¿Logra Kripke establecer la unicidad del predicado veritativo

En defensa del punto fijo máximo como mejor reconstrucción de la noción de
verdad.
La solución que propone Tarski al problema de la indefinibilidad de la verdad que demuestra
con el teorema que lleva su nombre, nos deja en una situación un tanto incómoda cuando de las
intuiciones que tenemos acerca del predicado de verdad se trata.
Informalmente, el teorema dice que un lenguaje lo suficientemente fuerte como para expresar la
aritmética y en el que valga la lógica clásica resulta inconsistente, pues en un lenguaje como ese
puede formarse el Mentiroso (“Esta oración es falsa”).
Un caso de un lenguaje así es el lenguaje natural.
Lo que Tarski propone para evitar las contradicciones es reducir el poder expresivo del
lenguaje, de manera que en él no pueda ser expresado su propio predicado de verdad. De este
modo, el Mentiroso no puede siquiera formarse.
Supongamos un lenguaje L interpretado, con capacidad autorreferencial y que tiene un nombre
para cada una de las oraciones de L.
Establezcamos que m designa la oración –T(m).
Si T es interpretado como “la verdad” para L (i. e., si L contiene su propio predicado de
verdad), entonces –T(m) es el Mentiroso.
En el enfoque tarskiano, T no es interpretado como “la verdad”, de modo que -T(m) no es el
Mentiroso y no hay contradicción.
Pero el predicado de verdad de L, entonces, no puede ser definido más que recurriendo a un
metalenguaje L1. Esto conduce a una jerarquía infinita de lenguajes L, L 1, L2, L3…; en cada uno
se define el predicado de verdad para el lenguaje anterior.
¿Cómo afecta esto a nuestras intuiciones? No hay un solo predicado de verdad T, sino tantos
como subíndices puede obtener. Cada Tn determina una extensión, cada extensión es una
definición de la verdad. Hay tantos predicados de verdad como lenguajes en la jerarquía.
Para mostrar lo poco agradable de esta situación, consideremos el ejemplo siguiente:
Si en L tenemos la oración (1) “La nieve es blanca”, la verdad de (1) se expresa desde L 1. Una
oración como (2) “la nieve es blanca es verdadera” no puede (al igual que el Mentiroso y por las
mismas razones) formularse en L. (2) es una oración del metalenguaje L1 y su verdad se
determina desde otro metalenguaje L2. Así sucesivamente. El esquema T (“p” es verdadera si y
sólo si p) nos asegura que cada Tn sea un auténtico predicado de verdad.
Vemos, entonces, que (1) y (2) no forman parte del mismo conjunto, el predicado de verdad
para (1) no es el mismo que el predicado de verdad para (2).
Para nosotros, en tanto hablantes del lenguaje, esta no es una buena explicación de nuestro
predicado de verdad, dado que queremos que (1) y (2) formen parte del mismo conjunto,
queremos que la verdad de oraciones con términos semánticos y la verdad de oraciones sin
ellos sea la misma; queremos la unicidad de la verdad, y no esta ambigüedad extrema que
obtenemos de la teoría de Tarski1.
En defensa de nuestras intuiciones, entra en juego la opción kripkeana.
El objetivo de Kripke en “Outline of a theory of truth” es lograr que un lenguaje sea capaz de
contener su propio predicado de verdad (de modo que oraciones como (1) y (2) formen parte de
la misma extensión) y evitar, al mismo tiempo, las contradicciones. Para eso, rechaza la idea
según la cual, para cualquier oración, o bien es verdadera o bien es falsa: hay oraciones, en
particular, el Mentiroso, que no tienen un valor de verdad determinado.
Es por medio de su teoría de puntos fijos que Kripke logra este cometido: si, dado un lenguaje,
hay en él un predicado que se interpreta con un punto fijo, ese lenguaje es uno que contiene su
propio predicado de verdad.
El significado del predicado veritativo está dado por su extensión. Puesto que la
extensión determinada por las oraciones verdaderas es diferente en cada lenguaje,
también lo es el predicado en cuestión. Es en este sentido en el que el predicado de
verdad tarskiano es ambiguo.
1
Ahora bien, no parece ser este el único objetivo de su teoría; relacionado estrechamente con él
pero distinguible se encuentra un segundo objetivo: el de establecer la unicidad del predicado
veritativo. La intuición fundamental a recuperar es aquella según la cual siempre que
predicamos verdad, utilizamos el mismo concepto.
Veremos que, para responder a todas las intuiciones que rodean a nuestra noción de verdad y
para explicar ciertos conceptos fundamentales relacionados con ella, tales como la paradojicidad
de las oraciones, no alcanza con un solo punto fijo. Kripke muestra que existe una familia de
puntos fijos que nos sirven todos juntos como herramientas para explicar todo eso que queremos.
Cada uno de ellos es una posible reconstrucción de la noción de verdad; si no hay ninguno que
se seleccione como privilegiado, el concepto de verdad según esta teoría admite una
multiplicidad de interpretaciones posibles. Y si esto es así, no es claro en qué sentido logra
Kripke establecer su segundo objetivo, i. e., la unicidad del predicado veritativo.
Sostengo en este trabajo que sí hay razones que nos permiten seleccionar a uno de los puntos
fijos como la mejor de las reconstrucciones de la noción de verdad: ese punto fijo es el Punto
Fijo Máximo.
I. Dicho esto, veamos qué nos permite explicar y qué no, cada punto fijo:
Punto fijo mínimo (PFm): su construcción es la contraparte formal de la manera en que un
hablante aprende a usar el concepto de verdad. De acuerdo a lo que Kremer llama “principio
del punto fijo”, Kripke dice que:
“Podemos decir que tenemos derecho a afirmar (o negar) con respecto a una oración que es verdadera
precisamente cuando las circunstancias son tales que podemos afirmar (o negar) la oración misma.”2
El hablante puede, así, atribuir, en el primer paso del proceso de aprendizaje y guiado por este
principio, verdad a oraciones como “la nieve es blanca” (i. e., que no contengan términos
semánticos), y puede, a medida que reflexiona, aclarar gradualmente el concepto de verdad,
asignando cada vez más valores, de modo que incluya en la extensión de la verdad a oraciones
que contengan el término “verdadero”. Las únicas oraciones que obtendrán un valor de verdad
en este proceso son las fundadas3.
El PFm no permite explicar de manera satisfactoria la paradojicidad: en él no se diferencian las
oraciones infundadas y no paradójicas, como el Honesto (“Esta oración es verdadera”), y
aquellas infundadas y paradójicas, como el Mentiroso: todas permanecen indeterminadas.
Para eso necesitamos al punto fijo máximo (PFM), que asigna tantos valores de verdad como es
posible de manera consistente con el concepto intuitivo de verdad. De esto se sigue que la
atribución de valores de verdad no se lleva a cabo en el PFM de acuerdo a la fundamentación de
las oraciones, de modo que hay oraciones infundadas que obtienen un valor de verdad.
Se puede construir tanto un PFM que haga verdadera al Honesto como uno que la haga falsa.
Es importante notar que no hay un PFM que sea “el más grande”.
Hay otras oraciones, como
(a): O (a) o su negación es verdadera
que son infundadas, no paradójicas y verdaderas en todo punto fijo en el que tienen un valor de
verdad. Para explicar esta situación, Kripke propone la noción de punto fijo intrínseco (PFI).
Cualquier PFI es compatible con todos los otros puntos fijos, (“no asigna a ninguna oración un
valor de verdad que entre en conflicto con su valor de verdad en cualquier otro punto fijo” 4).
Los PFI forman una red (lattice): el más chico es el PFm, pero no es el único, pues oraciones
como (a) permanecen en él indeterminadas. El más grande (PFIM) asigna tantos valores de
Kripke, S., “Esbozo de una teoría de la verdad”, Instituto de Investigaciones
Filosóficas, UNAM, 1984, pp. 21-22.
3 Este punto fijo está de acuerdo con la teoría de la superveniencia de la semántica.
4 Op. Cit., pp. 34-35.
2
verdad como es posible de modo consistente con nuestra noción de verdad, siempre y cuando
se mantenga la compatibilidad con los otros puntos fijos.
Tampoco este punto fijo se construye de acuerdo a la idea de fundamentación, ni explica la
diferencia entre oraciones infundadas no paradójicas y paradójicas.
De todos estos, el único que asigna valores de verdad arbitrarios es el PFM.
II. Una vez establecida la capacidad explicativa que logramos considerando cada punto fijo,
¿podemos elegir uno como la interpretación adecuada del concepto de verdad? Como dijimos,
no es posible con un solo punto fijo explicar todo lo que queremos explicar ni reflejar todas las
intuiciones que queremos reflejar; cualquiera que elijamos implica renunciar a alguna intuición
o perder poder explicativo. ¿Debemos quedarnos con todos ellos como interpretaciones posibles
de nuestra noción de verdad?
Podemos hacerlo, pero el costo es renunciar a la unicidad del predicado de verdad5.
Si creemos que el predicado veritativo de nuestro lenguaje es uno solo, no me parece deseable
una situación en la que tenemos una multiplicidad de puntos fijos, todos como reconstrucciones
igualmente adecuadas del predicado en cuestión.
Es intuitivo cada punto fijo cuando pensamos que cada uno recoge alguna intuición en relación
a la noción de verdad; pero la pretensión es reflejar todas esas intuiciones a la vez, y sólo
podemos tener un punto fijo como interpretación del concepto de verdad, si bien cualquiera de
ellos, dado que en todos los casos posibles de interpretación, estamos frente a un lenguaje que
contiene su propio predicado de verdad.
Esta multiplicidad, vale aclarar, no es análoga a la ambigüedad tarskiana: las oraciones que
formaban parte de distintas extensiones de acuerdo al subíndice correspondiente al predicado
de verdad que se les aplicaba, quedan ahora abarcadas en un solo punto fijo, en una sola
extensión que es común a todo punto fijo. La multiplicidad no tiene que ver en Kripke con la
necesidad de un metalenguaje desde el que se asignen valores de verdad a las oraciones de un
lenguaje de nivel inferior, sino que es, por así decir, anterior a nuestra elección: tenemos ante
nosotros todas estas posibilidades de interpretación válidas, los distintos puntos fijos, y
debemos elegir una. Una vez que elegimos, el predicado de verdad es uno solo.
La pregunta es, entonces, ¿hay razones determinantes para elegir un punto fijo sobre los demás?
A mí me parece que sí y, entre estas razones, se cuenta que podemos hacer esto sin perder
poder explicativo.
Si bien Kripke no recomienda firmemente ningún punto fijo como interpretación correcta del
predicado veritativo, considera que el PFm “es probablemente el modelo más natural para el
concepto intuitivo de verdad”6, y que el PFIM “es, en tanto que modelo, un objeto de interés
teórico especial.”7
Propongo, en cambio, seleccionar como mejor interpretación al PFM.
Ante todo, parece necesario aclarar qué estamos entendiendo por “intuitivo” cuando nos
referimos a nuestras afirmaciones.
El principio fundamental a la hora de pensar el concepto de verdad, es el principio del punto
fijo (podemos decir que tenemos derecho a afirmar (o negar) con respecto a una oración que es
verdadera precisamente cuando las circunstancias son tales que podemos afirmar (o negar) la
oración misma).
Teniéndolo en mente, considero que intuitivas no son solamente las afirmaciones cotidianas o
usuales; si así fuera, no es tan claro en qué sentido, p. ej., el Honesto ha de llamarse intuitiva,
además de que deberíamos, quizá, reconocer diferentes intuiciones; al menos, distinguir las del
hablante común y las del filósofo. Intuitivas son, en cambio, todas las afirmaciones que podemos
hacer sin entrar en conflicto con el principio del punto fijo, aunque nunca las hagamos y aunque
el principio no sea suficiente para determinar su valor de verdad. Así pensada la cuestión, el
Honesto sí es una afirmación intuitiva, cuyo comportamiento, por lo tanto, es necesario
explicar.
5
6
7
Esta es la posición de Kremer en su texto “Kripke and the logic of truth”.
Op. Cit., p. 33.
Op. Cit., p. 36.
Volvamos al PFM. De acuerdo al teorema de Zorn, todo punto fijo puede ampliarse a un PFM.
De esta manera, una vez obtenido el PFm L , nada nos impide agregar en (o a partir de) L
todas aquellas oraciones infundadas a las que intuitivamente podemos asignar un valor de
verdad. Obtendremos diferentes PFM de acuerdo al valor de verdad que otorguemos a las
oraciones que pueden ser tanto verdaderas como falsas (es el caso del Honesto).
Creo que hacer esto no va en contra de la intuición acerca del aprendizaje del concepto de
verdad de un hablante del lenguaje, que guiaba la construcción del PFm: una vez que el sujeto
asignó valores de verdad a todas las oraciones fundadas, hecho que muestra que aprendió a
atribuirlos a oraciones que contienen términos semánticos, es capaz de considerar oraciones
infundadas y asignarles, si corresponde, un valor veritativo teniendo en cuenta si al hacerlo
viola o no el principio del punto fijo. Este paso implica un mayor nivel de reflexión8.
Esto con respecto a cuestiones intuitivas o pre-teóricas.
Con respecto a cuestiones teóricas, si tenemos en cuenta sólo al PFm o a los PFIs, hay conceptos
que no podemos explicar; veremos que, por el contrario, sí es posible definir utilizando sólo a
los PFMs todos los conceptos que Kripke define valiéndose también de los otros puntos fijos.
Esto implica cambiar las caracterizaciones kripkeanas, si bien en ningún caso resultan alterados
los conjuntos de oraciones seleccionadas.
Voy a comenzar con la noción de valor de verdad intrínseco. Recordemos que Kripke dice que
una oración tiene valor de verdad intrínseco cuando tiene el mismo valor de verdad en todo
punto fijo en el que tiene un valor de verdad. En términos de los PFMs, podemos decir que una
oración tiene valor de verdad intrínseco cuando tiene el mismo valor de verdad en todo PFM.
Los PFMs no tienen ninguna extensión en común (i. e., no son compatibles entre sí), pero sí
tienen una parte de su extensión en común: esa parte que es compatible con todas las demás está
formada por oraciones cuyo valor de verdad es intrínseco. La parte de la extensión que es
incompatible, corresponde a la asignación de valores de verdad arbitrarios. La intersección de
todos los PFM es el PFIM. Los demás PFI están incluidos en el PFIM.
A partir de esto, podemos reformular la definición que brinda Kripke de “paradójico”, según la
cual “una oración es paradójica si no tiene valor de verdad en ningún punto fijo” 9, diciendo que
una oración es paradójica si no tiene valor de verdad en ningún PFM. Puede demostrarse que
las mismas oraciones resultan paradójicas de acuerdo a ambas caracterizaciones 10.
También es posible distinguir las oraciones fundadas de las infundadas con valor de verdad
intrínseco y todas estas de las infundadas con valor de verdad arbitrario, de la siguiente
manera:
(a) Las oraciones que tienen el mismo valor de verdad en todo PFM y ese valor depende en
última instancia de oraciones que no contienen términos semánticos, son fundadas.
Podrían estas oraciones agregarse al comienzo de la construcción del punto fijo: en lugar de
iniciar el proceso con el predicado de verdad absolutamente indeterminado, (con una extensión
y antiextensión vacías), podemos estipular que el Honesto forma parte de la extensión de la
verdad desde el principio. Pero esto no reflejaría adecuadamente la intuición de que oraciones
del Honesto adquieren un valor de verdad en un nivel más avanzado de la reflexión.
9 Op. Cit., p. 33.
10 Sea S una oración cualquiera. 1. Primero probamos la dirección trivial. Supongamos que S es
Kripke-paradójica; por definición, carece de valor de verdad en todo punto fijo (PF); luego S
carece de valor de verdad en todo PFM.
2. Ahora probamos la otra dirección. Para esto, usamos el siguiente hecho acerca de los PFs: si
PF2 es una extensión de PF1, entonces es una extensión conservativa de PF1 (esto es, para
cualquier oración S´, si S´ tiene un valor de verdad en el PF 1, tiene el mismo valor de verdad en
el PF2). Supongamos que S no es Kripke-paradójica; por definición, hay un PF en el cual S tiene
un valor de verdad; llamémoslo PFa; por el lema de Zorn, el PFa puede ser extendido a un PFM,
llamémoslo, PFMa; dado que PFMa es una extensión de PFa, es una extensión conservativa de
PFa; de modo que S tiene un valor de verdad PFM a; luego existe un PFM en el cual S tiene un
valor de verdad.
8
(Le agradezco a Ramiro esta demostración.)
(b) Las oraciones que tienen el mismo valor de verdad en todo PFM pero no cumplen con la
segunda condición (i. e., su valor de verdad no puede establecerse recurriendo a oraciones sin
términos semánticos), son infundadas pero con valor de verdad intrínseco.
(c) Las oraciones cuyo valor de verdad no es el mismo en todo PFM, son infundadas con valor
de verdad arbitrario11.
Cada PFM incluye a todas las oraciones de los otros puntos fijos (del PFm y de los PFI) y no
cambia los valores de verdad asignados por ninguno de ellos; lo que hace es agregar oraciones
tanto a la extensión de la verdad como a la de la falsedad.
Ahora bien, estas oraciones que se agregan pueden ser tanto verdaderas como falsas (excepto
las oraciones intrínsecamente verdaderas o falsas). Desde el momento en que asignar valor de
verdad a una oración es arbitrario, no puede haber un único PFM; habrá siempre, al menos,
dos: uno que asigne el valor “verdadero”, otro el valor “falso”. Es el concepto de PFM el que, me
parece, mejor reconstruye la noción de verdad. Claro que, a la hora de construir un modelo para
un lenguaje e interpretar un predicado de ese lenguaje como “la verdad”, debemos elegir sólo a
uno de esos PFM; y aquí sí no hay ninguna razón que nos incline por uno más que por otro.
Sostengo, de todos modos, que esto no es un problema: dado que las verdades que son
diferentes en cada PFM son sólo las arbitrarias, también resulta arbitrario qué PFM elijamos
como interpretación.
Mi defensa del concepto de PFM como mejor análisis de la noción de verdad, implica que
oraciones con términos semánticos y cuyo valor de verdad no depende de otras oraciones que
no contienen términos semánticos, sean legítimas predicaciones de verdad. De esto se sigue o
bien que, sin mayor justificación (quizás sólo por apelación a nuestras intuiciones), oraciones
infundadas tienen un valor de verdad determinado, o bien que me comprometo con hechos
semánticos que justifiquen su inclusión en la extensión (y antiextensión) de la verdad, y vuelvan
lo infundado, fundado. Esta última opción va en contra de la teoría de la superveniencia de la
semántica, según la cual la verdad de oraciones con términos semánticos superviene (depende)
de la verdad de oraciones que no contienen términos semánticos; es decir: no hay hechos
semánticos.
Elijo comprometerme con hechos semánticos. Esto me obliga a dar una explicación de qué cosa
sea un hecho semántico.
Hay aspectos, que podemos llamar normativos, que explican que en determinados contextos
sea correcto afirmar oraciones como el Honesto. El principio del punto fijo, si bien para las
oraciones arbitrarias no determina un valor de verdad, me permite tanto afirmarlas como
negarlas (es correcto afirmar o negar el Honesto). Creo, simplemente, que es este el hecho
semántico que justifica que tengan un valor de verdad.
En relación a las oraciones con valor de verdad intrínseco, pero infundadas en sentido
kripkeano, es correcto afirmarlas siempre (es el caso de “Esta oración es verdadera o no es
verdadera”) o negarlas siempre. Ese es el hecho semántico que justifica su verdad o falsedad,
según corresponda.
Oraciones paradójicas, como el Mentiroso, no es correcto afirmarlas ni negarlas en ningún
contexto, de modo que no existe un hecho semántico (ni de ningún tipo) en virtud del cual
adquieran un valor de verdad.
Según esta caracterización, un hecho semántico no es el correlato de una oración verdadera o
falsa, como podemos pensar que sí lo son los hechos no-semánticos; la noción de “hecho”
involucrada, en cambio, es mucho más débil, pero suficiente para justificar que oraciones
infundadas a la Kripke formen parte de la extensión (o antiextensión) de la verdad.
La ventaja que tiene el PFM es que, al asignar tantos valores veritativos como es
consistentemente posible, es el único que deja sin atribuir algún valor de verdad, i. e., que deja
11
Las oraciones que cumplen con las condiciones descriptas en (a) y (b) están
incluidas en la intersección de todos los PFMs, i. e., en el PFIM. Las oraciones que
cumplen con la condición descripta en (c) están fuera de esa intersección, en la parte
de la extensión que es incompatible con todas las demás.
que permanezcan indeterminas, sólo a las oraciones paradójicas. Tanto el PFm como los PFIs
dejaban indeterminadas oraciones que podían no serlo.
Es, por eso, el único que permite explicar del modo más adecuado, diferenciándola de todas las
demás, la noción de paradojicidad.
El PFM es el que tiene mayor poder expresivo, es aquel en el cual la extensión y antiextensión
de la verdad son lo más exhaustivas que pueden ser con respecto al dominio de oraciones de un
lenguaje, es el que, aun sin ser coextensional con el predicado de verdad del lenguaje natural 12,
más se acerca a su extensión; y es a través del cual más conceptos pueden ser explicados.
Apelando sólo a PFMs, obtenemos una teoría del mismo alcance explicativo que la kripkeana.
Creo que estas razones son lo suficientemente fuertes como para elegirlo sobre los otros puntos
fijos como mejor reconstrucción de “verdadero”.
12
No logra ser coextensional con nuestro predicado de verdad dado que Kripke no
escapa a la necesidad de un metalenguaje que hable acerca de la semántica del
lenguaje objeto. Una oración como “El Mentiroso no es verdadera” es intuitivamente
verdadera, pues el Mentiroso no forma parte de la extensión de la verdad; pero para
poder decir esto es necesario apelar a otro tipo de negación que no sea la del sistema
fuerte de Kleene, que es el que utiliza Kripke, según el cual la negación de una oración
indeterminada, es también indeterminada. La negación que buscamos es tal que, si
una oración es falsa o indeterminada, su negación es verdadera. Ahora bien, esta
negación introduce bivalencia y permite que aparezcan oraciones que se llaman
“Mentirosos reforzados”, tales como “Esta oración no es verdadera”, y que producen
contradicciones. De ahí la necesidad de ascender a un metalenguaje y la imposibilidad
de tener, en el lenguaje objeto, todas las oraciones que consideraríamos,
intuitivamente, verdaderas.