e x1 e x2 [cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 + i (cos y1 seny 2 + seny1 cos y 2 )] . z Ahora bien, e 1 e z2 = e z1 + z2 , ya que x1 y x 2 , son ambos reales. Además, cos y1 cos y 2 − seny1 seny 2 = cos( y1 + y 2 ) y cos y1 seny 2 + seny1 cos y 2 = sen( y1 + y 2 ) , y por lo tanto e z1 e z2 = e x1 + x2 [cos( y1 + y 2 ) + isen( y1 + y 2 )] = e z1 + z2 . En los teoremas siguientes z , z1 , z 2 designan números complejos. Teorema 3.8 e z jamás es cero. Demostración. e z e − z = e 0 = 1 . Por lo tanto, e z no puede ser cero. Teorema 3.9 Si x es real, entonces e ix =1. 2 Demostración. e ix = cos 2 x + sen 2 x = 1 , y e ix >0. Teorema 3.10 e z =1 si, solo si, z es múltiplo de 2πi . 35 Demostración. Si z = n , donde n es un entero, entonces e z = cos(2πn) + isen(2πn) = 1 . Recíprocamente, supongamos que e z =1. Esto significa que e x cos y = 1 y e x seny = 0 . Como e x ≠ 0 , entonces debe ser seny = 0, y = kπ donde k es un entero. Pero cos(kπ ) = (−1) k . Por lo tanto, e x = (−1) k ya que e x cos(kπ ) = 1 . Como e x > 0 , k debe ser par. Por lo tanto e x = 1 y entonces x = 0 .■ Teorema 3.11 e z1 = e z 2 si, y solo si, z1 − z 2 = 2πin (donde n es un entero). Demostración. e z1 = e z 2 si, y solo si, e z1 − z2 = 1 .■ Definición 3.12 Sea la exponencial e x ( x real). Definimos e z para z complejo de tal forma que las principales propiedades de la función exponencial real se conserven. Las citadas propiedades de e x para x real son la ley de los exponentes, e x1 e x2 = e x1 + x2 , y la ecuación e 0 =1. Daremos una definición de e z para z complejo que conserve estas propiedades y que se reduzca a la exponencial ordinaria cuando z sea real. Si escribimos z = x + iy (x, y reales), entonces para que se verifique la ley de los exponentes deberíamos tener e x +iy = e x e iy . Definición 3.13 z = x + iy , definimos z e = e x (cos y + iseny ) . Si e z = e x +iy como el número complejo Esta definición coincide claramente con la función exponencial real cuando z es real (esto es, y = O). Probaremos a continuación que la ley de los exponentes se cumple. 3.7 Mapeo. La exponencial compleja juega un papel esencial en las aplicaciones. Con el fin de entender completamente la exponencial compleja. Necesitaremos estudiar sus propiedades como mapeo. Para visualizar el mapeo w = e z = e x (cos y + iseny ) , observemos que la franja infinita − π ≤ y < π se mapea en C − {0} ; los puntos sobre el segmento de recta x = 0 , − π ≤ y < π se mapean de manera uno a uno en 36 Figura 2.7 el circulo w = 1 , las rectas verticales a la izquierda del eje imaginario se mapean en círculos de radio r < 1 , las rectas verticales a la derecha del eje imaginario sobre círculos de radio r > 1 , la mitad izquierda de la franja en la (Figura 2.7) se mapea en 0 < w < 1 , y la mitad derecha va a w > 1 . Observe que e x tiene periodo 2πi , porque e z + 2πi = e x + ( 2π + y )i = e x [cos(2π + y ) + isen(2π + y )] = e z , Así que los valores complejos e z y e z + 2πki , con k entero, son idénticos. Por tanto, cada franja infinita − π ≤ y − 2πk < π , k = 0,±1,±2,... también se mapea en C − {0} , y el mapeo e z : C → C − {0} manda un número infinito de puntos de C al mismo punto en C − {0} . Este es un resultado indeseable, en vista de que no permite la discusión de una función inversa, excepto sobre cada una de las franjas infinitas descritas anteriormente. La función inversa es verdaderamente importante, porque la inversa de la exponencial real es el logaritmo. Para eliminar esta dificultad, imagine que el contradominio del mapeo consiste en un número infinito de copias de C − {0} apiladas en capas unas sobre otras, cada una cortada a lo largo del eje real negativo con el borde superior de una capa “pegada” al borde inferior de la capa superior, produciendo un conjunto ℜ que asemeja una rampa infinita en espiral (Figura 2.8). El conjunto ℜ difiere de C − {0} en que cada punto de ℜ queda determinado unívocamente en coordenadas polares, mientras que los puntos de C − {0} no se pueden determinar en la misma forma, porque el argumento es multivaluado. Si utilizamos a ℜ como el contradominio de la función e z y medimos distancias cortas en ℜ de la manera obvia, observamos que e z mapea a C continuamente en ℜ y que el mapeo es uno a uno. Así, e z : C → ℜ tiene inversa. La analiticidad de e z no se afecta al hacer este cambio de contradominio, porque ⎛ eh − e0 e z+h − e z = e z ⎜⎜ h ⎝ h ⎞ ⎟⎟ ⎠ 37 Figura 2.8 Y la cantidad entre paréntesis tiende a e 0 cuando h → 0 , si e h pertenece a la misma capa de ℜ que e 0 . De manera alternativa, si Im z ≠ (2k + 1)π y h es pequeño, z y z + h pertenecerán a la misma franja, de tal forma que e z y e z + h se encuentren en la misma copia de C − {0} . El conjunto ℜ se llama superficie de Riemann; las líneas de corte en cada copia de C − {0} cortes de ramificación; los extremos de los cortes de ramificación 0, ∞ puntos de ramificación; y cada copia de C − {0} se llama rama de ℜ . Como e z : C → ℜ , es uno a uno, con ℜ como la superficie de Riemann ya definida podemos definir su función inversa. Imitando el caso real, llamamos a este inverso logaritmo y lo denotamos por: log z = ℜ → C . Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que: log e z = z , para todo z enC. e log z = z , para todo z en ℜ . La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo: log z = log z ( z e i arg( z ) = log(e log z + i arg( z ) = log z + i arg( z ) , Donde log z es el logaritmo natural del cálculo elemental. Teorema 3.14 La función log z = log z + i arg( z ) es analítica para todo z en ℜ . 38 Demostración: Como u = log z = ux = y 1 log( x 2 + y 2 ) , v = arg z = tan −1 + πn x 2 −y x y x ,uy = 2 , vx = 2 , vx = 2 , 2 2 2 x +y x +y x +y x + y2 2 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y las derivadas parciales son todas continuas en ℜ . Porque la analiticidad es una propiedad local, y porque la prueba del teorema sobre condiciones para la analiticidad, se basa en argumentos locales, log z es analítica en ℜ . 3.8 Función Logaritmo Complejo Como hemos visto e z nunca es cero. Nos podemos preguntar si hay otros valores que e z no puede tomar jamás. Teorema 3.15 Si z es un número complejo ≠ 0, existen números complejos w tales que e w = z . Uno de tales w es el número complejo log z + i arg( z ) , y todos los demás tienen la forma log z + i arg( z ) + 2nπi , donde n es un entero. Demostración. Como e log z + i arg( z ) =e log z e i arg( z ) = z e i arg( z ) = z , vemos que w = log z + i arg( z ) es una solución de la ecuación ew = z . w Pero si w1 es otra solución, entonces e w = e 1 y, por lo tanto, w − w1 = 2nπi .■ Definición 3.16 Sea z ≠ 0 un número complejo dado. Si w es un número complejo tal que e w = z , entonces w se denomina un logaritmo de z . El valor particular dado por 39 w = log z + i arg( z ) , se llama logaritmo principal de z , y para este w escribiremos w = Logz . Teorema 3.17 Si z1 z 2 ≠ 0 , entonces Log ( z1 z 2 ) = Logz1 + Logz 2 + 2πni ( z1 , z 2 ) , donde n( z1 , z 2 ) es un entero. Demostración. Log (z1 z 2 ) = log z1 z 2 + i arg(z 1 z 2 ) = log z1 + log z 2 + i[arg( z1 ) + arg( z 2 ) + 2πn( z1 , z 2 )].■ Definición 3.18 El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo: log z1 z 2 = log z1 + log z 2 , z1 = log z1 − z 2 . z2 En estas dos identidades suponemos que z1 y z 2 son puntos de la superficie de Riemann ℜ . Como: z = e log z log Para cualquier z en ℜ , aplicamos la regla de la cadena para la derivación y obtener: 1 = z = e log z (log z ) ' o (log z ) ' = 1 , para z en ℜ . z Así, la formula usual de la derivada se cumple en ℜ . De la misma manera que definimos el valor principal Arg ( z ) del argumento arg( z ) , podemos extender este concepto al logaritmo. Al visualizar al logaritmo como el mapeo inverso de la exponencial, llamamos a la rama de ℜ cortada a lo largo del eje real negativo, que se mapea en la franja semiinfinita − π ≤ y < π , rama principal del logaritmo (véase Figura 2.9). Denotamos log z cuando se restringe la rama principal, por 40 log z = log z + iArg ( z ) , y llamamos a éste valor principal de log z . Figura 2.9 Note que el valor principal log z se define sólo en aquella rama de ℜ para la cual Arg ( z ) existe. Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con la rama principal del logaritmo log z , ya que las propiedades usuales de los logaritmos pueden no cumplirse. Por ejemplo, log i = log i + iArg (i ) = iπ 2 , log(−1 + i ) = log − 1 + i + iArg (−1 + i ) = log 2 + i pero log[i (−1 + i )] = log(−1 − i ) = log − 1 − i + iArg (−1 − i ) = log 2 − i así que 3π , 4 3π , 4 log[i (−1 + i )] ≠ log i + log(−1 + i ) . Por el contrario, las dos expresiones difieren por un múltiplo de 2πi . Las funciones logaritmo y exponencial complejas se pueden usar para definir las funciones potencia. 41 3.9 Función Potencia. Utilizando los logaritmos complejos, podemos dar ahora una definición de las potencias complejas de los números complejos. Definición 3.19 Si z ≠ 0 y si w es u numero complejo cualquiera, definimos z w = e wLogz . Los dos teoremas siguientes suministran las reglas de cálculo con potencias complejas. Teorema 3.20 z w1 z w2 = z w1 + w1 si z ≠ 0 . Demostración. z w1 + w2 = e ( w1 + w2 ) Logz = e w1Logz e w2 Logz = z w1 z w2 .■ Teorema 3.21 Si z1 z 2 ≠ 0 , entonces ( z1 z 2 ) w = z1 z 2 e 2πiwn ( z1 , z2 ) , w w donde n( z1 , z 2 ) es entero. Demostración. ( z1 z 2 ) w = e wLog ´( z1z2 ) = e w[Logz1 + Logz 2 + 2πin ( z1 , z2 ) ] .■ 3.10 Funciones Trascendentales La exponencial compleja puede utilizarse para definir funciones trigonométricas complejas. Como e ix = cos x + isenx,∧, e − ix = cos x − isenx entonces: e ix + e − ix cos x = 2 e ix − e − ix . senx = 2i Extendemos estas definiciones a los planos complejos como sigue: Definición 3.22 z a = e a log z , a complejo ≠ 0 , z ≠ 0 . 42 La función z a : ℜ → ℜ es analítica uno a uno porque es la composición de funciones de esos tipos. Por la regla de la cadena, ( z a ) ' = e a log z * a = az a −1 . z El valor principal de la función potencia esta dado por: z a = e aLogz . Definición 3.23 cos z = e iz + e − iz 2 senz = e iz − e − iz . 2i Estas funciones son enteras, pues sumas de funciones enteras y satisfacen: ie iz − ie − iz e iz − e − iz =− = − senz , (cos z ) = 2 2i ie iz + ie −iz e iz + e −iz ( senz ) ' = =− = − cos z. 2i 2 ' Las otras funciones trigonométricas, definidas en términos de las funciones seno y coseno por medio de las relaciones usuales son analíticas, excepto donde se anulan sus denominadores, y satisfacen las reglas normales de derivación. tan z = senz cos z sec z = 1 cos z cot z = cos z senz csc z = 1 . senz (tan z ) ' = sec 2 z (sec z ) ' = sec z tan z (cot z ) ' = − csc 2 z (csc z ) ' = − csc z cot z . Todas las identidades trigonométricas usuales son validas en variables complejas, y sus demostraciones dependen de las propiedades de la exponencial. Por ejemplo 1 cos 2 z + sen 2 z = [(e iz + e −iz ) 2 − (e iz − e −iz ) 2 ] = 1 , 4 y e iz1 + e − iz1 e iz2 + e − iz 2 e iz1 − e − iz1 e iz2 − e − iz 2 cos z1 cos z 2 − senz1 senz 2 = − 2 2 2i 2i 43 = 2e iz1 e iz 2 + 2e − iz1 e − iz 2 = cos( z1 + z 2 ) . 4 De la definición de cos z , tenemos e − y +ix + e y −ix cos z = cos( x + iy ) = 2 = 1 −y 1 e (cos x + isenx) + e y (cos x − isenx) 2 2 ⎛ e y + e− y = ⎜⎜ 2 ⎝ Así ⎞ ⎛ e y − e− y ⎟⎟ cos( x) − ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟⎟ sen( x) . ⎠ cos z = cos( x) cosh( y ) − isen( x) senh( y ) . De manera semejante encontramos senz = sen( x) cosh( y ) + i cos( x) senh( y ) . Teorema 3.24 Los ceros reales de senz y cos z son únicos ceros. Demostración: Si senz = 0 , tenemos que: sen( x) cosh( y ) = 0 cos( x) senh( y ) = 0 . Pero cosh( y ) ≥ 1 , lo cual implica que el primer término se anula solamente cuando sen( x) = 0 , esto es, sen( x) = 0,±π ,±2π ,... sin embargo, para estos valores cos( x) no se anula. Por tanto, debemos tener senh( y ) = 0 , sea y = 0 . Así, senz = 0 implica z = nπ , con n entero. Esta aseveración también se aplica a tan z , de igual forma encontramos que, 1⎞ ⎛ cos z = 0 Implica z = ⎜ n + ⎟π , con n entero.■ 2⎠ ⎝ Las funciones hiperbólicas complejas se definen al extender las definiciones reales al plano complejo. Definición 3.25 44 senhz = e z − e−z , 2 cosh z = e z + e−z . 2 Nuevamente, todas las identidades y reglas usuales de derivación se aplican a las funciones hiperbólicas complejas. Notemos además que: e iz − e − iz senhz iz = = isenz 2 cosh iz = e iz + e − iz = cos z . 2 Así, las funciones hiperbólicas complejas están relacionadas con las funciones trigonométricas complejas, ya que al multiplicar por i , simplemente se rota toda vector en los complejos por 90° , en sentido contrario a la dirección que llevan las manecillas del reloj. Por tanto, los ceros de senhz y cosh z son imaginarios puros. 3.11 Condiciones Necesarias Para La Analiticidad Definición 3.26 Función Analítica. Sea f = u + iv una función compleja definida en un conjunto abierto S del plano complejo C. Se dice que f es analítica en S si existe y es continua la derivada f ' en cada punto de S . Como ya sabemos derivada de una función compleja de una variable compleja se define, exactamente de la misma manera que el caso real del cálculo. Definición 3.27 Sea f definida en G ⊂ C . La derivada f ' de f en a esta dada por f ¡ (a) = lim h →0 f ( a + h) − f ( a ) h Cuando el límite existe. Se dice que la función f es analítica en la región G si tiene derivada en cada punto de G, y se dice que f es entera si es analítica en todo C. Lema 3.28: si f tiene derivada en a , entonces f es continua en a . Demostración: ⎫ ⎧⎡ f ( a + h) − f ( a ) ⎤ lim f (a + h) = lim⎨⎢ * h + f (a)⎬ = f (a) .■ ⎥ h →0 h →0 h ⎦ ⎭ ⎩⎣ 45 Si manipulamos la definición de derivada esta lleva a las reglas usuales de derivación: ( f ± g)' = f ' ± g ' , ( fg ) ' = fg ' + gf ' , ' ⎛f⎞ gf ' − fg ' ⎜⎜ ⎟⎟ = , g = 0, g2 ⎝g⎠ Regla de la cadena ( f ( g ( z ))) ' = f ' ( g ( z )) g ' ( z ), Las pruebas son idénticas a las usadas en cálculo elemental. Sea z = ( x, y ) , suponga que h es real y entonces: f ' ( z ) = lim h →0 f ( x + h, y ) − f ( x, y ) ∂f = ( z ) = f x ( z ). h ∂x Pero entonces si h = ik es puramente imaginario, entonces: f ' ( z ) = lim k →0 f ( x, y + k ) − ( x, y ) 1 ∂f = ( z ) = −if y ( z ) . k i ∂y Así, la existencia de una derivada compleja obliga a la función a satisfacer la ecuación diferencial parcial: f x = −if y . Si f ( z ) = u ( z ) + iv ( z ), donde u y v son funciones reales de una variable compleja, y si igualamos las partes reales e imaginarias de: u x + iv x = f x = −if y = v y + iu y , Obtenemos las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann ux = vy , v x = −u y . Y finalmente hemos probado el siguiente teorema. Teorema 3.29 Si la función f ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) tiene derivada en el punto z, las primeras derivadas parciales de u y v , con respecto a x y y , existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 46 Ejemplo 7 Sea f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi . Como f es entera, u = x 2 − y 2 y v = 2 xy deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy Riemann. Observemos que u x = 2x = vx Por otra parte, si f ( z ) = z − ux = 2 y = vx . y 2 = x 2 + y 2 , entonces u = x 2 + y 2 , v = 0 y u x = 2 x , u y = 2 y , v x = 0 = v y , así que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann solo en 0. Aún más, f tiene derivada cuando z = 0 porque f (0) = lim ' h h →0 2 h = lim h = 0 . h →0 Como ya hemos visto en las propiedades de los complejos ahora empecemos con la exponencial e x . Deseamos definir una función f ( z ) = e z que sea analítica y que coincida con la función exponencial real cuando z sea real. Recordando que la exponencial real se determina por la ecuación diferencial f ´(x) = f ( x) . f (0) = 1 . Nos preguntarnos si existe una solución analítica de la ecuación f ´(z ) = f ( z ) , f (0) = 1 Si tal solución existe, necesariamente deberá coincidir con e x cuando z = x , pues sólo así satisfará la ecuación que la determina sobre el eje real. De la definición de f ´ , tenemos u x + iv x = u + iv , u (0) = 1, v(0) = 0 . Como u x = u v x = v , al separar, variables tenemos u ( x, y ) = p ( y ) e x , v ( x, y ) = q ( y ) e x , como p (0) = 1 , q (0) = 0 por las condiciones iniciales. Derivaremos estas dos ecuaciones con respecto a y aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para obtener p´( y )e x = u y = −v x = − q ( y )e x , q´( y )e x = v y = u x = p ( y )e x . 47 Por tanto, p´= −q , q´= p , así que q´´= p´= − q , p´´= − q´= − p , y p, q son soluciones de la ecuación diferencial real φ '' ( y ) + φ ( y ) = 0 . Todas las soluciones de esta ecuación son de la forma A cos y + Bseny , con A y B constantes. Como q´(0) = p(0) = 1 , p´(0) = − p(0) = 0 , debemos tener p ( y ) = cos y , q( y ) = seny . Por tanto, obtenemos la función f ( z ) = e x cos y + ie x seny = e x (cos y + iseny ) , Que coincide con e x cuando z = x y es analítica puesto que su construcción automáticamente garantiza que las parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 3.12 Condiciones Suficientes Para La Analiticidad Aquí nos podemos preguntar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para garantizar la existencia de la derivada en un punto dado. El ejemplo siguiente, de D. Menchoff, muestra que no es así. Sea ⎧ z5 ⎪ 4 , z ≠ 0, f ( z) = ⎨ z ⎪ ⎩0, z = 0. Entonces 4 f ( z ) ⎛⎜ z ⎞⎟ = ⎜ ⎟ , z ≠ 0, z ⎝z⎠ Que tiene valor 1 sobre el eje real y valor -1 sobre la línea y = x . Así, f no tiene derivada en z = 0 ; pero si se desarrolla la expresión para f se tiene u ( x,0) = x , por lo que u (o, y ) = 0 = v( x,0) , v(o, y ) = y , u x (0,0) = 1 = v y (0,0) , − u y (0,0) = 0 = v x (0,0) , y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo tenemos el siguiente teorema Teorema 3.30 Sea f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , definida en alguna región G que contiene al punto z 0 , y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x y y , que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z 0 . Entonces f ' ( z 0 ) existe. 48 Demostración: Si x ≠ x 0 y y ≠ y 0 , el cociente de diferencias se puede escribir: f ( z ) − f ( z o ) u ( x, y ) − u ( x o , y o ) v ( x, y ) − v ( x o , y o ) = +i z − zo z − zo z − zo = x − x 0 ⎡ u ( x, y ) − u ( x 0 , y ) v ( x, y ) − v ( x 0 , y ) ⎤ +i ⎢ ⎥ z − z0 ⎣ x − x0 x − x0 ⎦ + y − y 0 ⎡ u ( x0 , y ) − u ( x0 , y 0 ) v( x0 , y ) − v( x0 , y 0 ) ⎤ +i ⎢ ⎥ z − z0 ⎣ y − y0 y − y0 ⎦ = x − x0 [u x ( x0 + t1 ( x − x0 ), y) + iv x ( x0 + t 2 ( x − x0 ), y)] z − z0 + y − y0 u y ( x0 , y o + t 3 ( y − y o )) + iv( x0 , y o + t 4 ( y − y o )) , z − z0 [ ] Donde 0 < t k < 1, k = 1,2,3,4, según el teorema del valor medio del calculo diferencial. Este resultado también se cumple si x = x 0 y y = y 0 . Como las derivadas parciales son continuas en z o , podemos decir: f ( z ) − f ( z 0 ) x − x0 = [u x ( z 0 ) + iv x ( z 0 ) + ε 1 ] + z − z0 z − z0 y − y0 u y ( z 0 ) + iv y ( z 0 ) + ε 2 , z − z0 [ ] Donde ε 1 , ε 2 → 0 cuando z → z 0 . Aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann al último término, podemos cambiar los términos para obtener: f ( z) − f ( z0 ) ( x − x0 )ε 1 + ( y − y 0 )ε 2 = u x ( z 0 ) + iv( z 0 ) + . z − z0 z − z0 Como x − x0 , y − y 0 ≤ z − z 0 , la desigualdad del triangulo conduce a ( x − x0 )ε 1 + ( y − y o )ε 2 ≤ ε 1 + ε 2 → 0 , cuando z → z 0 . z − z0 49 Por tanto, el último término tiende a cero cuando z tiende a z 0 así que al tomar el limite, tenemos: f ' ( z 0 ) = lim z → z0 f ( z) − f ( z0 ) = u x ( z 0 ) + iv x ( z 0 ) z − z0 En particular, si las hipótesis del teorema se cumplen en todos los puntos de la región G, entonces f es analítica en G.■ En el caso de la variable real del cálculo elemental, sabemos que cuando la derivada de una función es cero en algún intervalo, la función es constante en ese intervalo. Para variables complejas se obtiene un resultado semejante. 3.13 Funciones Armónicas. Ecuación de Laplace (u xx + u yy = 0) Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene que u xx = (u x ) x = (v y ) x = (v x ) y = (−u y ) y = −u yy donde la ecuación de Laplace se cumple para u . De la misma forma se cumple para v. 3.14 Armónicos Conjugados. Tanto u como v son armónicos y cumplen las ecuaciones de Cauchy u xx + u yy = 0 v xx + v yy = 0 ux = vy u y = −v x . 3.15 Teorema de la Derivada Nula Sea f analítica en una región G y f ' ( z ) = 0 en todo z de G. Entonces f es constante en G. Se tiene la misma conclusión si Re f , Im f , f o arg( f ) es constante en G. Demostración: Como f ' ( z ) = u x ( z ) + iv x ( z ) , si la derivad se anula implica u x = v y , v x = −u y son todas cero. Así, u y v son constantes a lo largo de cualquier recta paralela a los 50 ejes coordenados y como G es conexo mediante un polígono entonces f = u − iv es constante en G. Si u (ov ) es constante v x = −u y = 0 = u x = v y , lo cual implica que f ' ( z ) = u x ( z ) + iv x ( z ) = 0 y f es constante. Si f es constante, también f 2 = u 2 + v 2 , lo es, esto implica que uu x + vv x = 0 , uu y + vv y = vu x − uv x = 0 Resolviendo estas dos ecuaciones para u x , v x , tenemos u x = v x = 0 a menos que el determinante u 2 + v 2 se anule. Como f 2 = u 2 + v 2 , es constante entonces u 2 + v 2 = 0 en un punto, entonces es constantemente cero, y f idénticamente. De otra manera, las derivadas se anulan y f es constante. se anula Si arg f = c, f (G ) estará contenida en la recta v = (tan c) * u , A menos que u ≡ 0 , en cuto caso terminamos. Pero (1 − i tan c ) f es analítica Im(1 − i tan c ) f = v − (tan c )u = 0 , Lo que implica que (1 − i tan c ) f es constante. Así f lo es también.■ IV INTEGRAL COMPLEJA 4.1 Introducción a la Integral de Línea La naturaleza bidimensional del plano complejo sugiere considerar integrales a lo largo de curvas arbitrarias en C en lugar de segmentos del eje real únicamente. Estas “integrales de línea” tienen propiedades interesantes y poco comunes las cuales veremos. 4.2 Integrales de Línea. Como ya vimos anteriormente las funciones analíticas, son resultantes de la derivabilidad de la función. En cálculo real, el teorema fundamental revela una conexión entre las derivadas y las integrales definidas. Un arco γ en el plano es cualquier conjunto de puntos que pueden describirse en forma paramétrica por: γ : x = x(t ) , y = y (t ) , α ≤t≤β. 51 Con x (t ) y y (t ) funciones continuas de la variable real t en el intervalo real cerrado [α , β ]. En el plano complejo se describe el arco γ por medio de la función compleja continua de una variable real, γ : z = z (t ) = x (t ) + iy (t ) , α ≤t≤β. Definición 4.1 Arco suave Sea γ un arco suave si la función z ' (t ) = x ' (t ) + iy ' (t ) no se anula y es continua en α ≤ t ≤ β entonces γ es un arco suave. Definición 4.2 Arco suave por partes (spp). Consiste en número finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si γ es un arco spp, entonces x (t ) y y (t ) son continuas, pero sus derivadas x ' (t ) y y ' (t ) son continuas por partes. Definición 4.3 Arco de Jordan. Si z (t1 ) = z (t 2 ) solo si t1 = t 2 esto es, si no se intersecta a si mismo, o autointersecta. Un arco es una curva cerrada si z (α ) = z ( β ) y una curva de Jordan si es cerrada y simple excepto en los extremos α y β . La (figura 3.0) ilustra algunos de estos conceptos. Teorema 4.4 La Curva de Jordan. Una curva de Jordan separa el plano en dos regiones simplemente conexas, que tienen a la curva como su frontera. La región que contiene el punto al infinito se llama exterior de la curva; la otra región se llama interior. 4.5 Definición de Integral. Sea γ : z = z (t ), α ≤ t ≤ β , un arco suave, y f ( z ) = u + iv continua en γ . Así la integral de línea de f sobre γ estará dada por: ∫γ β f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ' (t )dt α [ ] = ∫ [u ( z (t )) + iv( z (t ))] x ' (t ) + iy ' (t ) dt β α β [ ] β [ ] = ∫ u ( z (t )) x ' (t ) − v( z (t )) y ' (t ) dt + i ∫ u ( z (t )) y ' (t ) + v( z (t )) x ' (t ) dt . α α 52 Figura 3.0 Teorema 4.6 Sea γ 0 una curva de Jordan spp tal que su interior contiene las curvas de Jordan spp disjuntas, γ 1 ,..., γ n , ninguna de las cuales esta contenida en el interior de la otra. Suponga que f ( z ) es analítica en una región G que contiene al conjunto S, el cual consiste en todos los puntos sobre y en el interior de γ 0 pero no en los interiores de γ k , k = 1,..., n . Entonces, ∫γ n 0 f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz . k =1 γk Demostración: Figura 3.1 53 Siempre se podrán encontrar arcos Lk , k = 0,..., n , spp disjuntos, que unan a γ k con γ k +1 (donde Ln une a γ n con γ 0 ) que formen dos curvas de Jordan spp, cada una contenida en alguna subregión simplemente conexa de G. (Sobre bases intuitivas omitimos la prueba, véase (figura3.1). Por el teorema de Cauchy, la integral de f ( z ) sobre estas curvas, cada una recorrida en sentido positivo se anula. Pero la contribución total de estas dos curvas es equivalente al recorrido de γ 0 en el sentido positivo, γ 1 ,..., γ n , en el sentido negativo lo (contrario), y L0 ,..., Ln en direcciones opuestas. Así, las integrales sobre los arcos Lk se cancelan, y: 0=∫ n γ0− f ( z )dz = ∫ f ( z )dz − ∑ ∫ f ( z )dz .■ n ∑γk γ0 k =1 k =1 γk Definición 4.7 Dada la función compleja de la variable real z (t ) = x(t ) + iy (t ) continua en [a, b] , se define la integral definida de z (t ) sobre [a, b] como ∫ b a b b a a z (t )dt = ∫ (t )dt + i ∫ y (t )dt 4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea Sea f analítica en el interior y en los puntos de un entorno cerrado simple c , orientado positivamente si z 0 es un punto interior a C entonces: f ( z )dz 1 ∫ 2πc c z − z 0 n! f ( z) f n (a ) = dz; n = 1,2,3... ∫ 2πi ( z − a ) n +1 f (z0 ) = Luego z 0 ∈ In(c). Teorema 4.8 i ) ∫ [αf1 ( z ) + β f 2 ( z )]dz = α ∫ f1 ( z )dz +β ∫ f 2 ( z ). γ γ γ 54 ii ) ∫ γ 1 +γ 2 f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz , donde γ 1 + γ 2 es la trayectoria que γ1 γ2 consiste en recorrer primero γ 1 seguido de γ 2 . iii ) ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz , donde − γ es la trayectoria que recorre el arco γ en −γ γ sentido inverso. iv ) ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dz , donde definimos dz como la diferencial con respecto γ γ a la longitud de arco, con: dz = dx + idy = (dx) 2 + (dy ) 2 = ds . Demostración: Para probar (iv), obsérvese que para cualquier constante real ( ) β β α α Re e iθ ∫ f ( z )dz = ∫ Re(e iθ f ( z (t )) z ' (t ))dt ≤ ∫ f ( z (t )) z ' (t ) dt , γ [∫ f ( z)dz ], la expresión de la izquierda Ya que la parte real de un número complejo no puede exceder su valor absoluto. Si se escribe ∫γ f ( z )dz en forma polar y θ = arg γ se reduce al valor absoluto de la integral y se cumple la (i) desigualdad. Las demás pruebas son consecuencias inmediatas de la definición de integral de línea.■ Si f ( z ) ≤ M en todo punto z de u arco γ de longitud L. La parte (iv) del teorema proporciona la desigualdad, ∫γ f ( z )dz ≤ M ∫γ dz = ML . De la definición y las propiedades de la integral definida de funciones reales de variable real, se deduce de forma inmediata, siendo z 0 ( x), z1 ( x), z 2 ( x) , continúas en I = [a, b] : 1. 2. ∫ b a ∫ b a b z ( x)dx = − ∫ z ( x)dx . a b b a a [ z1 ( x) + z 2 ( x)]dx = ∫ z1 ( x)dx + ∫ z 2 ( x)dx . 3. ∫ b a c b a c z ( x)dx = ∫ z ( x)dx + ∫ z ( x)dx . También se cumple: 55 4. Re 5. ∫ b b z ( x)dx = ∫ Re[ z ( x)]dx . a a b b a a ∫ αz ( x)dx = α ∫ α ∈C . z ( x)dx , Si la función compleja de variable real z (x) verifica z ' ( x) = z ( x) , entonces: b 6. ∫ 7. ∫ z ( x)dx = z (b) − z (a ) . a se verifica también: b b z ( x)dx ≤ ∫ z ( x) dx . a a Demostración. Sea ∫ b a z ( x)dx = ( R)(e iθ ) . entonces ∫ b a Si f ( x) = u ( x) + iv( x) verifica que ∫ b a La integral ∫ b a b b a a z ( x)dx = R = e iθ ∫ z ( x)dx = ∫ e iθ z ( x)dx . ∫ b a f ( x)dx es real entonces b f ( x)dx = ∫ Re[ f ( x)]dx a e −iθ z ( x)dx es real por ser igual a R. Luego ∫ b a b b a a z ( x)dx = ∫ e −iθ z ( x)dx = ∫ Re[e −iθ z ( x)]dx Ahora el integrando es una función real de variable real y además: Re[e −iθ z ( x)] ≤ e −iθ z ( x) = z ( x) Entonces tenemos que ∫ b a b b a a z ( x)dx = ∫ Re[e −iθ z ( x)]dx ≤ ∫ z ( x) dx .■ 56 La integral de línea sobre un arco γ spp se obtiene al aplicarse la definición anterior a un número finito de intervalos cerrados, en los cuales z (t ) es suave, y sumar los resultados. Ejemplo 8 Para evaluar ∫γ xdz , a lo largo del arco γ spp, mostrado en la (figura 3.2) Figura 3.2 Parametrizamos γ por ⎧1 + it , ⎩(2 − t ) + i, γ : z (t ) = ⎨ 0 ≤ t ≤ 1, 1≤ t ≤ 2 Entonces ⎧i, z ' (t ) = ⎨ ⎩− 1, 0 ≤ t ≤ 1, 1≤ t ≤ 2 Con derivadas izquierda y derecha diferentes en t = 1 . Por definición integrar sobre cada uno de los intervalos 0 ≤ t ≤ 1 y 1 ≤ t ≤ 2 , se obtiene 1 2 1 xdz = idt + ∫γ ∫0 ∫1 (2 − t )(−1)dt = − 2 + i , Ya que x(t ) = 1 en 0 ≤ t ≤ 1 y x(t ) = 2 − t en 1 ≤ t ≤ 2 . Al escoger una parametrización diferente para γ , por ejemplo ⎧1 + i log t , ⎪ γ : z (t ) = ⎨ t ⎪⎩2 − e + i, 1 ≤ t ≤ e, e ≤ t ≤ 2e, Se tiene ⎧i , ⎪ t z ' (t ) = ⎨ ⎪⎩− 1 e , 1 ≤ t ≤ e, e ≤ t ≤ 2e, Y 57 ∫γ xdz = ∫ e 1 2e ⎛ 1 i t ⎞⎛ − 1 ⎞ dt + ∫ ⎜ 2 − ⎟⎜ ⎟dt = − + i . e 2 t e ⎠⎝ e ⎠ ⎝ Por lo tanto, la integral de línea es independiente de las dos parametrizaciones de γ . Este caso se dará siempre y cuando el cambio de parámetros sea derivable por partes, como puede comprobarse fácilmente al utilizar la fórmula del cambio de variable del cálculo integral. Se obtiene un valor diferente si se integra sobre el segmento de línea γ * que une a 1 con i . Así, γ * : z (t ) = (1 − t ) + it , 0 ≤ t ≤ 1 , Así que 1 ∫ xdz = ∫ (1 − t )(−1 + i)dt = γ 0 −1+ i . 2 Este ejemplo muestra que no se puede obtener un teorema similar al teorema fundamental del cálculo para todas las funciones complejas continuas f (z ) . Consideremos por otra parte únicamente aquellas funciones f (z ) , que son derivadas de una función analítica F = U + iV en alguna región G que contenga el arco suave γ . Entonces, por definición, ∫γ β f ( z )dz = ∫ F ' ( z )dz = ∫ F ' ( z (t )) z ' (t )dt . γ α Con la regla de la cadena obtenemos, β β d β d β d ∫α F ( z (t )) z (t )dt = ∫α dt [ F ( z (t ))]dt ] = ∫α dt [U ( z(t ))]dt + i ∫α dt [V ( z (t ))]dt . ' ' ' Si se aplica el teorema fundamental del cálculo a cada una de estas integrales reales, se obtiene ∫γ f ( z )dz = [U ( z(β )) − U ( z(α ))] + i[V ( z(β )) − V ( z(α ))] = F ( z (β )) − F ( z(α )) . Además, se pude extender fácilmente este resultado a los arcos spp con la suma de los resultados obtenidos de los subarcos suaves. Como el resultado depende únicamente de los puntos extremos de cada subarco suave, se habrá probado el siguiente teorema. Teorema 4.4 Teorema Fundamental del Cálculo. Si F (z ) es una función analítica con derivada continua, f ( z ) = F ' ( z ) en una región G que contiene el arco spp γ : z = z (t ), α ≤ t ≤ β , entonces: 58 ∫γ f ( z)dz = F ( z(β )) − F ( z (α )) . Como la integral solo depende de los extremos del arco γ , es independiente de la trayectoria. De esta forma se obtiene el mismo resultado para cualquier arco spp en G con estos extremos. Para curvas γ , spp cerradas, el teorema fundamental establece que: ∫γ f ( z )dz = 0 , ya que F ( z ( β )) = F ( Z (α )) . Ejemplo 9 Sea P(z ) cualquier polinomio, y γ un arco spp. Muestre que : ∫γ P( z )dz = 0 si γ e una curva cerrada. (b) ∫ P( z )dz depende solo de los extremos de γ . γ (a) Solución: todo polinomio P(z ) es continuo en C. Además, si P ( z ) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 , entonces P(z ) será la derivada del polinomio analítico Q( z ) = an z n+1 an−1 z n a z2 + + ... + 1 + a0 z . 2 n +1 n De esta forma se satisface el teorema fundamental y se cumple las partes (a) y (b). Teorema 4.9 Teorema de Green. Sea G la región interior de una curva de Jordan γ spp y suponga que las funciones reales p y q son continuas en G ∪ γ con primeras parciales continuas en G. Entonces: ∫∫ ( p G x + q y ) dxdy = ∫ pdy − qdx . γ Ahora, si f = u + iv es analítica sobre y en el interior de una curva de Jordan γ spp, reescribimos la integral de f a lo largo de γ en la forma: ∫γ f ( z )dz = ∫γ (u + iv)(dx + idy) =∫γ udx − vdy + i ∫γ vdx + udy . 59 Si f ' es continua en G, entonces las primeras parciales u x , u y , v x , v y también lo son. Al aplicar el teorema de Green a las dos integrales de línea de la derecha, se obtiene: ∫γ f ( z )dz = −∫∫ (v G x + u y )dxdy + i ∫∫ (u x − v y )dxdy . G Las primeras parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, u x = v y y u y = −v x , por que f es analítica. Por tanto, ambos integrandos del lado derecho son cero. Como f ' ( z ) es continua en G hemos probado el teorema siguiente. Teorema 4.10 Teorema de Cauchy. Sea f ( z ) una función analítica sobre y en el interior de la curva de jordan γ spp. Entonces: ∫γ f ( z )dz = 0 . Ejemplo 10 Evalué ez ∫ z =1 z 2 + 4 dz . Solución: la notación empleada significa que la integración se toma sobre el círculo unitario en su sentido positivo. La función f ( z ) = e z z 2 + 4 y su derivada z 2 − 2z + 4 z e ( z 2 + 4) 2 son analíticas sobre y en el interior de z = 1 . Como la derivada es analítica, es f ' ( z) = continua. Por ende el teorema de Cauchy de aplica y ez ∫ z =1 z 2 + 4 dz = 0 . 4.4 Formula Integral de cauchy Sea f ( z ) una función analítica en una región simplemente conexa que contenga a la curva de Jordan γ spp. Entonces, f (ξ ) = f ( z) 1 dz , ∫ 2πi γ z − ξ Para todos los puntos ξ en el interior de γ . 60 Demostración: Se fija ξ . Entonces, dado ε < 0 , existe un disco cerrado z − ξ ≤ r en el interior de γ para el cual f ( z ) − f (ξ ) < ε . (Figura 3.3). Figura3.3 Como f ( z ) (Z − ξ ) es analítica en una región que contiene aquellos puntos sobre y en el interior de γ , que satisfacen z − ξ ≥ r , el teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas implica: f ( z) f ( z) 1 1 dz = dz. ∫ ∫ γ z − ξ = r 2πi z − ξ 2πi z −ξ Pero ∫ z −ξ = r f ( z) f ( z ) − f (ξ ) dz dz = f (ξ ) ∫ +∫ dz. z −ξ = r z − ξ z −ξ = r z −ξ z −ξ La primera integral del lado derecho será igual a 2πi, entonces: ∫ z −ξ = r f ( z ) − (ξ ) f ( z) dz − 2πif (ξ ) ≤ ∫ dz < 2πε . z −ξ = r z −ξ z −ξ Como ε puede elegirse arbitrariamente cercano a cero completamos la demostración.■ Ejemplo 11 Integre 61 cos z dz 3 +z ∫γ z sobre las curvas dadas: (a) γ : z = 2 , (b) γ : z = 1 2 y (c) γ : z − i 2 = 1 . Solución: (a) γ : z = 2 . Al descomponer la integral por fracciones parciales, se obtiene cos z cos z 1 cos z 1 cos z dz = ∫ dz − ∫ dz − ∫ dz 3 γ +z 2 γ z +i 2 γ z −i z ∫γ z 1 1 ⎡ ⎤ = 2πi ⎢cos(0) − cos(i ) − cos(i )⎥ = 2πi[1 − cosh(1)] . 2 2 ⎣ ⎦ (b) γ : z = 1 2 . Como cos z ( z 2 + 1) es analítica sobre y en el interior de γ , la integral es igual a 2πi veces su valor en z = 0 , esto es, cos z dz = 2πi 3 +z ∫γ z (c) γ : z − i 2 = 1 . Como cos z ( z + i ) es analítica sobre y en el interior de γ , por fracciones parciales se tiene 1 1 ⎞ ⎛1 = i⎜ + ⎟, z ( z − i) ⎝ z z − 1 ⎠ por lo cual ⎡ ⎛ cos(0) ⎞ ⎛ cos(i ) ⎞⎤ cos z ⎡ 1 ⎤ dz = 2πi ⎢i⎜ ⎟ − i⎜ ⎟⎥ = 2πi ⎢1 − cosh(1)⎥ . 3 +z ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎝ i ⎠ ⎝ 2i ⎠⎦ ∫γ z Por supuesto, en los tres ejemplos se puede utilizar la descomposición por fracciones parciales de la parte (a), por que las integrales correspondientes se anulan cuando los puntos 0 o ± i están en el exterior de γ . Teorema 4.11 Teorema de Morera. Si f (z ) es continua en una región simplemente conexa G y satisface que ∫γ f ( z )dz = 0 , Para todas las curvas γ spp cerradas en G, entonces f (z ) es analítica en G. 62 Demostración: Elegimos un punto z 0 en G y definimos z F ( z ) = ∫ f (ξ ) dξ , z0 Para todo z en G. luego entonces, F (z ) esta bien definida por que es independiente de la trayectoria: si γ 1 y γ 2 son curvas spp en G que van de z 0 a z , entonces γ = γ 1 - γ 2 es una curva spp en G, y 0 = ∫ f (ξ ) dξ = ∫ f (ξ ) dξ − ∫ f (ξ ) dξ . γ γ1 γ2 Si f es continua, para cualquier punto z en G y ε > 0 existe un disco ξ − z < δ en G talque f (ξ ) − f ( z ) < ε . Si h < δ , se tiene z 1 z+h F ( z + h) − F ( z ) 1 ⎡ z + h = f (ξ )dξ − ∫ f (ξ )dξ ⎤ = ∫ f (ξ )dξ , ∫ ⎥⎦ h z z0 h h ⎢⎣ z0 Donde la integración puede tomarse sobre la recta desde z hasta z + h . Como f ( z) z+h dξ , h ∫z f ( z) = Por sustracción se obtiene F ( z + h) − F ( z ) 1 z+h 1 − f ( z ) = ∫ [ f (ξ ) − f ( z )]dξ ≤ z h h h ∫ z+h z f (ξ ) − f ( z ) dξ < ε . Por tanto F ' ( z ) = f ( z ) , así que f e analítica en G. Pero entonces F tiene derivada analítica, lo que implica que f también es analítica en G.■ Ejemplo 12 Integre ∫γ z Sobre (a) γ : z = cos z dz . ( z − 1) 2 1 1 , (b) γ : z − 1 = y (c) γ : z = 2 . 3 3 63 Solución: (a) γ : z = 1 . En este caso cos z ( z − 1) es analítica sobre y en le interior 3 de γ , así que, por el teorema de Cauchy para las derivadas, se obtiene ⎛ cos z ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ z − 1 ⎠ dz = 2πi⎛ cos z ⎞ ⎜ ⎟ ∫γ z 2 ⎝ z −1 ⎠ = −2πi . z =0 1 . Ahora que z −2 cos z es analítica sobre y en el interior de γ , por lo 3 tanto, la integral es igual a 2πi veces el valor de z −2 cos z en z = 1 , esto es, z −2 cos z 1 1 ⎞ ⎛ 1 ∫γ z − 1 dz = ∫γ cos z⎜⎝ z − 1 − z − z 2 ⎟⎠dz (b) γ : z − 1 = = 2πi[cos(1) − cos(o) + sen(0)] = 2πi[cos(1) − 1] , Por el teorema de Cauchy para las derivadas. 64 CONCLUSIONES Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. Inicialmente en 1545, el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática hizo la introducción de los números complejos. Más tarde el matemático Gauss demostró que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus raíces en C: este es el teorema fundamental del álgebra. Otro descubrimiento de Gauss, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación i = − 1 , tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Lo cual me motiva al estudio de las estructuras de los números complejos, su algebra, sus axiomas de cuerpo, representación geométrica y polar sus derivadas e integrales, etc. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, etc. Contribuyendo así al desarrollo de la tecnología del actual siglo. En general los números complejos son la base y la estructura matemática más importante para el análisis y desarrollo de nuevas propuestas tanto científicas como intelectuales de la humanidad en el transcurso de los siguientes años. 65 BIBLIOGRAFÍA [A] Apóstol, T. M. Análisis Matemático, Reverte, Barcelona, 1994. [C] Churchill, R. V. Variable Compleja y Aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 1992. [D] Derrick, W. R. Variable Compleja con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1984. [L] Lipschutz, S. Topología General, McGraw-Hill, Nueva York, 1970. 66