PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (1) | Ejemplo 1

PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (1)
Estudiar en el libro de Texto: No
Proporcionalidad directa e inversa
| Ejemplo 1 . Proporcionalidad directa
En un diario leemos que los anuncios que se pueden insertar en él tienen la tarifa siguiente : 2'5 euros por cada línea. Hay una relación
entre dos magnitudes o variables :
Variables que se relacionan ...
Variable A
< coste del anuncio (i)
líneas insertadas
1
2
6
5
10
20
Variable B
< Al aumentar una ( doble, triple, ... ) la otra también aumenta ( doble, triple, ... ) .
< Al disminuir una ( mitad, tercio, ... ) la otra también disminuye ( la mitad, tercio, ... ).
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al multiplicar por un número cualquiera (distinto de cero ) una
cantidad de la primera magnitud, la correspondiente cantidad de la segunda magnitud queda multiplicada por ese mismo
número.
| Ejemplo 2 . Proporcionalidad inversa
La distancia entre Jaén y Cádiz es de 360 kilómetros. El tiempo que tarda en recorrerla un coche es proporcional a la velocidad con la que
se mueve. De nuevo tenemos una relación entre dos magnitudes / variables :
Variables que se relacionan ...
Variable A
<
Velocidad ( km/h)
30
60
90
tiempo en horas
120
...
Variable B
< Al multiplicar uno de los valores de una de ellas por un número, el correspondiente de la otra queda dividido por el mismo número.
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al multiplicar por un número cualquiera (distinto de cero ) una
cantidad de la primera magnitud, la correspondiente cantidad de la segunda magnitud queda dividida por ese mismo número.
| Ejercicio . Indicar qué tipo de proporcionalidad existe entre las magnitudes relacionadas...
•
En una tienda se venden botes de café a 7'5 euros el bote.
_______________
•
Se llena un depósito de 1200 m3 mediante un grifo de caudal variable.
_______________
•
Una impresora láser imprime 20 páginas por minuto.
_______________
•
El lado de un cuadrado y su perímetro.
_______________
•
El lado de un cuadrado y su área.
_______________
•
El tiempo que tarda un modem en bajarse un archivo de 2 megas.
_______________
•
El número de fotocopias que hago y el precio que debo pagar.
_______________
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ]
mn
PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (2)
Estudiar en el libro de Texto: No
Proporcionalidad simple
| Seis excavadoras remueven 7500 metros cúbicos de tierra, ¿cuántos removerán 14 excavadoras?
< Identificación de las magnitudes / Tipo de proporcionalidad.
•
•
A : Número de excavadoras ; B : Metros cúbicos de tierra que mueven.
Proporcionalidad directa.
< Reducir a la unidad / Saber los metros cúbicos que mueve una máquina.
•
•
Lo que sabemos
Una máquina
< Solución del problema
:
:
6 excavadoras
1 excavadora
mueven
mueve
7500 m3 de tierra
7500/6 = 1250 metros cúbicos
:
14 excavadoras
mueven
14 x 1250 = 17500 m3
| Con el agua de un depósito se llenan 60 bidones de 5 litros cada uno. ¿Cuántas botellas de dos litros se llenarían? ¿Cuántas botellas
de tres cuartos de litro?
< Identificación de las magnitudes / Tipo de proporcionalidad.
•
•
A : Capacidad del recipiente ; B : Número de recipientes que se llenan.
Proporcionalidad inversa.
< Reducir a la unidad / Saber los envases de 1 litro que se llenarían.
•
•
Lo que sabemos
Una unidad
< Solución del problema
:
:
De 5 litros
De 1 litro
se llenan
se llenan
60 bidones
60 x 5 = 300 bidones
:
Botellas de 2 l
Botellas de 0,75l
se llenan
se llenan
300 / 2 = 150 botellas
300 / 0,75 = 400 botellas
| En una granja de 48 vacas hay forraje para alimentarlas durante 18 semanas. ¿Para cuántas semanas tendría si fuesen 24 vacas más
que ahora? Si pasadas 7 semanas se compran 18 vacas, ¿hasta cuándo habrá hierba?
| Si 15 litros de agua se convierten en 16 l de hielo, ¿qué volumen ocuparán, al congelarse, 2 metros cúbicos de agua?
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ]
mn
PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (3)
Estudiar en el libro de Texto: No
Proporcionalidad compuesta
| Para calentar una pieza de hierro de 1240 g de 10°C a 150°C se han necesitado 18228 calorías. ¿Cuántas calorías se necesitarán para
subir una pieza de 3480 g de 0°C a 210°C.
< Identificación de las magnitudes / Tipos de proporcionalidad.
•
•
A : Peso de la barra de hierro ( g ) ; B : Temperatura ( °C ) ; C : Calorías suministradas ( cal )
A y C : Proporcionalidad directa ; B y C : Proporcionalidad directa
< Reducir a la unidad / Saber las calorías necesarias para aumentar en 1°C una barra de hierro de 1 gramo.
•
•
Lo que sabemos
La unidad
< Solución
: Para calentar
: Para calentar
Para calentar
1240g
1240g
1g
140°C
1°C
1°C
se necesitan
se necesitan
se necesitan
18228 cal
18228 / 140 cal =
130,2 / 1240 cal =
130,200
0,105
cal
cal
: Para calentar
Para calentar
1g
3480g
210°C
210°C
se necesitan
se necesitan
0,105 x 210 cal =
22,050
22,05 x 3480 cal = 76734,000
cal
cal
| Para calentar una pieza de hierro de 1240 g de 10°C a 150°C se han necesitado 18228 calorías. ¿A qué temperatura se pondrá una
pieza de hiero de 5 kg que está a 20°C, si se le suministran 20000 cal?
< Identificación de las magnitudes / Tipos de proporcionalidad.
•
•
A : Peso de la barra de hierro ( g ) ; B : Calorías ( cal ) ; C : Aumento de la temperatura ( °C )
A y C : Proporcionalidad inversa ; B y C : Proporcionalidad directa
< Reducir a la unidad / Saber el salto térmico cuando a 1 g hierro se le aporta 1 caloría.
•
•
Lo que sabemos
La unidad
< Solución
: Si se aportan a 1240 g
: Si se aportan a 1240 g
Si se aporta a
1g
18228 cal
1 cal
1 cal
la temperatura sube
140 °C
la temperatura sube
140 / 18228 °C =
la temperatura sube 0,00768 x 1240 °C =
0,00768 °C
9,52320 °C
: Si se aporta a 5000 g
Si se aportan a 5000 g
1 cal
20000 cal
la temperatura sube
9,5232 / 5000 °C =
la temperatura subirá 0,0019 x 20000 °C =
0,0019 °C
38,0
°C
Como la barra de 5 kg estaba a 20°C, después de aportarle 20000 calorías alcanzará una temperatura de 58°C.
| Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando
8 horas diarias?
| Cien personas trabajando 8 horas diarias tardan 300 días en construir un barco. Si aumentasen la plantilla en 20 personas, ¿cuántos
días se adelantaría la construcción? Si se redujese la plantilla en 20 personas, ¿cuántos días se retrasaría la construcción? ¿Y si la plantilla
se redujese en 20 personas pero se aumentasen los turnos a 10 horas diarias de trabajo?
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ]
mn
PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (4)
Estudiar en el libro de Texto: No
Repartos directamente proporcionales
| La Unión Europea concede una subvención de 15000 euros a repartir entre tres pueblos, de manera directamente proporcional al
número de habitantes de cada ciudad. Los dos primeros, A y B, tienen 700 y 500 habitantes. Si al tercer pueblo le corresponden 9000 euros,
calcula los habitantes que tiene y qué cantidades les corresponden a los otros dos pueblos.
< Incógnita
< Dato
:
:
Los habitantes del pueblo C : x
La subvención de 15000 euros se reparte proporcionalmente a los habitantes y le corresponden 9000i.
•
:
El que el dinero se reparta directamente proporcional a los habitantes de cada pueblo quiere decir que:
Solución
15000 x = 10800000 + 9000 x , 6000 x = 10800000 , x = 1800 habitantes
< Incógnita
< Dato
:
:
•
:
Solución 1
Lo que le corresponde al pueblo A : y
El pueblo tiene 700 habitantes.
10500000 = 3000 y , y = 3500 euros
•
Solución 2
:
El total de habitantes es de 1800 + 700 + 500 = 3000 personas . El total de la subvención es de 15.000 euros, es
decir, corresponde 15000/3000 = 5 euros por cada habitante . El pueblo A tiene 700 habitantes y le corresponderá
3500 euros.
< Incógnita
< Dato
:
:
Lo que le corresponde al pueblo B : z
Sabemos lo que le corresponde a los otros dos pueblos.
•
:
z = 15000 - 9000 - 3500 = 2500 euros
Solución
| Una abuela decide repartir sus tierras entre sus nietos en partes directamente proporcionales a sus edades, que son 8, 12 y 15 años.
Si al menor le tocan 12 hectáreas, averigua el total de hectáreas repartidas.
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 103 / Nº 26 ]
mn
PROBLEMAS . PROPORCIONALIDAD (5)
Estudiar en el libro de Texto: No
Repartos inversamente proporcionales
| Los tres camareros de una cafetería, Olga, Juan y Félix, han estado enfermos durante 3, 6 y 9 días del mes de Junio. Durante este mes
se han recibido 275 euros de propinas que se han de repartir entre ellos de forma inversamente proporcional a los días que han faltado.
¿Cuántos euros corresponde a cada camarero?
< Incógnitas
< Dato
:
:
Las cantidades que corresponden a cada camarero : x , y , z
Las propinas se reparten de manera inversamente proporcional a los días que han faltado al trabajo.
•
:
Como las cantidades x , y , z correspondientes a cada uno deben ser inversamente proporcionales a 3 , 6 y 9 :
Solución 1
6 k + 3k + 2k = 4950 , 11k = 4950 , k = 450
Olga, que faltó al trabajo 3 días, recibirá
Juan, que faltó seis días
Félix recibirá
•
Solución 2
:
:
:
:
x = k/3 =
y = k/6 =
z = k/9 =
150 euros
75 euros
50 euros
Repartir 275 euros en partes inversamente proporcionales a 3 , 6 y 9 días es lo mismo que repartir la cantidad en partes
directamente proporcionales a 1/3 , 1/6 y 1/9.
| El coste de la matrícula de una academia es menor cuantos más notables se han obtenido en el curso anterior. Tres amigos, Pedro,
Sara y Leonor, han obtenido 2 , 3 y 5 notables y entre los tres han pagado 310 euros. ¿Cuánto le ha costado la matrícula a cada uno?
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ]
mn
PROBLEMAS . EDADES
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 104 . Ejercicio 33
Edades
| Preguntando un padre por la edad de su hijo, contesta: “Si del doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que tenía hace
seis años se tendrá su edad actual” . Halla la edad del hijo en el momento actual.
< Incógnita
•
< Planteamiento •
< Solución
edad actual del hijo : x años
“Si del doble...”
:
•
| Una señora tiene 70 años y su hijo la mitad. ¿Cuántos años hace que la madre tenía tres veces la edad del hijo?
< Incógnita
•
< Planteamiento •
< Solución
Hace
: x años
“La madre tenía...” :
•
| Un padre tiene 40 años y sus hijos 10, 7 y 3 respectivamente. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad del padre sea igual
a la suma de las edades de los tres hijos?
< Incógnita
•
< Planteamiento •
< Solución
•
| La edad actual de Andrés es 19 años y hace tres años su amigo Jesús tenía el doble que la edad que tenía Andrés en aquel momento.
¿Qué edad tiene ahora Jesús?
< Incógnita
•
< Planteamiento •
< Solución
•
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 104 / Nº 34 , 35 ]
mn
PROBLEMAS . GRIFOS Y TRABAJOS
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 105 . Ejercicio 49
Grifos , trabajos
| Un depósito tiene un grifo que lo llena en 3 horas; otro en 4 horas y un desagüe lo vacía en 5 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse si se
abren los dos grifos y, por un descuido, se deja abierto el desagüe?
Reducir la información a una hora
Sólo con el grifo A
Sólo con el grifo B
Si el depósito está lleno y se abre el desagüe
Abriendo los dos grifos y estando abierto el desagüe
Se llena / vacía en...
3h
4h
5h
En 1 hora llena / vacía
1/3
1/4
-1/5
xh
1/x
< En una hora :
< Solución
:
El depósito tardaría en llenarse 2 horas y 36 minutos.
| Los dos surtidores de una fuente llenan un depósito en 16 horas. ¿Cuánto tardaría en hacerlo cada uno por separado, sabiendo que
el segundo surtidor invertiría el doble de tiempo que el primero?
Reducir la información a una hora
Sólo con el grifo A
Sólo con el grifo B
Se llena / vacía en...
En 1 hora llena / vacía
Abriendo los dos grifos
< En una hora :
< Solución
:
| Dos albañiles tardan 2 horas y 24 minutos en levantar un tabique, trabajando juntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado 6
horas en hacer el mismo trabajo. ¿Cuánto habría tardado el de más edad sin la ayuda de su compañero?
Reducción de la información a ¡un minuto!
< En un minuto :
< Solución
:
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 106 / Nº 50, 51 y 52 ! PÁG. 107 / Nº 62 ]
mn
PROBLEMAS . MEZCLAS
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 101 . Ejercicio 2
Mezclas , aleaciones
| Se dispone de dos disoluciones de ácido acético: una al 25% y otra al 60%. ¿Qué cantidad hay que mezclar de cada una para obtener
130 gramos de una disolución al 40%?
Organización de los datos
Cantidad
Concentración de la disolución
Cantidad de ácido acético
Disolución 1
Disolución 2
Mezcla
gramos
%
gramos
< La cantidad de ácido acético puro resultante tiene que ser la suma del ácido acético aportado por cada disolución ...
< Solución :
| Una joya de 80 g está elaborada con una aleación de oro y cobre. Si la densidad de la joya es 14, calcula la cantidad de oro que tiene.
( Densidad del oro es 19,25, y la del cobre 8,75 )
Organización de los datos
Cantidad
Densidad
Volumen
Oro
Cobre
Joya
gramos
gramos / cm3
cm3
< Suponiendo que en la aleación no hay pérdida de volumen, recordando que : volumen = masa / densidad
< Solución :
| Tenemos un lingote de oro que pesa 875 g de ley 850 milésimas. ¿Cuántos gramos de oro de ley 675 milésimas hay que añadir para
obtener una aleación de ley 800 milésimas.
La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal más preciado y el peso total de la misma. Así, si una aleación tiene por ley 0,800
( 800 milésimas ) significa que por cada 1000 gramos de aleación, 800 serían de oro puro y 200 corresponderían a impurezas.
Organización de los datos
Peso
Ley
Cantidad de oro puro
Oro 1
Oro 2
Aleación
gramos
gramos
< La cantidad de oro puro de la aleación resultante tiene que ser la suma de las cantidades de oro puro aportadas...
< Solución :
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 101 / Nº 2 ! PÁG. 104 / Nº 38, 39, 40 ] . VER ACTIVIDADES DE REFUERZO
mn
PROBLEMAS . MÓVILES
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 105 . Ejercicio 42
Problemas de movimiento
| Una furgoneta sale de un punto A a una velocidad de 80 km/h. Hora y media más tarde sale del mismo punto un coche a una velocidad
de 100 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo? ¿A qué distancia de A lo alcanzará?
< Esquema
< Furgoneta
•
•
•
espacio que recorre
velocidad que lleva
tiempo que se mueve
km
km/h
h
:
:
:
•
Ecuación 1
< Coche
•
•
•
distancia que recorre
se mueve a
tiempo que se mueve
km
km/h
h
:
:
:
•
Ecuación 2
< Solución
| Sabiendo que la velocidad de un coche supera en 30 kilómetros por hora la de otro y que parten al mismo tiempo de dos ciudades que
están a 250 kilómetros, ¿cuánto tiempo tardarán en cruzarse si en ese momento uno de ellos ha recorrido 2/5 del trayecto? ¿A qué velocidad
va cada coche?
< Esquema
< Coche A
•
•
•
espacio que recorre
velocidad que lleva
tiempo que se mueve
km
km/h
h
:
:
:
• Ecuación de A
< Coche B
•
•
•
distancia que recorre
se mueve a
tiempo que se mueve
km
km/h
h
:
:
:
• Ecuación de B
< Solución
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 105 / Nº 43, 44 ]
mn
PROBLEMAS . VARIADOS (1)
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 105 . Ejercicio 1
Problemas variados
| Un jugador entra en un casino con una cierta cantidad de dinero. Comienza perdiendo 27 euros. Después juega todo lo que le queda
y gana tres veces su apuesta. Continua jugando y pierde 39 euros. En este momento se da cuenta que posee el mismo dinero que cuando
entró y decide dejar el juego. ¿Con cuánto dinero entró?
Organizar la información
Tiene
Lo que gana / pierde
Lo que le queda
Primera apuesta
x
-27
x - 27
Segunda apuesta
x - 27
Tercera apuesta
< Le queda
•
| Una empresa pierde la mitad de su capital y después un tercio de lo que le quedaba, quedando con un capital de 200.000 euros. Calcular
el capital inicial.
Organizar la información
Capital
Primera operación
Lo que pierde
Lo que le queda
x
Segunda operación
< Le queda
•
| En un hotel hay habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones dobles y sencillas
tiene el hotel?
< Incógnitas
•
•
< Condición
C Hay 87 camas...
< Solución
•
Habitaciones sencillas
Habitaciones dobles
:
:
:
| En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos.
Halla el número de hombres, mujeres y niños sabiendo que en total hay 156 personas.
< Incógnitas
•
•
•
Número de hombres
Número de mujeres
Número de niños
:
:
:
< Condición
C Hay 156 personas ...
:
< Solución
•
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 103 / Nº 16 a 25 ! PÁG. Nº 104 / Nº 27 a 32 ] . WWW : VER ACTIVIDADES DE REFUERZO .
mn
PROBLEMAS . VARIADOS (2)
Estudiar en el libro de Texto: Pág. 101 . Ejercicio 1
Problemas variados
| Descomponer el número 42 en dos sumandos, de modo que el primero sea el cuadrado que el segundo.
< Incógnitas
•
•
< Condición
C El primero es el cuadrado del segundo ...
< Solución
•
Primer sumando
Segundo sumando
:
:
| Halla cuando miden los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 45 metros y su perímetro mide 108 metros.
< Incógnitas
•
•
< Condición
C El triángulo es rectángulo ...
< Solución
•
Cateto 1
Cateto 2
:
:
| El denominador de una fracción excede en 4 a su numerador, y la suma de la fracción con su inversa es 58/21. Encontrar la fracción.
< Incógnitas
•
•
< Condición
C La fracción sumada con su inversa es ...
< Solución
•
Numerador
:
Denominador :
| Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 centímetros cuadrados. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
< Incógnitas
•
< Condición
C Si aumentamos el lado...
< Solución
•
Lado del cuadrado : x cm
3º ESO . PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 104 / Nº 36 y 37 ! PÁG. 105 / Nº 41, 45 a 48 ! PÁG. 106 / 53 A 59 ! PÁG. 107 / Nº 60, 61 ]
mn