Primer parcial con pauta de respuesta

Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2015
Primer parcial. 28/09/2015
Ejercicio 1. (3 puntos).
La siguiente matriz representa un juego estático entre
representan las utilidades de los jugadores. El número a
derecha, la utilidad del jugador 2.
Jugador 2
x1
y1
(1,-2)
y2
(0,0)
Jugador 1
y3
(2,-1)
el Jugador 1 y el Jugador 2. Los números entre paréntesis
la izquierda de la coma es la utilidad del jugador 1 y el de la
x2
(2,1)
(-1,1)
(0,0)
x3
(-1,-1)
(1,2)
(2,1)
1.1 Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la matriz eliminándolas. Fundamente su
respuesta.
1.2 Determine si la matriz reducida tiene equilibrios de Nash y diga cuáles son. Fundamente su respuesta.
Ejercicio 2. (3 puntos).
A partir de la situación representada por la matriz anterior (mismos jugadores, acciones y pagos), modele un juego
dinámico en el que el jugador 1 juega primero y el jugador 2 juga después.
2.1 Represente el juego utilizando la forma extensiva.
2.2 Determine el resultado del juego por retroinducción. Fundamente su respuesta.
Ejercicio 3. (4 puntos)
Represente la interacción entre el gobierno y los sindicatos de la educación a partir de lo que plantea el artículo 619 del
proyecto ley presupuestal. El artículo establece una partida adicional de 1.227 millones de pesos para el próximo año y
otra partida de 2.544 millones de pesos anuales a partir del año 2017 en adelante, para salarios de los docentes,
“siempre que se alcance un acuerdo” con los gremios de la educación, en caso contrario, añade el proyecto de ley,
“dichas partidas podrán ser reasignadas exclusivamente con destino al rubro Inversiones de la Administración Nacional
de Educación Pública”.
Suponiendo que dicho artículo fuera aprobado, los sindicatos de la educación deberán decidir si acuerdan con los
aumentos, en cuyo caso los recibirían y, de no acordar, el gobierno deberá decidir si, de todas formas destina los fondos
a aumentar los salarios o las reasigna a inversiones.
3.1 Represente el juego utilizando la forma extensiva.
3.2 Determine el resultado del juego por retroinducción. Fundamente su respuesta.
1
Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2015
Pauta de respuesta
Ejercicio 1.
Jugador 2
x1
x2
x3
y1
(1,-2)
(2,1)
(-1,-1)
y2
(0,0)
(-1,1)
(1,2)
Jugador 1
y3
(2,-1)
(0,0)
(2,1)
Primero observo las estrategias del Jugador 1 y determino que y2 es una estrategia dominada ya que jugando y2 siempre
obtiene peores pagos que usando cualquiera de las otras dos estrategias. Una vez eliminada y2 observo las estrategias
del Jugador 2 y determino que x1 también es una estrategia dominada. Luego de eliminar y2 y x1 me queda la siguiente
matriz reducida:
Jugador 2
x2
x3
y1
(2,1)
(-1,-1)
Jugador 1
y3
(0,0)
(2,1)
Ahora en la matriz reducida se observa que ni el Jugador 1 ni el Jugador 2 tienen estrategias dominadas. Para el Jugador
1 lo mejor es jugar y1 cuando el Jugador 2 juega x2 y lo mejor es jugar y3 cuando 2 juega x3. A su vez, para el Jugador 2 lo
mejor es jugar x2 cuando el Jugador 1 juega y1 y lo mejor es jugar x3 cuando 1 juega y3. Por lo tanto los perfiles de
estrategia (y1, x2) y (y3, x3) son equilibrios de Nash, ya que contienen las mejores jugadas de cada jugador dadas las
jugadas del otro jugador.
Ejercicio 2.
2.1 El siguiente árbol representa el juego en forma extensiva:
J1
y1
y3
y2
J2
J2
x1
J2
x1
x2
x3
x1
(1,-2) (2,1) (-1,-1)
x2
I
(0,0) (-1,1)
x2
x3
x3
(2,-1)
(0,0)
(1,2)
(2,1)
2.2. La retroinducción implica determinar las mejores jugadas del segundo jugador para todas las posibles jugadas del
primero. Si el Jugador 1 juega y1 la mejor respuesta del Jugador 2 es x2 (obtiene una utilidad de 1 en lugar de -2 o -1). Si
el Jugador 1 juega y2 la mejor respuesta del Jugador 2 es x3 (obtiene 2 en lugar de 0 o 1). Finalmente, si el jugador 1
juega y3 la mejor respuesta del Jugador 2 es x3 (obtiene 1 en lugar de -1 o 0). Sabiendo las mejores respuestas del
Jugador 2, el Jugador 1 puede elegir tanto y1 como y3 porque al deducir que el Jugador 1 optará por x2 en el primer
caso y x3 en el segundo, logrará una utilidad de 2, que es mayor a la que obtendría jugando y2, es decir 1. El juego
dinámico ofrece dos posibles resultados -(y1, x2) y (y3, x3)- ya que el jugador 1 es indiferente entre las opciones y1 e y3.
Ejercicio 3. (4 puntos)
3.1 El siguiente árbol representa el juego en forma extensiva:
Sindicatos
Acordar
No
acordar
Gobierno
Salario
Sindicatos
Gobierno
1
2
2
0
2
Inversiones
0
1
Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2015
En la situación descrita, quien juega primero son los sindicatos de la enseñanza, que deben decidir si acuerdan o no con
el aumento ofrecido. Si los sindicatos deciden acordar, el juego se termina, ya que el gobierno no tiene más que pagar el
aumento acordado. En cambio, si los sindicatos no acuerdan, el gobierno tiene la potestad de destinar esos recursos a
inversiones, aunque podría de todas formas destinarlo al aumento salarial. Las preferencias del gobierno implican que su
mejor opción es que los sindicatos acuerden porque para eso se generó el mecanismo en cuestión. Pero si los sindicatos
no acuerdan el mejor resultado sería destinar el monto a inversiones, ya que aumentar los salarios de todas formas lo
debilitaría. Por el contrario, los sindicatos tienen como primera preferencia obtener el aumento sin acordar, ya
maximizan su ingreso monetario y se fortalecen al obtenerlo desde una posición de firmeza.
3.2 Utilizando la retroinducción los sindicatos deberían prever que el gobierno no aumentará los salarios si ellos no
acuerdan y, por lo tanto, obtendrían el peor resultado. En consecuencia lo mejor que pueden hacer es acordar y
terminar el juego sin darle la opción al gobierno.
3