(ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
ECUACIÓN.
Es una igualdad en la que existen una o más cantidades desconocidas llanadas incógnitas y que sólo es
verdadera para determinados valores de las incógnitas.
En las ecuaciones las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN.
Se le llama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la izquierda del signo de
igualdad y a la expresión que está a la derecha se le llama segundo miembro.
TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN.
Los términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo
+ ó -, existen ecuaciones donde un término representa a uno de los miembro de la ecuación.
En la siguiente ecuación se muestran los nombres de cada uno de los elementos que la conforman.
Términos
Incógnita.
x –5 = 3x + 25
1er miembro
2° miembro
GRADO DE UNA ECUACIÓN.
El grado de una ecuación es el mayor exponente que tenga uno de los términos de la ecuación.
Ecuación.
Grado de la ecuación.
No de incógnitas.
Primer grado.
Una la x.
5x = 2 x + 3
2
Segundo grado.
Una la x,
x + 3x − 2
3
2
Tercer grado.
Una la x,
x − 2 x + 3x − 5
Primer grado.
Dos la x y la y.
x+ y =7
3
Tercer grado.
Dos la x y la y.
y + x − 9x
3x 4 − 2 x 2 + y 2 − y + 6
Cuarto grado.
Dos la x y la y.
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN.
Las raíces de una ecuación o soluciones son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación,
es decir, que al sustituir los valores de las incógnitas se cumple la igualdad.
REGLAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN.
1. Si a cada miembro de una ecuación se suma o resta una misma cantidad positiva o negativa, la
igualdad se conserva.
2. Si a cada miembro de una ecuación se multiplica por una misma cantidad positiva o negativa, la
igualdad se conserva.
3. Si a cada miembro de una ecuación se divide por una misma cantidad positiva o negativa, la
igualdad se conserva.
4. Si a cada miembro de una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la
igualdad se conserva.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Manuel tiene el doble de pesos que Carlos, si entre los dos suman 825 pesos. ¿Cuántos pesos tienen
cada uno?
Manuel = 2(x ) pesos
Carlos = x pesos
Pesos de Manuel + pesos de Carlos = 825 pesos
2x
+ x = 825
2 x + x = 825 Sumamos términos semejantes.
3x = 825 Dividimos entre tres para dejar sola a la x,
aplicando la regla 3
3x 825
=
Tres entre tres es igual a uno.
3
3
825
x=
= 275
3
Como x= 275 pesos, cada uno tiene:
Manuel = 2(x)= 2(275)=550 pesos.
Carlos = x = 275pesos.
Ejemplo 2.
Una persona compra un terreno rectangular, en el contrato de compra se especifica que el terreno mide
de largo el doble de lo que mide de ancho más 5m. Si su perímetro es de 58m. Hallar sus dimensiones.
Ancho= x
Perímetro 58m
Largo= 2x +5m
Como el perímetro del terreno se obtiene sumando la medida de todos sus lados.
P = x + 2 x + 5 + x + 2 x + 5 Como el perímetro es 58m.
58 = x + 2 x + 5 + x + 2 x + 5 Sumamos términos semejantes.
58 = 6 x + 10 Restamos 6x en ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 1.
58 − 6 x = 6 x − 6 x + 10 Sumamos términos semejantes.
58 − 6 x = +10 Restamos 58 en ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 1.
58 − 58 − 6 x = +10 − 58 Efectuamos resta.
− 6 x = +10 − 58 Efectuamos resta.
− 6 x = −48 Dividimos entre -6 ambos miembros de la ecuación, aplicando regla 3.
− 6 x − 48
=
Efectuamos división en ambos miembros de la ecuación.
−6
−6
x=
− 48
−
Aplicamos regla de signos = +
−6
−
x = 8m
Por lo tanto:
Ancho= 8m
Largo= 2x +5m = 2(8m) + 5m =16m+5m=21m.
Largo: 21 m
Ejemplo 3.
En tres cajas hay en total 586 manzanas, en la primera caja hay 20 manzanas más que en la segunda
caja y 30 más que en la tercera caja. ¿Cuántas manzanas hay en cada caja?
Manzanas en 1ª caja + manzanas 2ª caja + manzanas en 3ª caja= 586
x +20
x
(x+20)+30
x + 20 + x + x + 20 + 30 = 576 Sumamos términos semejantes.
3x + 70 = 586 Sumamos – 70 en ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 1.
3x + 70 − 70 = 586 − 70 Efectuamos las diferencias.
3x = 516 Dividimos entre 3 ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 3.
3x 516
=
Efectuamos división.
3
3
516
x=
= 172
3
Por lo tanto:
Manzanas en 1ª caja= x + 20 = 172+20 = 192manzanas.
Manzanas en 2ª caja = x = 172 manzanas.
Manzanas en 3ª caja= x+50 = 172 + 50= 222 manzanas.
Ejemplo 4.
La suma de las edades de tres personas es de 95 años. La mayor tiene 10 años más que el menor y la de
en medio 6 años menos que la mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Edad del mayor + edad del mediano + edad del menor = 95 años.
x + 10
(x + 10) –6
x
x + 10 + x + 10 − 6 + x = 95 Sumamos términos semejantes.
3x + 14 = 95 Sumamos – 14 en ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 1.
3x + 14 − 14 = 95 − 14 Efectuamos las diferencias.
3x = 81 Dividimos entre 3 ambos miembros de la ecuación, aplicando la regla 3.
3x 81
=
Efectuamos división.
3
3
81
x = = 27años
3
Por lo tanto:
Edad del mayor = x + 10 = 27+10= 37 años.
Edad del mediano = (x + 10) -6 = 27 +10-6= 31años.
Edad del menor = x = 27 años.