Ejercicios resueltos sobre series uniformes

Unidad Central del Valle del Cauca
Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables
Programa de Contaduría Pública
Curso de Matemáticas Financieras
Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa
Ejercicios resueltos sobre series uniformes
Ejemplo 1. Durante un año se hacen depósitos de $50.000 al final de cada mes, en una
corporación de ahorro que paga un interés del 2.1% mensual. ¿Cuánto se tendrá acumulado
al cabo de los 12 meses?
En este caso tenemos:
A = 50.000
i = 2.1% mensual
n = 12 meses
F =?
F=?
0
1
2
3
4
5
6
7
A=50.000
i =2,1%
Aplicando F4.1 tenemos:
 (1,021)12 − 1
F = 50.000

 0,021 
F = 674.388,1
Usando la calculadora:
8
9
10
11
12
meses
Ejemplos sobre series uniformes
12
n
2.1
i%
0
PV
-50,000
PMT
COMP
FV
EXE
674,388.10
Al final del año tendrá acumulado en su cuenta $674.388,10.
Ejemplo 2. Un electrodoméstico puede ser adquirido a crédito pagando una cuota inicial
de $50.000, y 18 cuotas de $30.000 cada una por mes vencido; si el almacén cobra un
interés del 3% mensual, ¿cual será el valor de contado del artículo?
En el ejemplo tenemos los siguientes datos.
CI = 50.000
A = 30.000
i = 3%
n = 18
P =?
P=?
0
1
2
3
4
5
17
18
meses
A=30.000
50.000
i =3%
En este caso, el valor de contado del artículo será igual al valor presente de la anualidad
más la cuota inicial pagada.
Aplicando F4.3, se tiene:
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Series uniformes
3
 (1 + 0,03)18 − 1 
P = 50.000 + 30.000
18 
 0,03(1 + 0,03) 
P = 50.0000 + 412.605,39
P = 462.605,4
Usando la calculadora:
18
n
3
i%
0
FV
-30,000
PMT
COMP
PV
EXE
412,605.39
+
50,000
462,605.39
Ejemplo 3. Se tiene planeado realizar un préstamo de $1.000.000 en una corporación
financiera que cobra intereses del 42.58% efectivo anual. La corporación otorga un plazo
de 24 meses y el pago se realizará con cuotas mensuales iguales. Se desea saber.
a) ¿Cuál será el valor de cada pago?
b) Si se realizara un solo pago al final del plazo, ¿cual sería su monto?
SOLUCION:
Para el caso a:
P
E
n
m
i
A
F
= $1.000.000
= $42.58% anual
= 24 meses
= 12 meses
=?
=?
=?
Lo primero que debemos hacer es hallar el interés periódico equivalente, para lo cual
utilizamos la expresión F 2.2
i = 12 1,4258 − 1
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Series uniformes
4
i = 3% mensual
El siguiente diagrama, permite visualizar la situación:
1.000.000
0
1
2
3
4
5
22
23
24 meses
A=?
i = 3%
Aplicando F4.5 tenemos:
 0,03(1,03)24 
A = 1.000.000

24
 (1 + 0,03) − 1
A = 59.047,42
Debe pagar 59.047,42 cada mes
La segunda parte del ejercicio se puede graficarse de la siguiente manera:
1.000.000
0
1
2
3
4
5
22
23
24 meses
i = 3%
F=?
Aplicando la expresión F3.1 tenemos:
F = 1.000.000(1,03)
F = 20.32.794,11
Debe cancelar $2.032.794, como pago único al final del plazo
24
Ejemplo 4. Se ha pactado el pago de una obligación, cancelando 24 cuotas de $20.000
c/u mes anticipado. ¿Cuál será el monto de la obligación, si el interés a pagar es del 3.1%
mensual?
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Series uniformes
5
P=?
0
1
2
3
4
5
23
24 Meses
A=20.000
i=3,1%
Utilizando la expresión de valor presente para una anualidad vencida, 24 periodos (de 0 a
23 hay 24 pagos), tenemos:
P=?
-1
0
1
2
3
4
5
23
24 Meses
A=20.000
i=3,1%
 (1 + 0,031)24 − 1 
P = 20.000
= 335.090,9
24 
 0,031(1 + 0,31) 
Valor presente en el punto “-1”
Para hallar el valor presente en el punto “0”, simplemente “trasladamos” P-1 a P0 utilizando
para ello la expresión de equivalencia dada para hallar valor futuro:
F = 335.090,90(1,031) = 345.478,7
En este caso “F” el valor en el punto “0”, es decir el valor presente de la anualidad
Podemos igualmente “Acomodar” el flujo de tal manera que permita utilizar la expresión
de equivalencia de una anualidad vencida, para obtener el valor en P0:
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Series uniformes
6
P
0
1
2
3
4
22
20.000
A
23
24
meses
A=20.000
i=3,1%
En este caso tenemos:
A = 20.000
i = 3,1%
n = 23 meses
P=?
 (1 + 0,031)23 − 1 
P = 20.000 + 20.000
23 
 0,031(1 + 0,031) 
P = 345.478,7
Usando calculadora: Como es una anualidad anticipada, la calculadora debe estar en el
modo “BGN”, el cual se activa pulsando las teclas SHIFT y MODE. Las letras “BGN deben
aparecer en pantalla
BGN
345,478.689
0
FV
24
n
3.1
i%
-20,000
PMT
COMP
PV
EXE
345,478.68
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Series uniformes
7
Ejemplo 5. El propietario de un apartamento, pacta con el arrendatario un canon mensual
de arrendamiento de $150.000 mensuales, los cuales deberán ser consignados al inicio de
cada mes en una cuenta de ahorro que paga un interés del 2% mensual. El propietario salió
de viaje y al cabo de dos años regresa a su ciudad. Asumiendo que el arrendatario canceló
cumplidamente el arriendo, ¿cuánto tendrá acumulado en su cuenta de ahorros?.
En este caso los datos son:
A = 150.000
i = 2% mensual
n = 24 meses
F = .?
F=?
0
1
2
3
4
5
22
A=150.000
i = 2%
 (1 + i )n − 1
F = A

i


 (1 + 0,02)24 − 1
F = 150.000 

0,02


F = 4.563.279,4- Æ Valor futuro en el periodo 23
El valor futuro pedido (en el periodo 24) será:
F = P(1 + i )
n
F = 4.563.279,4(1.02)
F = 4.654.545 Æ Valor acumulado al cabo de los dos años
Usando la calculadora:
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23
24 meses
Series uniformes
8
BGN
4,654,544.958
0
PV
24
n
2
i%
-150,000
PMT
COMP
FV
EXE
4,654,544.95
Ejemplo 6. Un agricultor recibe un préstamo por valor de $5.000.000, de una entidad de
fomento agropecuario, la cual le concede un periodo de gracia de cuatro años, durante los
cuales no abona a capital ni a intereses. A partir de este periodo debe cancelar el préstamo
más los intereses acumulados, pagando 5 cuotas anuales iguales. Si la entidad le cobra un
interés del 30% anual, ¿cual será el valor de cada una de las cuotas?
El siguiente diagrama nos detalla el ejemplo propuesto:
5.000.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 años
A=?5
i = 30%
Para hallar el valor de la anualidad, es necesario calcular primero el valor acumulado hasta
el momento en el cual se inician los pagos, en este caso hasta el periodo cuatro
(Recordemos que el valor presente de una anualidad se ubica un periodo antes del primer
pago. Como la anualidad se inicia en el periodo 5, el valor presente se debe calcular para el
periodo 4). O sea:
F = 5.000.000 (1,3)4
F = 14.280.500
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Series uniformes
9
Ahora solo resta hallar el valor de la anualidad, dado un valor presente, durante 5 periodos,
14.280.5000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 años
A=?5
i = 30%
 i(1 + i )n 
A = P

n
 (1 + i ) − 1
 0.3(1.3)5 
A = 14.280.500

5
 (1.3) − 1
A= 5.863.309.8
Deberá pagar $5.863.309,8 cada año, durante 5 años, para cancelar el préstamo.
Ejemplo 7: Un alcalde desea establecer un fondo para garantizar el mantenimiento de las
instalaciones del consejo municipal, el cual debe realizarse a perpetuidad, y cuyo costo
anual de $5.000.000. Suponiendo que el costo y los intereses permanecen constantes,
¿Cuánto deberá depositar hoy en una entidad que le reconoce intereses del 20% anual?
P = .?
I = 20%
N = Infinito
P=
A
i
P=
5.000.000
= 25.000.000
0.2
Debe establecer un fondo de $25.000.000, para garantizar retiros de $5.000.000 anuales a
perpetuidad.
Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa