Al concluir el bloque, podrás: • Identificar diferentes tipos de ángulos

BLOQUE 1
Al concluir el bloque, podrás:
•Identificar diferentes tipos de ángulos y triángulos.
•Resolver ejercicios y/o problemas mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.
•Utilizar las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos en la resolución de situaciones matemáticas y reales.
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Ángulos, triángulos y relaciones métricas
Objetos de aprendizaje
Competencias por desarrollar
Ángulos:
•Por su abertura.
•Por la posición entre dos rectas.
•Paralelas y una secante
(transversal).
•Por la suma de sus medidas:
- Complementarios.
- Suplementarios.
Triángulos:
•Por la medida de sus lados.
•Por la abertura de sus
ángulos.
•Propiedades relativas de los
triángulos.
• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
• Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye
al alcance de un objetivo.
• Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
• Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
• Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo
con su relevancia y confiablidad.
• Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
• Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo definiendo un curso de acción
con pasos específicos.
• Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y las habilidades con los que cuenta dentro
de distintos equipos de trabajo.
Actividades de enseñanza
Presentar a los estudiantes la
clasificación de ángulos
y triángulos.
Actividades de aprendizaje
Instrumentos de evaluación
Investigar las características de los diferentes ángulos
y triángulos.
Hacer un collage donde se muestren los diferentes
Solicitar a los estudiantes un
collage donde se muestren
ángulos y triángulos y exponerlo a los demás
los diferentes ángulos y triángulos integrantes del grupo.
y exponerlo a los demás
integrantes del grupo.
Lista de cotejo para evaluar la elaboración del collage.
Pedir a los estudiantes que
investiguen cuáles son las
rectas y los puntos notables del
triángulo.
Entregar un reporte escrito por equipos en donde se
presente la investigación sobre las rectas y los puntos
notables del triángulo. Usar software para realizar
las construcciones geométricas, como el Cabri y/o
Geogebra (que es de uso libre en la red).
Lista de cotejo para evaluar el reporte escrito.
Ejemplificar a los estudiantes
la solución de ejercicios de
las propiedades de ángulos
y triángulos.
Obtener ángulos en rectas paralelas cortadas por una
secante, a partir de al menos un ángulo conocido.
Lista de cotejo para evaluar cómo resolvieron
los ejercicios.
Solicitar a los estudiantes que
Resolver ejercicios y problemas usando las propiedades
resuelvan ejercicios y problemas de ángulos y triángulos tanto en clase como extraclase.
usando las propiedades de
ángulos y triángulos en clase
y extraclase. Los problemas
planteados deben estar
relacionados con situaciones que
se identifican en su comunidad.
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Rúbrica para evaluar los niveles de desempeño que
adquirió el estudiante al resolver los problemas.
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¿De q ué me ac ue rdo?
Estasecciónestádiseñadaparaqueidentifiquesyrecuperestusconocimientospreviosacercadelostemasqueestudiarásenestebloque.
1. ¿Qué es un ángulo?
2. ¿Qué partes tiene un ángulo?
3. Dibujaunánguloagudo.
4. Encierraenuncírculolosángulosagudos.
5. Escribeelnombredecincofigurasquepresentenalmenosunángulo.
6. ¿Conocesalgúnoficiooprofesiónenelqueseempleenlosángulos?Escríbelo.
7. ¿Qué es un triángulo?
8. Escribeelnombrededosobjetoscuyasformastenganalmenosuntriángulo.
14 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Ángulos, triángulos y relaciones métricas
Los ángulos y triángulos son construcciones geométricas que cotidianamente se emplean en gran cantidad de objetos y estructuras, como
rampasparasillasderuedas,escaleras,resbaladillas,toboganes,paredes,sillas,aparatosparahacerejercicioycarreteras.
Endiversostrabajosserequieretenerconocimientosobreángulosytriángulosparadesarrollarlosde
formaeficiente,ejemplodeellosonlosquedesempeñanastrónomos,geógrafos,carpinteros,arquitectos,ingenieros,fotógrafosydiseñadoresgráficos,pormencionaralgunos.Eltriánguloseemplea
enlafabricacióndegrúas,estructurasparatechos,puentesyjuegosmecánicos,entreotros,para
conseguir que las estructuras permanezcan con su forma original.
1.1 Ángulos
Un ángulo se define como la abertura formada en un plano por dos rayos llamados lados, los cuales se
unenenunpuntodenominadovértice.Enlasiguientefigurasemuestranloselementosdeunángulo.
Lado terminal
Vértice
Lado inicial
Signo de un ángulo
Los ángulos se clasifican en positivos cuando su lado terminal se abre en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, y negativos
cuando aquél se abre en el sentido de las manecillas del reloj. Observa la imagen.
Ángulo positivo
Lado terminal
Ángulo negativo
Lado inicial
(–)
(+)
Lado inicial
Lado terminal
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Notación de ángulos
Los elementos de un ángulo se indican con una notación específica, la cual nos permite distinguir entre los lados, el vértice y la abertura
del ángulo; ésta puede componerse como se indica a continuación.
1. Con una letra mayúscula en el vértice.
D
2. Con una letra minúscula, letra griega minúscula o un número, que se coloca entre los lados del ángulo.
b
1
3. Con tres letras mayúsculas, la del vértice en el centro.
B
A
C
Medición de un ángulo
Medirunánguloescompararloconotroquesetomacomounidaddemedida.Existenvariasformasdemedirángulos,peroelsistema
sexagesimaleselmásempleadoenMéxico.
Sistema sexagesimal
Enéste,lacircunferenciasedivideen360partesigualesdenominadas grados;ungrado,asuvez,posee60partesigualesllamadas
minutos,ycadaminutotiene60partesigualesqueconstituyenlossegundos.Lanotaciónparaestoselementoses:
Grados(°)1circunferencia=360°
Minutos(‘)1°=60‘
Segundos(“)1‘=60“
Lostransportadoressonherramientasparamedirlosángulos.Hay
dostipos:unoesunacircunferenciacompleta,divididaen360°,
yotroesunasemicircunferencia,conunagraduaciónquevade0°
a180°enambossentidos(positivoynegativo).
16 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Trazo de ángulos con el transportador
Paradibujarunánguloconeltransportador,hayqueseguirestasindicaciones.Observalafiguraenlaqueseilustracadapaso.
1. Traza el lado inicial del ángulo.
2. Seleccionaelvérticeenunodelosextremosdelladoinicial.Colocaelorigendeltransportadorenelpuntoanteselegido,cuidando
quelamedidade0°estésobreelvértice.
c) Tomamos la lectura numérica con el lado fnal.
3. Mide el ángulo y traza una marca.
4. Dibujaunsegmentoparaunirelvérticeconlamarcatrazada.
b) Colocamos el lado
inicialen0º
a) Colocamos el vértice del ángulo en el origen
del transportador
Lamedidadeunángulonodependedelalongituddesuslados,sinodesuabertura;consideralasiguientefigura:adviertequehay
tres ángulos con lados de diferente longitud, pero idéntica abertura.
a
aa
a
a
aa
a
y
y
y y
y y
y
y
Aunqueelsistemasexagesimalincluyegrados,minutosysegundos,laescaladeuntransportadorcomúnsólollegaagrados,porloque
siserequierehacermedicionesexactas,seempleaeltransportadordeprecisiónogoniómetro.
Po n te e n f o r m a
1. Mide los ángulos indicados y anota en la línea su medida en grados.
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Po n te e n f o r m a
1. Toma cada segmento como lado inicial y traza un ángulo positivo con la medida indicada.
=30°
= 45°
ε = 215°
= 257°
=70°
=270°
=100°
=324°
=190°
=348°
Adiciones y sustracciones con ángulos
Casos de adición con ángulos
Medida de los
ángulos
Ejemplo
Grados
50°+35° = 85°
50°40‘
+35° 12‘
85° 52‘
Grados y minutos
40°54‘
+45°6‘
85°60‘como60‘=1°=86°
72°56‘
+55°43‘
85°99‘como60‘=1°=99‘–60‘=39‘
tenemos99‘=1°=39‘
entoncesson85°+1°=39‘=86°39‘
Característica
La suma de los minutos no completa un grado.
La suma de los minutos completa un grado.
Lasumadelosminutosexcedeungrado.
18 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Medida de los
ángulos
Ejemplo
Característica
50°40“
+35° 12“
85° 52“
Grados y segundos
La suma de los segundos no completa un minuto.
40°54“
+45°6“
85°60“como60“=1‘
85°+1‘=85°1‘
La suma de los segundos completa un minuto.
72°56“
+55°43“
85°99“como60“=1‘=99“–60“=39“
tenemos99“=1‘39“
entoncesson85°+1‘39“=85°1‘39“
Medida de los
ángulos
Lasumadelossegundosexcedeunminuto.
Ejemplo
Característica
28‘ 42“
+15‘11“
43‘53“
Minutos y segundos
La suma de los segundos no completa un minuto.
24‘ 47“
+32‘13“
56‘60“como60“=1‘
56‘+1‘=57’
La suma de los segundos completa un minuto.
12‘56“
+25‘43“
37’99“como60“=1‘=99“–60“=39“
tenemos99“=1‘=39“
entoncesson37‘+1‘+39“=38‘39“
Lasumadelossegundosexcedeunminuto.
Po n te e n f o r m a
1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sumas de ángulos.
42°30‘22“
+12° 12‘ 14“
73°30‘12“
+35° 12‘34“
22°03‘34“
+37° 42‘ 44“
45°30‘52“
+15° 29‘13“
82°00‘28“
+15° 00‘32“
55°34‘42“
+15° 12‘04“
72°30‘12“
+36° 42‘34“
22°03‘34“
+31° 42‘ 44“
52°30‘52“
+15° 29‘13“
98°00‘18“
+17° 00‘22“
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Casos de sustracción con ángulos
Medida de los
ángulos
Ejemplo
Grados
50° – 35° = 85°
Grados y minutos
50° 40‘
– 35° 12‘
15° 28‘
El minuendo de los minutos es mayor que el
sustraendo de los minutos.
60° 54‘
– 44° 54‘
16° 00‘ El minuendo y el sustraendo de los minutos
son iguales.
72° 26‘
– 55° 43‘
Tomamos 1° del minuendo, lo convertimos a 60‘ y se lo
sumamos a los minutos que tenemos:
El minuendo de los minutos es menor que el
sustraendo de los minutos.
72° 26‘ = 71° + 1° + 26‘ = 71° + 60‘+ 26‘ = 71° 86‘
Recuerda que:
1° = 60‘
71° 86‘
– 55° 43‘
16° 43‘ Medida de los
ángulos
Grados y segundos
Característica
Ejemplo
Característica
50° 40“
– 38° 13“
12° 27“
El minuendo de segundos es mayor que el
sustraendo de segundos.
50° 14“
– 44° 14“
6° 00“ El minuendo y el sustraendo de segundos
son iguales.
72° 25“
– 55° 40“
Tomamos 1° del minuendo, lo convertimos a 60‘, quedando
71° 60‘ 25“
Ahora tomamos 1‘ y lo convertimos a segundos, quedando
71° 59‘ 60“ + 25“ = 71° 59‘ 85“
Así realizamos la resta
El minuendo de segundos es menor que el
sustraendo de segundos.
Recuerda que:
1° = 60‘
1‘ = 1“
71° 59‘ 85“
– 55° 00‘ 40“
16° 59‘ 45“ 20 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Medida de los
ángulos
Ejemplo
Característica
28‘ 42“
–15‘ 11“
13‘31“
Elminuendodelossegundosesmayorqueel
sustraendo de los segundos.
24‘ 47“
–22‘ 47“
2‘00“
Elminuendoyelsustraendodelossegundos
son iguales.
32‘6“
–25‘43“
Minutos y segundos
Tomamos un 1‘ del minuendo, lo convertimos a segundos
32‘–1‘=31‘
Elminuendodelossegundosesmenorqueel
sustraendo de segundos.
32‘6“=
31‘+1‘+6“=
31‘+60“+6“=
31‘66“
Recuerda que:
1‘=60“
Así realizamos la resta
31‘66“
–25‘43“
6‘23“
Po n te e n f o r m a
1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sustracciones de ángulos.
45°30‘22“
–15° 12‘ 14“
72°30‘12“
–35° 42‘34“
42°03‘34“
–25° 42‘ 44“
47°30‘52“
–45° 29‘13“
92°00‘28“
–19° 00‘32“
55°34‘42“
–28° 12‘04“
72°30‘12“
–35° 42‘34“
53°03‘34“
–52° 42‘ 44“
79°30‘52“
–55° 29‘13“
65°00‘58“
–53° 00‘02“
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Clasificación de ángulos
Los ángulos se pueden clasificar según varios criterios: por su abertura, por la posición del observador y por la posición de sus lados.
TIC
Visita los siguientes sitios para encontrar información acerca de clasificación de ángulos por su abertura.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulosclasificacion.htm
http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/matematica/geometria/2009/12/102-8681-9-1angulos.shtml
Po n te e n f o r m a
1. Investigacómoseclasificanlosángulossegúnsumagnitud,escribeenlasiguientetablalosdatosyhazlas
representaciones indicadas. Recurre a libros, enciclopedias o sitios web.
Clasificación de ángulos según su magnitud
Nombre
Medidas
Representación gráfica
Imagen de un objeto que contenga el ángulo
Nulo
Agudo
22 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Clasificación de ángulos según su magnitud
Nombre
Medidas
Representación gráfica
Imagen de un objeto que contenga el ángulo
Recto
Obtuso o
convexo
Llano,
colineal o
extendido
Entrante o
cóncavo
Perigono o
completo
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Analiza la magnitud de los ángulos y escribe el nombre que le corresponde.
Magnitud
Nombre del ángulo
Magnitud
2°
222°
124°
14° 14‘ 14“
45°30‘
145°30‘
289° 9‘
89° 9‘
99°20‘3“
199°20‘3“
360°
359°59‘59“
45°
89° 45‘
180°
180°2‘1“
235°23‘
179° 59‘
43°12‘3“
3“
Nombre del ángulo
Clasificación de ángulos según la posición del observador
Nombre
Características
Ángulo de elevación
Estáformadoporlahorizontalquepasaporelojodel
observador y el rayo que se determina al dirigir la vista
haciaunpuntoporencimadelobservador.
Representación
Ángulo de elevación
Observador
Observador
Ángulo de depresión
Estáformadoporlahorizontalquepasaporelojodel
observador y el rayo que se determina al dirigir la vista
haciaunpuntopordebajodelobservador.
Ángulo de depresión
24 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Po n te e n f o r m a
1. Enlassiguientesfiguras,trazaunalíneahorizontalapartirdelojodelobservadoryotralíneahaciadondese
dirige la vista. Luego, escribe cómo se clasifica ese ángulo según la posición del observador.
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Clasificación de ángulos por la posición de sus lados
Nombre
Características
Ángulos consecutivos
Tienen vértice común y un lado común.
Ángulos adyacentes
Son consecutivos y los lados no comunes forman parte
de una misma recta.
Representación
b
a
δ
Ángulos opuestos
por el vértice
Los lados de uno de ellos son prolongaciones
de los lados del otro.
y
El
δ es opuesto al
y
Po n te e n f o r m a
1. Observa el ángulo marcado con rojo y escribe su nombre según su posición entre las dos rectas formadas.
26 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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P ie n s a
1. Identificaencuáldelossiguientescasosseformanángulosconsecutivosyanótalo.Paralosotrosdospares,
justifica por qué no cumplen con las condiciones necesarias para ser ángulos consecutivos.
b
a
b
a
b
a
Po n te e n f o r m a
1. Encuentraelvalordelasincógnitasenlossiguientesejercicios.
80˚
88˚
?
46 ˚
138˚
C
?
125˚
30˚
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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105˚
?
75˚
30 ˚
c
a
b
50˚
52˚
?
95˚
120˚
30˚
c
b
d
85˚
a
a
125˚
e
f
95˚
130˚
28 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas
Nombre
Características
Ángulos complementarios
Representación
Sondosánguloscuyasmagnitudessuman90º.Un
ángulo es complemento del otro, si:
∡ α + ∡ β = 90°
Ángulos suplementarios
Sondosánguloscuyasmagnitudessuman180º.
Un ángulo es suplemento del otro, si:
∡ α + ∡ β = 180°
Ángulos conjugados
Sondosánguloscuyasmagnitudessuman360°.
Un ángulo es conjugado de otro si:
∡ α + ∡ β = 360°
Po n te e n f o r m a
1. Calcula el complemento, suplemento y conjugado de cada uno de los siguientes ángulos y anótalo.
Ángulo
Complemento
Suplemento
Conjugado
43°
79°
55°10’
25’25’’
55’
20’
45’’
13’’
4°59’20’’
40°40’40’’
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos que se clasifican por parejas, ya sea por su
posición entre las paralelas o la transversal.
Ángulos interiores o internos
Ángulos exteriores o externos
Son los que se encuentran entre las líneas paralelas.
Son los que se encuentran fuera de las líneas paralelas.
Ángulos colaterales
Ángulos alternos
Son los que se encuentran de un mismo lado de la transversal.
Son los que se encuentran en lados opuestos respecto de la transversal,
sin ser consecutivos.
Clasificación de pares de ángulos
Correspondientes: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo) y que son congruentes
(es decir, tienen la misma medida).
30 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Alternos internos: se trata de dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos), dentro de las paralelas (internos)
y son congruentes.
Alternos externos: son dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos).
También son congruentes.
Colaterales internos: se trata de dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas
(internos). Son suplementarios.
Colaterales externos: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).
Son suplementarios.
Observa que los ángulos formados por dos rectas paralelas que están cortadas por una recta transversal, presentan las siguientes
propiedades:
1.Los pares de ángulos correspondientes son iguales.
2.Los pares de ángulos alternos internos son iguales.
3.Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
4.Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
5.Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas también es perpendicular a las otras.
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. A partir de la siguiente figura, escribe las letras de los ángulos solicitados en cada inciso.
y
x
z
l
w
b
a
c
d
m
a) Ángulos correspondientes
b) Ángulos alternos internos
c)Ángulosalternosexternos
d) Ángulos colaterales internos
e)Ánguloscolateralesexternos
f) Ángulos opuestos por el vértice
2. Escribeelvalordetodoslosángulosfaltantes.
a)
b)
c)
150˚
d)
70˚
50˚
50˚
65˚
32 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
3.Calcula todos los ángulos indicados en cada figura. (Sugerencia: alarga las rectas paralelas y la línea transversal.)
a) A
D
B
35˚
C
b) 38˚
73˚
x
68˚
x
y
D
A
y
B
C
S
c) d)
A
x
B
y
190˚
54˚
C
x
70˚
D
y
y
S´
S
B
A
e) 54˚
E
f)
A
x
C
4y
B
D
120˚
60˚
y
G
x + 2y
C
D
F
S´
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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33
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B LOQU E 1
1.2 Triángulos
Eltriángulosedefinecomounaporcióndelplanolimitadoportresrectasquesecortandosados.Loselementosdecualquiertriángulo
son: tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Los vértices corresponden a los tres puntos no
alineados que determinan el triángulo. Los lados, en tanto, son tres segmentos de recta que se cortan en los vértices y delimitan el
triángulo.Finalmente,losángulosinterioresseformancondosladosconsecutivosdeltriángulo,ylosexteriores,conlaprolongación
de un lado y el lado consecutivo.
Notación de los elementos de un triángulo
Paradistinguirloselementosdeltriángulo,seusandiferentessímbolos.Losvérticessenombranconletrasmayúsculasylosladoscon
letras minúsculas; en los ángulos, se emplean letras minúsculas del alfabeto griego, como puedes observar en las siguientes figuras
(adviertequeenlaqueestáaladerecha,losángulosinterioresestánmarcadosenrojoylosexterioresenverde).Tambiénseocupael
símbolo ∡paraseñalaralángulo.
B
a
c
A
C
A
b
A
β
a
c
α
b
B
B
β
C
B
α
C
A
C
Otramaneradeindicarloslados,esusarlasletrasmayúsculascorrespondientesalosdosvérticesqueconstituyensusextremosycolocar
unalíneahorizontalsobreellas,delasiguientemanera:
AB BC AC
Elsímbolo∆seutilizaparaindicaruntriángulo,porejemplo,lasfigurasanteriorespuedenserreferidascomo:∆ABC.
Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos.
TIC
Enlasiguientedirecciónelectrónicaencontrarásinformaciónsobretriángulos:
http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm
34 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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Po n te e n f o r m a
B LOQU E 1
1. Pararecordarcómoseclasificanlostriángulossegúnlalongituddesuslados,completalasiguientetabla.
Investiga en libros, enciclopedias o sitios web.
Nombre
Características
Representación
Sus lados son:
Equilátero
Sus tres ángulos miden:
Dosdesusladosson:
Isósceles
Dosángulosson:
Sus tres lados son:
Escaleno
Sus tres ángulos son:
2. Pararecordarlaclasificacióndetriángulossegúnlamagnituddesusángulos,completalasiguientetabla.Investigaenlibros,
enciclopedias o sitios web.
Nombre
Características
Obtusángulo
Tiene un ángulo:
Acutángulo
Sus tres ángulos son:
Rectángulo
Tiene un ángulo:
Representación
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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35
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B LOQU E 1
P ie n s a
1. Analiza los cuestionamientos y contesta. Justifica cada respuesta y da un ejemplo. Si la respuesta es afirmativa,
además dibuja en tu cuaderno la figura con los datos que permitan cumplir la condición.
a) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo obtusángulo?
b) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo rectángulo?
c) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo acutángulo?
d) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo obtusángulo?
e) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo rectángulo?
f) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo acutángulo?
g) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo obtusángulo?
h) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo rectángulo?
i) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo acutángulo?
Propiedadesgeneralesdelostriángulos
Todos los triángulos, independientemente de la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos internos, cumplen estas propiedades:
1. Lasumadesusángulosinterioresesiguala180°.
2. Lasumadesusángulosexterioressiempreesiguala360°.
3. Unánguloexterioresigualalasumadelosdosángulosinterioresnoadyacentesaél.
4. Un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
5. Elladomayorseoponealángulodemayormagnitud.
Adicionalmente,lostriángulosisóscelestienenunapropiedadespecífica:asusdosladosigualesseoponenángulosiguales.
Enlassiguientesactividadespodráscomprobarlaspropiedadesdelostriángulos.
36 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Trazatrestriángulosdistintos,recortacadaunoenotrostrestriángulosdistintos.Después,pegatodoslosvértices
de cada triángulo sobre un mismo punto. Al terminar, responde:
a) ¿Qué observaste al pegar los ángulos de los tres triángulos en forma consecutiva?
b) ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?
2. Determinaelángulofaltanteencadatriángulo.
a)
b)
?
c)
?
?
57˚
135˚
62˚
20˚
46˚
3. Enlossiguientestriángulosestánindicadoslosángulosinterioresconsumedida(lafiguranoestáaescala).
a) Obténelvalordelosángulosexterioresyanótalo.
b) ¿Cuántosumanlosángulosexterioresencadacaso?
48˚
52˚
52˚
48˚
80˚
80˚
51˚
51˚
75˚
75˚
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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37
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B LOQU E 1
P ie n s a
1. Sigue las instrucciones para el siguiente triángulo y luego responde.
a) Mide los ángulos interiores del triángulo y anota la medida de cada uno.
b) Prolongaunodelosladosparaformarunánguloexterior.Mídeloyescribesumagnitud.
c) Sumalosángulosinterioresnoadyacentesalánguloexteriortrazado.Escribesumedida.¿Quénotas?
d) ¿Sucederálomismosirepiteselprocedimientoparalosotrosdosángulosexteriores?¿Porquécreesqueocurraesto?
2. Paracadatriángulo,calculaelánguloexteriorfaltante.
a)
b)
42˚
42˚
c)
42˚
42˚
42
42
74˚
?
74˚
?
?
?
?
?
38 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
Haz la siguiente actividad que te permitirá comprobar la propiedad 4 de los triángulos.
1. Responde y argumenta tu respuesta en cada caso (puedes usar una representación gráfica para ello, utiliza tu cuaderno).
a) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseamayorquelamedidadeltercerlado?
b) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseaigualquelamedidadeltercerlado?
c) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseamenorquelamedidadeltercerlado?
Paracomprobardemodográficolapropiedad4delostriángulos,tambiénpuedesusaralgunosmaterialessencillos.Enestapartedela
actividad necesitarás doce palillos de madera (cada uno representará un valor de 1 unidad de longitud); reúnelos y sigue las indicaciones.
Debesusartodoslospalillosencadacaso.
2. Usalospalillosparaformarlostriángulosqueseindican.Dibújalosentucuadernoyresponde.
a) Triángulo equilátero. Anota cuánto mide cada lado.
a+b =
c=
b+c =
a=
a+c =
b=
a−b=
c=
b−c=
a=
a−c=
b=
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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39
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B LOQU E 1
b)Triángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Anota cuánto mide cada lado.
a+b=
c=
b+c=
a=
a+c=
b=
a−b=
c=
b−c=
a=
a−c=
b=
c) Triángulo con dos lados de 5 unidades. Anota cuánto mide el tercer lado.
a+b=
c=
b+c=
a=
a+c=
b=
a−b=
c=
b−c=
a=
a−c=
b=
3.Si intentamos trazar los siguientes triángulos, ¿en qué casos sí podríamos hacerlo? Explica por qué.
2 cm
5 cm
4 cm
5 cm
5 cm
5 cm
10 cm
7 cm
10 cm
40 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
4.Ahora realiza lo que se indica para comprobar la propiedad 5 de los triángulos.
D
m
k
M
K
d
a) Determina la medida de los tres ángulos interiores y anótala. ¿Cómo es su magnitud?
b)Mide los tres lados y escribe su longitud. Observa y compara la posición y longitud de cada lado en relación con los otros.
¿Qué puedes decir al respecto?
5.Verifica si las conclusiones obtenidas para el ejercicio anterior también son válidas para los siguientes triángulos. Haz lo que se
indica y responde.
a) Mide los ángulos, márcalos y escribe su medida.
b)Mide los lados, márcalos y escribe su longitud.
c) ¿Qué característica tienen dos de los lados, en ambos triángulos?
d)¿Qué característica tienen dos de los ángulos, en ambos triángulos?
e) ¿Estos lados y ángulos se relacionan de alguna manera?
f) ¿Qué sucede con el tercer lado y ángulo, que no consideraste para responder los incisos c y d?
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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41
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B LOQU E 1
Rectas y puntos notables en un triángulo
Enuntriángulopodemostrazarcuatrorectasnotables,cadaunaconsucorrespondientepuntonotable.
Altura y ortocentro
La altura es un segmento de recta perpendicular que va de un vértice al lado opuesto o la prolongación del mismo; cada triángulo tiene
tres alturas.
c
A
A‘
B‘
A
Ortocentro
B
C
B
C‘
Elortocentroeselpuntodondeseintersecanlasalturasdeuntriángulo.Enuntriánguloacutángulo,ésteselocalizaenelinterior
de la figura; en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto, y en el triángulo obtusángulo, queda localizado fuera
del triángulo.
A
A
A
hb
ha
hc
hc
hb
B
C
ha
c
B
hc
C
B
hb
Ortocentro
TIC
Enlasiguientedirecciónelectrónicaencontrarássimulacionesconlasalturasyelortocentrodeuntriángulo;podrás
manipularloselementosdeltriánguloyobservarcómosecambiaelortocentroalhacerlo.
http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html
42 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Traza la altura a partir del lado AB en los siguientes triángulos y al finalizar responde las preguntas.
A
B
A
A
B
B
a) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaenelprimertriángulo?
b) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaenelsegundotriángulo?
c) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaeneltercertriángulo?
2. Ahoratrazalastresalturasenlossiguientestriángulosydeterminaelortocentro.Alfinalizarrespondelaspreguntas.
a) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆ABC?
B
A
b) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆MNP?
C
N
c) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆JKL?
M
P
K
J
L
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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43
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B LOQU E 1
Medianas y baricentro
La medianaeselsegmentoderectaquepartedeunvérticeyllegahastaelpuntomediodelladoopuesto.Unamedianadivideaun
triángulo en dos triángulos con la misma área. Todo triángulo tiene tres medianas.
A
A
CB
C
C
C
CB
A
A
A
B
BC
C
A
A
A
C B
B
C
B
A
B
B
AC Mediana
de AB Mediana de AB
AC
de CB Mediana
de CB de
de AC Mediana
Mediana
de ABdeMediana
Mediana de CB MedianaMediana
Elbaricentro —también llamado centro de gravedad— es el punto donde se intersecan las medianas de un triángulo. Éste siempre
estáenelinterioraltriánguloydivideacadamedianaenunaproporción2:1.Enlasiguientefigurasemuestranlasmedianasyel
baricentro de algunos triángulos de distintas dimensiones.
A
A
Baricentro
mC
m
mC
B
mA
B
m
mA
B
C
B
Baricentro
C
A
A
Baricentro
m
mA
mC
B
C
B
m
mC
B
mA
mB
Baricentro
C
B
mA
C
TIC
ConsultaMathOpenReferenceenladirecciónhttp://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html; encontrarás un
applet que te muestra las medianas y el baricentro de un triángulo; además, puedes manipular el triángulo para
observar lo que sucede.
44 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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11/1/11 7:59 PM
B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Traza la mediana a partir del lado AB en los siguientes triángulos y responde.
a) ¿Enquéposiciónquedalamedianatrazadaenelsiguientetriángulo?
A
B
b) ¿Enquéposiciónquedalamedianaenelsiguientetriángulo?
A
B
c) ¿Enquéposiciónquedalamedianaenelsiguientetriángulo?
A
B
2. Traza las tres medianas en los siguientes triángulos y obtén el baricentro.
B
a) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆ABC?
C
A
N
b) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆MNP?
P
M
c) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆JKL?
K
J
L
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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45
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B LOQU E 1
Mediatrices y circuncentro
Una mediatriz es la recta perpendicular que se traza a partir del punto medio de un lado. Todo triángulo tiene tres mediatrices.
A
B
A
A
B
B
A
B
A
B
B
C
A
C
B
A
C
C
C
B
A
C
C
C
Elcircuncentro es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que pasa
por los tres vértices del mismo.
A
A
Ma
Mb
Mc
0
Mb
B
C
Ma
Ma
A
B
0
Mb
Mc
Mc
C
B
C
Eneltriánguloacutángulo,elcircuncentroestáenelinteriordelafigura;eneltriángulorectángulo,coincideconelpuntomediodela
hipotenusay,eneltriánguloobtusánguloesunpuntoexterioraltriángulo.
TIC
VisitaMathOpenReferenceenladirecciónhttp://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html; en él encontrarás
un applet que te muestra las mediatrices y el circuncentro de un triángulo; también puedes manipular el triángulo
para observar lo que sucede.
46 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Traza la mediatriz a partir del lado AB en los siguientes triángulos.
A
A
B
AB
B
A
A
A
B
B
A
A
B
A
B
B
B
2. Trazalastresmediatricesenlossiguientestriángulosydeterminaelcircuncentro.Después,dibujalacircunferenciaquepasapor
losvérticesdeltriánguloycuyocentroeselcircuncentro.Porúltimo,respondelaspreguntas.
B
a) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆ABC?
A
b) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆MNP?
C
N
M
P
c) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆JKL?
K
L
J
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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47
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B
B LOQU E 1
Bisectrices e incentro
La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Todo triángulo tiene tres bisectrices.
A
A
C
C
B
C
A
A
B
B C
C
A
B
C
A
A
B
C
B
C
A
A
B
B
C
B
Elincentro es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que está inscrita
enuntriángulo,yestangentealostresladosdeéste.Porello,elincentrosiempreestáalinteriordeltriángulo.
A
A
A
Incentro
bB
bC
Incentro
bC
bB
bB
bC
B
B
C
bA
bA
C
B
bA
C
A
A
Incentro
Incentro
bC
bC
bB
bB
C
B
bA
TIC
C
B
bA
C
ConsultaMathOpenReferenceenladirecciónhttp://www.mathopenref.com/triangleincenter.html, en la cual
encontrarás un applet que te muestra las bisectrices y el incentro de un triángulo; además, puedes manipular el
triángulo para observar lo que sucede.
48 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Po n te e n f o r m a
1. Traza las tres bisectrices en los siguientes triángulos para obtener el incentro y dibuja la circunferencia tangente
a los lados del triángulo. Al finalizar, responde las preguntas.
B
a) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆ABC?
C
A
b) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆MNP?
N
M
P
c) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆JKL?
K
J
L
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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49
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B LOQU E 1
A ut oe va lu ac ión
Autoevaluación sobre competencias genéricas
Criterio por autoevaluar
Nunca
A veces
Siempre
1. Solicité ayuda para resolver mis dudas.
2. Cuando cometí errores, los acepté y corregí.
3.Expresémisideasconlenguajegráficoysimbólico.
4. Seguí las instrucciones para llevar a cabo las actividades.
5. Consulté los sitios web sugeridos.
6.Diseguimientoamiaprendizajeenformaconstante.
7. Ayudé en la organización y resolución de trabajos en equipo.
8.Dialoguéconmiscompañerosdemanerarespetuosa.
9. Hice todas mis actividades en tiempo y forma.
Utilización de la escala tipo Likert
TotalAcuerdo(TA);ParcialAcuerdo(PA);NiAcuerdo/NiDesacuerdo(NA/ND);ParcialDesacuerdo(PD);TotalDesacuerdo(TD).
Autoevaluación por competencias disciplinares
Criterio
TA
PA
NA/ND
PD
TD
Puedoexpresarverbalymatemáticamenteideassobreángulosytriángulos.
Identificotodoslostiposdeángulosytriángulos.
Utilizo las propiedades y características de ángulos y triángulos para valorar
objetos en mi entorno.
Puedoresolverlamayoríadelosejerciciosy/oproblemasrelacionadoscon
ángulos y triángulos.
50 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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B LOQU E 1
Lo que ap re ndí
Verticales
1. Ángulos con un lado y vértice común.
2. Unidad de medida de ángulos que
sedivideen60segundos.
1. Resuelve los crucigramas.
4. Instrumento para medida de ángulos
en grados.
5.Ánguloquemide90°.
6.Unidaddemedidadeángulosque
sedivideen60minutos.
8. Ángulo que se forma cuando vemos
haciaabajo.
11. Ángulo que se forma cuando vemos
haciaarriba.
13.Ánguloquemidemásde0°ymenos
de90°.
14.Pardeángulosquesuman90°.
15. Instrumento para mediciones
exactasdeángulos.
18.Ánguloquemide360°.
19. Ángulos situados entre las dos
paralelas cortadas por una
transversal.
Horizontales
1.Pardeángulosquesuman360°.
3.Ánguloquemidemásde90°ymenos
de180°.
7.SistemademedidadeángulosenMéxico.
9. Ángulos situados en lados opuestos de la
transversal sin ser consecutivos.
10.Ángulosdondelosladosdeunoson
prolongaciones del otro.
12. Ángulos situados del mismo lado de la
transversal que interseca dos paralelas.
16.Aberturaqueformadosladosque
parten de un mismo punto.
17.Pardeángulosquesuman180°.
22. Ángulos situados fuera de las
dos paralelas cortadas por una
transversal.
20.Ánguloquemide180°.
21.Ánguloquemidemásde180°ymenos
de360°.
23.Ánguloquemide0°.
24. Ángulos situados del mismo lado de
una transversal siendo uno interno y
otroextremo.
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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51
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B LOQU E 1
Horizontales
Verticales
1. Triángulo con tres ángulos agudos..
2. Punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo.
5. Triángulos con tres lados diferentes.
3. Punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo.
6. Punto donde se intersecan las tres medianas de un triángulo.
4. Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo.
7. Segmentos de recta que se forman con dos lados consecutivos
de un triángulo.
5. La suma de estos ángulos es 360°.
10. Triángulo con dos lados iguales.
13. Triángulo con tres lados iguales.
14. Característica del triángulo que lo hace imprescindible en las
construcciones.
16. La suma de éstos ángulos es 180°.
18. Segmento de recta que parte de un vértice hasta el punto medio
del lado opuesto.
8. Triángulo con un ángulo obtuso.
9. Recta perpendicular en el punto medio de un lado.
11. Recta que divide un ángulo en dos ángulos de igual
medida.
12. Triángulo con un ángulo recto.
15. Puntos no alineados que determinan un triángulo.
17. En cualquier triángulo, al lado mayor se le opone el
ángulo...
19. Segmento de recta que parte de un vértice hasta su lado
opuesto o prolongación de éste, en forma perpendicular.
52 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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11/1/11 7:59 PM
B LOQU E 1
2.Calcula el ángulo faltante y escribe el nombre de cada par de ángulos
60˚ 25´
x
51˚
48˚ 43´
x
x
x
x
102˚ 13´
102˚
20”
13´ 20”
x
x
x
46˚ 52´46˚
30”
52´ 30”
x
115˚ 115˚
3.Determina el valor del ángulo marcado con signo de interrogación.
?
a
b
c
119˚
f
e
d
h
i
g
j
98˚
k
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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53
11/1/11 7:59 PM
B LOQU E 1
4.En el ∆ABC se ubica el punto D sobre el lado AB. Obtén los ángulos indicados en cada inciso.
C
50˚
30˚
A
40˚
D
a) ∡ACD =
b) ∡DCB =
c) ∡CBD =
d) ∡ACB =
B
5. Dados los puntos A, B, C y M, prueba que ∡ABC es un ángulo recto, si AM = BM = CM.
C
A
B
M
6.El ∆ABC es isósceles con un ángulo de 36°. El segmento BD divide al ∡B en partes iguales. Prueba que AB = BD = CD.
C
36˚
D
A
B
54 Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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11/1/11 7:59 PM
B LOQU E 1
7.En la siguiente figura están marcados algunos segmentos y ángulos.
Haz lo que se indica y responde. Considera que ∡NMK = 108°
y el segmento RW es paralelo al segmento JK.
a) ¿Cuál es el valor del ∡WNM?
w
A
b) Escribe las parejas de ángulos.
K
N
M
B
• Correspondientes
• Alternos internos
J
R
T
• Alternos externos
• Colaterales internos
• Colaterales externos
c) ¿Qué tipo de triángulo es ∆JMT?
d) ¿Qué tipo de triángulo es ∆NMJ?
e) Nombre de los ángulos (por su medida).
∡RNJ
∡NMK
∡RNM
f) ¿Cómo podrías calcular la medida de los ángulos centrales de la rueda?
8.Responde las preguntas. Para cada caso, justifica y presenta un ejemplo.
a) ¿El baricentro puede localizarse fuera de un triángulo?
b)¿El incentro puede localizarse fuera de un triángulo?
c) ¿El ortocentro puede localizarse fuera de un triángulo?
d)¿El circuncentro puede localizarse fuera de un triángulo?
Ángulos, triángulos y relaciones métricas
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55
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