Geometría

1
Blas Herrera Gómez
Geometría
para Arquitectura e Ingenierías.
Curso de Geometría para Arquitectura.
Curso de Geometría computacional.
Curso de Geometría para Mecánica de fluidos.
2a edición.
2
Dedicado a mi perra Yuli; murió hace 20 años.
c 2006 Blas Herrera Gómez
°
Editor
“Geometría para Arquitectura e Ingenierías.
Curso de Geometría para Arquitectura. Curso de Geometría computacional. Curso de Geometría para Mecánica de fluidos. 2a edición”
Reservados todos los derechos.
«No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su
tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier
medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros
métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.»
2a edición: septiembre de 2006
c by Herrera Gómez, Blas
°
e-mail: [email protected]
Fe de erratas: http://www.etse.urv.es/~bherrera
Impreso por Artyplan
Av. de Pau Casals, 14
43003 Tarragona
ISBN: 84-611-2050-7
Depósito legal: T-1255-2006
Prefacio
Lo que al lector aquí se le presenta contiene el resumen de las explicaciones de un Curso de Geometría para estudiantes de Arquitectura.
Además contiene el resumen de las explicaciones de un Curso de
Geometría computacional para estudiantes de Ingeniería informática.
Así mismo contiene el resumen de las explicaciones de un Curso
de Geometría para estudiantes de Mecánica de fluidos.
Puede ser usado por estudiantes de otras Ingenierías o Matemáticas.
Se presuponen conocidos todos los elementos necesarios de Análisis,
Álgebra y Geometría elemental.
Como el lector observará inmediatamente, en el presente trabajo no
se muestran dibujos; esto es así a propósito para dejar de manifiesto
que la Geometría no es Dibujo.
Agradezco al Dr. Agustí Reventós Tarrida, Catedrático de Universidad del área de Geometría y Topología de la Universidad Autónoma
de Barcelona, su contribución y apoyo.
Dr. Blas Herrera Gómez
Profesor Titular de Universidad
Área de Matemática Aplicada
Universidad Rovira i Virgili
Tarragona, septiembre de 2006
4
PREFACIO
Contenido
1. Espacio afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Definiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Fijar el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Intersección de variedades lineales . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Variedad lineal generada por un conjunto de puntos
1.2.3 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Coordenadas afines o cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Representación paramétrica de variedades lineales . . . . .
1.5 Razón simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Teorema de Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Representación cartesiana de variedades lineales . . . . . . .
1.8 Orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 De la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Envolvente convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
18
19
19
19
20
20
21
22
22
23
23
23
24
25
25
25
26
26
27
27
2. Aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Definiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Existencia y determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Expresión en coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Clasificación de algunas aplicaciones afines notables . . .
29
29
30
30
31
31
6
Contenido
2.5.1 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Clasificación según el valor propio 1 . . . . . . . . . . . .
2.6 Variedades cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
32
32
32
33
33
3. Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Apareamiento dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Segmento y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Endomorfismos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Ángulos y rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Suma de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Ángulo llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.4 Ángulo recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5 Seno y coseno de ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.6 Ángulo en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Distancia entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Ángulo entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Automorfismos ortogonales inversos en dimensión 2. . . .
3.14 Composición de rotaciones y simetrías en dimensión 2 .
3.15 Notas sobre los ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
35
36
36
37
37
38
38
39
40
41
41
42
42
43
43
44
45
46
47
47
47
48
4. Desplazamientos y Semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Desplazamientos en dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Desplazamiento directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Desplazamiento inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Composición de simetrías axiales . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Composición de giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Composición de giro con traslación . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 En coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
49
49
50
51
51
51
Contenido
7
4.2 Semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Cuestiones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Semejanza en el plano de razón k 6= 1 . . . . . . . . . .
4.2.4 En coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Desplazamientos en dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Clasificación de automorfirmos ortogonales . . . . . .
4.3.2 Clasificación de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 En coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Semejanzas en dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
53
54
55
55
55
56
57
58
58
5. Notas sobre transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 En dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Simetría central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 En dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Simetría especular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Simetría central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
59
59
59
60
60
60
60
60
60
62
62
62
6. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 Definiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Fórmulas de Frénet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Propiedades de la curvatura y torsión de curva . . . . . . . . 66
6.5 Hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6 Circunferencia y esfera osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6.1 Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6.2 Osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8
Contenido
7. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Definiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Aplicación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Primera forma fundamental, área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Longitud y ángulo de curvas sobre superficies . . . . . . . . .
7.5 Aplicaciones de Gauss y de Weingarten . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Línea de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Curvatura de Gauss y curvatura media . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
73
75
75
76
77
78
79
79
80
8. Isometrías, geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Ecuaciones de Gauss y de Codazzi-Mainardi . . . . . . . . . .
8.2 Isometrías, Teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . .
8.3 Geodésicas, distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Teorema de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
83
84
85
86
87
9. Casos generales de superficies notables . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1 Casos especiales de superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1.1 Arista de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1.2 Cilindros, conos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Caso general de superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2.1 Línea de estrangulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3 Helicoide recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4 Caso general de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . 92
9.5 Caso general de superficies mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.6 Caso general de superficies desarrollables . . . . . . . . . . . . . 93
10. Elementos de Geometría euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2 Proporcionalidad. Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.3 Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.4 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.4.1 Ángulo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.4.2 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.5 Propiedades básicas de los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.6 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.6.1 Área de una figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Contenido
9
10.6.2 Área del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.7 Razón simple y razón doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.7.1 Razón doble de cuatro rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.7.2 Construcción del cuarto harmónico . . . . . . . . . . . . 100
10.7.3 Bisectrices de los ángulos de un triángulo . . . . . . . 100
10.8 Medida y fracciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.8.1 Desarrollo en fracción continua de π . . . . . . . . . . . 101
10.8.2 Desarrollo en fracción continua de la
√ razón áurea ϕ102
10.8.3 Desarrollo en fracción continua de 2 . . . . . . . . . . 102
11. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Construcciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Construir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.3 Perpendiculares y paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.4 Transporte de segmentos y ángulos . . . . . . . . . . . .
11.1.5 Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.6 Arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.7 Tangente a una circunferencia por un punto . . . . .
11.1.8 Tangentes comunes a dos circunferencias . . . . . . . .
11.1.9 Producto y división de segmentos . . . . . . . . . . . . . .
11.1.10Media proporcional de dos segmentos . . . . . . . . . .
11.1.11Raíz cuadrada de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.12Raíces de una ecuación de segundo grado . . . . . .
11.1.13Segmentos áureos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Construcción de polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Exágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4 Dodecágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.5 Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.6 Octógono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.7 Decágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.8 Pentágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.9 Pentadecágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.10Heptadecágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Imposibilidad de construcciones con regla y compás . . . .
11.3.1 Extensión de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Puntos construibles con regla y compás . . . . . . . . .
103
103
103
103
104
104
105
105
106
106
106
107
107
107
108
108
108
109
109
109
109
109
109
110
110
110
111
111
113
10
Contenido
11.3.3 Tres problemas clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12. Inversión, polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Construcción geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Propiedades de la inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Homotecias e inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
115
115
115
117
117
13. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Recta de Euler y recta de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Relaciones métricas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Cevianas concurrentes. Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Punto de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Punto de Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.3 Puntos Recíprocos. Punto de Nagel . . . . . . . . . . . .
13.4.4 Puntos inversos. Punto de Lemoine . . . . . . . . . . . .
13.4.5 Puntos de Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Puntos alineados. Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Puntos concíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6.1 Circunferencias de Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6.2 Circunferencia de Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6.3 Circunferencia de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6.4 Circunferencias de Tucker y Taylor . . . . . . . . . . . . .
119
119
119
121
122
123
123
123
123
124
125
125
126
126
126
127
127
14. Situaciones notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Descripción pormenorizada de las cónicas . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Propiedades métricas de las cónicas . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Teorema de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3 Propiedad focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.4 Circunferencia de Monge. Círculo ortóptico . . . . .
14.1.5 Ecuación general de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.6 Cálculo de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Descripción pormenorizada de las cuádricas . . . . . . . . . .
14.2.1 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.4 Paraboloide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
129
129
131
132
132
132
133
135
135
136
138
139
Contenido
11
14.2.5 Paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.6 Generación de las cuádricas regladas . . . . . . . . . . .
14.2.7 Ecuación general de cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.8 Cálculo de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Otras situaciones notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.3 Superficie catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.4 Epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.5 Hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.6 Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.7 Pseudoesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.8 Involuta de circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.9 Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.10Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Prismatoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
141
142
144
146
146
146
146
147
147
147
148
148
148
148
149
149
149
150
150
15. Perspectiva cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Descripción sintética de la perspectiva cónica . . . . . . . . .
15.1.1 Elementos de la proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Puntos de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.3 Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.4 Introducción al cálculo sintético de distancias . . .
15.2 Descripción analítica de la perspectiva cónica . . . . . . . . .
151
151
151
152
152
153
154
16. Más elementos de interés en Arquitectura . . . . . . . . . . .
16.1 Proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Modulor de Le Corbusier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Frisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Mosaicos periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
155
156
157
158
17. Geometría computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1 Enunciado de la práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Preparación previa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Cubo en perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1 Procedamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
163
163
164
165
12
Contenido
17.3.2 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.1 Procedamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.2 Visibilidad de las aristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Problema del rango de dibujo del compilador . . . . . . . . .
17.5.1 Procedamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.6 Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Transformaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7.1 Giro del cubo entorno a una recta . . . . . . . . . . . . .
17.7.2 Giro de una tapa del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7.3 Estallido del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8 Dodecaedro, icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8.1 Dodecaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8.2 Icosaedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.9 Los objetos se tapan unos a otros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
169
169
170
171
172
174
176
176
176
177
177
178
182
183
18. Geometría para Mecánica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 185
18.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
18.1.1 Tensores covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
18.1.2 Aplicación dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
18.1.3 Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
18.1.4 Tensores contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
18.1.5 Tensores covariantes y contravariantes . . . . . . . . . . 187
18.1.6 Relación entre los espacios tensoriales y los espacios producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
18.1.7 Tensores alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
18.1.8 Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
18.2 n-forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
18.3 Derivación respecto de vectores tangentes a una superficie190
18.3.1 Derivación de una función respecto un vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
18.3.2 Derivación de una función respecto de un campo . 191
18.4 Producto de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
18.5 Derivación covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
18.5.1 Expresión en coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
18.5.2 Derivación covariante a lo largo de una curva . . . . 194
18.6 Campo paralelo, transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
18.7 Curvatura y torsión geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
18.7.1 Curvatura geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Contenido
13
18.7.2 Torsión geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.7.3 Valor algebraico de la derivada covariante . . . . . . .
18.8 Euler-Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.9 Curvatura total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
197
198
199
19. Prácticas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1 Prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1 Problema de la carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2 Problema del capitán pirata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.3 Problema de la rectificación de la circunferencia .
19.1.4 Problema de la foto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.5 Problema de la superficie mínima . . . . . . . . . . . . . .
19.1.6 Problema de la curvatura del universo . . . . . . . . . .
19.1.7 Problema del desmonte-terraplén . . . . . . . . . . . . . .
19.1.8 Problema de las cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
201
201
201
202
202
203
203
203
204
204
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Introducción
Según el Consejo de Coordinación Universitaria, dependiente del Ministerio de educación y ciencia, la Geometría forma parte de las directrices generales y troncalidad de las siguientes titulaciones: Arquitecto,
Ingeniero Aeronáutico, Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, Ingeniero Naval y Oceánico, Ingeniero en Geodesia y Cartografía, Licenciado en Ciencias Ambientales, Licenciado en Física, Licenciado en Geología, Licenciado en Matemáticas, Arquitecto técnico, Ingeniero técnico Aeronáutico, Ingeniero técnico de Obras Públicas, Ingeniero técnico en Diseño Industrial, Ingeniero técnico Naval, Máquinas Navales,
Navegación Marítima e Ingeniero en Geodesia y Cartografía.
En especial, para la titulación de Arquitecto el Consejo fija textualmente lo siguiente:
Título de Arquitecto. Troncalidad. “Fundamentos matemáticos en la arquitectura”: Álgebra. Cálculo. Ecuaciones diferenciales.
Geometría métrica, diferencial y analítica. Cálculo numérico. Estadística.
Así, en el presente trabajo:
Estudiamos el ambiente del espacio, la medida euclídea y las transformaciones (Capítulos 1 a 5). Consideramos las líneas, curvas y superficies en el espacio (Capítulos 6 a 9). Fijada una sección plana, estudiamos su ambiente euclídeo y algunos objetos construyéndolos con regla
y compás. Observamos la transformación de inversión, por su utilidad
en las construcciones geométricas. Estudiamos, por su importancia, el
triángulo (Capítulos 10 a 13). Describimos otros objetos del espacio,
de no menos importancia (Capítulo 14). Introducimos nociones de la
transformación de perspectiva cónica por el interés de la misma tanto
en Arquitectura como en Geometría computacional (Capítulo 15).
Lo expuesto es de normal uso en los ámbitos profesionales de la
Arquitectura e Ingenierías. El estilo riguroso y formal del presente
trabajo hace que también sea útil para estudiantes de Matemáticas.
16
Contenido
El rigor y la formalidad no han de despreciarse; Da Vinci dejó dicho:
Aquellos que se enamoran de la práctica sin la teoría son como
marineros sin timón ni brújula que nunca sabrán a dónde van.
El hombre necesita clara luz matemática y clara luz solar.
Sin embargo, no se ha de pecar de excesivo rigor y formalidad con
estudiantes de Arquitectura e Ingenierías; por tanto, el profesor que use
este trabajo ha de desmenuzar su contenido, y ha de entregarlo con el
estilo, cantidad y forma adecuados, teniendo en cuenta las capacidades
e intereses de los alumnos.
Para los interesados en usar este manual añadimos una propuesta
de ejercicios (Capítulo 19).
Concentramos en un capítulo más elementos de interés en Arquitectura (Capítulo 16).
Destinamos expresamente un capítulo para alumnos de un curso
básico de Geometría computacional, donde presentamos una práctica
explicada con detalle. Se trata de generar un programa que ejecute
sobre la pantalla un ambiente tridimensional (Capítulo 17).
Así mismo, añadimos un capítulo destinado expresamente a los estudiantes de Mecánica de fluidos interesados en las interficies y superficies libres (Capítulo 18).
Dr. Blas Herrera Gómez