Presentacion 6

Martingalas
Martingalas
Mogens Bladt
September 30, 2008
Mogens Bladt
Martingalas
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{Xn }n∈IN un proceso estocástico.
Fn σ–álgebras crecientes tal que Xn es Fn –medible (filtración).
Por ejemplo, Fn = σ(X0 , X1 , ..., Xn ) en muchos casos.
Definición
{Xn }n∈IN es una {Fn }–martingala si IE|Xn | < ∞ para todo n ∈ IN y
IE(Xn+1 |Fn ) = Xn
c.s.
para todo n ∈ IN.
Similarmente {Xn }n∈IN se llama una sub-(super-)martingala si en cambio
de igualdad tenemos desigualdad ≥ (≤).
Si {Xn }n∈IN es una martingala entonces IE(Xn+k |Fn ) = Xn para todo
k, n ∈ IN por la ley iterativa de esperanzas condicionales.
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Teorema
(Teorema de convergencias)
Si {Xn }n∈IN es una sub–martingala tal que
sup IE(Xn+ ) < ∞
n≥1
entonces {Xn }n∈IN converge c.s. a un limite integrable X∞ , i.e.
IE|X∞ | < ∞. Si
sup IE(Xn2 ) < ∞
n≥1
entonces {Xn }n∈IN converge a X∞ en L1 y X∞ ∈ L2 .
Si {Xn }n∈IN es una super–martingala positiva entonces {−Xn }n∈IN es una
sub–martingala (negativa) y por lo tanto converge c.s. según el teorema
arriba.
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Definición
Un tiempo de paro τ con respecto a la filtracin Fn es una variable
aleatoria tomando valores en IN ∪ {∞} tal que {τ = n} ∈ Fn para todo n.
Teorema
(Teorema de paro opcional)
Si {Xn }n∈IN es una martingala y τ un tiempo de paro acotada, entonces
IE(Xτ ) = IE(X0 ).
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Dem : τ ≤ n0 para alguna constante. Entonces
IEXτ
= IE
n0
X
!
1{τ = n}Xn
n=0
=
n0
X
IE (1{τ = n}Xn )
n=0
=
n0
X
IE (IE(Xn0 |Fn )1{τ = n})
n=0
=
=
n0
X
n=0
n0
X
IE (IE(1{τ = n}Xn0 |Fn ))
IE (1{τ = n}Xn0 )
n=0
= IE(Xn0 )
= IE(X0 )
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Teorema
Si {Xn }n∈IN es una martingala y τ un tiempo de paro lo cual es finito c.s.
y tal que
1. IE|Xτ | < ∞
2. limn→∞ IE (Xn 1{τ ≥ n}) = 0.
Entonces
IE(Xτ ) = IE(X0 ).
Dem : Sea τn = min(τ, n) = τ ∧ n, tiempos de paro acotados. Entonces
IE(X0 ) = IE(Xτn ).
|Xτ 1{τ ≤ n} ≤ |Xτ |.
Entonces aplica convergencia dominada. Como τ < ∞ c.s. se obtiene
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IE(X0 ) =
=
=
lim IE(Xτn )
n→∞
lim (IE(Xτn 1{τ ≤ n}) + IE(Xτn 1{τ > n}))
n→∞
lim IE(Xτ 1{τ ≤ n}) + lim IE(Xn 1{τ > n})
n→∞
n→∞
= IE(Xτ )
Teorema
Si {Xn }n∈IN es una martingala y τ un tiempo de tal que
1. IEτ < ∞.
2. IE (|Xn+1 − Xn ||Fn ) ≤ C < ∞ para algn constante C y
para todo n < τ .
Entonces
IE(Xτ ) = IE(X0 ).
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Dem : Sea Z0 = |X0 |, Zn = |Xn − Xn−1 | para n ≥ 1,
W = Z0 + Z1 + ... + Zτ .
Como Xτ = X0 + X1 − X0 + ... + Xτ − Xτ −1 =⇒ |Xτ | ≤ W .
IE(W ) =
=
=
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
IE (Zk 1{τ ≥ k})
IE (IE (Zk 1{τ ≥ k}|Fk−1 ))
IE (1{τ ≥ k}IE (Zk |Fk−1 ))
k=0
≤
∞
X
C IP(τ ≥ k)
k=0
∞
X
= C
(IP(τ = k) + IP(τ > k))
k=0
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Entonces IE(W ) ≤ C (1 + IE(τ )). =⇒ IE(W ) < ∞ =⇒ IE(|Xτ |) < ∞.
Como la suma converge, IE(Zk 1{τ ≥ k}) → 0 cuando k → ∞. Pero
|IE(Xk 1{τ > k})|
≤
IE(|Xk |1{τ > k})
≤
IE(|Xk |1{τ ≥ k})
≤
IE(W 1{τ ≥ k})
→ 0
cuando k → ∞ por convergencia dominada (W es integrable).
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Considera una caminata aleatoria {Sn }n∈IN , i.e.
Sn = X1 + ... + Xn
donde los Xi ’s son i.i.d. tal que IE|Xi | < ∞.
Sea Fn = σ(X0 , X1 , ..., Xn ).
Entonces {Sn − nIE(X1 )}n∈IN es una Fn –martingala,
La demostración es casi trivial:
IE(Sn+1 − (n + 1)IE(X1 )|Fn ) = IE(Xn+1 + Sn − (n + 1)IE(X1 )|Fn )
= IE(Xn+1 |Fn ) + Sn − (n + 1)IE(X1 )
= Sn − nIE(X1 ).
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Teorema
(Wald)
Si τ es un tiempo de paro para la caminata aleatoria arriba tal que
IE(τ ) < ∞, entonces
IE(Sτ ) = IE(τ )IE(X1 ).
Dem : Defina Yn = Sn − nIE(X1 ). Entonces IE(Yn ) = 0 y
IE(|Yn+1 − Yn ||Fn ) = IE(|Xn+1 − IE(X1 )||Fn )
≤ IE(|Xn+1 ||Fn ) + IE(|X1 |)
= IE(|Xn+1 |) + IE(|X1 |)
= 2IE(|X1 |) = C < ∞.
Entonces aplicando el teorema anterior, IE(Yτ ) = IE(Y0 ) = 0. Pero
Yτ = Sτ − τ IE(X1 ) por lo tanto IE(Sτ ) = IE(τ )IE(X1 ).
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En tiempo continua la teorı́a de martingalas es más involucrado. Sin
embargo, no contiene nuevas ideas que los que hemos visto en tiempo
discreto. En resumen:
Sea {Xt }t≥0 proceso estocástico. Un filtración {Ft }t≥0 es una familia
creciente de σ–álgebras. El proceso {Xt }t≥0 es una {Ft }t≥0 –martingala si
y solo si
IE(Xt+s |Ft ) = Xs
y si además IE(|Xt |) < ∞ para todo t ≥ 0 y si Xt es Ft –medible.
Definiciones de sub- y super–martingala es similar.
Un tiempo de paro τ esta definida de manera parecida como en tiempo
discreta, nada más que la expresión {τ = x} ya no tendrı́a sentido. En
cambio se defina el tiempo de paro τ como un variable aleatorio tal que
{τ ≤ t} ∈ Ft para todo t.
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Teorema
Si {Xt }t≥0 es una martingala y τ un tiempo de paro acotado, entonces
IE(Xτ ) = IE(X0 ).
Teorema
Si {Xt }t≥0 es una martingala y τ es un tiempo de paro finita con
IE(|Xτ |) < ∞ y limt→∞ IE(|Xt |1{τ > t}) = 0 entonces
IEXτ = IEX0 .
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