La Función Gamma

Maestría en Matemática Pura
La Función Gamma
Variable Compleja
Estudiante: Harold L. Marzan
Matricula: 09-6110
Profesor: René Piedra, Ph.D.
1/25/2011
Trabajo Final
Esta investigación, describe brevemente la teoría de la función gamma, algunas de sus
propiedades, polinomios gamma y aplicaciones. Se realizan comentarios sobre el tema.
Tabla de Contenido
La Función Gamma .............................................................................................................................. 3
Revisión Histórica de la Función Gamma ........................................................................................ 3
Definición de Gamma ...................................................................................................................... 3
Gamma como Integral Definida ...................................................................................................... 4
Definición 1 .................................................................................................................................. 4
Ecuación Funcional .......................................................................................................................... 5
Formula Gamma de Weierstrass ......................................................................................................... 7
Algunos valores especiales de Γ(x) ...................................................................................................... 8
Propiedades de la Función Gamma ..................................................................................................... 9
La formula complemento ................................................................................................................ 9
La formula de multiplicación ......................................................................................................... 10
Expansión en Series de la Función Gamma ....................................................................................... 11
Digamma........................................................................................................................................ 11
Poligamma ..................................................................................................................................... 12
Constante de Euler y la Función Gamma........................................................................................... 13
Integrales de Euler-Mascheroni .................................................................................................... 14
Aporte Investigativo sobre la función Gamma .................................................................................. 15
Conclusión ......................................................................................................................................... 16
Bibliografía ......................................................................................................................................... 17
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La Función Gamma
Revisión Histórica de la Función Gamma
La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo Leonhard
Euler (1707-1783), con el objetivo de generalizar la función factorial a valores no enteros.
Más tarde, por su gran importancia, esta fue estudiada por matemáticos eminentes tales
como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Christoph
Gudermann (1798-1852), Joseph Liouville (1809-1882), Karl Weierstrass (1815-1897),
Charles Hermite (1822-1901),…. al igual que muchos otros.
La función gamma pertenece a una categoría de funciones transcendentes especiales, y
esta función ocurre en algunas constantes matemáticas especiales. Esta aparece en varias
areas de estudio, como en las series asintóticas, integrales definidas, series hiper
geométricas, la función Zeta de Riemann, teoría de números, otras.
Definición de Gamma
La función gamma completa, Γ(n), es definida como una extensión de la función factorial
de argumentos de números complejos y reales. Esta está relacionada por
Γ(n) = (n − 1)!
(1)
Esta notación es debido a Legendre 1809, la cual es universalmente utilizada, en lugar de
la notación de Gauss,
(Gauss 1812).
Esta es analítica en todas partes excepto en z = 0, -1, -2, ….y el residuo en z = -k, es
No existen puntos z en la cual Γ(z) = 0.
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Gamma como Integral Definida
Durante los años 1729 y 1730, Euler introdujo una función analítica la cual tiene la
propiedad de interpolar el factorial cada vez que el argumento de la función sea un
entero. En 1730, Euler propuso en una carta a Christian Goldbach, la siguiente definición:
Definición 1: Sea z > 0
(2)
Por cambios de variables elementales, esta definición toma formas más usuales:
,
(3)
o algunas veces,
(4)
o también,
(5)
Prueba. Use los cambios de variables u=-log(t) y u2=-log(t) en (2).
De aquí vemos que la función gamma es analítica y está bien definida para z > 0 ( y mas
generalmente para números complejos z con la parte real positiva).
Las derivadas pueden ser deducidas diferenciando debajo del signo de la integral de (3):
(6)
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Una ilustración presentada en el sitio de Wolfram, es el ploteo de la parte real e
imaginaria en el plano complejo, de Γ(z).
Ecuación Funcional
Sea z > 0, ∈ ℝ, Y para z>0, una integración por partes resulta en
(7)
Y la relación Γ(z+1) = z Γ(z), es la importante ecuación funcional.
Para valores enteros, la ecuación funcional se vuelve, Γ(n+1) = n! y es por esto mismo, que
la función Gamma puede ser vista como una extensión de la función factorial de números
reales positivos no nulos.
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Como este trabajo de investigación, ha sido desarrollado bajo un margen de tiempo
escaso, solo podemos referir al lector, para que revise los teoremas y pruebas en las
referencias [1][2].
Claramente, Γ(z) no es solo solución de la ecuación funcional, como veremos más
adelante.
Es posible también extender esta función a valores negativos, invirtiendo la ecuación
funcional (la cual se convierte en una identidad para -1 < x < 0, x en los reales)
Y por ejemplo, Γ(-1/2) = -2 Γ(1/2). Esta identidad, nos permite definir la función gamma en
todo el eje real x, excepto sobre los valores negativos (0, -1, -2,….). Para cualquier entero n
no nulo, tenemos que
(8)
Supongamos entonces que x = -n+h, con h siendo pequeño, entonces
Asi que Γ(x) posee polos simples en enteros negativos –n con residuo (-1)^n/n! (vea ploteo
a continuación). De hecho, por la relación de (8), la función gamma puede ser definida en
todo el plano complejo.
Para conocer otras definiciones equivalentes dadas por Euler en 1729, vea referencia [1] y
[3].
Ploteo de la función Gamma Γ(x):
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Formula Gamma de Weiers
Weierstrass
La relación
px = exlog(p) = ex(log(p) − 1 − 1 / 2 − ... − 1 / p)ex + x / 2 + ... + x / p,
establece que
Ahora, la constante de Euler está definida como
(9)
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Luego sigue la forma de Weierstrass, de la función Gamma:
Teorema (Weierstrass):
Para cualquier número real x, excepto sobre los enteros negativos (0, -1, -2,…), tenemos el
siguiente producto infinito
(9)
En este producto, podemos ver que la constante de Euler está profundamente relacionada
con la función gamma, y los polos son claramente los enteros negativos o el cero. De
acuerdo con Godefroy [4], la constante de Euler, en la teoría de la función gamma, juega
un rol similar como π en la teoría de funciones circulares y trigonométricas.
Es posible mostrar también, que la forma de la función gamma de Weierstrass es también
válida para los números complejos [3].
Algunos valores especiales de Γ(x)
Excepto para los valores enteros de x=n, para el cual Γ(n) = Γ(n-1)!, algunos valores no
enteros tienen forma cerrada.
El cambio de variable por sustitución, a t=u^2, tenemos que
La ecuación funcional (7), se establece para valores enteros positivos n; podemos ver
algunos valores especiales para estos valores n:
(10)
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Y para valores negativos
Ninguna expresión básica es conocida para Γ(1/3) y Γ(1/4), pero fue probado que aquellos
números son transcendentales (respectivamente por Le Lionnais en 1983 y
Chudnovsky en 1984).
Los valores numéricos, de algunas de estas constantes, hasta 50 dígitos, son:
Γ( 1/2) = 1.77245385090551602729816748334114518279754945612238...
Γ ( 1/3) = 2.67893853470774763365569294097467764412868937795730...
Γ ( 1/4) = 3.62560990822190831193068515586767200299516768288006...
Γ ( 1/5) = 4.59084371199880305320475827592915200343410999829340...
Para más detalles, de otras computaciones a millones de dígitos, ver referencia [6].
Propiedades de la Función Gamma
La formula complemento
Existe una importante identidad, que conecta la función gamma con los valores
complementarios x y 1-x. Una forma de obtener este resultado, es a partir de la formula
de Weierstrass (9), la cual resulta en
Pero la ecuación funcional da Γ(-x) = Γ(1-x)/x, y la igualdad se escribe como
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Y usando un producto infinito bien conocido:
Finalmente,
(11)
La relación (11), es la formula del complemento o reflexión, y es válida cuando x y 1-x son
no negativos o nulos; esta fue descubierta por Euler.
Si aplicamos esta fórmula para los valores x=1/2, x=1/3, x=1/4, encontramos que
La formula de multiplicación
Esta fórmula es debido a Gauss; esta se basa en un teorema para el caso especial con n=2
del resultado más general:
Una versión de esta multiplicación, debido a Euler es:
Otros temas relacionados, como la formula de duplicación de Legendre, ver [1] y [3].
10 | P a g i n a
Es de interés, estudiar como la función gamma se ha de comportar, cuando el argumento
x se hace muy grande. Si restringimos el argumento x a valores enteros n, el siguiente
resultado de gran importancia, es debido a James Stirling y Abraham de Moivre [1]:
Para ver las pruebas de esta fórmula de Stirling, vea [1] y [3].
Expansión en Series de la Función Gamma
Para estimar la función gamma cerca de un punto, es posible usar algunas expansiones en
series en este punto. Antes de hacerlo, necesitamos introducir una nueva función, la cual
está relacionada con la derivada de la función gamma.
Muchas de las series que envuelven la función gamma y sus derivadas, pueden ser
obtenidas a partir de la formula de Weierstrass. Tomando el logaritmo en ambos lados de
la formula de Weierstrass (9), encontramos la relación básica siguiente
(12)
Digamma
Definición: La psi, o función digamma, denotada por ψ(x), está definida para cualquier
valor no nulo o entero negativo, por la derivada logarítmica de Γ(x); esto es:
Diferenciando a 12, encontramos que
,
11 | P a g i n a
(13)
Y estas series convergen lentamente, para cualquier entero no negativo.
Poligamma
Si diferenciamos la relación (13), varias veces, obtenemos
(14)
Y ψn = ψ
(n),
son las funciones polygamma:
,
ψ0(x) = ψ(x)
Observando que para (14), con x>0, ψ’(x) > 0, por lo tanto, esta es una función
monótona sobre el eje positivo; por lo que la función log(Γ(x)) es convexa en x>0.
Valores especiales de la función ψn:
Ψ(1) =
Ψ1(1) =
−γ,
ζ(2)=π2/6,
12 | P a g i n a
Ψ2(1) =
−2ζ(3),
Ψn(1) =
(−1)n+1n!ζ(n+1),
Donde ζ(k) es la clásica función zeta de Riemann. Usando las relaciones de
recurrencia en (21) de [1],
Ψ(n) =
Γ′(n)
= −γ+
Γ(n)
∑
n−1
1
p
(15)
p=1
=
−γ+Hn−1.
El valor ψ(1/2) puede ser computado directamente, usando (13) o desde la formula de
duplicación (no tratada aquí; ver [1]) con x=1/2;
= − γ − 2 + 2(1 − log(2)) = − γ − 2log(2).
Las siguientes, son identidades interesantes de los poligammas:
Constante de Euler y la Función Gamma
Para x=1, la formula (15) para ψ(x) resulta en
Ψ(1) = Γ′(1)= −γ−1+H1= −γ,
13 | P a g i n a
Así que la constante de Euler, es el valor opuesto a la derivada de la función gamma en
x=1.
Integrales de Euler-Mascheroni
Usando la representación integral de Γ’(x), da la interesante formula integral, para la
constante de Euler:
Y de la (14), obtenemos
Ψ′(1)Γ2(1)+Γ′2(1) = Γ(1)Γ′′(1)
Por tanto,
Continuando de esta forma, con las demás derivadas, obtenemos las integrales de Euler-
Mascheroni:
Γ(3)(1) = −γ3−
1 2
π γ−2ζ(3),
2
Γ(4)(1) = γ4+π2γ2+8ζ(3)γ+
Γ(5)(1) = −γ5−
3 4
π,
20
5 2 3
3
10
π γ −20ζ(3)γ2− π4γ−24ζ(5)−
ζ(3)π2,
3
4
3
Otras identidades e integrales obtenidas a partir de gamma y sus derivadas, pueden ser
consultadas en [1], [2], y [3].
14 | P a g i n a
Aporte Investigativo sobre la función Gamma
La teoría de funciones gamma, despierta una nueva rama matemática, similar al cálculo;
esto implica que esta teoría es un cálculo moderno, y a través de la misma, se pueden
construir muchas nuevas teorías de funciones las cuales se pueden medir con un nuevo
enfoque.
Para realizar un aporte significativo, necesitaría por obligación, suficiente tiempo para
poder jugar con todas estas identidades y valores especiales de gamma, para luego llegar
a conclusiones que realmente puedan aportar algo significativo, al desarrollo de la teoría
de funciones gamma.
Un posible aporte, seria enfocar el estudio de estas funciones e identidades, al campo de
análisis complejo, y plotear el comportamiento de estas funciones en el plano complejo.
Otro posible aporte, seria en el campo de Matemática Experimiental; la idea sería buscar
convergencia de funciones existentes, mediante la combinación de las identidades de
digammas y poligammas, estas junto a la función zeta de Riemman. Los resultados pueden
ser obtenidos en un tiempo prudente, con ayuda de software de análisis numérico y
simbólico, usando computadoras.
Por el momento, solo me resta decir, que esta teoría es muy interesante, y es un campo
de investigación muy motivador, para futuro (como en el caso de preparar una tesis).
15 | P a g i n a
Conclusión
La función gamma, y la constante gamma, son los pilares del nuevo cálculo, el cual ha de
desarrollarse con unos sólidos fundamentos. Vimos que existen valores gamma que han
sido probados a ser transcendentales, y vimos la relación de la constante gamma con la
función gamma, en su forma de producto infinito.
Este es un tema que merece un estudio profundo y serio, para poder obtener resultados y
aplicaciones a otras áreas.
16 | P a g i n a
Bibliografía
1. Introducción a la función Gamma
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html
2. La Función Gamma
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
3. Gamma: Exploring Euler's Constant (Princeton Science Library)
por Julian Havil y Freeman Dyson
4. M. Godefroy, La fonction Gamma ; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, (1901)
5. N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Leipzig, (1906)
6. X. Gourdon and P. Sebah, Numbers, Constants and Computation, el sitio web esta en este
link: http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html, (1999)
17 | P a g i n a