2.5 Momento de una fuerza - Servidor de Apoyo al Sistema

2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA
ELEMENTOS TEÓRICOS.
7.2.1. Las figuras 98a y 98b nos muestran una vista frontal de la hélice de un avión en la cual estan actuando
dos fuerzas opuestas
diferentes.
y
(igual magnitud, igual dirección y sentido opuesto), en dos situaciones
FIGURA 98.
En ambas sitaciones la suma de las fuerzas que actuan sobre el sólido rígido es igual al vector nulo, sin
embargo en la primera el cuerpo está en equilibrio, mientras que en la segunda no hay equilibrio rotacional,
puesto que la hélice rotaria alrededor del eje O en el sentido de las manecillas del reloj, debido al momento
que generan las dos fuerzas en su nueva posición.
Es importante señalar en consecuencia que, considerado como vector libre,
es el mismo vector en ambas
situaciones, puesto que lo podemos aplicar en cualquier punto del espacio manteniendo la misma magnitud, la
misma dirección y el mismo sentido; pero la realidad física que representan ambas situaciones es bien distinta
como lo acabamos de anotar.
Las situaciones descritas nos muestran la necesidad de manejar con sumo cuidado los objetos matemáticos,
cuando los utilizamos para describir propiedades físicas, porque las propiedades asociadas al objeto
matemático no tienen necesariamente una equivalencia en los fenómenos físicos reales. El caso particualr que
es objeto de estudio nos lleva a la necesidad de caracterizar un nuevo vector que permita describir
adecuadamente la situación física planteada. este vector se denomina vector deslizante y pasaremos a
continuación a determinarlo.
7.2.2. El vector deslizante.
En la caracterización del vector libre tenemos un segmento rectilíneo orientado el cual esta dotado de
magnitud, dirección y sentido, entendiendose la dirección como la clase de equivalencia asociada a la relación
de paralelismo; bajo esta concepción todos los vectores situados sobre la misma recta ó en rectas distintas y
paralelas tienen la misma dirección; y en consecuencia si dos vectores situados en rectas distintas pero
paralelas tienen el mismo sentido y la misma magnitud, son iguales.
Vamos a restringir ahora el concepto general en la dirección y planteamos la siguiente definición, como en su
momento restringimos también la definición general para definir los vectores de posición o vectores ligados a
un origen determinado.
7.2.2.1. DEFINICIÓN: VECTOR DESLIZANTE SOBRE UNA RECTA DADA L.
Sea L una recta dada.
i. A todo segmento orientado determinado sobre L, y únicamente a este, lo llamaremos vector deslizante sobre
L. De L diremos que es la linea de acción del vector.
ii.De todo segmento nulo determinado sobre L, diremos que es un vector deslizante nulo.
Notación:
Sean A, B
L. El vector deslizante de origen A y extremo en B lo notaremos
7.2.2.2. CARACTERISTICAS DEL VECTOR DESLIZANTE SOBRE LA RECTA L.
Dado un vector deslizante sobre L, identificamos tres caracteristicas inherentes a él así:



Magnitud: Es la medida del segmento orientado, en términos de las unidades previamente
convenidas.
Dirección: Esta asociada únicamente a la dirección de la recta L. De dos vectores deslizantes diremos
que tienen la misma dirección únicamente si están determinados sobre la misma recta.
Sentido: Toda dirección supone la existencia de dos sentidos que los designamos opuestos entre si.
(Es el mismo concepto formulado para el vector libre).
7.2.2.3. DEFINICIÓN. IGUALDAD ENTRE VECTORES DESLIZANTES.
Dos vectores delizantes son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo
sentido.
Observaciones.
1. La igualdad definida entre vectores deslizantes requiere, para su establecimiento, que los vectores esten
determinados sobre la misma recta.
2. La caracterización del vector deslizante y la definición de igualdad, permite afirmar que los infinitos
segmentos nulos que se pueden determinar sobre una recta dada (Conjuntos unitarios de un solo punto) son
iguales y ésta solo puede darse, entre los vectores nulos de una misma recta.
3. Dado un vector deslizante
determinar un vector
vector
, si P
L, entonces con origen en P podemos, por la definición de igualdad,
tal que
Del vector
diremos que es una "aplicación" del
en el punto P. En esta forma en cualquier punto de L podemos construir un vector con origen en
él, igual al vector
. Esta posibilidad crea un modelo que se comporta como si el vector
"deslizara" sobre su linea de acción y de ahí el nombre de vector deslizante.
se
FIGURA 99.
En la figura 99, los vectores
respectivos puntos de origen.
,
,
son "aplicaciones" del vector
en sus
Ilustración 1.
Para lograr una mejor comprensión de éste último concepto, como también sus relaciones en términos
generales con el vector libre, proponemos a continuación las siguientes situaciones.
Sean:
i.
L1
L2
L3
rectas
ii.
distintas,
A,
iii.
H,
iv. P, D, G, K, U
L3
L
L
L
L
B,
R,
como
se
Q,
F,
indica
en
la
figura
100.
S
M,
L1
T
L2
FIGURA 100.
1. Analicemos las siguientes parejas de vectores, de acuerdo a sus caracteristicas fundamentales (magnitud,
dirección y sentido), en sus contextos propios.




y
: Estos vectores deslizantes con linea de acción L1 tienen distinta magnitud, la misma
dirección y el mismo sentido.
y
: Estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.
y
: Estos vectores deslizantes con linea de acción L2 tienen distinta magnitud, la misma
dirección y sentidos opuestos.
y

: Estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y sentidos opuestos.
y
: Estos vectores deslizantes, con linea de acción L3 tienen la misma magnitud, la
misma dirección y el mismo sentido, en consecuencia

y
: Estos vectores libres tienen la misma magnitud, dirección y sentido y en consecuencia
2. Determinemos de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son falsas, justificando
adecuadamente la afirmación respectiva.
1).
2).
3).
y
4).
tienen
y
5).
tienen
y
6).
la
la
tienen
y
misma
tienen
misma
sentidos
sentidos
dirección.
dirección.
opuestos.
opuestos.
7).
.
8).
.
9).
y
son
vectores
opuestos.
10).
.
11).
.
12).
.
13).
y
tienen
distinta
dirección.
14).
y
tienen
sentidos
opuestos.
15).
y
tienen
distinta
dirección.
16).
y
tienen
sentidos
opuestos.
17).
18).
Veamos las respuestas para algunas de ellas; las demás se dejan para ser resueltas por el lector.








La proposición 1). es verdadera por la igualdad entre vectores geométricos.
La proposición 2). es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes.
La proposición 3). es verdadera por la definición de dirección entre vectores libres.
La proposición 4). es falsa por la definición de dirección entre vectores deslizantes.
La proposición 5). es verdadera por la definición de sentido entre vectores libres.
La proposición 6). es falsa, puesto que solo son comparables en el sentido. dos ectores deslizantes
que tengan la misma dirección.
La proposición 10). es verdadera por la igualdad entre vectores libres.
La proposición 11). es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes.
Convenciones:
i. Designaremos por
; el conjunto de todos los vectores deslizantes con linea de acción en la recta L.
ii. Designaremos también mediante letras minúsculas latinas con el correspondiente subindice, los elementos
de
, así:
designan vectores deslizantes en L.
iii. . Designamos por
un vector nulo deslizante en L.
7.2.2.4. OPERACIONES EN EL CONJUNTO
.
7.2.2.4.1. DEFINICIÓN: SUMA.
Sean
.
Si en el extremo de
de
aplicamos el vector
lo llamaremos el vector suma de
y
, el vector origen en el origen de
y extremo en el extremo
y lo notamos
En la figura 101 podemos observar la operación descrita.
FIGURA 101.
7.2.2.4.2. DEFINICIÓN: VECTOR DESLIZANTE OPUESTO.
Sea
.
Existe un vector deslizante en L con la misma magnitud y el sentido opuesto al de
llamaremos opuesto de
y lo notamos
Consecuencias.
i. Si
ii. Si
iii.
Observaciones.
., entonces,
, su opuesto es el vector
y por tanto
Este vector lo
1. La suma es una operación binaria en el conjunto
2. Es inmediatamente verificable que
, constituyendose el sistema
es un grupo Abeliano.
7.2.2.4.3. DEFINICIÓN: DIFERENCIA.
Sean
.
Esto es, como ocurre en todos los grupos aditivos, la diferencia es un caso particular de la suma.
En la figura 102 podemos observar la operación descrita.
FIGURA 102.
7.2.2.4.4. DEFINICIÓN: PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR DESLIZANTE.
Sean
,
.
Definimos un vector deslizante con linea de acción en L, y lo designamos
caracteristicas:
.
ó
, con las siguientes
i.
ii.
iii. Si
Si
.
tiene el mismo sentido de
tiene
el
sentido
opuesto
al
Si
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN REAL POR UN VECTOR DESLIZANTE.
de
Sean
L,
.
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1).
2).
3).
4).
(
5).
6).
Observaciones.
1. El producto de un real por un vector deslizante corresponde a una ley de composición externa.
2. El conjunto
con las operaciones definidas, es un espacio vectorial real.
3. Como puede concluirse de las estructuras anteriores, el conjunto de los vectores deslizantes con sus
propiedades se obtiene de restringir las nociones generales del vector libre en el espacio, a su determinación y
operación en una recta.
7.2.3. Con el vector deslizante como herramienta matemática ya caracterizada, vamos ahora a revisar algunos
elementos físicos importantes que se apoyan en este objeto.
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. FUERZAS EQUIVALENTES.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido
permanecerán inalterables si una fuerza
, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza
de
igual magnitud, dirección y sentido, que actua sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la
misma linea de acción. Las dos fuerzas
y
tienen el mismo efecto sobre el sólido rígido y se dice que son
equivalentes Este principio se basa en la experiencia. No puede obtenerse a partir de las propiedades
establecidas hasta ahora y debe aceptarse, por tanto como una ley experimental.
El principio físico anterior nos permite afirmar que las fuerzas que actuan sobre un sólido rígido, estan
asociados al modelo geométrico de los son vectores deslizantes y por tanto en adelante su tratamiento
algebráico; corresponderá a este tipo de vector en los problemas físicos donde ellas se presenten.
En la figura 103 mostramos dos fuerzas opuestas
y
(deslizantes) y se indican distintas fuerzas
equivalentes actuando sobre una barra rígida, y como por el principio de transmisibilidad, sus efectos son
equivalentes.
FIGURA 103.
Debemos anotar desde luego que el principio de transmisibilidad y el concepto de fuerzas equivalentes tiene
limitaciones, así por ejemplo en la primera posición de la figura 102, las fuerzas actuantes, dependiendo de su
magnitud y del tipo de material de la barra, podrían producir una elongación de ésta, en tanto que en la
segunda posición podrian generar una compresión de la misma; alterando la estructura del sólido. Sinembargo
en las aplicaciones que desarrollaremos, asumiremos condiciones ideales que no generan ninguna deformación
en los cuerpos analizados.
Regresando al problema inicial de las fuerzas actuando sobre la hélice, podemos entender que ahora las
situaciones generadas son distintas porque la fuerza
en la primera aplicación no es equivalente a
segunda aplicación puesto que se cambió la linea de acción.
en la
De lo anteriormente expuesto queda implícito en consecuencia, que las fuerzas que actuan sobre un sólido
rígido se representarán y operaran como vectores deslizantes.
MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.
Sean:
Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido como se indica en la figura 104.
Un
punto
del
sólido
alrededor
del
El vector de posición de A, tomando como origen el punto O.
FIGURA 104.
cual
éste
puede
rotar.
Se define el momento o torque de la fuerza
con respecto al punto O y se designa por
como:
Observaciones:
1. El simbolo < class="large3">
corresponde a una letra del alfabeto griega y se lee tao, también se designa
el momento con respecto al punto O por
2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuencias que se pueden observar en
las figuras 105 y 106.
FIGURA 105.
7.3.1. MAGNITUD DE
, siendo
el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un
mismo punto; observemos que no necesariamente, el ángulo determinado entre el vector
y la aplicación de
en su extremo que corresponde realmente a su suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones
se toma como el ángulo entre los dos vectores.
FIGURA 106.
Vemos que en el
rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O a la linea de acción de
,
que
y por lo tanto se tiene tambien que:
a la distancia OH se le
denomina brazo de palanca, y una consecuencia inmediata de la expresión anterior es que la magnitud del
torque de la fuerza
es independiente del punto de aplicación de ésta sobre su línea de acción, puesto que la
distancia de O a la recta es constante.
Remitiendonos de nuevo a la ecuación inicial para
que se origina al descomponer la fuerza
podemos establecer otra interpretación interesante
en dos componentes rectangulares así: una componente paralela al
vector
y otra componente perpendicular a éste; que designamos respectivamente por
podemos observar en la figura 107.
y
como
FIGURA 107.
Se tienen en consecuencia las siguientes expresiones para
Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, dependiendo de los datos específicos del problema a
estudiar.
Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque, en el sistema MKSC
corresponde al producto Newton.metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que, en el mismo
sistema, el trabajo también se expresa en este mismo producto, designando como Joule la unidad para el
trabajo. No obstante utilizaremos el Joule únicamente para las unidades del trabajo y en el caso del torque los
designamos explicitamente como Newton.metro. Mas adelante daremos una explicación detallada del
significado del torque.
7.3.2. DIRECCIÓN DE
y
y por lo tanto es perpendicular al plano que determinan los vectores
son paralelos. En consecuencia la recta de acción de
cuerpo cuando está sujetó en O y se le aplica la fuerza
7.3.3. SENTIDO DE
y
cuando ellos no
representa el eje respecto al cual tiende a girar el
El sentido de
está indicado por la regla de la mano derecha, como lo estudiamos en la definición del
producto vectorial. Para el caso de la situación analizada el vector
por
y
está "entrando" al plano determinado
como lo indicamos en la figura 105, 106 y 107; esta regla nos indica además el sentido del giro que
la fuerza
tiende a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje determinado por la línea de acción de
que pasa por O.
En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo indicaremos con el simbolo
la figura 108, asignandole signo negativo al módulo de
indicaremos con el simbolo
y
como se indica en
en caso contrario si el sentido es antihorario lo
asignandole signo positivo al módulo de
FIGURA 108.
Esta caracterización de
nos permite, por último comprender cabalmente el significado de este objeto físico
que resumiremos así: la magnitud de
mide la tendencia de la fuerza
movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O fijo.
a imprimir al sólido rígido un
7.3.4. Como ya fué observado previamente, el momento
de una fuerza respecto a un punto, no depende
de la situación real del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su linea de acción (recordemos que la
fuerza corresponde a un vector deslizante). Recíprocamente el momento
posición del punto de aplicación de la misma.
Sin embargo, el momento
de una fuerza
completamente la recta de acción de
de una fuerza no determina la
de magnitud, dirección y sentidos dados, determina
. En efecto, la recta de acción de
se encuentra en un plano
perpendicular al vector
además el sentido de
y que pasa por O; y la distancia de la recta al punto O es igual al cociente
y el signo asignado nos permite precisar a que lado de O se determina la recta.
Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de transmisibilidad, como consecuencia de
todo lo anterior, en los siguientes términos: Dos fuerzas
y
son equivalentes, si y sólo si, son iguales y
tienen momentos iguales respecto a un punto dado O. Esto lo podemos simbolizar así,
equivalentes si y sólo si
y
son
y
COMPONENTES RECTÁNGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA.
En general la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede
a la descomposición en sus componentes rectángulares en los ejes coordenados, para el vector de posición del
punto de aplicación de la fuerza, y de ésta respectivamente. Consideremos el momento
componentes
de
respectivamente como se indica en la figura 110 y cuyo punto de aplicación
corresponde a P
FIGURA 110.
Se tiene por lo tanto que:
de una fuerza
y en consecuencia
Donde los escalares
,
y
de
, indican la tendencia de la fuerza
a imprimir a un sólido rígido un
movimiento de rotación alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden.
Calculemos a su vez las componentes de
esto significa que:
Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas coplanarias. En este caso
podemos asumir que la fuerza
consecuencia
está contenida en el plano
como se indica en la figura 109 y en
y
Al sustituir estos valores en la ecuación
y
se tiene
que corresponde a un vector perpendicular al plano
Finalmente queremos resaltar, para esta situación, dos elementos importantes.
por lo tanto
como se esperaba.
1. Un valor positivo de
indica que el vector
apunta "hacia afuera del plano" (la fuerza
tiende a hacer
girar el cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O), y un valor negativo indica que el
vector
apunta hacia adentro del plano (la fuerza
del reloj alrededor de O).
2. Si P
nos
tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas
designa un punto de cualquiera de la línea de acción de la fuerza
representa
la
ecuación
de
dicha
recta:
o
, entonces la ecuación
en
forma
equivalente
FIGURA 111.
Ilustración 2.
En la figura 112 se tiene una fuerza
fuerza está contenida en el plano
de magnitud igual a 15N que se aplica a un cuerpo en un punto A. La
y forma un ángulo de 50º con el semieje
forma un ángulo de 25º con respecto al semieje
. El vector de posición
y su magnitud es igual a 80cm.
Calcular el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta.
FIGURA 112.
Solución.
Podemos utilizar dos procedimientos diferentes así:
En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectángulares de
y
respectivamente.
esto es
Lo que indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario es decir
".
Ahora la ecuación de la linea de acción de
perteneciente a ella, como:
está "saliendo del plano
, se obtiene, considerando un punto genérico P
o también
En la segunda forma, recurrimos a la definición de la magnitud
como podemos observar en la figura 113 tenemos:
FIGURA 113.
(¿Porqué?).
Luego
derecha).
, con el signo positivo de acuerdo al sentido del producto vectorial (regla de la mano
Ilustración 3.
Determine la fuerza resultante, el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la linea de acción de
la fuerza resultante, para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la figura 114, siendo las
magnitudes de las fuerzas:
cuadrícula es igual a 10cm.
y la longitud de cada
FIGURA 114.
Solución.
Expresemos inicialmente cada fuerza, en sus componentes rectangulares.
(¿Porqué?)
(¿Porqué?)
Luego,
en consecuencia
y
¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes?. Justifique su afirmación.
Determinemos a continuación, las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de
aplicación de cada fuerza.
Calculemos ahora el torque de cada fuerza, respecto al punto O.
Por lo tanto el torque resultante
es:
esto es
la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario, es decir que
La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es:
, correspondiendo a:
y en consecuencia
lo cual nos indica que
está "saliendo del plano
".
Si E(0.2, 0.3) entonces, ¿es E un punto de la linea de acción de
?
Grafique la recta anterior.
¿Se cumple que
Justifique su respuesta.
Ilustración 4.
Hallar el momento respecto al origen de una fuerza
en la cual sus componentes estan
dadas en Newtons, cuando se aplica en un punto A; asumiendo que el vector de posición de A es:
a.
b.
c.
donde todas las componentes estan expresadas en metros.
Determine en cada caso, la ecuación de la línea de acción de
Solución.
Resolvamos el primer caso.
, donde cada componente está expresada en
Si P
es un punto cualquiera de la línea de acción de
¿Porqué?.
y en consecuencia se tiene:
se cumple:
luego
Ecuaciones paramétricas de la linea de acción de
Ilustración 5.
Una fuerza
de 50 Kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta como se indica en la
figura 115. Halle el momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas:
a.
b.
Empleando
Descomponiendo
la
fuerza
la
en
componentes
c. Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a
definición.
paralelas
y perpendicular a
a
y
.
respectivamente.
FIGURA 115.
Solución.
Aplicando la definición, tenemos incialmente que
el ángulo determinado entre
y
luego
como se indica en la figura 116.
siendo
FIGURA 116.
Podemos observar que
¿Porqué?.
, por tanto
Luego
Puede verificarse que el vector
antihorario alrededor del punto A.
está "saliendo del plano de la placa" y genera una rotación en sentido
Dejamos al lector el desarrollo del literal b.
Evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c; para ello utilizamos la figura 117.
FIGURA 117.
Descomponemos a
en dos componentes con las caracteristicas solicitadas que designamos por
respectivamente, y partiendo de la definición tenemos:
como
y
(¿Porqué?), entonces
y en consecuencia:
Ilustración 6.
Se aplica una fuerza vertical
indica en la figura 118.
de 150 Kgrf al extremo de una palanca que está unida a un eje en O como se
Halle:
a. El momento de
respecto al punto O.
b. La magnitud de una fuerza horizontal aplicada en A, que produce el mismo momento anterior, respecto a O.
c. La fuerza mas pequeña que aplicada en A crea el mismo momento anterior respecto a O.
d. A que distancia del eje debe actuar una fuerza vertical
anterior, respecto a O.
de 250 Kgrf para producir el mismo momento
FIGURA 118.
Solución.
Tenemos inicialmente que
119.
, luego
FIGURA 119.
(¿Porqué?) como se indica en la figura
donde
, en consecuencia
y el vector
está entrando al plano que contiene a la palanca y a
, generando una rotación en sentido horario alrededor del punto O.
Designemos por
que
la fuerza horizontal que aplicada en A, produce el mismo momento, entonces se cumple
y
como se indica en la figura 120.
FIGURA 120.
con
en consecuencia
¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza
y
se toma su opuesta?.
¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.
Determinemos ahora la fuerza mínima que aplicada en A, genera el mismo momento. Para ello analicemos
cada término de la ecuación básica:
, despejando
, como
y
tenemos:
son constantes en este caso, el valor mínimo de
cuando el denominador alcanza su valor máximo y esto sucede cuando
se obtiene
correspondiendo al ángulo
En consecuencia la fuerza mínima que designamos por
indica en la figura 119 y su valor corresponde a:
¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza
es perpendicular a
como se
se toma su opuesta?.
¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.
FIGURA 121.
Para abordar la solución del literal d, designemos por X el punto de aplicación de la fuerza
que genera el
mismo momento como se indica en la figura 122 y analicemos una vez mas la ecuación básica.
FIGURA 122.
y
Despejando
finalmente que
para
(¿Porqué?).
tenemos
obteniendo
, lo que nos indica que la fuerza
debe aplicarse a 54cm del eje O.
Ilustración 7.
Una viga uniforme de 50N de peso y 4m de longitud se encuentra en reposo y descansa sobre dos caballetes
como se indica en la figura 123. Calcular las fuerzas que los caballetes ejercen sobre la viga.
FIGURA 123.
Solución.
Determinemos el diagrama del sólido libre en la figura 124, en el cual podemos ubicar el peso de la viga que
designamos por
en el centro de gravedad de la misma. Designamos también por
ejercidas por los caballetes.
y
las fuerzas
FIGURA 124.
Se tiene por lo tanto un sistema de fuerzas coplanarias, no concurrentes y en consecuencia las condiciones de
equilibrio son:
[1]
[2]
debe ser igual al vector nulo.
, esto es la suma de los torques respecto a un punto cualquiera de la viga
Asumamos que la viga se orienta sobre el eje x y las fuerzas estan orientadas en el eje y; en consecuencia la
ecuación [1] se reduce a:
y por lo tanto
[1'].
Como los torques se pueden tomar en cualquier punto, seleccionemos el punto A pues en esta forma el torque
generado por
es igual al vector nulo. Así, en la ecuación [2] tenemos:
Al analizar el sentido de los productos, podemos concluir que estos vectores tienen sentido opuesto.
(¿Porqué?), y en consecuencia tenemos que :
luego
despejando para
se tiene :
[2'].
Sustituyendo este valor en la ecuación [1] despejamos
Plantee la ecuación de los momentos tomando como referencia el punto B o el punto C y verifique que el
resultado es el mismo.
Fuente: http://ayura.udea.edu.co/~vectorfisico/seccion6.html