Rectas escondidas

Rectas escondidas
Actividad 1
Abran el archivo puntosquesuman8.ggb
a) De todos los puntos que están en la pantalla, ¿cuáles verifican la igualdad x + y = 8?
b) Si mueven los puntos, ¿cuáles de ellos siguen verificando la igualdad anterior?
c) ¿Existen otras posiciones en las cuales los puntos también verifican dicha igualdad? ¿Cuántas para
cada uno de esos puntos?
El objetivo del primer ítem es que los estudiantes vinculen las coordenadas de cada punto con las
variables x e y de la ecuación en dos variables (en este caso x + y = 8 ). Y también, en base a esto,
puedan determinar si los puntos representan una solución (o no) de la ecuación. Las coordenadas de los
puntos no deben ser calculadas, pues están escritas al lado del nombre de cada punto.
El segundo ítem habilita una exploración de los puntos mediante el movimiento. Pretende que los
estudiantes analicen cómo varían sus coordenadas a medida que se los desplaza en la vista gráfica.
Aunque la propuesta sigue siendo estática (pues se pretende el cálculo de la suma punto a punto), se
apunta a la construcción de una noción dinámica de cada punto.
El ítem c) se orienta a la comprensión de que alguno de esos puntos siempre cumple con la ecuación,
de modo que el dinamismo no modifica la propiedad de ser solución de aquélla. En este caso, el punto
H cumple siempre con la ecuación planteada. Los puntos K y C tienen únicamente una posición (la
inicial) para la cual verifican esta igualdad. Y el punto G no cumple con la ecuación para ninguna de sus
posiciones.
El punto M no cumple con la ecuación planteada para ninguna de las posiciones que puede alcanzar
en el software, aunque la recta que representa este punto sí tiene intersección con la que representa la
ecuación. El archivo está diseñado de tal modo que los puntos sólo recorren algunas posiciones, en lugar
de hacerlo en forma continua. Por ejemplo, el punto M puede alcanzar las posiciones de coordenadas
(2.6757, 6.0541) y (2.5135, 5.0811), pero no las intermedias. Es posible que alguno de los estudiantes
anticipe que habrá alguna posición entre las dos mencionadas, cuyas coordenadas suman respectivamente
8.7298 y 7.5946, en la que sí sumen exactamente 8. Una intervención docente en este sentido podría
consistir en sugerir la activación del rastro de los puntos: con un clic derecho sobre cada punto, se elige
la opción «Activa Rastro». De esta manera puede verse que la “trayectoria” de cada punto parece ser
una recta (o el gráfico de una función lineal), de modo que el punto en que las coordenadas de H sumen
8 estará en la intersección de estas rectas. La intención de esta actividad es determinar si existirá ese
punto, aun sin saber cuáles son sus coordenadas. Se sugiere no avanzar en esta línea, pues se prevé
retomarla en la Actividad 3.
En una puesta en común el docente puede utilizar lo trabajado para institucionalizar la noción de
solución de una ecucación en dos variables como el conjunto de puntos cuyas coordenadas verifican la
igualdad.
Actividad 2
Abran el archivo puntosyecuaciones.ggb.
a) ¿De cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones son solución las coordenadas de los puntos R y T ?
(I) y + 2x = 8
(II) x − y = −5
(III) 7 = x + y
(IV) y + x = 5
(V) x − 2y = −1
(VI) x − y = 1
b) Si mueven los puntos R y T , ¿de qué ecuaciones siguen siendo solución sus coordenadas?
c) ¿Existe una posición en la cual los puntos R y T coinciden?
Este problema plantea la decisión acerca de los puntos como soluciones de ecuaciones. En el ítem a)
se puede comprobar que el punto R verifica las ecuaciones i), ii) iii) y el punto T verifica las ecuaciones
de los ítems i), iv), v) y vi). Es decir, que en forma estática, cada uno de estos puntos es solución de varias
ecuaciones.
En el ítem b), al incorporar dinamismo y mover los puntos, R sólo es solución de la ecuación iii) y T
es solución de la ecuación vi). En este archivo, a diferencia del anterior, el deplazamiento de los puntos
está dado en forma çontinua"(con dos decimales), de modo que se pueden recorrer muchísimos puntos.
Los estudiantes deberán entonces elegir algúnos de esos puntos para ensayar si sus coordenadas son
o no solución de cada una de las ecuaciones. La atracción a la cuadrícula está activada, de modo que
pueden elegir puntos de coordenadas enteras para que las operaciones sean más sencillas.
El último ítem apunta a la solución simultánea; es decir, para x = 4 e y = 3 el punto R coincide
con T . Una resolución esperable es que los estudiantes utilicen el escenario de GeoGebra, moviendo
los puntos hasta hacerlos coincidir. Cuando se quieran establecer las coordenadas de los puntos, es
posible que estas no coincidan para ambos puntos, por lo que se requerrirá una çorrección"(por ejemplo,
R = (4.01, 2.99) y T = (3.95, 2.95)). En este caso no será una complicación, pues la solución está compuesta
por números enteros. Luego de esta çorrección"deberán validar las coordenadas propuestas verificando
que sean solución de las dos ecuaciones.
Durante la puesta en común, el docente podría introducir el concepto de sistema de ecuaciones
utilizando las fórmulas halladas:
7=x+y
x−y=1
Resolver este sistema consistirá entonces en encontrar los pares de valores que resuelven a la vez la
primera y la segunda ecuación.
No creemos que sea este el momento de caracterizar los sistemas de ecuaciones según su cantidad
de soluciones, ni detallar los métodos existentes para su resolución. Se trata de establecer, por un lado,
el significado de una ecuación en dos variables y su conjunto de soluciones, y por otro, el sentido de un
sistema en tanto se intenta buscar la coincidencia de las soluciones de ambas ecuaciones.
Actividad 3
A continuación volvemos a trabajar con el archivo de la primera actividad, puntosquesuman8.ggb.
a) Escriban la ecuación que representa las posibles coordenadas del punto M.
b) Ingresando en la «Barra de Entrada» sus ecuaciones, construyan la recta correspondiente a la
ecuación (todas las posibles posiciones) del punto dinámico H y la correspondiente a la del punto
dinámico M. ¿Existe un punto cuyas coordenadas sean solución de las dos ecuaciones planteadas?
¿Cuál?
Para la resolución del ítem a) se pretenden retomar algunos conocimientos sobre función lineal.
Moviendo el punto H se pueden registrar dos posiciones, y así armar la ecuación de la recta que pasa
por dos puntos. Para poder llevar a cabo esta construcción, los estudiantes deberán tener presente que,
al moverse, el punto M traza una recta, y por lo tanto se puede establecer alguna relación con una
función lineal. Creemos que esta relación no será inmediata, pero sí estará abonada por el recorrido de
los temas trabajados. Se presupone que estos problemas serán abordados inmediatamente después de
haber trabajado funciones lineales. La fórmula producida estará escrita de forma explícita, por tratarse
de la fórmula de una función lineal (y = 6x − 10). Sin embargo, se podrá vincular rápidamente con la
forma en la que se venía trabajando en esta secuencia por medio de una transformación algebraica básica
(y − 6x = −10, por ejemplo).
Creemos que la pregunta por la existencia del punto solución no traerá inconvenientes, pudiéndose
resolver de un modo análogo al de la actividad anterior. Sin embargo, en este caso las soluciones no son
enteras, por lo que la “corrección” de los valores de los puntos no funcionará en ningún intento. Esto se
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debe a que la solución es el punto ( 18
7 , 7 ), cuyas coordenadas tienen más decimales que los que muestra
el software. Por lo tanto, para cada elección de coordenadas que realizen los estudiantes no se cumplirán
las condiciones de al menos una de las dos ecuaciones. En este juego de elegir coordenadas y probar
en la ecuación es que creemos que se construye el sentido de los puntos del plano como solución de
ecuaciones. En base a la imposibilidad de que se cumplan las dos condiciones simultáneamente es que
creemos que surgirá la necesidad de encontrar la solución exacta de alguna otra manera.
Una manera de abordar el problema es pensando que las coordenadas de los puntos M y H deben
ser las mismas. Escribiéndolas algebraicamente M = (x, 6x − 10) y H = (x, −x + 8), y siguiendo el
razonamiento anterior, se puede plantear la igualdad 6x − 10 = −x + 8.
Otra manera de abordarlo puede ser trabajando con las ecuaciones de las rectas y pensando en las
variables. Si y = 6x − 10 en un caso, e y = −x + 8 en el otro, por transitividad 6x − 10 debería ser igual a
−x + 8. Si bien este planteo es similar al anterior, se diferencia en cuanto a lo que se pone en juego para
establecer las relaciones: en el primer caso se busca que las coordenadas de los puntos sean iguales,
mientras que en el otro se busca que los valores de las variables sean los mismos.