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X Certamen de Matemáticas Al-Bayat
Segundo Ciclo
12 de Abril de 2008
Problema 1.
Considerando la sucesión de fracciones
1/1,
1/2, 2/2, 1/2,
1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3,
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4,
...
¿cuál será el denominador de la fracción 2008a ?
Problema 2.
Simplificar la expresión
¡
¢2 ¡
¢2
¡
¢¡
¢
S = a2 + a + 1 + a2 − a + 1 − 2 a2 + a + 1 a2 − a + 1
Problema 3.
Sobre los lados de un cuadrado ABCD se han marcado los puntos A0 , B 0 ,
C 0 , D0 tales que AA0 = BB 0 = CC 0 = DD0 = x. Sabemos que el área del
cuadrado A0 B 0 C 0 D0 es 5/9 del área del cuadrado ABCD, y que el lado de
éste es 6 cm. ¿Cuanto vale x?
C′
D
C
D′
B′
A
A′
B
Problema 4.
Cada uno de los nueve cuadrados que se muestra contiene uno de los números
del 1 al 9 sin que se repita ninguno. Si los cinco números que están alineados
verticalmente suman 32 y los números que están alineados horizontalmente
suman 20, ¿cuál es el número que hay en el cuadrado de la esquina?
Problema 5.
En el cuadrado ABCD, X e Y son puntos medios de AB y BC respectivamente. Si AB = 1, hallar el área del triángulo DXZ.
A
X
B
Y
Z
D
C
Problema 6.
Tenemos tres cofres, de oro, plata y bronce, cada uno de ellos con dos inscripciones referidas a un retrato y de manera que en un cofre los dos
enunciados son verdaderos, en otro cofre los dos enunciados son falsos, y en
otro cofre un enunciado es verdadero y otro es falso. Los enunciados que
aparecen sobre cada cofre son:
1. Cofre de oro. (a) El retrato no está en este cofre. (b) Está en el de
plata.
2. Cofre de plata. (a) El retrato no está en el de oro. (b) Está en el de
plomo.
3. Cofre de plomo. (a) El retrato no está en este cofre. (b) Está en el
de oro.
¿En qué cofre está el retrato?