EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGIA

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE CARGAS ASOCIADAS AL BALANCE DE ENERGÍA
Ejemplo 1: Sea la viga simplemente apoyada de luz “L” y rigidez flexional “ E I”, es sometida
en su sección central a una carga estática P cuyo valor máximo es Po. Se trata de determinar el
desplazamiento Uo de la viga en el punto de aplicación de la carga Po.
P
L/2
x
h
E.I
b
L
M
La energía interna de deformación en flexión (despreciando la energía de deformación por
corte) es:
Wi = ½ ∫ M2 / EI dx = Po2 L3 / [96 E I]
Donde: M = Po x /2 ; x es la distancia de la sección considerada al apoyo más cercano. Esta
expresión es válida para x ≤ L / 2.
El trabajo externo realizado por la carga P desde su valor inicial P = 0 hasta su valor final Po
está dada por:
We = ½ Po Uo, donde Uo es el desplazamiento del punto de aplicación de la carga para
P = Po
P
Po
We
Uo
U
We=1/2*Po*Uo
Sobre la base de un comportamiento elástico, la condición de conservación de la energía
(condición escalar válida al final del proceso de deformación) es:
We = Wi
Luego:
Po Uo = Po2 L3 / [48 E I]
Es decir:
U o = Po L3 / [48 E I]
Se define como “rigidez local de la viga en el punto de aplicación de la carga” al cociente
entre Po y Uo: Ko = Po / Uo = 48 E I /L3.
Comentario sobre el proceso de carga y sus efectos: la carga P se ha supuesto de aplicación
suave y progresiva desde un valor inicial igual a 0 hasta su valor máximo Po. Hay infinitas
maneras de materializar ese proceso de carga, al menos para llegar al mismo estado final
asociado a la carga total Po aplicada en el punto central.
Una manera de aplicar la carga en forma progresiva sería descomponer la carga “Po” como un
conjunto de “N” cargas iguales a Po/N, cada una de las cuales se aplica sucesivamente
directamente al punto central de la viga en forma lenta de manera que no se produzcan
aceleraciones del sistema.
L/2
Po/N
x
L
Otra manera de aplicar Po que produce los mismos efectos finales (esfuerzos internos,
reacciones y desplazamientos) que la forma anterior de fraccionar la carga en N carguitas, podría
ser la siguiente: Representar la carga Po por una esfera cuyo peso es Po, que se lleva rodando en
forma lenta desde los apoyos hasta la sección central de la viga.
L/2
x
Po
L
Naturalmente, los estados intermedios de esfuerzos que producen en la viga ambas maneras de
materializar la carga no son iguales entre ambos procedimientos de carga, aunque los esfuerzos y
desplazamientos finales son iguales en ambos casos. Este último tipo de carga es lo que se
denomina en puentes como “Cargas móviles”, es decir que la magnitud de la carga (o sea el peso
Po) es constante, pero se desplaza lentamente desde un punto en el que no produce esfuerzos
(sobre los apoyos) hasta el punto que nos interesa considerar, en este caso la sección central de la
viga.
Ejemplo 2: Se trata de la misma viga del Ejemplo 1 pero la carga se materializa llevando un
peso Po con una grúa sobre la sección central, y bajarla justo hasta que la base de la carga Po se
posiciones a una distancia tan pequeña como sea posible de la superficie de la viga. Cuando se
ha alcanzado esa posición, se procede a liberar el freno de la grúa en forma instantánea de
manera que todo el peso Po actúa sobre la viga desde el mismo comienzo del proceso de carga.
Este tipo de modalidad de aplicar la carga Po se denomina habitualmente como “carga súbita”,
es decir que pasa desde un valor nulo hasta P es un instante de tiempo tan pequeño como sea
posible definir.
L/2
x
h
Po
b
E.I
L
Como el sistema es elástico, la energía potencial que gastará el peso Po para pasar de su
posición inicial antes de ser liberado hasta el instante que provoca el máximo desplazamiento en
la viga se almacenará como energía interna de deformación Wi.
P
Po
We
Uo
U
We=Po*Uo
A diferencia del Ejemplo 1, la energía externa aplicada a la viga hasta el momento que alcanza
la máxima flecha en el punto de aplicación de Po será igual a la pérdida de potencial de la carga,
es decir:
We = Po Uo
Nótese que en este caso no interviene el factor “½” como en el ejemplo 1. La energía interna
Wi, está dada por la misma expresión que en ese caso, es decir
Wi = Po2 L3 / [96 E I] . A partir de la condición que Wi sea igual a We, surge que:
Uo = 96 E I / L3 , es decir que el desplazamiento Uo resulta ser igual a dos veces el
correspondiente a la carga aplicada en forma estática. Como la viga es linealmente elástica, al
resultar el valor de Uo igual a dos veces el correspondiente al caso estático (carga progresiva),
los esfuerzos en la viga (momento flector, corte, y reacciones) resultarán también iguales a dos
veces los correspondientes al caso estático. Nótese que la rigidez local Ko es una propiedad
intrínseca de la viga que se refiere al caso de carga estática progresiva..
Conclusión:
1) La carga súbita produce esfuerzos (y deformaciones) máximos que duplican los
correspondientes a la misma carga aplicada en forma gradual (estática).
2) Cabe preguntarse qué esfuerzos máximos se producirán si la carga Po se aplicara como una
carga móvil que se desplaza sobre la viga en un tiempo que no sea “muy lento” como se indicó
en el ejemplo 1, en el que se quería que sus efectos fueran estáticos. La respuesta no la podemos
dar con el sólo uso del balance de energía puesta en juego durante el proceso de carga. La
respuesta a este interrogante requiere introducir el concepto de “masa” o “inercia de la viga”; esa
inercia permitirá describir en forma precisa “qué constituye una carga estática” y cuándo dicha
carga produce efectos dinámicos y cuándo los esfuerzos tienden a los estáticos. La respuesta a
esta pregunta estará asociada al tiempo que tarde la carga en pasar de un punto en el que no
produce esfuerzos (cuando está sobre los apoyos) hasta que llega al punto en que produce los
efectos máximos. En su momento, más adelante en el desarrollo del curso, se demostrará
que el coeficiente de impacto, definido como el factor mayor a la unidad que es necesario
aplicar a los esfuerzos estáticos para obtener el valor máximo de los esfuerzos y/o
deformaciones, es función de la velocidad de movimiento de la carga, y que para una
superficie de lisa de rodamiento está comprendido entre “1” para una carga que se mueve
con velocidad muy baja, hasta aproximadamente 1.5 cuando la velocidad alcanza un cierto
valor crítico. Este tipo de consideraciones son normalmente tenidas en cuenta en el diseño
de puentes carreteros, ferroviarios, puentes grúas, etc. Por otro lado, si la superficie de
rodamiento presenta rugosidades o irregularidades, el paso de un vehículo rodante
producirá efectos dinámicos adicionales a los que corresponden a una superficie de
rodamiento perfecta.
Ejemplo 3: Se trata de evaluar la carga que transmite a la estructura del muelle en el proceso de
aproximación de una embarcación al tomar contacto con el “amortiguador” o “buffer” fijo al
muelle. La velocidad del barco al instante de tomar el contacto con el buffer es designada como
Vo, y la masa total del barco como Mo.
Po
Vo
Muelle
Po=Ko*Uo
Po=Ko*Uo
Mo
Po
Ko
Ko
El amortiguador se supondrá que es un cuerpo linealmente elástico, normalmente de goma, que
transmite el efecto del barco a la estructura del muelle, que supondremos es muy rígida con
respecto al amortiguador.
Supóngase en primera instancia que el contacto del barco con el muelle se realiza a través de un
único amortiguador. Si denominamos con Ko la rigidez (constante) del amortiguador, la energía
interna de deformación al instante de alcanzar la máxima deformación, y por ende transmitir la
máxima carga al muelle, estará dada por:
Wi = ½ Ko Uo2
Donde Uo es el máximo acortamiento axial del amortiguador. La fuerza máxima que transmite
en barco al muelle a través del amortiguador estará dada por: Po = Ko Uo.
P
Po
Wi
Uo
U
Po=Ko*Uo
Wi=1/2*Ko*Uo²
Veamos ahora el balance de energía. La energía externa que trae el barco al momento de tomar
contacto con el buffer será: We = ½ Mo Vo2
Por la condición de conservación de energía (se supone no hay disipación, es decir que el
proceso es elástico y totalmente reversible) tenemos:
Wi = We
Luego: Uo = Vo [ Mo / Ko]1/2 . La constante entre corchetes no es otra cosa que la inversa de
la frecuencia circular del conjunto “Barco/amortiguador”, normalmente denominada como ωi =
[Ko / Mo]1/2
En definitiva:
Uo = Vo / ωi
Y la fuerza máxima transferida a la estructura del muelle estará dada por:
Po = Ko Uo = Vo [ Ko Mo]1/2
Está claro que si el barco tomara contacto simultáneo con “n” amortiguadores de rigidez Ko
cada uno de ellos, la rigidez total será K = n Ko, y en las expresiones anteriores que dan el valor
de la fuerza que se tramite a la estructura del muelle hay que reemplazar el valor de K en lugar
de Ko para el cálculo de la fuerza total P. En este caso resultará que P = [n]1/2 Po.
Conclusión:
De esta expresión surge claramente que para un barco de masa Mo y un amortiguador de
rigidez Ko, la fuerza máxima que transmite al muelle es proporcional a la velocidad de
aproximación Vo del barco.
Se demostrará más adelante en el desarrollo del curso, que todos esfuerzos en una estructura
lineal elástica que surgen como resultado de un proceso de impacto son proporcionales a la
velocidad del cuerpo que impacta en el instante que toma contacto con la estructura. Esa es una
conclusión muy general y de gran interés práctico en los múltiples problemas de cargas
impulsivas, desde el diseño de defensas contra impacto de vehículos o embarcaciones a
dispositivos de seguridad, hasta la verificación de los esfuerzos que se generan durante la hinca
de pilotes.
Ejemplo 4: Se trata del mismo caso del ejemplo 3, pero se necesita determinar la relación entre
la velocidad Vi para una masa Mi que produzcan los mismos esfuerzos máximos en la estructura
de soporte del amortiguador que una cierta velocidad Vo y masa Mo de referencia.
Po
Vi
Muelle
Po=Ko*Uo
Po=Ko*Uo
Mi
Po
Ko
Ko
En otras palabras, queremos establecer para una masa Mi que toma contacto con el
amortiguador con una velocidad inicial Vi, cuál es la relación que deben cumplir esas dos
variables para que la fuerza máxima que se trasmite a la estructura sea la misma que se produce
con la masa Mo a velocidad Vo del ejemplo 3.
Como la fuerza máxima que transmitirá el amortiguador a la estructura queremos que sea la
misma, se tendrá que cumplir que:
Po = Ko Uo = Vo [ Ko Mo]1/2
Y
Po = Ko Uo = Vi [ Ko Mi]1/2
De estas relaciones surge que, como Ko es una constante del amortiguador aplicable en ambos
casos:
Vi = Vo [ Mo / Mi ]1/2 , es decir que la velocidad de aproximación
inicial se incrementa con la raíz cuadrada de la relación de las masas. Por ejemplo, si fuera Mi =
Mo / 2, la velocidad inicial que produzca la misma fuerza máxima en el amortiguador será: Vi =
Vo [ 2 ]1/2 = 1.41 Vo
0.5
8
6
Vi( Mi )
4
2
0
0
0.2
0.4
0.6
Mi
Mi := 0.5 Mo
Vi( Mi) = 1.414 Vo
0.8