CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Primera Prueba Parcial
Lapso 2015-1
753−759 –1/2
Universidad Nacional Abierta
Álgebra II (753−759)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 508 – 126
Área de Matemática
Fecha: 23 – 05 – 2015
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 3
OBJ 1 PTA 1 Determine la solución del siguiente problema, aplicando el método de eliminación de
Gauss.
En un mercado a cielo abierto se vende café, harina de maíz y arroz. Por 3 Kg. de café, 2 Kg. de harina
de maíz y 4 Kg. de arroz, un cliente paga Bs. 277,5; por un Kg. de café, 2 Kg. de harina de maíz y 3
Kg. de arroz, otro cliente paga Bs. 159,5 y por 4 Kg. de café, 3 Kg. de harina de maíz y 2 Kg. de arroz,
un tercer cliente paga Bs. 293,00. ¿Cuál es el precio por kilogramo de cada producto?
Solución:
La matriz aumentada asociada al sistema es:
rubros
clientes
 3 2 4 277,5 


 1 2 3 159,5  .
 4 3 2 293,00 


Al aplicar el método de eliminación de Gauss, se tiene:
2
293 
4 3


 0 5 / 4 5 / 2 345 / 4  ;
0 0
3
75 

de aquí tenemos que el precio por kilogramo de cada producto es:
rubro
precio por kilogramo
café
Bs. 46,5
harina de maíz
Bs. 19,00
arroz
Bs. 25,00
Haga los cálculos
detallados del proceso de
eliminación de Gauss.
Haga los cálculos
detallados para llegar a su
resultado.
OBJ 2 PTA 2 Calcule de ser posible, la inversa de la siguiente matriz:
 2 4 6


 4 6 0 .
 2 0 4


Solución:
Una manera de resolver este problema es la siguiente:
Sea A la matriz dada, de existir su inversa, ella debe cumplir las siguientes igualdades:
AxA−1 = I = A−1xA. ¿Por qué?
Supongamos,
Especialista: Alvaro Stephens
Evaluadora: Florymar Robles
Primera Prueba Parcial
Lapso 2015-1
753−759 –2/2
α1 α 2 α 3 


A−1=  β1 β 2 β 3  .
γ γ
γ 3 
2
 1
Por la unicidad de la inversa debemos probar que:
 2 4 6  α1


 4 6 0   β1
 2 0 4 

  γ1
α 2 α 3   1 0 0  α1 α 2 α 3   2 4 6 

 
 

β 2 β 3  =  0 1 0  =  β1 β 2 β 3   4 6 0  .


γ 2 γ 3   0 0 1   γ 1 γ 2 γ 3   2 0 4 
De estas igualdades se obtienen los siguientes sistemas:
2α1 + 4 β1 + 6γ 1 = 1

,
4α1 + 6 β1 = 0
2α + 4γ = 0
1
 1
2α 3 + 4 β 3 + 6γ 3 = 0
2α 2 + 4 β 2 + 6γ 2 = 0


y 4α 3 + 6 β 3 = 0
.
4α 2 + 6 β 2 = 1
2α + 4γ = 0
2α + 4γ = 1
2
3
 2
 3
Al resolver cada sistema de ecuaciones obtenemos los siguientes valores:
α1 = −3 / 11 α 2 = 2 / 11 α 3 = 9 / 22
β1 = 2 / 11 β 2 = 1 / 22 β 3 = −3 / 11 .
γ 1 = 3 / 22 γ 2 = −1 / 11 γ 3 = 1 / 22
Desarrolle los
cálculos para llegar
a estos resultados.
Así tenemos que la inversa de la matriz dada es:
2 9 / 2
 −3

1
 2 1/ 2 − 3  .
11 

 3 / 2 −1 1/ 2 
Compruebe que
efectivamente
esta es la inversa.
Existen muchas maneras de responder esta pregunta, como por ejemplo, aplicando el método de
Gauss-Jordan simultáneamente a la matriz dada y a la matriz identidad del mismo orden.
OBJ 3 PTA 3 Determine si el polinomio P(x)=4−x2 pertenece al subespacio generado por los
polinomios Q(x)=1+3x−x2 y R(x)= −3x+2x2.
Solución:
Para que el polinomio P(x)=4−x2 pertenezca al subespacio generado por los polinomios Q(x)=1+3x−x2
y R(x)= −3x+2x2 debe cumplirse que:
Desarrolle esta ecuación
4−x2 = α(1+3x−x2) + β(−3x+2x2)
para obtener el sistema de
ecuaciones asociado.
= α + (3α−3β)x + (−α+2β)x2.
El sistema de ecuaciones que se desprende de la ecuación anterior es inconsistente ¿Por qué?
Así, finalmente tenemos que el polinomio P(x)=4−x2 NO pertenece al subespacio generado por los
polinomios Q(x)=1+3x−x2 y R(x)= −3x+2x2.
FIN DEL MODELO.
Este modelo se elaboró para uso de asesores y estudiantes, debe servir
como material para la retroalimentación de los estudiantes.
Especialista: Alvaro Stephens
Evaluadora: Florymar Robles