Carga y Descarga RC - Aula Virtual FCEQyN

R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR
CONTENIDOS
Estado transitorio de carga y descarga. Cálculo de la constante de tiempo.
Método de cuadrados mínimos. Errores que se cometen durante la evaluación de τ
OBJETIVOS
Determinar la capacidad equivalente de un circuito RC.
Calcular la constante de tiempo en un circuito RC en el proceso de carga y
de descarga.
Obtener gráfica y analíticamente la constante de tiempo.
VI.1
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
VI.1.1 Introducción
Supongamos que tenemos dos placas paralelas de área A, separadas una
distancia d, y a un potencial V1 y V2 distintos y con cargas + Q y - Q. Un sistema de esta
naturaleza constituye lo que se denomina capacitor o condensador, y se define la capacidad
o capacitancia de un condensador a la cantidad de carga por unidad de potencial; esto es :
C = Q/V
(1)
( la cantidad de carga Q que aparece es la de cualquiera de las placas pues ambas son iguales
en módulo )
Evidentemente C es una constante del sistema cuya cantidad depende del
material dieléctrico y de la geometría del mismo (por ejemplo, una esfera cargada rodeada de
π ∈.R, siendo
un material dieléctrico constituye un condensador y la capacidad vale C = 4 /π
R el radio de la esfera).
Si la carga del condensador se expresa en coulombios y la diferencia de
potencial en voltios, la unidad de capacidad resultante es el Faradio; esto es :
1 Faradio = 1 Coulombio / 1 Voltio
Puesto que el Faradio es una unidad muy grande, se utilizan otras menores
como el microfaradio (1µF = 10-6 F), o también una unidad aún menor como el micromicrofaradio o picofaradio (1pF = 10-12 F). Para dar una idea de los ordenes de magnitud, un
amplificador a transistores posee capacitores cuyos valores oscilan entre las decenas de pF y
algunos miles de µF.
Teniendo en cuenta la relación entre potencial y campo eléctrico ε = - Grad V,
en el medio que separa a las placas se crea un campo eléctrico
1
ε
=
(V
1
−V2 )
(2)
d
Por otro lado, usando la ley de Gauss, se puede obtener que :
Q
=
∈ A
ε =
σ
∈
(3)
donde σ es la densidad superficial de carga y ∈ es la constante dieléctrica del medio entre las
placas que puede ser inclusive vacío; reemplazando en la (2) y llamando V = V1 - V2 esta
queda :
V
Q
V1
V2
=
(4)
d ∈A
+
+
+
+
+
+
-
Q ∈ A
=
=C
V
d
(5)
De aquí podemos concluir lo siguiente :
1) dadas dos placas de área A separadas una distancia d por
un medio de constante dieléctrica ∈, la relación carga a
diferencia de potencial permanece constante; esto es, son
proporcionales : a mayor diferencia de potencial, mayor
d
carga.
2) cuanto mayor sea ∈.A / d, mayor será la cantidad de carga que tendrá el
sistema por unidad de diferencia de potencial; y dados el dieléctrico, la separación de las
placas y su área, esta cantidad permanece constante.
La representación de un condensador en un circuito puede ser :
CAPACITORES FIJOS
CAPACITORES VARIABLES
Consideremos un conjunto de capacitores conectados en serie; esto es, la placa
positiva de uno con la negativa del siguiente, a una diferencia de potencial V, y con
capacidades C1 , C2 , C3 , ... , Cn .
+
+
+
+
+
+ C1
-
+
+
+
+
+
+ C2
-
+
+
+
+
+
+ C3
-
Q
FEM
2
+
+
+
+
+
+ Cn
Al conectar la fuente V, y estando descargados, se produce un desplazamiento
de cargas o corrientes de cargas negativas desde la placa derecha del condensador n a la placa
izquierda del primero; entonces se puede concluir que la carga del primero es igual a la del
último; también hay movimiento de cargas positivas desde la placa derecha del primero a la
izquierda del segundo, esto es, la carga del primero y el segundo capacitor son iguales;
aplicando el mismo razonamiento para los demás se concluye que cuando se conectan en serie
todos adquieren la misma carga, a la cual denominaremos Q.
+
+
+
+
+
C1
-
+
+
+
+
+
C2
-
+
+
+
+
+
C3
-
Entonces, si llamamos Ceq a la capacidad equivalente,
se tiene:
V=
Q
q2
q3
Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
y:
1
1
1
1
1
=
+
+
+Λ +
Ceq
C1
C2 C3
Cn
FEM
q1
Q
,
Ceq
- C1
- C2
- C3
-
(6)
Si consideramos ahora que los capacitores mencionados,
se encuentran conectados en paralelo, y si Ceq es la
capacidad equivalente, será :
Q = V . Ceq
Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + Cn
FEM
VI.1.2 Estado transitorio de carga del condensador
Hasta aquí no se consideró lo que ocurría físicamente durante el tiempo de
carga del condensador; es decir, el estado transitorio y su relación con las corrientes, las
cargas que van variando y las diferencias de potencial.
Para hacer este análisis se partirá de considerar el siguiente circuito R-C :
FEM
Vab
(1)
a
(2)
R
(3)
A
Vax
x
(4)
Vxb
C
b
3
Con la llave interruptora general abierta no circula corriente, encontrándose el
condensador descargado. Al cerrar la llave general, estando las otras dos en las posiciones 1 y
4, circulará corriente por la Resistencia y por el Condensador, comenzando a cargarse
lentamente.
El proceso no es instantáneo. Supongamos estar a un tiempo t del inicio,
cuando el condensador tiene una carga q, y circula una corriente i instantánea; siendo Vax la
diferencia de potencial entre los bornes de la resistencia, y Vxb la diferencia de potencial
entre los bornes del capacitor, se tendrá :
Vab = V = Vax + Vxb
V = i. R +
q
C
q
−V = 0
C
i. R
q
V
+
−
=0
R
RC R
i. R +
dq
q
V
+
− =0
dt RC R
(8)
Esta última es una ecuación diferencial para la carga de un condensador; es del
tipo lineal, a coeficientes constantes y la condición inicial es que q = 0 al tiempo t = 0. Es
decir, el condensador se encuentra descargado inicialmente. La solución de la misma se
obtiene proponiendo una función del tipo q = u (t). v (t); reemplazando ésta en la (8) queda
 du
u 
dv V
 + u⋅
+
v
− =0
 dt RC 
dt
R
El valor de u se extrae de la condición :
du
u
+
=0
dt RC
De allí
resulta :
du/u = -dt/RC ; integrando y eligiendo la constante de integración nula,
ln u = -t /RC ; u= e-t/RC por lo que reemplazando en la anterior se obtiene :
dv =V/R e-t/RC dt;
-t/RC
v =VC. e
integrando:
+ cte
La solución resulta ser :
q = u.v = e-t/RC (VC. e-t/RC + cte)
El valor de la constante se obtiene de la condición inicial q = 0 en
t = 0, entonces, 0 = VC + cte y de allí cte = - VC , y la solución finalmente es
q = VC(1 - e-t/RC )
(9)
4
La ecuación q = f(t) se gráfica de la manera siguiente:
q
(Coulombios)
q = VC = Qmáx
Gráfica de q = f (t)
q = 0,63 Qmáx
t (seg)
τ
Se observa que la carga máxima se alcanza para tiempos infinitamente grandes
y vale Q = VC. La carga además, crece rápidamente al comienzo; cuando t = RC = τ se
alcanza el (1 - 1/e) = 0,63 de la carga final. Este tiempo se denomina "constante de tiempo
del circuito" (τ) y su unidad es segundos, si la capacidad se expresa en Faradios y la
resistencia en Ohms.
La corriente de carga correspondiente se obtiene haciendo la derivada con
respecto a t de la carga q :
t =
i = dq/dt = Imáx e-t/RC
(10)
Donde I = V/R es la corriente inicial y es la misma que si sólo hubiese
conectada una resistencia. Los potenciales sobre la resistencia y el condensador son :
Vax = i.R = I Re-t/RC = Vmáx e-t/RC
-t/RC
Vxb = q/C = = Vmáx e
(11)
(12)
La ecuación (10) se representa gráficamente así :
i (Amp)
i = Imáx
Gráfica de i = f (t)
t (seg)
5
Las representaciones gráficas de las dos diferencias de potencial, Vax (en la
resistencia) y Vxb (en el condensador), en función del tiempo, son las siguientes :
V (Volt)
V = Vxb + Vax
Vxb
Gráfica de V = f (t)
Vax
t (seg)
En la misma gráfica se representó también la suma de Vax + Vxb = V
(tensión aplicada total).
VI.1.3 Estado transitorio de descarga del condensador
Suponiendo el mismo circuito representado anteriormente, con el capacitor
totalmente cargado, estudiaremos el estado transitorio de la descarga del mismo, la variación
de la intensidad y las diferencias de potencial en los bornes de la resistencia y en el
condensador en función del tiempo. Colocando las llaves interruptoras en las posiciones 2 y
4, la corriente circulará por la resistencia disipandose en forma de calor (efecto Joule), a partir
de las cargas acumuladas en el condensador, que ahora actuaría de f.e.m.
La tensión V será ahora cero, quedando la suma de caídas de potencial de la
siguiente manera :
Vab = 0 = Vax + Vxb = i.R + q/C
(13)
Siendo q e i , los valores instantáneos de carga y corriente. Ordenando
dq q
+
=0
dt RC
(14)
Esta es la ecuación diferencial de la descarga del condensador. La solución de
esta ecuación es la siguiente :
q = Q e-t/RC
(15)
i = - Q/RC. e-t/RC = - I e-t/RC
(16)
Donde : Q = carga máxima adquirida por el capacitor (Coulomb)
I = intensidad máxima que circuló por el circuito (Ampere)
RC = τ = constante de tiempo del sistema (seg)
Las diferencias de potencial serán iguales y de signos distintos :
Vax = - Vxb = Q/C e-t/RC
(17)
6
Las respectivas representaciones gráficas de las ecuaciones (15), (16) y (17), se
muestran a continuación :
q
i
Qmáx
Imáx
t(seg)
t(seg)
+V
Vax
Suma = 0
resistivo
V=0
t(seg)
capacitivo
Vxb
-V
VI.1.4 Determinación de la constante de tiempo ( τ )
Si para el circuito en carga del condensador, teníamos que la corriente en
función del tiempo era :
i = Imáx. e-t/RC = V/R e-t/RC
Aplicando logaritmos neperianos a ambos miembros:
ln i = ln Imáx + ln (e-t/RC )
ln i = ln Imáx - t/RC
(18)
con RC = τ. La cual es equivalente a una ecuación lineal como la siguiente :
y = b - m.x
(19)
7
Que es la ecuación de una recta de ordenada al origen "b" y pendiente negativa
"m" ; siendo "x" el tiempo, "y" la corriente eléctrica instantánea, y "m" igual a la inversa de
"τ". Dicha ecuación se puede representar por :
t (seg)
14
13
12
11
10
b = ln Imáx
9
8
7
6
5
4
3
2
α
m = -1/τ
1
y = ln i
En la práctica, se pueden tomar valores de i en función del tiempo t, y
confeccionar la siguiente tabla de datos :
n
xi= t(s)
i (A)
yi= ln i
xi.yi
1
0 seg
I máx
yi = ln Imáx
0
0
2
.....
10
.....
…..
…..
…..
…..
∑n
∑xi
∑yi
∑xi.yi
∑x2
x2
Gráficamente podemos obtener el valor de la constante de tiempo τ ,
determinando el valor de la pendiente de la recta. Luego, además si conocemos R, podemos
determinar el valor de C (capacidad equivalente del circuito); y a la inversa, conociendo C,
podemos determinar R a partir de τ
Esta gráfica se puede realizar ya sea tomando los valores de intensidad cuando
va variando el tiempo en la carga del condensador, o en su descarga.
Existe un problema, y es el de obtener el valor de Imáx (a tiempo cero).
Debido a la inercia del instrumento de medición, la respuesta del mismo no es instantánea, por
lo que el equilibrio del sistema de medición se alcanza luego de haber transcurrido un cierto
tiempo, cuando la corriente es algo menor que la máxima. Este problema se soluciona
midiendo la corriente que circula por el circuito conectando solamente la resistencia.
8
La gráfica que se muestra a continuación, indica con línea de puntos la
situación mencionada antes, referida a la inercia del instrumento de medición y su valor
desplazado del tiempo cero.
i (A)
En el instrumento
t (seg)
VI.1.5 Determinación del valor de la constante de tiempo τ por el método de cuadrados
mínimos
Supongamos haber obtenido experimentalmente un conjunto de "n" medidas
de la magnitud "y" y "n" medidas de la magnitud "x" a las cuales suponemos relacionadas
entre sí linealmente a través de la ecuación y = m.x + b . Nos proponemos averiguar cual es
la recta que más se aproxima a todos los puntos; o lo que es lo mismo, los valores de "m" y
"b" (pendiente y ordenada al origen) a partir de la siguiente tabla de valores :
y = ln i
x
x1
x2
x3
......
......
.......
xn
yi
y
y1
y2
y3
.....
....
....
yn
t (seg)
xi
Consideremos el par (xi , yi); a xi le corresponde el valor experimental yi el
cual debido a la dispersión no será el mismo que el determinado por la recta propuesta como
se indica en la gráfica de arriba yi = f (xi). El dado por la función valdrá y(xi) = mxi + b ; y
la diferencia será : yi - y(xi) = yi - (mxi + b) que corresponde a la separación entre el
punto experimental y el dado por la recta teórica. De esta forma, podemos formar n
diferencias, una para cada par de valores (xi , yi) y a las cuales deseamos hacer mínimas. El
problema es que individualmente es imposible; tampoco podríamos hacerlo con la suma de
9
ellas porque cualquier recta igualmente distanciada de los puntos por defecto y por exceso
dará una suma nula. Una solución es minimizar la suma de los cuadrados de estas diferencias;
esto es :
Σ [yi - y(xi)] 2 = Σ [yi - (mxi + b)] 2 = mínimo
Las variables que hay que tener en cuenta aquí son la pendiente "m" y la
ordenada al origen "b", ya que de ellas depende el que las rectas se acerquen más a todos los
puntos.
Las soluciones son :
n
m =
n ∑ (x i . y i ) −
i =1
n
n .∑ (x i )
2
i =1
b=
n
n
x i .∑ y i
∑
i =1
i =1
(20)


− ∑ xi  2
 i =1 
n
n
n
n
n
i =1
i =1
n
i =1
∑ (xi )2 .∑ y i − ∑ xi .∑ (xi. y i )
n.∑ (xi )
2
i =1
i =1
(21)


− ∑ xi  2
 i =1 
n
Donde "m" y "b" son los valores que determinan unívocamente una recta que
más se aproxima a todos los valores experimentales ( xi , yi ) y se calculan a partir de los
mismos.
Con la fórmula (20) determinamos "m"; luego :
m = - 1 / τ = - 1 / RC
⇒
obtenemos τ
VI.1.6 Errores que se cometen en la determinación de τ
VI.1.6 .1
Error de clase del amperímetro
Afecta a la medición de i, y por lo tanto al cálculo de yi = ln i
∆i =
Clase Fondo esc.
imedidas .100
Luego :
10
∆ y = ln ∆ i
VI.1.6 .2
Error de apreciación en el cronómetro
Según el tipo de cronómetro utilizado, podemos tomar por ejemplo :
∆ xi = ± 0,1 seg. (o el valor que se pueda apreciar según
la calidad del instrumento)
VI.1.6.3
Errores casuales o accidentales
Los errores casuales se producen en cada lectura de las cantidades i y t; como la
medición se realiza en un régimen transitorio, esto es "i" varía con el tiempo "t", no es posible
determinar varias lecturas para una misma situación y por lo tanto no pueden determinarse los
errores casuales para cada valor "i" leído. Por dicho motivo se aplica el método de los
cuadrados mínimos
m = -1/τ + ∆m
Si se propagan los errores que se cometen al calcular "m", tendremos :
∆m=
∆m =
(n− 1)
∂f
∂ f
∆ xi +
∆y i
∂x
∂y
siendo f = f (x,y) = y = mx + b
∑ ∑ (∑ x ) − 2(n− 1)∑ x ∆x + (n− 1)∑ x




n∑ x − (∑ x ) 
n∑ x − (∑ x ) 
yi − n
xi2 −
2
i
i
2
2
i
i
2
2
2
i
2
∆y i
i
El verdadero valor de τ será :
τ = τ calculado ± ∆τ
τ calculado = - 1 / m
Como ∆τ
∆τ =
(m se calcula con la ecuación 20)
varía con "m", tendremos que :
∆m
∂τ
∆m = 2
m
∂m
Por lo tanto :
∆τ =
esto es así, ya que la derivada : ∂ (τ =− 1 / m) = 12
∂m
∆m
= [ecuación.(22)](1 /m 2 )
2
m
y finalmente quedará :
τ = τ calculado + [ecuación (22) ] (1 /m 2 )
11
m
(23)
(22)
VI.2
PROCEDIMIENTOS
Instrumentos y equipos necesarios :
- Fuente de tensión continua
- Amperímetro
- Resistencias y capacitores
- Llaves interruptoras
- Cronómetro
- Conductores y elementos de conexión.
Circuito práctico :
Datos de la experiencia :
Fuente de tensión : ................ volts c.c.
Amperímetro : Clase .......... Rango medición .............. Amp.
Ra : ............. Ω
Capacitor/es : ........................ en conexión ......................
Cronómetro : apreciación .....................................seg
Resistencias : ................. en conexión ....................
Tabla de valores obtenidos en la experiencia
n
-6
i x 10 (A)
xi = t(seg)
yi = ln i
Σ xi =
Σ yi =
12
2
xi yi
x
Σ xi yi
Σ x2
Determinación gráfica de τ
CALCULOS
a) Determinación analítica de τ :
m =
b =
b) Cálculo de la capacidad equivalente del sistema :
c) Cálculo del error cometido en el cálculo de τ:
c.1) Error de clase :
∆y = ln ∆ i
∆i =
fondo escala clase amp.
=
100 i
∆ y = ln ...........
c.2) Error de apreciación del cronómetro :
x = + ...........seg
c.3) Errores casuales (propagación de errores) :
m= -1/τ ±
∆m
τ = τ calculado + ∆τ
τ =τ calcu. ± (ecuación22)
1
τ = τ calc. ± ( ecuación 22 ) 1/m2
m2
13