Funciones hiperbólicas

Capítulo 1
Funciones hiperbólicas
1.1.
Funciones hiperbólicas directas e inversas
A causa de la semejanza que existe entre la circunferencia y la hipérbola, se plantea la cuestión
de si habrá un conjunto de magnitudes o funciones que se correspondan con la hipérbola de la misma
manera que las funciones circulares se corresponden con la circunferencia. Esas funciones existen
y se denominan funciones hiperbólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente
hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola.
En la figura, se ha dibujado un cuadrante M N P de la circunferencia x2 + y 2 = a2 y de la hipérbola
x2 − y 2 = a2 , y para un punto cualquiera P de ambas curvas la abscisa es x = 0Q, la ordenada es
y = QP y el radio es a = 0M . En el caso de la circunferencia, cuando θ es el ángulo circular Q0P ,
las funciones circulares son:
x
y
Senθ = , Cosθ = , etc.
a
a
Análogamente, una vez definido convenientemente el ángulo hiperbólico ϕ, las funciones hiperbólicas son:
y
x
Senhϕ = , Coshϕ = , etc.
a
a
Sin embargo, como el ángulo hiperbólico no es el ángulo ordinario Q0P deberemos proceder a
su definición. Con este objeto comenzaremos por desarrollar una importante propiedad de la circunferencia. Designemos por u el área del sector circular M 0P . Puesto que el área de un círculo es igual a 12 (radio · longitud de la circunferencia), el área de un sector circular será igual a
1
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
2
1
2 (radio
· longitud del arco), siendo el arco aquella parte de la circunferencia que limita al sector.
Por lo tanto, en la figura
1
reaA = a(arcoM P ).
2
Pero cuando θ = ∠M 0P , se verifica que arcoM P = aθ. Por consiguiente,
A=
2A
1
a(aθ), donde θ = 2
2
a
(1.1)
Es decir, que en toda fórmula cuando aparece un ángulo circular se puede sustituir por el área
del sector correspondiente al ángulo multiplicada por a12 . Por este motivo se llama a veces a A
ángulo sectorial, y la magnitud theta expresada en función de A por medio de la relación θ = 2A
a2
es el correspondiente ángulo circular.
Utilizando el ángulo circular así expresado, las funciones circulares de la circunferencia serán,
pues,
(
y
2A
a = Sen a2
x
2A
a = Cos a2
En el caso de la hipérbola, no se usa el ángulo ordinario M 0P , y el ángulo hiperbólico se define
como 2A
a2 , en que A es el área del sector hiperbólico M 0P de la figura y a = 0M . Las funciones
hiperbólicas quedan entonces definidas por las fórmulas
(
y
2A
a = Senh a2
(1.2)
x
2A
a = Cosh a2
en las que x y y son las coordenadas de un punto P de la hipérbola equilátera. Las demás funciones
hiperbólicas se definen como sus análogas de trigonometría circular y entre ellas existen las mismas
relaciones como, por ejemplo,
T anhϕ =
Senhϕ
,
Coshϕ
Cotϕ =
Coshϕ
, etc.
Senhϕ
Si recordamos que al hablar del ángulo hiperbólico correspondiente a un determinado punto P de la
hipérbola equilátera, no nos referimos al ángulo ordinario M 0P como en el caso de la circunferencia,
sino el ángulo hiperbólico, podremos escribir, como en (1.1) para la circunferencia, para el ángulo
hiperbólico correspondiente al área A del sector:
ϕ=
2A
a2
(1.3)
y las fórmulas (1.2) se pueden escribir
(
y
a
x
a
= Senhϕ
= Coshϕ
(1.4)
que corresponden a las fórmulas corrientes de las funciones circulares. El resto de las funciones
hiperbólicas se expresan en función del radio a y de las coordenadas x y y, por medio de las relaciones ya conocidas.
Existen muchas, interesantes y útiles relaciones entre las funciones hiperbólicas, cuyo conjunto
forman lo que a veces se llama trigonometría hiperbólica. Las funciones exponenciales e hiperbólicas, están estrechamente relacionadas, tienen enorme importancia en electricidad, principalmente
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3
en telefonía, telegrafía, cables de transmisión, y también en la teoría de la máquina de vapor, motores de gasolina, compresores de aire, y en muchas otras ramas de la física y de la físico-química.
Como vamos a ver ahora, las funciones hiperbólicas están estrechamente relacionadas con el
número e. El área A = M 0P M en el caso de la hipérbola equilátera, está dada por
1
x+y
A = a2 loge
2
a
De aquí,
loge
x+y
a
=
2A
x+y
2A
⇒
= e a2
a2
a
y según la fórmula (1.2), resulta
x+y
= eϕ
a
(1.5)
Ahora bien, la ecuación de la hipérbola es
2
2
x −y =a
2
⇒
x+y
a
x−y
a
=1
Si dividimos miembro a miembro esta ecuación y la (1.5), se obtiene
x−y
1
= ϕ
a
e
⇒
x−y
= e−ϕ
a
Esta ecuación y la (1.5) se pueden escribir:
x y
+ = eϕ
a a
x y
− = e−ϕ
a a
Restando miembro a miembro (1.7) de (1.6), los términos
(1.6)
(1.7)
x
a
se reducen, y se obtiene
y
1
2y
= eϕ − e−ϕ ⇒
= (eϕ − e−ϕ )
a
a
2
(1.8)
Análogamente, sumando miembro a miembro las ecuaciones (1.6) y (1.7) se obtiene
x
1
= (eϕ + e−ϕ )
a
2
(1.9)
Ahora bien, en las ecuaciones (1.8) y (1.9) y en las ecuaciones (1.4), x y y son las mismas coordenadas de un punto P de la hipérbola y a es el radio hiperbólico. Comparando esas ecuaciones,
tendremos
(
Senhϕ = 21 (eϕ − e−ϕ )
(1.10)
Coshϕ = 21 (eϕ + e−ϕ )
y mediante estas ecuaciones podremos, gracias a las relaciones ya conocidas, expresar también la
tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas en función de las funciones exponenciales.
Estos son los resultados que buscábamos al investigar las relaciones que existen entre las funciones
hiperbólicas y el número e.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
4
Gracias a estas ecuaciones podremos expresar directamente las funciones hiperbólicas de un
número cualquiera, en función de las funciones exponenciales, sin hacer ninguna referencia a la
hipérbola, y eso es lo que se suele hacer frecuentemente. Hay que sobrentender, sin embargo, que
la relación hiperbólica, se use explícitamente o no, es la base de las ecuaciones.
Despejando en las ecuaciones (1.10) eϕ y e−ϕ , se pueden expresar también las exponenciales en
función de las funciones hiperbólicas. En efecto, sumando primero las dos ecuaciones se eliminan
las exponenciales negativas, y restando la primera de la segunda, se eliminan los términos positivos,
teniendo así los resultados
(
eϕ = Coshϕ + Senhϕ
(1.11)
e−ϕ = Coshϕ − Senhϕ
Esas dos notables fórmulas dan la función exponencial e±ϕ en función de las funciones hiperbólicas.
1.1.1.
Función seno hiperbólico
El seno hiperbólico se define en R, con la fórmula
f (x) =
1 x
(e − e−x )
2
Dado que
1
1
1 (−x)
[e
− e−(−x) ] = (e−x − ex ) = − (ex − e−x ) = −f (x)
2
2
2
la función f (x) = Senhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y el centro de simetría de la curva. No tiene asíntotas.
La inversa de f (x) = Senhx, se establece de la siguiente manera:
f (−x) =
Figura 1.1: f(x)=Senhx y f(x)=AreaSenhx
y=
de donde
p
1 x
(e − e−x ) ⇒ e2x − 2yex − 1 = 0 ⇒ x = ln y ± 1 + y 2
2
p
AreaSenhx = ln x + 1 + x2 , x ∈ R
Dado que
f (−x) = AreaSenh(−x) = −AreaSenhx = −f (x)
la función f (x) = AreaSenhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de
coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de la simetría de la curva. Carece de asíntotas.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejemplo
1.1
5
Determine el dominio de la siguiente expresión:
f (x) = Senh
2x2 − 1
x+1
− Sen 2
4x2 − 1
6x − x − 1
Solución
La expresión está determinada si se cumple lo siguiente:
1
1
y x 6=
2
2
1
1
6x2 − x − 1 6= 0 ⇒ (2x − 1)(3x + 1) 6= 0 ⇒ x 6= − y x 6=
3
2
Por lo tanto, el dominio de la función es: x ∈ R\ − 21 , − 13 , 12 .
4x2 − 1 6= 0 ⇒ (2x − 1)(2x + 1) 6= 0 ⇒ x 6= −
1.1.2.
Función coseno hiperbólico
El coseno hiperbólico se define en R, con la fórmula
f (x) =
1 x
(e + e−x )
2
Dado que
1
1
1 −x
(e + e−(−x) ) = (e−x + ex ) = (ex + e−x )
2
2
2
la función f (x) = Coshx es par; para x < 0 decrece desde +∞ hasta 1, para x > 0 crece desde 1
hasta +∞.
f (−x) =
Tiene un mínimo en el punto (0, 1): no tiene asíntotas. La curva está situada simétricamente
con respecto al eje Y .
La inversa de f (x) = Coshx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.2: f(x)=Coshx y f(x)=AreaCoshx
y=
p
1 x
(e + e−x ) ⇒ e2x − 2yex + 1 = 0 ⇒ x = ln y ± y 2 − 1
2
de donde
p
AreaCoshx = ln x + x2 − 1 , x ≥ 1. (AreaCoshx > 0es valor principal)
La expresión f (x) = AreaCoshx no es par ni impar, es biforme y existe sólo para los valores de
x ≥ 1. La curva es simétrica con respecto al eje X; en el punto (1, 0) es tangente a la recta vertical
x = 1, después y crece en valor absoluto.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejemplo
1.2
6
Demuestre la siguiente propiedad
Cosh2 x − Senh2 x = 1
Solución
Cosh2 x − Senh2 x =
=
=
=
Ejemplo
1.3
2 x
2
ex + e−x
e − e−x
−
2
2
2x
x −x
−2x
e + 2e e + e
e2x − 2ex e−x + e−2x
−
4
4
e2x + 2ex e−x + e−2x − e2x + 2ex e−x − e−2x
4
4ex e−x
= 1.
4
Demuestre la siguiente propiedad
Senh(x + y) = SenhxCoshy + CoshxSenhy
Solución
Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el
Senhx y Coshx.
ex + e−x ey − e−y
ex − e−x ey + e−y
·
+
·
SenhxCoshy + CoshxSenhy =
2
2
2
2
x y
x −y
−x y
−x −y
x y
x −y
−x y
−x −y
e e +e e −e e −e e
e e −e e +e e −e e
=
+
4
4
ex ey + ex e−y − e−x ey − e−x e−y + ex ey − ex e−y + e−x ey − e−x e−y
=
4
2ex ey − 2e−x e−y
ex+y − e−x+y
=
=
= Senh(x + y).
4
4
Ejemplo
1.4
Demuestre la siguiente propiedad
Senh2x = 2SenhxCoshx
Solución
Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el
Senhx y Coshx:
2SenhxCoshx
=
=
=
1.1.3.
ex − e−x ex + e−x
·
2
2
x x
x −x
e e + e e − e−x ex − e−x e−x
2
e2x − e−2x
= Senh2x.
2
2·
Función tangente hiperbólica
La tangente hiperbólica se define en R, de la siguiente manera:
f (x) =
ex − e−x
ex + e−x
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
7
Dado que
ex − e−x
e−x − e−(−x)
e−x − ex
=− x
= −f (x)
= −x
x
−x
−(−x)
e +e
e + e−x
e +e
la función f (x) = T anhx es impar, monótona creciente desde -1 hasta + 1. El origen de coordenadas
es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: y = ±1.
La inversa de f (x) = T anhx, se establece de la siguiente manera:
f (−x) =
Figura 1.3: f(x)=Tanhx y f(x)=AreaTanhx
ex − e−x
y= x
e + e−x
⇒ e
2x
1
1+y
⇒ x = ln
=
1−y
2
1+y
1−y
de donde
1
1+x
ln
, −1 < x < 1.
2
1−x
La expresión f (x) = AreaT anhx es impar y existe sólo para los valores de |x| < 1; desde −∞
hasta +∞ es monótona creciente. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro
de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: x = ±1.
AreaT anhx =
Ejemplo
1.5
Demuestre la siguiente propiedad
T anhx + T anhy
T anh(x + y) =
1 + T anhxT anhy
Solución
Para probar esta identidad, utilizaremos las fórmulas deducidas anteriormente para Senhx y
Coshx:
Sen(x + y)
SenhxCoshy + CoshxSenhy
T anh(x + y) =
=
Cosh(x + y)
CoshxCoshy + SenhxSenhy
=
=
SenhxCoshy+CoshxSenhy
CoshxCoshy
CoshxCoshy+SenhxSenhy
CoshxCoshy
Senhy
Senhx
T anhx + T anhy
Coshx + Coshy
=
.
Senhx Senhy
1 + T anhxT anhy
1 + Coshx · Coshy
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1.1.4.
8
Función cotangente hiperbólica
La Cotangente hiperbólica se define en R\{0}, de la siguiente manera:
f (x) =
ex + e−x
ex − e−x
Dado que
e−x + ex
e−x + e−(−x)
ex + e−x
=
=
−
= −f (x)
e−x − ex
ex − e−x
e−x − e−(−x)
la función f (x) = Cothx es impar, para x = 0 tiene una discontinuidad. Para x < 0 decrece desde
-1 hasta −∞, para x > 0 decrece desde +∞ hasta +1. No tiene extremos ni puntos de inflexión.
Tiene tres asíntotas: x = 0, y = ±1.
La inversa de f (x) = Cothx, se establece de la siguiente manera:
f (−x) =
Figura 1.4: f(x)=Cothx y f(x)=AreaCothx
y=
de donde
ex + e−x
ex − e−x
⇒ e2x =
1
AreaCotx = ln
2
y+1
1
⇒ x = ln
y−1
2
x+1
x−1
y+1
y−1
,
x > 1 ó x < −1.
La función f (x) = AreaCothx es impar y existe sólo para los valores de |x| > 1. Para −∞ < x < −1
decrece desde 0 hasta −∞, para +1 < x < +∞ decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos ni
puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: y = 0, x = ±1.
Ejemplo
1.6
Demuestre la siguiente propiedad
AreaCothx = AreaT anh
1
x
Solución
Para probar esta identidad, se procede de la siguiente manera:
1 + x1
1
x+1
1
1
AreaCothx = ln
= ln
= AreaT anh .
2
x−1
2
x
1 − x1
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1.1.5.
9
Función secante hiperbólica
La Secante hiperbólica se define en R, de la siguiente manera:
f (x) =
2
ex + e−x
Dado que
f (−x) =
e−x
2
2
2
= x
= f (x)
= −x
x
−(−x)
e +e
e + e−x
+e
la función f (x) = Sechx es par; para x < 0 crece desde 0 hasta 1, para x > 0 decrece desde 1 hasta
0. Tiene un máximo en el punto (0, 1). No tiene extremos, la curva está situada simétricamente
con respecto al eje Y . Tiene una asíntota: y = 0.
La inversa de f (x) = Sechx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.5: f(x)=Sechx y f(x)=AreaSechx
y=
2
ex + e−x
⇒ ye2x − 2ex + y = 0 ⇒ x = ln
1
±
y
r
1
−1
y2
de donde
AreaSechx = ln
1
+
x
r
!
1
− 1 , 0 < x ≤ 1 (AreaSechx > 0es valor principal)
x2
la función f (x) = AreaSechx no es par ni impar y existe sólo para los valores de 0 < x ≤ 1. Para
0 < x ≤ 1 decrece desde +∞ hasta 0. No tiene asíntotas.
1.1.6.
Función cosecante hiperbólica
La Cosecante hiperbólica se define en R\{0}, de la siguiente manera:
f (x) =
2
ex − e−x
Dado que
f (−x) =
2
2
2
= −x
=− x
= −f (x)
e − ex
e − e−x
e−x − e−(−x)
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
10
Figura 1.6: f(x)=Cschx y f(x)=AreaCschx
la función f (x) = Cschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta −∞, para x > 0 decrece desde
+∞ hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene
dos asíntotas: y = 0, x = 0. La inversa de f (x) = AreaCschx, se establece de la siguiente manera:
r
2
1
1
2x
x
y= x
⇒
ye
−
2e
−
y
=
0
⇒
x
=
ln
±
+
1
e − e−x
y
y2
de donde
AreaCschx = ln
1
+
x
r
!
1
+1 ,
x2
x 6= 0.
la función f (x) = AreaCschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta −∞, para x > 0 decrece
desde +∞ hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen.
Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0.
1.2.
Tarea
1.
Demuestre las identidades:
a) Sech2 x + T anh2 x = 1;
b) Coth2 x − Coth2 x = 1;
c) SenhxSenhy = 21 [Cosh(x + y) − Cosh(x − y)];
d) SenhxCoshy = 12 [Senh(x + y) + Senh(x − y)];
e) CoshxCoshy = 21 [Cosh(x + y) + Cosh(x − y)];
f ) Senh(x − y) = SenhxCoshy − CoshxSenhy;
g) Cosh(x + y) = CoshxCoshy + SenhxSenhy;
h) Cosh(x − y) = CoshxCoshy − SenhxSenhy.
2.
Demuestre las identidades:
a) (Coshx + Senhx)n = Coshnx + Senhnx;
b) Coshnx = 12 [(Coshx + Senhx)n + (Coshx − Senhx)n ];
c) Senhnx = 12 [(Coshx + Senhx)n − (Coshx − Senhx)n ].
3.
Utilizando las igualdades
Senhn x =
1 x
1
(e − e−x )n ; Coshn x = n (ex + e−x )n .
2n
2