Metodo de Imagenes - U

CI51J
CI51J
HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS
Y SU APROVECHAMIENTO
TEMA 5
ECUACIONES GENERALES DE LA HIDRAULICA EN
MEDIOS POROSOS
SOLUCION DIRECTA DE LA ECUACION DE LAPLACE
METODO DE LAS IMAGENES
OTOÑO 2009
UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
CI51J
METODO DE IMÁGENES
SUPERPOSICION
IMPERMEABLE
E
IMÁGENES:
BARRERA
SUPERPOSICION E IMÁGENES: ESCURRIMIENTO
BIDIMENSIONAL ENTRE UN POZO Y UNA
FUENTE LONGITUDINAL
EJEMPLOS
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CI51J
El método de las imágenes se basa en la hipótesis simplificatoria
que un acuífero está limitado en su contorno horizontal por dos tipos
de pantallas verticales planas: positivas y negativas.
Las pantallas positivas son contactos del nivel piezométrico con
masas de agua que mantienen constante el nivel en dichos bordes.
Las pantallas negativas representan el contacto con zonas
impermeables sin aporte de agua.
CI51J
El método de las imágenes se apoya en la superposición de
soluciones a problemas de escurrimiento más simples, lo que
permite obtener soluciones más generales que cumplen con nuevas
condiciones de borde.
2
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CI51J
METODO DE IMÁGENES
SUPERPOSICION
IMPERMEABLE
E
IMÁGENES:
BARRERA
SUPERPOSICION E IMÁGENES: ESCURRIMIENTO
BIDIMENSIONAL ENTRE UN POZO Y UNA
FUENTE LONGITUDINAL
EJEMPLOS
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En este caso es posible superponer la solución correspondiente al
descenso del nivel piezométrico debido al bombeo de cada pozo
individual, en un punto cualquiera del espacio. La solución
compuesta será representativa del efecto combinado de ambos
pozos de bombeo.
P (x,y)
r2
r1
Q
2x0
(-x0,0)
r1 =
( x − x0 )2 + y 2
r2 =
( x + x0 )2 + y 2
Q
(x0,0)
x0
s (r ) = s1 (r1 ) + s2 (r2 )
CI51J
En el caso del pozo real podemos calcular la depresión o descenso
del nivel piezométrico como:
sR (r1 ) = h0 − hR (r1 )
donde h0 es el nivel piezométrico inicial.
sR(r)
h0
h(r)
r
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CI51J
IMAGINARIA
REAL
P( x, y )
r2 =
( x + x0 )2 + y 2
r1 =
Q
( x − x0 )2 + y 2
Q
y
x
(− x0 ,0)
(x0 ,0)
s(r ) = s1 (r1 ) + s2 (r2 )
s(r ) = {h0 − h1 (r1 )} + {h0 − h2 (r2 )}
h2 (r2 ) = c1 ⋅ Ln (r2 ) + c2
h1 (r1 ) = c1 ⋅ Ln (r1 ) + c2
s(r ) = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln(r1 ⋅ r2 ) − 2 ⋅ c2
CI51J
sP = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln(rP ⋅ 2 ⋅ x0 ) − 2 ⋅ c2
s(r ) = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln(r1 ⋅ r2 ) − 2 ⋅ c2
sM = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln( x0 ⋅ x0 ) − 2 ⋅ c2
P( x, y )
r2 =
Q
( x + x0 )2 + y 2
r1 =
Q
y
(− x0 ,0)
(x0 ,0)
x
r1 ≈ x0
( x − x0 )2 + y 2
y r2 ≈ x0
r1 = rP
y r2 ≈ 2 ⋅ x0
h = hM
h = hP
s = sM
s = sP
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sM = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln( x0 ⋅ x0 ) − 2 ⋅ c2
sP = 2 ⋅ h0 − c1 ⋅ Ln(rP ⋅ 2 ⋅ x0 ) − 2 ⋅ c2
c1 =
c2 = h0 −
sM − sP
 2 ⋅ rP 

Ln
 x0 
sM − sP
s
⋅ Ln( x0 ) − M
2
 2 ⋅ rP 

Ln
 x0 


x02
x02
1 s − sP

s ( x, y ) = s M + ⋅ M
⋅ Ln
⋅
2
2
2
2 
2
 2 ⋅ rP 
 ( x − x0 ) + y ( x + x0 ) + y 

Ln
 x0 


x02
x02
1 s − sP

h( x, y ) = h0 − sM − ⋅ M
⋅ Ln
⋅
2
2
2
2 
2
 2 ⋅ rP 
(
)
(
)
x
−
x
+
y
x
+
x
+
y
0
0



Ln
 x0 
CI51J
DOS POZOS DE BOMBEO
50
49.5
40
49
20
48.5
48
0
47.5
47
-20
46.5
-40
-100
46
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
45.5
45
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CI51J
METODO DE IMÁGENES
SUPERPOSICION
IMPERMEABLE
E
IMÁGENES:
BARRERA
SUPERPOSICION E IMÁGENES: ESCURRIMIENTO
BIDIMENSIONAL ENTRE UN POZO Y UNA
FUENTE LONGITUDINAL
EJEMPLOS
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Este es un problema en el cual tenemos una fuente longitudinal que
recarga agua al acuífero. Esta fuente lineal constituye una
equipotencial por lo que las líneas de flujo la cortan normalmente.
En este caso se
puede aplicar el
principio de las
imágenes
para
obtener
una
representación del
escurrimiento de
agua subterránea
hacia la captación.
SUPERPOSICION
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El método de las imágenes se basa en la superposición de
soluciones a problemas de escurrimiento más simples, lo que
permite obtener soluciones más generales que cumplen con nuevas
condiciones de borde.
Para el caso del
problema
planteado
podemos reemplazar la
fuente lineal por un
r2
pozo imagen ubicado
r1
en
una
posición
simétrica (espejo) con
respecto
a
la
captación real. Para
cumplir
con
la
condición
de
línea
equipotencial el nuevo
pozo debe ser de
inyección.
CI51J
IMAGINARIA
REAL
P( x, y )
r2 =
( x + x0 )2 + y 2
r1 =
Q
Q
y
(− x0 ,0)
( x − x0 )2 + y 2
x
(x0 ,0)
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El valor de h debido al efecto del pozo real, hR(r), está dado por una
expresión similar a la del caso de un pozo aislado:
hR (r ) = c1 ⋅ Ln (r1 ) + c2
mientras que el valor de h debido al pozo imagen, hI(r), es igual a:
hI (r ) = c1 ⋅ Ln (r2 ) + c2
donde r1 y r2 son las distancias hacia el punto P, medidas desde el
centro de los pozos real e imaginario, respectivamente. Podemos
escribir para r1 y r2 las siguientes expresiones:
r12 = (x − x0 ) + y 2
2
r22 = (x + x0 ) + y 2
2
CI51J
En el caso del pozo real podemos calcular la depresión o descenso
del nivel piezométrico como:
sR (r1 ) = h0 − hR (r1 )
donde h0 es el nivel piezométrico inicial.
sR(r)
h0
h(r)
r
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En el caso del pozo real e imaginario podemos calcular las
depresiones o descensos del nivel piezométrico como:
sR (r1 ) = h0 − hR (r1 )
sI (r2 ) = h0 − hI (r2 )
donde h0 es el nivel piezométrico inicial. Finalmente, el valor total de
h considerando la existencia de ambos pozos es:
h(r ) = h0 − sT (r ) = h0 − (sR (r1 ) − sI (r2 ))
sI(r)
sR(r)
CI51J
Substituyendo las expresiones para el pozo real e imaginario se
obtiene:
r 
h(r ) = h0 + c1 ⋅ Ln 1 
 r2 
La expresión anterior cumple con la condición de borde impuesta por
la fuente lineal ya que para un punto sobre la posición de la fuente
(r1=r2) se cumple que el nivel piezométrico es constante (h = h 0 ).
Si consideramos que en el pozo real se ha medido el nivel
piezométrico de equilibrio tenemos: r1=rW, h=hW, r2≈2·x0, donde rP es
el radio del pozo, hP es el nivel piezométrico medido en el pozo de
bombeo, y x0 es la distancia entre el pozo real y la fuente.
 r 
h(r ) = hW = h0 + c1 ⋅ Ln W 
 2 ⋅ x0 
c1 =
hW − h0
 r 
Ln W 
 2 ⋅ x0 
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CI51J
IMAGINARIA
REAL
P( x, y )
r2 =
( x + x0 )2 + y 2
r1 =
( x − x0 )2 + y 2
y
(− x0 ,0)
(x0 ,0)
x
r1 = rW
y r2 ≈ 2 ⋅ x0
h = hW
CI51J
Substituyendo las condiciones de borde anteriores se obtiene:
h(r ) = h0 +
r 
hW − h0
⋅ Ln 1 
 rW 
 r2 

Ln
 2 ⋅ x0 
Cambiando a un sistema de ejes coordenados (x,y) se obtiene:
 ( x − x0 )2 + y 2 
1 h − h0

h( x, y ) = h0 + ⋅ W
⋅ Ln
2
2 
2
 r 
 ( x + x0 ) + y 
Ln W 
 2 ⋅ x0 
la que representa la distribución de la cota piezométrica en un
acuífero bidimensional afectado por un pozo de bombeo y limitado
por la presencia de un estero o fuente longitudinal.
s ( x, y ) =
1
⋅
2
 ( x − x0 ) + y 2 
sP

⋅ Ln
2
2 
 r 
 ( x + x0 ) + y 
Ln W 
 2 ⋅ x0 
2
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POZO DE BOMBEO E INYECCION
40
20
0
-20
-40
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
CI51J
Utilizando la expresión obtenida para el nivel piezométrico h(x,y) se
puede evaluar la velocidad de Darcy en las direcciones x e y, en el
sector del acuífero real (acuífero es homogéneo e isotrópico):
vx = − K ⋅
∂h
∂x
vy = −K ⋅
∂h
∂y
El gradiente de h en la dirección x se obtiene como:
h − h0
x 2 − x02 − y 2
∂h( x, y )
= 2 ⋅ x0 ⋅ W
⋅
2
∂x
 r  ( x − x0 ) + y 2 ⋅ ( x + x0 )2 + y 2
Ln W 
 2 ⋅ x0 
(
)(
)
Con lo que finalmente la velocidad en la dirección x es:
v x ( x, y ) = −2 ⋅ K ⋅ x0 ⋅
hW − h0
x 2 − x02 − y 2
⋅
2
 r  ( x − x0 ) + y 2 ⋅ (x + x0 )2 + y 2
Ln W 
 2 ⋅ x0 
(
)(
)
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CI51J
El caudal total que capta el pozo de bombeo se puede calcular
evaluando el aporte a lo largo de la fuente lineal, lo que depende
directamente de la velocidad de Darcy en la dirección x.
vx = − K ⋅
∂h
∂x
CI51J
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CI51J
El caudal total que capta el pozo de
bombeo
se
puede
calcular
evaluando el aporte a lo largo de la
fuente lineal, lo que depende
directamente de la velocidad de
Darcy en la dirección x. De esta
manera, se puede utilizar la ley de
Darcy para obtener la siguiente
expresión:
−∞
vx = − K ⋅
x =0
FUENTE LONGITUDINAL
+∞
QAPORTE = ∫ vx
+∞
⋅ b dy
∂h
∂x
x =0
y
+∞
QAPORTE
vx
 ∂h 
= − K ⋅ b ⋅ ∫   dy
∂x  x =0
− ∞
x
−∞
CI51J
Utilizando la expresión obtenida para el nivel piezométrico h(x,y) se
puede evaluar el gradiente de h en la dirección x.
Luego de derivar y evaluar para x=0 se tiene:
∂h
h − h0
2 ⋅ x0
=− W
⋅
∂x x =0
 rW  x02 + y 2

Ln
 2 ⋅ x0 
Finalmente, al sustituir el resultado anterior e integrar se obtiene:
QAPORTE = 2 ⋅ π ⋅ K ⋅ b ⋅
hW − h0
sW
= 2 ⋅π ⋅ K ⋅ b ⋅
 rW 
 rW 


Ln
Ln
 2 ⋅ x0 
 2 ⋅ x0 
Lo que representa el caudal captado por el pozo de bombeo,
proveniente de la captación longitudinal.
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METODO DE IMÁGENES
SUPERPOSICION
IMPERMEABLE
E
IMÁGENES:
BARRERA
SUPERPOSICION E IMÁGENES: ESCURRIMIENTO
BIDIMENSIONAL ENTRE UN POZO Y UNA
FUENTE LONGITUDINAL
EJEMPLOS
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