Arte y Geometría

Actividades 06/07
ESTALMAT-Andalucía
Sesión 1ª de 2º curso
Fecha: 30/9/2006
Título: Arte y Geometría
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ACTIVIDAD 1: La proporción de un rectángulo.
¿Qué tienen en común estos rectángulos?,¿Qué ocurre con sus diagonales? (Usa los instrumentos de
dibujo para conseguir respuestas)
La proporción de un rectángulo es: ______________________________________________________
La proporción de los rectángulos de esta página es______________
Los rectángulos de la misma proporción tienen diagonales____________________________________
Un cuadrado en realidad es un rectángulo de proporción=________________________
Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez
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Título: Arte y Geometría
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Naranja y Amarillo de Mark Rothko, 1956. A la derecha con trama geométrica superpuesta.
ACTIVIDAD 2: Construyendo rectángulos de una proporción dada.
Construye rectángulos de la misma proporción al que se da a continuación (el retintado) pero
con la condición de que al menos tenga un vértice común y un lado superpuesto con el que él.
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ACTIVIDAD 3: Rectángulos de proporciones notables.
Rectángulo
3
Rectángulos DIN
Rectángulo Cordobés
Rectángulo áureo
Usando el lado de ciertos polígonos regulares y el radio de la circunferencia que lo circunscribe
(como se muestra en las figuras superiores) podemos construir rectángulos de proporciones notables
que se usan con gran frecuencia en arquitectura y arte. Los rectángulos DIN se usan además como
formatos de papeles (esta hoja de papel que tienes en tus manos es un DIN A4).
a) Si el lado menor es 1, ¿cuanto mide x, el lado mayor del rectángulo DIN? (El teorema de
Pitágoras puede ayudarte)
b) En las figuras inferiores se marcan ciertos rectángulos (los notarás porque se ha marcado una
diagonal). Asócialos con los rectángulos notables mostrados arriba
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ACTIVIDAD 4a: El rectángulo de oro. Buscando la proporción “ideal”.
¿Qué proporción tiene el rectángulo que cumple que si se le añade un cuadrado por el lado mayor se
obtiene otro rectángulo de la misma proporción?
¿Qué proporción tiene el rectángulo que colocando una pareja de ellos como se indica en la figura
que sigue abajo a la derecha (uno horizontal y otro vertical) la diagonal de uno pasa por un vértice del
otro? Planteemos las situaciones geométricas con la incógnita pertinente y averigüemos su valor:
Encuentra en cada figura la ecuación que tiene que cumplir x; verás que en ambos casos es la
misma ecuación de 2º grado. Resuélvela y tendrás el valor de la proporción de dichos rectángulos,
llamados rectángulos áureos o rectángulos de oro.
A esta proporción x/1=x se le llama “número de oro” y se representa por la letra griega Φ.
¿Qué rectángulo se obtiene si se
usan como lados el lado de un
pentágono regular y su diagonal o el
el lado del pentágono y la longitud de
un brazo de la estrella pitagórica de
cinco puntas que se puede trazar con
las diagonales del pentágono. Aunque
a ti te pueda ser difícil probarlo la
respuesta es “El rectángulo áureo”
Así siempre que nos encontremos
con el pentágono regular podemos
suponer que nos hemos encontrado
indirectamente con el rectángulo
áureo.
ACTIVIDAD 4b: Resolviendo la ecuación x=(1/x)+1 con calculadora.
Escribe 1 en la pantalla de tu calculadora y calcula su inverso (tecla de 1/x) luego suma 1 da a la
tecla = y anota el resultado (que será 1/1+1=2) no borres el resultado y repite el proceso (tecla de
1/x) y luego +1= ; anota el resultado y repite el proceso,….
Los resultados formará una sucesión 1, 2, 1’5,…… síguela cuanto puedas. ¿A qué número nos
acercamos cada vez más?.
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ACTIVIDAD 5: Ampliando rectángulos. La sucesión de Fibonacci
Considera la sucesión de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ….. donde, a partir del tercero, cada número
se obtiene sumando los dos anteriores y usémosla para construir rectángulos añadiendo cuadrados de
lados los número de dicha sucesión del siguiente modo:
Partimos de un cuadrado de lado 1 (el central no sombreado) y añadimos a la izquierda otro igual (el
sombreado) con lo que, si los consideramos juntos, hemos formado un rectángulo de lados 1 y 2.
Añadimos ahora arriba un cuadrado de lado 2 y luego a la derecha otro de lado tres y seguimos así el
proceso añadiendo cuadrados en sentido de las agujas del reloj.
Sigue el proceso en la cuadrícula inferior tantas veces como puedas y anota la sucesión de
proporciones que tienen dichos rectángulos (comenzaríamos por 1,2, 1’5,….). ¿A qué rectángulo se van
pareciendo cada vez más los rectángulos de Fibonacci que obtenemos?
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ACTIVIDAD 6: Espirales equiangulares.
En la figura que sigue tenemos 12 semirectas, con
origen común O, que numeraremos en sentido de las
agujas del reloj comenzando por la retintada A. En ella
tenemos un punto P a 1 cm. de distancia de O,
señálalo mejor con tu bolígrafo. Consigue con tu
calculadora los productos 1x1’1, 1x(1’1)2, 1x(1’1)3,… y
úsalos como distancias en cms. a O para marcar otros
puntos sobre las otras semirectas sucesivamente.
Marca así unos 20 puntos dando más de una vuelta;
luego los unes por orden ,a mano, para obtener una
espiral que como verás se abre en cada paso más
O
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Remolinos de M.C. Escher, 1957
P
A
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ACTIVIDAD 7: Decoraciones periódicas. Frisos.
Algunas decoraciones y mosaicos tienen una característica que se llama periodicidad y es que
pueden descomponerse en zonas iguales de forma que toda la decoración podría hacerse
componiéndola con una de dichas zonas o figura básica sólo trasladando dicha figura en una o dos
direcciones (sin someterla a giros ni reflexiones). En las figuras que siguen se aprecia dicha
característica en la celosía izquierda y en el mosaico de la derecha, donde se han marcado las líneas
paralelas que delimitan tales figuras básicas iguales. No ocurre así con el mosaico central; no es posible
descomponerlo en zonas iguales trazando líneas paralelas en dos direcciones, por lo que no es
periódico.
Si las figuras básicas se trasladan sólo en una dirección
se obtiene una banda que se llama friso. La fotografía a la
derecha de este párrafo contiene tres bandas friso. Cada
friso puede descomponerse también en figuras básicas
iguales por trazado de líneas paralelas de una sola
dirección perpendiculares a la dirección de la banda.
Descompón en figuras básicas iguales los
frisos de esta última figura superior y la
decoración o mosaico periódico a la izquierda
de este párrafo.
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ACTIVIDAD 8: Construyendo frisos.
a) Imagina que dispones de muchas baldosas cuadradas iguales a la de la derecha y que sólo
puedes trasladar o girar, ya que no viene decoradas por detrás, Construye con ellas bandas
frisos de la misma anchura de la baldosa que te parezcan geométricamente diferentes.
b) Imagina ahora que dispones de dos tipos de baldosas como las que están aquí a
la derecha. ¿Qué nuevas bandas frisos de la misma anchura de las baldosas
puedes construir?
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ACTIVIDAD 9: Simetrías de una figura. Clasificando frisos.
Los movimientos básicos a que puede
someterse una figura plana sin que se
modifique su forma ni su tamaño (isometrías)
son los 4 que tienes a la izquierda. De ellos
quizás te sea más novedoso el movimiento o
transformación
llamada
“reflexión
en
deslizamiento” que consiste en una traslación
seguida de una reflexión de “eje espejo”
paralelo a la traslación; algo así como el
movimiento de nuestras huellas de los pies en
la arena cuando caminamos.
Si una figura se somete a uno de tales
movimientos y permanece inalterada (vuelve
a superponerse con ella misma) se dice que
tiene ese movimiento por simetría o que
dicho movimiento es una simetría de la
figura. Si un cuadrado se refleja sobre una
línea que contenga a la diagonal el nuevo
cuadrado se superpone con el anterior y
entonces decimos que la reflexión sobre la
diagonal es una simetría del cuadrado.
Según las simetrías que tenga una figura se pueden clasificar para distinguirlas matemáticamente.
Así puede hacerse también con las bandas frisos, las cuales hemos de suponer que son infinitamente
largas para su estudio. Aquí tienes un algoritmo para clasificar un friso de acuerdo a las simetrías que
tiene, con un par de ejemplos de preguntas y respuesta que hay que hacerse sobre él.
Úsalo para clasificar los frisos que has construido en la actividad anterior y así sabrás realmente
cuantos son geométricamente diferentes (como ves sólo hay 7 tipos distintos).
En la notación se usa la m como inicial de “mirror” (“espejo” en inglés) y g como inicial de “glide” (“deslizamiento” en inglés).
Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez
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