Controladores de dos grados de libertad.

Controladores de dos grados de libertad.
Félix Monasterio-Huelin y Álvaro Gutiérrez
14 de mayo de 2013
Índice
Índice
1
Índice de figuras
1
Índice de tablas
1
1. Estructuras de control de dos grados de libertad
1.1. Polinomio caracterı́stico único sin cancelación de raı́ces de N (s) .
2
2
2. Régimen permanente
2.1. Supresión de perturbación constante cuando N (0) 6= 0 y sin cancelaciones en Hyw (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Seguimiento de referencia escalón, rampa y parábola . . . . . . .
5
3. Diseño de controladores
6
Km
s(s + p)
Estabilidad del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . .
Técnica de identificación de polinomios caracterı́sticos. . . . . .
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P I . . . . . . . . . . .
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P ID con un cero doble
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P ID ideal . . . . . . .
4. Ejemplo G(s) =
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Bibliografı́a
5
5
7
.
.
.
.
.
9
10
13
15
17
18
Índice de figuras
Índice de tablas
1
1.
Estructuras de control de dos grados de libertad
Estudiaremos la clase de controladores siguiente:
U (s) = F1 (s)R(s) − F2 (s)Y (s)
(1.1)
Y (s) = (U (s) + W (s))G(s)
Las funciones de transferencia de lazo cerrado son:
F1 G
G
Hyr =
Hyw =
1 + F2 G
1 + F2 G
Hur =
F1
1 + F2 G
Huw = −
F2 G
1 + F2 G
Haciendo
F1 (s) = F2 (s) + F3 (s)
(1.2)
se obtienen las dos estructuras siguientes:
1.1.
Prealimentado
Paralelo
U (s)
F2 (s)E(s) + F3 (s)R(s)
F1 (s)E(s) + F3 (s)Y (s)
U (s)
Gc1 (s)E(s) + Gc2 (s)R(s)
Gc1 (s)E(s) + Gc2 (s)Y (s)
F1 (s)
Gc1 (s) + Gc2 (s)
Gc1 (s)
F2 (s)
Gc1 (s)
Gc1 (s) + Gc2 (s)
Polinomio caracterı́stico único sin cancelación de raı́ces
de N (s)
El polinomio caracterı́stico es
P (s) = D(s)DF 2 (s) + N (s)NF 2 (s)
(1.3)
Sin embargo podrı́a aparecer el factor DF 1 (s) en el polinomio P (s) de las funciones Hyr y Hur .
Si no admitimos una cancelación de ceros de N (s) será necesario que se
cumpla la siguiente relación:
DF 2 (s) = DF 1 (s)DF0 2 (s)
2
(1.4)
para algún polinomio DF0 2 (s).
La siguiente tabla muestra las soluciones para que P (s) sea único:
Prealimentado
Paralelo
DF 1 (s)
Dc1 (s)
Dc1 (s)
DF 2 (s)
Dc1 (s)
Dc1 (s)Dc2 (s)
DF0 2 (s)
1
Dc2 (s)
Dc2 (s)
1
Dc2 (s)
Gc2 (s)
Nc2 (s)
Nc2 (s)
Dc2 (s)
El caso del lazo Paralelo es evidente, pero el del Prealimentado requiere una
aclaración.
En el numerador de Hyr se tiene
Nyr (s) =
por lo tanto
NF 1 (s)
N (s) = NF0 1 (s)N (s)
Dc2 (s)
(1.5)
NF 1 (s) = Dc2 (s)NF0 1 (s)
(1.6)
DF 2 (s) = DF 1 (s)DF0 2 (s) = Dc1 (s)Dc2 (s)DF0 2 (s) = Dc1 (s)
(1.7)
Dc2 (s)DF0 2 (s) = 1
(1.8)
Como debe ocurrir que
entonces
DF0 2 (s)
Esto solo es posible si Dc2 (s) =
= 1. Por lo tanto Gc2 no tiene polos,
Gc2 (s) = Nc2 (s).
Las funciones Hyr (s) quedan en la forma:
Prealimentado
Paralelo
Hyr
(Nc1 (s) + Nc2 (s)Dc1 (s))N (s)
P (s)
Dc2 (s)Nc1 (s)N (s)
P (s)
P (s)
Dc1 (s)D(s) + Nc1 (s)N (s)
Dc1 (s)Dc2 (s)D(s)+
(Nc1 (s)Dc2 (s) + Nc2 (s)Dc1 (s))N (s)
3
Las funciones de transferencia del error Her (s) = 1 − Hyr (s) y de la perturbaciónb Hyw (s) son:
Prealimentado
Paralelo
Her (s)
Dc1 (s)(D(s) − Nc2 (s)N (s))
P (s)
Dc1 (s)(Dc2 (s)D(s) + Nc2 (s)N (s))
P (s)
Hyw (s)
Dc1 (s)N (s)
P (s)
Dc1 (s)Dc2 (s)N (s)
P (s)
4
2.
2.1.
Régimen permanente
Supresión de perturbación constante cuando N (0) 6= 0
y sin cancelaciones en Hyw (s)
Suponamos que w(t) = W constante, entonces aplicando el teorema del valor
final a Yw (s) debe lograrse que,
lim W Hyw (s) = 0
s→0
(2.1)
Admitiendo que P (0) 6= 0 y N (0) 6= 0 debe cumplirse que:
Prealimentado
Paralelo
0
Dc1 (s) = sDc1
(s)
0
Dc1 (s)Dc2 (s) = sNyw
(s)
0
En general no es necesario que Dc1
(0) 6= 0 en el caso Prealimentado, ni que
0
Nyw (0) 6= 0 en el Paralelo, pero si ası́ se hiciese se obtendrı́an controladores más
simples.
En el caso Prealimentado P (0) = Nc1 (0)N (0) donde necesariamente Nc1 (0) 6=
0 porque Nc1 (s) y Dc1 (s) son polinomios coprimos. Por lo tanto en este caso
si se impone la condición de régimen permanente para Hyw (s) se cumple que
P (0) 6= 0.
En el caso Paralelo P (0) = (Nc1 (0)Dc2 (0) + Nc2 (0)Dc1 (0))N (0). Puesto que
al imponer la condición de régimen permanente para Hyw (s) se deberá cumplir
que Nyw (0) = 0, entonces para que no haya cancelaciones de cero y polo en s = 0,
deberá cumplirse que P (0) 6= 0. Puesto que estamos admitiendo que N (0) 6= 0
deberá ocurrir que Dc1 (0) = 0 o Dc2 (0) = 0, pero no ambos a la vez o en caso
contrario P (0) = 0. Si Dc2 (0) 6= 0 se cumple que P (0) = Nc1 (0)Dc2 (0)N (0) 6= 0
ya que por ser coprimos Dc1 (s) y Nc1 (s), entonces Nc1 (0) 6= 0. Con el mismo
argumento si Dc1 (0) 6= 0 entonces P (0) = Nc2 (0)Dc1 (0)N (0) 6= 0.
2.2.
Seguimiento de referencia escalón, rampa y parábola
Supongamos que se cumplen las condiciones del problema de supresión de
una señal de perturbación constante, y que además deseamos resolver el problema de seguimiento hasta la parábola r(t) = t2 /2. Entonces aplicando el teorema
del valor final a Er (s)
lim sR(s)Her (s) = 0
(2.2)
s→0
donde R(s) = 1/s3 .
En el caso Pararlelo al imponer la condición de supresión de la señal de
perturbación escalón para Hyw (s) se cumple que Ner (0) = Dc1 (0)Nc2 (0)N (0).
Para que Ner (0) = 0 con N (0) 6= 0 debe ocurrir que Dc1 (0) = 0 o Nc2 (0) = 0
o ambos. Pero si Dc2 (0) = 0 entonces Nc2 (0) 6= 0 ya que Nc2 (s) y Dc2 (s) son
coprimos. Como consecuencia deberá ser Dc1 (0) = 0, pero como hemos visto
5
esto supone cancelaciones en Hyw (s) de s = 0 que estamos rechazando. Como
consecuencia Dc2 (0) 6= 0.
0
Por lo tanto deberemos suponer en el caso Paralelo que Dc1 (s) = sDc1
(s),
entonces
Prealimentado
Paralelo
0
0
Dc1
(s)(D(s) − Nc2 (s)N (s)) = s2 Ner
(s)
0
0
Dc1
(s)(Dc2 (s)D(s) + Nc2 (s)N (s)) = s2 Ner
(s)
Podemos observar que en ambos casos el controlador Gc1 (s) tiene la forma
Gc1 (s) =
Nc1 (s)
0 (s)
sDc1
(2.3)
El controlador más simple es el que tiene un único polo, por lo que serı́a el caso
0
en que Dc1
(s) = 1. En este caso
0
(s) = 1
Dc1
3.
Prealimentado
Paralelo
0
D(s) − Nc2 (s)N (s) = s2 Ner
(s)
0
Dc2 (s)D(s) + Nc2 (s)N (s) = s2 Ner
(s)
Diseño de controladores
El método de diseño que se está siguiendo consiste en estudiar las condiciones
que deben cumplirse para satisfacer las especificaciones de régimen permanente.
De esta manera se obtiene una colección de posibles controladores. La idea
general consiste en aplicar técnicas de asignación de ceros en lazo cerrado.
Una vez realizado este estudio puede abordarse el de satisfacción simultánea
de las especificaciones de régimen permanente y de régimen transitorio. En los
siguientes apartados se estudian dos clases de técnicas de diseño de controladores
que consisten básicamente en la aplicación de técnicas de asignación de polos
en lazo cerrado:
1. Técnica de identificación de polinomios caracterı́sticos. Se trata de una
técnica analı́tica que conduce a un sistema de ecuaciones no lineales. Sin
embargo los parámetros de los controladores pueden quedar expresados
como un sistema de ecuaciones lineales.
2. Técnicas de utilización del lugar de raı́ces. Aunque pueden ser consideradas
técnicas gráficas realmente no es necesario hacer una representación gráfica
para poder aplicarlas, aunque es conveniente hacerlo aunque sea de una
manera cualitativa.
a) Técnica de las ecuaciones real e imaginaria. Consiste en obtener relaciones entre los parámetros de los controladores aplicando las ecuaciones real e imaginaria del lugar de raı́ces imponiendo la restricción de
6
régimen permanente. Esta técnica requiere utilizar el lugar de raı́ces
generalizado.
b) Técnica de las condiciones de ángulo y magnitud. Consiste en obtener relaciones entre los parámetros de los controladores aplicando
la condición de ángulo del lugar de raı́ces. Esta técnica requiere la
utilización del lugar de raı́ces normal.
En ambas clases de técnicas lo que se supone es que se está trabajando en el
plano complejo por lo que las especificaciones de régimen transitorio deben ser
trasladadas a este espacio.
Puesto que normalmente las especificaciones vienen dadas en términos de la
respuesta en el tiempo del sistema en lazo cerrado a una entrada escalón unidad
(sobreelongación Mp y tiempo de establecimiento ts ) es habitual imponer un
criterio de dominancia de unos polos en lazo cerrado frente a otros, de tal manera
que las especificaciones puedan expresarse en términos de regiones en el plano
complejo a las que deben pertenecer dichos polos.
Pero en general la dominancia no queda suficientemente garantizada, sobre
todo si se seleccionan controladores simples. Como consecuencia es necesario
realizar un estudio cuantitativo para el conjunto de parámetros de los controladores obtenidos.
No obstante en algunos casos sencillos pueden hacerse estudios analı́ticos con
suma precisión, obteniendo la respuesta yr (t) para una entrada escalón unidad
y calculando analı́ticamente las expresiones de Mp y ts . Por regla general el
estudio analı́tico conduce a la necesidad de resolver ecuaciones trascendentes, lo
que suele exigir recurrir a métodos numéricos aproximados. Como consecuencia
resulta más conveniente realizar simulaciones del sistema de control y seguir una
técnica de optimización para la selección de los parámetros que mejor satisfagan
las especificaciones de régimen transitorio.
4.
Ejemplo G(s) =
Km
s(s + p)
Sea
G(s) =
Km
s(s + p)
(4.1)
donde Km > 0 y p > 0.
Las condiciones de supresión de la perturbación escalón y de seguimiento
0
hasta la parábola, haciendo Dc1
(s) = 1, son:
Prealimentado
Paralelo
0
s2 + ps − Km Nc2 (s) = s2 Ner
(s)
0
Dc2 (s)(s2 + ps) + Km Nc2 (s) = s2 Ner
(s)
La solución más simple posible es:
7
Prealimentado
Paralelo
Nc2 (s)
Kc2 s
Kc2 s
Dc2 (s)
1
1
0
Ner
(s)
1
1
donde
Kc2
Prealimentado
Paralelo
p
Km
−p
Km
Los controladores Gc2 (s) y Gc1 (s) tienen la forma siguiente:
Prealimentado
Gc2 (s)
p
s
Km
Gc1 (s)
Nc1 (s)
s
Paralelo
−
p
s
Km
Nc1 (s)
s
Esta solución satisface las especificaciones de régimen permanente, pero debe
verificarse si también puede satisfacer las de régimen transitorio. Si no fuese
posible se deberán modificar los controladores.
Los controladores más simples para Gc1 (s) son los de tipo P I o P ID ideal,
y en este último caso el más simple es el que tiene un cero doble. Por lo tanto
los posibles controladores más simples tendrı́an dos o tres parámetros de control independientes para satisfacer las especificaciones de régimen transitorio.
También cabe la posibilidad de controladores de tipo I e ID.
Supongamos el caso general para controladores Gc1 (s) simples,
Nc1 (s) = Kc1 (b0 s2 + b1 s + b2 )
(4.2)
Suponiendo que Kc1 > 0 los parámetros de control (además de Kc1 ) serán los
siguientes:
8
PI
PID ideal
PID ideal
cero doble
b0
0
1
1
b1
1
R+ − {0}
R+ − {0}
b2
R+ − {0}
R+ − {0}
b21
4
Se debe cumplir que b2 6= 0 o en caso contrario la ecuación Nc1 (s) = 0 tendrı́a
una raı́z en el origen, lo que no es posible porque se supone que Nc1 (s) y Dc1 (s)
son coprimos.
Los parámetros b1 y b2 deben ser positivos, como veremos en el siguiente
apartado en el que se estudian las condiciones de estabilidad del sistema en lazo
cerrado.
Si b1 = 0 tendrı́amos
los controladores I e ID. El controlador ID tiene ceros
√
imaginarios ±j b2 .
Las constantes de error hasta la parábola son nulas, pero no lo será para la
t3
señal de referencia de tercer grado, es decir para r(t) =
que será
6
0
Ner
(s)
1
1
=
=
s→0 P (s)
P (0)
Km Kc1 b2
Ke (3) = lim
(4.3)
Es posible que entre las especificaciones de régimen permanente también se
imponga que |Ke (3)| < Ke∗ para algún valor prefijado de Ke∗ . En este caso se
deberá cumplir la restricción adicional
1
Km Ke∗
|Kc1 b2 | >
4.1.
(4.4)
Estabilidad del sistema en lazo cerrado
Siempre debe hacerse un estudio de las condiciones de estabilidad del sistema
en lazo cerrado, ya que en caso contrario ni tan siquiera se puede aplicar el teorema del valor final. Esto puede hacerse utilizando la Tabla de Routh-Hurwitz.
El polinomio caracterı́stico tiene la forma:
Prealimentado
Paralelo
P (s) = s3 + ps2 + Km Nc1 (s)
P (s) = s3 + Km Nc1 (s)
ya que en el caso Paralelo,
P (s) = s3 + ps2 + Km (Nc1 (s) −
9
p 2
s ) = s3 + Km Nc1 (s)
Km
(4.5)
Para hacer simultáneamente el estudio para las estructuras Prealimentada y
Paralela introduciremos un parámetro α ∈ {0, 1} de tal manera que el polinomio
caracterı́stico tenga la forma:
P (s) = s3 + αps2 + Km Kc1 (b0 s2 + b1 s + b2 )
(4.6)
donde α = 1 es el caso Prealimentado y α = 0 el caso Paralelo.
La Tabla de Routh-Hurwith para ambos casos será:
s3
s2
s1
s0
:
:
:
:
1
αp + Km Kc1 b0
x
Km Kc1 b2
Km Kc1 b1
Km Kc1 b2
donde
x = Km Kc1
(αp + Km Kc1 b0 )b1 − b2
b2
= Km Kc1 (b1 −
)
αp + Km Kc1 b0
αp + Km Kc1 b0
(4.7)
Estudiaremos solamente el caso en que Kc1 > 0. Entonces las condiciones de
estabilidad son las siguientes:
0 < b2 < (αp + Km Kc1 b0 )b1
αp + Km Kc1 b0 > 0
(4.8)
Por lo tanto deberá cumplirse que b1 > 0.
Puede observarse que en el caso Paralelo, es decir para α = 0, deberá ser
b0 6= 0, ya que b2 6= 0, por lo tanto en este caso b0 = 1 necesariamente. El
controlador Gc1 (s) deberá ser de tipo P ID, y en este caso las condiciones de
estabilidad son
0 < b2 < Km Kc1 b1
(4.9)
Para un P ID con un cero doble,
0 < b1 < 4Km Kc1
4.2.
(4.10)
Técnica de identificación de polinomios caracterı́sticos.
Supongamos que deseamos que el sistema en lazo cerrado tenga un polo real
y dos complejos conjugados estables,
s = −pH
s = sH
s = s̄H
= −σ H + jω H
= −σ H − jω H
(4.11)
donde pH > 0 y σ H > 0.
Entonces el polinomio caracterı́stico deberá tener la forma
P (s) = (s + pH )((s + σ H )2 + (ω H )2 )
10
(4.12)
Desarrollando este polinomio e identificando términos con el polinomio caracterı́stico obtenido con los parámetros de los controladores
P (s) = s3 + αps2 + Km Kc1 (b0 s2 + b1 s + b2 )
(4.13)
obtenemos las siguientes relaciones:
αp + Km Kc1 b0
= pH + 2σ H
Km Kc1 b1
= (σ H )2 + (ω H )2 + 2pH σ H
Km Kc1 b2
(
)
= pH (σ H )2 + (ω H )2
(4.14)
De la primera relación puede verse que el caso Paralelo (α = 0) no admite un
controlador P I (b0 = 0) como ya habı́amos dicho.
También de la primera relación y en el caso Prealimentado (α = 1) el controlador P I (b0 = 0) solo permite resolver el problema para
σH
pH
H
p + 2σ H
< p/2
< p
= p
(4.15)
De la tercera relación de la identificación de polinomios y teniendo en cuenta la
restricción de régimen permanente se obtiene
(
)
1
= pH (σ H )2 + (ω H )2
Ke (3)
(4.16)
por lo que Ke (3) > 0.
Esta relación muestra que imponer restricciones a Ke (3) supone imponérselas
a una región hiperbólica entre el polo real y el módulo al cuadrado de los polos
complejos. O al contrario, si la especificación de régimen transitorio fuese que
|sH | ∈ [|sH |min , |sH |max ] entonces quedará definida una región hiperbólica entre
el polo real y la constante de error.
Dividiendo la segunda por la tercera relación
1
2σ H
b1
= H + H 2
b2
p
(σ ) + (ω H )2
(4.17)
En el caso de un P I (b1 = 1),
1
2σ H
1
= H + H 2
b2
p
(σ ) + (ω H )2
(4.18)
En el caso de un P ID con un cero doble, b2 = b21 /4. Entonces
1
1
σH
= H +
H
2
b1
4p
2((σ ) + (ω H )2 )
11
(4.19)
De aquı́ que b1 > 0.
Con estas igualdades queda resuelto el problema de satisfacción de la especificación de régimen transitorio para el P I y el P ID con un cero doble.
El P ID también se resuelve teniendo en cuenta la primera relación de la
identificación .
En el caso Paralelo
Km Kc1 = pH + 2σ H
(4.20)
por lo que
b1
b2
=
=
(σ H )2 + (ω H )2 + 2pH σ H
pH + 2σ H
(
)
pH (σ H )2 + (ω H )2
pH + 2σ H
(4.21)
En el caso Prealimentado
Km Kc1 = pH + 2σ H − p
(4.22)
(σ H )2 + (ω H )2 + 2pH σ H
pH + 2σ H − p
(
)
pH (σ H )2 + (ω H )2
b2 =
pH + 2σ H − p
(4.23)
por lo que
b1 =
El sistema de ecuaciones obtenido mediante la identificación de polinomios puede expresarse matricialmente en función de los parámetros generalizados de los
controladores:
eb1 = Kc1 b0
eb2 = Kc1 b1
(4.24)
eb3 = Kc1 b2
Se obtiene la representación matricial

pH + 2σ H − αp

Km



H 2
H 2
H H

eb =  (σ ) + (ω ) + 2p σ

Km


(
)


pH (σ H )2 + (ω H )2
Km
donde

eb1

eb = 
 eb2 
eb3












(4.25)

12
(4.26)
Para los controladores P I y P ID con un cero doble se trata de un sistema de tres
ecuaciones con dos incógnitas (Kc1 , b2 ) por lo que la representación matricial
debe modificarse eligiendo uno de los parámetros de los polos en lazo cerrado,
como por ejemplo pH . Esto significa que pH estará condicionado por el valor de
sH .
4.3.
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P I
En este caso α = 1, b0 = 0 y b1 = 1.
1. Técnica de las ecuaciones real e imaginaria.
El polinomio caracterı́stico puede escribirse en la forma
P (s) = s3 + ps2 +
1
+ Ks
Ke (3)
(4.27)
donde K = Km Kc1 .
Construyendo el lugar de raı́ces generalizado con la función
s
e
G(s)
=
s3 + ps2 +
1
Ke (3)
(4.28)
puede verse que el centro asintótico es σA = −p/2 y los ángulos asintóticos
ΦA = {π/2, 3π/2}.
La ecuación imaginaria tiene la forma
ω2 + σ2 =
1
Ke (3)(2σ + p)
(4.29)
Si la especificación de régimen transitorio supone que σ = −σ H con σ H >
0 solo podrán obtenerse soluciones con σ H < p/2 para Ke (3) > 0.
Por lo tanto conocido un polo en lazo cerrado complejo deseado sH =
−σ H + jω H puede calcularse Ke (3).
Para calcular b2 es necesario conocer K que puede obtenerse de la ecuación
real. Sabemos que
QD (σ, ω)
K=−
(4.30)
QN (σ, ω)
donde, en este caso
QD (σ, ω) = 3σ 2 − ω 2 + 2σp = −(σ 2 + ω 2 ) + 2σ(2σ + p)
QN (σ, ω) = 1
(4.31)
Substituyendo el valor de sH se obtiene K, y de aquı́ junto con Ke (3) se
obtiene b2 . A partir de K también se puede calcular Kc1 .
13
Teniendo en cuenta la ecuación imaginaria y que K = 1/Ke (3)b2 se obtiene
la relación para b2 siguiente:
1
1
2σ H
=
+ H 2
H
b2
−2σ + p (σ ) + (ω H )2
(4.32)
2. Técnica de las condiciones de ángulo y magnitud.
Consideremos el polinomio caracterı́stico
P (s) = s3 + ps2 + K(s + b2 )
(4.33)
y analizemos el lugar de raı́ces normal con
e
G(s)
=
s + b2
s2 (s + p)
(4.34)
donde K = Km Kc1 .
El centro asintótico es σA = −p/2 y los ángulos asintóticos ΦA = {π/2, 3π/2}
como anteriormente.
Imponiendo la condición de ángulo del lugar de raı́ces puede obtenerse b2
conocido un polo en lazo cerrado complejo deseado sH = −σ H + jω H .
Llamando ψ a la fase que aporta el cero en −b2 , se deberá cumplir que
(
)
(
( H ))
ωH
ω
−1
(4.35)
ψ − tan−1
−
2
π
−
tan
= (2k + 1)π
p − σH
σH
Dando un valor cualquiera a k puede obtenerse ψ.
Como
tan ψ =
ωH
b2 − σ H
(4.36)
puede obtenerse b2 .
Aplicando la condición de magnitud se obtiene K y de aquı́ Kc1 .
Para k = −1
(
ψ = π + tan−1
ωH
p − σH
)
(
− 2 tan−1
ωH
σH
)
(4.37)
Teniendo en cuenta la expresión de la tangente de la suma de ángulos
tan (α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
(4.38)
y que tan (π + α) = tan α, puede obtenerse tan ψ:
tan ψ =
tan φ1 − tan 2φ2
1 + tan φ1 tan 2φ2
14
(4.39)
donde
tan φ1 =
ωH
p − σH
tan φ2 =
tan 2φ2 =
ωH
σH
(4.40)
2 tan φ2
1 − tan2 φ2
Resolviendo esta ecuación (substituyendo sH por un punto cualquiera s)
se obtiene la ecuación imaginaria del lugar de raı́ces donde N (s) = s + b2
y D(s) = s2 (s + p).
4.4.
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P ID con un
cero doble
En este caso α = 1, b0 = 1 y b21 = 4b2 .
El polinomio caracterı́stico tiene la forma
P (s) = s3 + (p + Km Kc1 )s2 + Km Kc1 b1 (s +
b1
)
4
(4.41)
1. Técnica de las condiciones de ángulo y magnitud.
Analizaremos el lugar de raı́ces normal
(s + c)2
e
G(s)
= 2
s (s + p)
(4.42)
donde K = Km Kc1 y c = b1 /2.
El centro asintótico es σA = 2c − p y el ángulo asintótico ΦA = {π}.
Aplicando la condición de ángulo como en el estudio del controlador P I
siendo ψ la aportación de fase del cero doble en −c,
(
)
(
( H ))
ωH
ω
−1
(4.43)
2ψ − tan−1
−
2
π
−
tan
= (2k + 1)π
H
p−σ
σH
donde
ωH
(4.44)
c − σH
El valor de K puede obtenerse imponiendo la condición de magnitud del
lugar de raı́ces.
tan ψ =
2. Técnica de la ecuaciones real e imaginaria.
Representamos P (s) en la forma
P (s) = s3 + ps2 + Ks2 +
15
2
1
s+
cKe (3)
Ke (3)
(4.45)
donde K = Km Kc1 y donde se ha tenido en cuenta que
b2 = c2 =
1
KKe (3)
(4.46)
2
b1 = 2c =
KcKe (3)
En este caso se analizarı́a el lugar de raı́ces generalizado con
e
G(s)
=
s2
1
2
s3 + ps2 +
s+
cKe (3)
Ke (3)
(4.47)
La ecuación imaginaria tiene la forma
2
2σ
= (ω 2 + σ 2 )(ω 2 + σ 2 −
)
Ke (3)
cKe (3)
(4.48)
que puede escribirse en la forma siguiente:
2
2σ
= Ke (3)(σ 2 + ω 2 ) − 2
c
σ + ω2
(4.49)
Por otro lado la ecuación real tiene la forma
K=−
QD (σ, ω)
QN (σ, ω)
(4.50)
donde, en este caso
QD (σ, ω) =
3σ 2 − ω 2 + 2σp +
QN (σ, ω) =
2σ
2
2
= −(σ 2 + ω 2 ) + 2σ(2σ + p) +
cKe (3)
cKe (3)
(4.51)
Teniendo en cuenta la ecuación imaginaria podemos expresar QD (σ, ω) en
la forma
1
QD (σ, ω) = 2σ(2σ + p −
)
(4.52)
Ke (3)(σ 2 + ω 2 )
por lo que teniendo en cuenta que K = 1/Ke (3)c2 ,
σ2 + ω2
c2
= 1 − (2σ + p)Ke (3)(σ 2 + ω 2 )
(4.53)
Teniendo en cuenta de nuevo la ecuación imaginaria para eliminar Ke (3),
σ2 + ω2
c2
2
2σ
= 1 − (2σ + p)( + 2
)
c σ + ω2
(4.54)
De esta manera se obtiene una ecuación de segundo grado para c,
α0 c2 − α1 c − α2
16
= 0
(4.55)
donde
2σ(2σ + p)
σ2 + ω2
α0
= 1−
α1
= 2(2σ + p)
α2
= σ2 + ω2
(4.56)
Se obtendrı́a el valor de c > 0 para un polo concreto sH = −σ H + jω H ,
con σ H > 0.
Utilizando el resultado obtenido con la técnica de identificación de polinomios para introducir el polo real pH ,
)
(
1
= pH (σ H )2 + (ω H )2
(4.57)
Ke (3)
Entonces el valor de K en sH será,
K
= pH + 2σ H − p
(4.58)
y el valor de c
1
σH
1
= H + H 2
c
2p
(σ ) + (ω H )2
(4.59)
De aquı́ que pueda calcularse el valor de pH > 0.
4.5.
Caso Prealimentado con Gc1 (s) de tipo P ID ideal
En este caso α = 1, b0 = 1, pero b1 y b2 son parámetros de control independientes.
El estudio es muy similar al de un P ID con un cero doble. Hagamos
r=
b2
b1
(4.60)
El polinomio caracterı́stico tiene la forma
P (s) = s3 + (p + Km Kc1 )s2 + Km Kc1 (b1 s + b2 )
(4.61)
Teniendo en cuenta la restricción de régimen permanente
Km Kc1 Ke (3)b2 = 1
(4.62)
el polinomio caracterı́stico puede ser escrito en la forma
1
(4.63)
P (s) = s3 + (p + Km Kc1 )s2 + Km Kc1 b2 ( s + 1)
r
Con la técnica de las ecuaciones real e imaginaria puede analizarse el lugar de
raı́ces generalizado donde
e
G(s)
=
s2
1
1
s3 + ps2 +
s+
Ke (3)r
Ke (3)
17
(4.64)
y K = Km Kc1 .
Como consecuencia puede aprovecharse parte del estudio del P ID de cero
doble substituyendo la c por la r, obteniendo la relación
σ2 + ω2
b2
2
2σ
= 1 − (2σ + p)( + 2
)
r
σ + ω2
(4.65)
que se reduce a
α0 b2 − α1 b1 − α2
=
0
(4.66)
o lo que es equivalente a
α0 r − α1 −
α2
b1
=
0
(4.67)
Si se conocen los tres polos de lazo cerrado es posible obtener r de manera
muy sencilla, ya que del estudio de identificación de polinomios caracterı́sticos
se conoce la relación
1
b1
1
2σ H
=
= H + H 2
r
b2
p
(σ ) + (ω H )2
(4.68)
También se conoce la relación
(
)
1
= pH (σ H )2 + (ω H )2
Ke (3)
(4.69)
Con esta relación y el valor de b2 = rb1 puede obtenerse K y en consecuencia
Kc1 .
En cualquier caso con la técnica de identificación de polinomios caracterı́sticos ya se obtuvo la solución general.
Bibliografı́a
18