Cuando un punto material (centro emisor o foco)

Movimiento ondulatorio
1. Introducción
Cuando un punto material (centro emisor o foco) entra en vibración, interacciona con sus vecinos de
modo que la perturbación se propaga por todo el medio con una cierta velocidad. Estas perturbaciones
transportan cantidad de movimiento y energía sin que haya transporte de materia. Este tipo de
transporte recibe el nombre de movimiento ondulatorio y la perturbación trasmitida onda. Por lo tanto,
un movimiento ondulatorio es la propagación de un movimiento vibratorio a través de un medio y onda
es la perturbación que se propaga a través del medio. Por ejemplo, los puntos que forman una cuerda
vibran alrededor de posición de equilibrio pero no se desplazan a través de ella, pues lo que se
desplaza es la perturbación producida en un punto de ese medio. Se llama pulso a una perturbación
individual que se propaga a través del medio (golpe dado en un extremo de una cuerda tensa) y tren de
ondas a una perturbación continua que se propaga, formado por sucesivos pulsos y que, para
producirlo, se ha de suministrar continuamente energía al centro emisor.
Para que la onda se propague a través del medio, éste debe ser inerte y elástico. A medida que la
perturbación se propaga, la onda se amortigua debido:
 al grado de elasticidad del medio, pues se pierde energía en deformaciones si el medio es poco
elástico;
 al rozamiento viscoso entre partículas del medio;
 al reparto de la energía de la partícula emisora entre un número cada vez mayor de partículas.
2. Clasificación de las ondas
1. Según el tipo de energía que propagan:
Mecánicas, materiales o elásticas: transportan energía mecánica. Necesitan un medio material para su
propagación (sonido).
Electromagnéticas (EM): transportan energía electromagnética producida por oscilaciones de campos
magnéticos y eléctricos. No necesitan medio material para propagarse, por lo que pueden propagarse
por el vacío (luz).
2. Según la relación entre las direcciones de propagación y de vibración:
 Longitudinales: las partículas de medio que las transmiten vibran u oscilan en dirección paralela a
la propagación de la onda (sonido, ondas de un muelle). Este tipo de ondas repropaga en cualquier
medio material.
 Transversales: la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración (onda EM,
ondas en una cuerda)
v
Onda longitudinal
compresión
Onda transversal
Dirección de
propagación
expansión
3. Según la dirección de propagación de la energía:
• Unidimensionales ( cuerdas tensas): ondas planas o puntos.
• Bidimensionales (ondas en un estanque): ondas
rayo
circulares.
• Tridimensionales
(ondas
acústicas,
frente
electromagnéticas): ondas esféricas.
de
En las ondas bi y tridimensionales se define el frente de
ondas
ondas como el lugar geométrico de los puntos del medio que
poseen el mismo estado de vibración, es decir, es el
conjunto de aquellos puntos que son alcanzados por la
perturbación en el mismo instante. Dicho frente es circular
en las ondas bidimensionales y esférico en las
1
Movimiento ondulatorio
tridimensionales. Si el medio es homogéneo (tiene la misma composición en todas sus partes) e
isótropo (tienes las mismas propiedades en todas direcciones) la dirección de propagación es siempre
perpendicular al frente de ondas.
Se llama rayo a la línea perpendicular a los sucesivos frentes de ondas; el rayo coincide con la dirección
en que se propaga la onda.
3. Magnitudes características de una onda







Velocidad de propagación o velocidad de fase (v): es la rapidez con la que se desplaza la
perturbación por un medio. Esta magnitud depende de las características del medio y es
independiente de las del foco emisor. Es constante para un determinado medio y un tipo de
perturbación.
Velocidad de vibración: es la rapidez con la que se desplaza una partícula del medio en torno a
su posición central, esto es, es la velocidad del MAS que describe la partícula y se modifica de
un punto a otro. v vib = A·ω ·cos( ω ·t + ϕ 0 ) .
Período (T): es el tiempo que tarda en recorrer una oscilación completa, que coincide con el
tiempo que tarda la ona en reproducirse.
Frecuencia (ν): es el número de oscilaciones que realiza una partícula en la unidad de tiempo,
que coincide con el número de veces que se reproduce la onda en la unidad de tiempo.
Longitud de onda (λ): es la distancia entre dos puntos consecutivos que se hallan en el mismo
estado de vibración, que coincide con la longitud que ha recorrido la onda por un medio
v
determinado en un tiempo igual al período: λ = v ·T = , siendo v la velocidad de propagación.
ν
Amplitud (A): en la máxima elongación con la que vibran las partículas, es decir, la máxima
distancia entre la posición de una partícula y el centro de vibrción.
2π
Número de onda (k): es la cantidad de longitudes de onda comprendidas en 2π metros k =
.
λ
4. Descripción matemática del movimiento ondulatorio. Ecuación de
D’Alembert o de las ondas armónicas unidimensionales.
Supongamos un movimiento ondulatorio que viaja hacia la derecha con una velocidad constante v a lo
largo del eje X. Si elegimos el sistema de referencia de modo que el foco del movimiento ondulatorio
sea el origen de coordenadas, la vibración asociada al MAS
se realiza en la dirección del eje Y y la propagación de la
onda en la dirección del eje X.
Por ello, y ( 0, t ) = A·senω t . A medida que la perturbación
avanza los puntos del medio van adquiriendo el mismo
movimiento que el foco, pero con un retraso, que, para un
x
punto situado a una distancia x vale t ' = , por lo que la
v
ecuación de la elongación para ese punto será la misma que
para el foco en el instante t − t ' :
2
Movimiento ondulatorio
 
x 
y ( x, t ) = y ( 0, t − t ' ) = A·sen[ω ( t − t ' ) ] = A·sen  ω  t −   : ecuación de propagación de la onda (movimiento
v
 
ondulatorio unidimensional).
Teniendo en cuenta las definiciones del apartado 3, podemos escribir la ecuación anterior como
y = A·sen ( ω t − kx ) . El término ω t − kx es la fase del movimiento ondulatorio.
Dado que la onda puede desplazarse tanto en el sentido negativo (v < 0) como positivo (v > 0) del eje X
se escribe en general y = A·sen ( ω t ± kx ) (el + para el negativo y el – para el positivo).
Además, si cuando empezamos a medir el tiempo la perturbación posee una fase inicial ϕ 0 en el foco, la
ecuación del movimiento ondulatorio quedará como y = A·sen ( ω t ± kx + ϕ 0 ) , que es la ecuación más
general.
A través de la ecuación de la onda se puede calcular la elongación o estado de vibración de la onda en
cualquier instante y para cualquier punto. La elongación depende de dos variables y por ello recibe el
nombre de función de onda. Es doblemente periódica (respecto de la posición con período λ y respecto
del tiempo con período T).
Concordancia y oposición de fase
Dos puntos están en fase cuando su diferencia de fase vale 2· π rad (igual estado de vibración, es decir,
iguales elongación y velocidad):
(ω ·t − kx1 ) − (ω ·t − kx 2 ) = 2·π ·n ⇒ x 2 − x1 = 2π n = λ ·n
k
para que dos puntos estén en concordancia de fase, la diferencia de sus distancias al foco debe ser un
número entero de longitudes de onda.
Dos puntos están en oposición de fase cuando su diferencia de fase vale (2n+1)·π rad:
(ω ·t − kx1 ) − (ω ·t − kx 2 ) = ( 2n + 1)π ⇒ x 2 − x1 = ( 2n + 1)π = ( 2n + 1) λ
k
2
Energía e intensidad del movimiento ondulatorio
Una onda armónica transmite la energía de un oscilador armónico. Si el medio es homogéneo, dicha
energía se irradia en todas direcciones en forma de ondas esféricas con una velocidad constante, por lo
que la energía se va repartiendo sobre superficies esféricas y concéntricas, siendo el foco el centro de
las esferas. Además, si no hay rozamiento, la energía mecánica permanece constante
1
E m = mω 2 A 2 = 2·π 2 mν 2 A 2 = cte
2
Si consideramos una onda esférica y tomamos la energía de un elemento de masa dm se obtiene:
dm = ρ dV = 4π ρ r 2dr
dE m
dr
dE m = 2·π 2ν 2 A 2 dm
=
8π 3 ρ ν 2 A 2 r 2 dr ⇒
= 8π 3 ρ ν 2 A 2 r 2
= 8π 3 ρ ν 2 A 2 r 2v ⇒ P ∝ ν 2 A 2 r 2
dt
dt
siendo P la potencia, v la velocidad, V el volumen.
Para determinar la energía que transporta un onda mecánica se define la intensidad de onda como la
potencia que atraviesa una unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda:
P ν 2 A2r 2
I=
∝
⇒ I ∝ ν 2A2
2
S
r
En el caso de una onda plana, la energía que pasa por una superficie situada a una distancia r1 será la
misma que la que pasa por otra superficie paralela situada a una distancia r2, por lo que la intensidad no
variará de una a otra superficie. Sin embargo, si la onda es esférica, conforme la onda se aleja del foco,
la energía, que es constante, debe distribuirse por una superficie cada vez mayor. Por lo tanto, y dado
que la potencia transmitida por la onda es constante, se verifica que la intensidad es inversamente
I1 r 22
P
P
1
I
=
,
I
=
⇒
=
I
∝
⇒
proporcional al cuadrado de la distancia
.
1
2
I 2 r12
4·π ·r12
4·π ·r 22
r2
3
Movimiento ondulatorio
Por lo que respecta la amplitud de la onda, como P ∝ ν 2 A 2 r 2 y P es constante, A12 r12 = A22 r 22 ⇒
A1 r 2
1
=
⇒ A ∝ : la amplitud disminuye conforme la onda se aleja del foco.
A2 r1
r
I 1 r 22 A12
=
=
⇒ I 1·A22 = I 2 ·A12 .
También se puede relacionar la intensidad y la amplitud:
I 2 r12 A22
Óptica Física
Influencia del medio: índice de refracción
Se define el índice de refracción de un medio n como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío
c
y la velocidad de la luz en el medio: n = , n ≥ 1 , adimensional. Se acepta que n aire = n vacío = 1 .
v
λ
λ
c
Usando la longitud de onda en el vacío podemos escribir λ 0 = c·T ⇒ 0 =
= n⇒ λ = 0 .
λ
v
n
Principio de Huygens
Todos los puntos del medio alcanzados por un frente de ondas se
convierten en centros emisores denuevas ondas elementales. La
envolvente a todos ellos constituye el nuevo frente de ondas.
Debido al artificio geométrico aparecen unas ondas de retroceso que
no propagan energía (irían hacia tiempos negativos). Este principio
permite explicar las figuras de difracción que se obtienen cuando la
luz atraviesa una rendija pequeña.
Reflexión y refracción
n1
rayo
incidente
iˆ
rˆ
normal
rayo
reflejado
rayo
refractado
n2
tˆ
La reflexión es el fenómeno que ocurre cuando una onda que se propaga por
un mdio choca contra la superficie que lo separa de otro medio de propiedades
elásticas diferentes. La refracción ocurre cuando la onda se propaga por el otro
medio.
En la reflexión, al no haber cambio de medio, el espacio recorrido por la onda
antes y después de la reflexión en el mismo tiempo coincidirá, por lo que
iˆ = rˆ (Ley de Snell para la reflexión): el ángulo de reflexión coincide con el de
incidencia .
En la refracción, y basándonos en la construcción de la izquierda (el espacio
recorido por la luz en un tiempo t) podemos escribir:
v
sen iˆ . De acuerdo con la
BC = v 1·t = AC·sen iˆ; AA' = v 2 ·t = AC·sen tˆ ⇒ 1 =
v 2 sen tˆ
n
c
c
sen iˆ
, v2 =
⇒ 2 =
.
n1
n2
n1 sen tˆ
De aquí se obtiene la Ley de Snell para la refracción:
n1·sen iˆ = n 2 ·sen rˆ .
definición de índice de refracción, v 1 =
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Movimiento ondulatorio
Observa que:
si n1 > n 2 ⇒ sen tˆ >
si n1 = n2 entonces
si n < n ⇒ sen tˆ <
1
2
sen iˆ ⇒ tˆ > iˆ ⇒ el rayo refractado se aleja de la normal.
iˆ = rˆ , pues sería un reflexión.
sen iˆ ⇒ tˆ < iˆ ⇒ el rayo refractado se acerca a la normal.
Interferencias
En un medio elástico pueden propagarse simultáneamente dos o más ondas producidas en focos
diferentes. Se produce una superposición de ondas ya que el desplazamiento real de cada punto del
medio es la suma vectorial de los desplazamientos que cada onda produciría por separado. La acción
simultánea sobre una partícula de dos o más movimientos ondulatorios se denomina interferencia de
ondas. Si los movimientos ondulatorios que se superponen en un punto tienen la misma frecuencia, las
interferencias afectan a las amplitudes y a la intensidad.
Supongamos que un punto P está situado a una distancia x1 del foco de una onda armónica de amplitud
A1 y a una distancia x2 del foco de una onda armónica de amplitud A2. Para simplificar los cálculos
trataremos sólo el caso en el que ambas ondas tienen la misma frecuencia y están en concordancia de
fase:
y 1 = A1sen ( ω ·t − kx 1 ) 
A1senϕ 1 + A2 senϕ 2
2
2
 ⇒ y R = y 1 + y 2 ⇒ A = A1 + A2 + 2 A1A2 cos( ϕ 1 − ϕ 2 ) ; tgϕ R =
y 2 = A2 sen ( ω ·t − kx 2 ) 
A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
A1
A
δ
ϕ R A2
ϕ1
ϕ2
Diagrama de Fresnel
ϕ 1 = − kx1, ϕ
= − kx 2 . Se define la diferencia de fase como
2·π
δ = ϕ 1 − ϕ 2 = k ( x 2 − x1 ) =
( x 2 − x1 ) ; ϕ R : fase inicial del MAS resultante.
λ
La amplitud es máxima cuando A = A1 + A2 , para lo que cos( ϕ 1 − ϕ 2 ) = 1 ⇒
2·π
cos δ = 1 ⇒ δ = 2n·π rad ⇒
( x 2 − x1 ) = 2n·π ⇒ x 2 − x1 = n·λ :
λ
la interferencia de dos ondas armónicas produce un MAS de amplitud máxima
en aquellos puntos en los que la diferencia entre las distancias que hay hasta
los focos emisores de las ondas es un número entero de longitudes de onda
(interferencia constructiva).
donde
2
La amplitud es mínima cuando A = A1 − A2 , para lo que cos( ϕ 1 − ϕ
2
)=
1⇒
2·π
( x 2 − x1 ) = ( 2n + 1)π ⇒ x 2 − x1 = ( 2n + 1) λ :
λ
2
la interferencia de dos ondas armónicas produce un MAS de amplitud mínima en aquellos puntos en los
que la diferencia entre las distancias que hay hasta los focos emisores de las ondas es un número
impar de semilongitudes de onda (interferencia destructiva).
⇒ cos δ = − 1 ⇒ δ = ( 2n + 1)π rad ⇒
Difracción
La difracción se puede definir como el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda
ésta se encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda. Es una
característica del movimiento ondulatorio y proporciona el orden de magnitud de la longitud de onda de
las ondas que se propagan.
5