GYMKHANA MATEMÁTICA

GYMKHANA MATEMÁTICA - NSP’14
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3º & 4º ESO
PRUEBA - DÍA CERO – reunión de padres
Un grupo, inicialmente de 17 chicas y chicos de la misma edad, quieren
organizar un viaje de fin de curso a París. A la reunión preparatoria acuden los
padres y madres de todos ellos, cuya edad media es de 45 años. Pero si
consideramos al grupo formado por padres, madres e hijos, la edad media es de 35
años. ¿Qué edad media tiene los chicos y las chicas que se van de viaje?
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PRUEBA - DÍA 1 – estadísticas de avión
Son finalmente 42 alumnos, 20 chicas y 22 chicos de 4º de la ESO, los que se
van de viaje de fin de curso a París, en avión. Ocuparán 42 plazas en un avión de
180 asientos, que va completamente lleno. Están distribuidas en 30 filas con 6
asientos en cada una, del A hasta el F. Cada asiento se designa por el número de
fila y la letra correspondiente.1
La compañía, una low cost, tiene una agresiva política de precios, de tal manera
que:

Billete de ida → 150 €

i/v → 20% de descuento

Grupos:

Los primeros 25 miembros del grupo tienen un descuento del 10%

Los 15 siguientes, del 30%

A partir del 41º, pagan sólo la mitad del billete
Los descuentos son acumulables
Todos los alumnos, lógicamente, pagarán el mismo precio; es decir, se sumará
el precio de todos los billetes y se dividirá por 42.
Los alumnos no hacen el viaje solos: les acompañan algunos profesores, y uno
de ellos, por suerte o desgracia, es el de matemáticas. Y para que no se olviden de
todo lo que han aprendido durante el curso, les irá planteando algunos problemas.
Ahora, les hace realizar la tabla de frecuencias de los precios, que incluya:

Frecuencias absolutas

Frecuencias relativas

Frecuencias acumuladas (absolutas y relativas)

Moda

Mediana y cuartiles

Media aritmética

Medidas de dispersión: varianza, desviación típica y coeficiente de
variación.
1
No es una compañía italiana. Las compañías transalpinas pueden no tener fila
17, ya que el 17 es el número de la mala suerte en Italia. ¿Por qué? Porque en
latín, vixi significa que viví, y si viví, es que ya no vivo, que estoy muerto. Y las
letras de VIXI forman el número romano 17.
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Dpto. de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid
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3º & 4º ESO
PRUEBA – DÍA 1 – progresiones en el hotel
Ya hace rato que llegamos a París; hemos visitado un poco la ciudad, comido…
Pero estamos muy cansados y vamos al hotel.
El hotel es enorme, un rascacielos vanguardista, de forma piramidal cerca del
barrio de La Défense, con 28 plantas (28 alturas).
La planta baja y la 1ª están dedicadas a salones para el esparcimiento de los
clientes.
A partir de la 2ª planta, que tiene 50 habitaciones, el número de habitaciones va
disminuyendo, 1 habitación menos cada planta.
En cuanto a la distribución, las habitaciones del 2º piso hasta el 15º son todas
de 3 camas; del 16º hasta el 25º, dobles; las de los pisos 26 y 27, individuales. Y
en la última planta sólo hay suites de lujo.
Los alumnos duermen en habitaciones lo más grande posibles sin mezclar chicos
con chicas. Calcula:

Cuántas habitaciones tiene el hotel, y cuántos clientes caben.

Cuántas habitaciones, y de qué tipo, se necesitarán para todos los alumnos.
(Si puedes hacerlo con progresiones, debes hacerlo así).
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PRUEBA - DÍA 2 – visita al Louvre
No podría ser de otro modo, el colegio va a visitar al día
siguiente el Museo del Louvre. Los alumnos se sorprenden al
ver que se entra por una pirámide, que parece totalmente
fuera de lugar en un palacio real que nació allá en siglo XII,
donde vivieron tantos reyes, como Luis XIV, “El Rey Sol”.
Pero se les explica que cada presidente de la República, en
Francia, tiene la costumbre de dejar en París como recuerdo
de su mandato, un monumento singular. Y el de François
Miterrand fue la Pirámide del Louvre, muy controvertida en su momento.
Tiene las siguientes medidas, de base, y de altura. Y hay quien dice que tiene las
mismas proporciones que la Pirámide de Giza, en Egipto, siendo las medidas de
ambas:
Louvre
Giza
lado de la base
35,42 metros
230 metros
altura
21,62 metros
146,5 metros
De nuevo, el profesor que les acompaña, matemático impenitente, les hace
calcular el volumen de la pirámide, y su superficie; y no contento con ello, les
pregunta si de verdad la pirámide del Louvre y la de Giza son proporcionales.
¿Les puedes ayudar con las respuestas?
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3º & 4º ESO
PRUEBA – DÍA 2 – comer en el Barrio Latino
Al cabo de un rato, tres de los chicos dicen que ya han visto suficientes cuadros,
y piden permiso para irse del museo, y buscar dónde comer algo, porque ya tienen
hambre. Se les dice que no hay problema, y echan a andar.
Comer en parís no es precisamente barato, y siguiendo el Sena, llegan al Barrio
Latino: la Rive Gauche, la Sorbona, el bulevar Saint Michel, las tiendas de libros de
segunda mano… Al final, el hambre no saciada puede más que todo ello y se meten
en un bistrot a comer algo. La comida está buena, la conversación es interesante…
Después de bastante rato, ven que se les echa encima la hora de regresar al hotel.
Piden la cuenta, y son 30 euros. Cada uno de ellos pone un billete de 10 euros.
Cuando el camarero va a poner el dinero en la caja, lo ve el jefe y le dice:
- No, esos son españoles, como yo. Cóbrales sólo 25 euros.
El camarero se da cuenta que no tiene tantas monedas, y si devuelve un billete
de 5 euros puede haber problema para repartirlos y decide lo siguiente:
- Ya está. Me quedaré 2 euros de propina y les devuelvo 3, uno para cada uno.
Le devuelve a cada uno 1 euro.
Ahora es cuando viene el problema: Si cada uno puso 10 euros y le devuelven 1
euro, realmente puso cada uno de ellos 29 euros…
9 x 3 = 27 euros. Si añadimos los 2 que se queda el camarero, 29 euros...
¿Dónde está el otro euro?
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PRUEBA – DÍA 2 – lógica de Einstein
¿Has conseguido encontrar el euro que falta? Nuestros tres amigos, no.
Mientras vuelven al hotel en una tarde primaveral preciosa, no dejan de cavilar
para resolver el “Enigma del euro perdido”. Pero les parece imposible, “¡Estos
franceses…!”
Ya en el vestíbulo del hotel se encuentran al resto de sus compañeros,
comentando su día. Ellos se dirigen al profesor de matemáticas, y le piden ayuda.
Éste, sin embargo, en lugar de darles la solución, les propone otro problema.
Es el problema de lógica de Einstein, formulado a principios del siglo XX y que,
según el genio, el 98% de la gente no consigue resolver:
Hay 5 casas de 5 colores diferentes, en cada casa vive una sola persona, todas
de diferente nacionalidad; los 5 propietarios fuman diferentes marcas de cigarros,
beben diferentes bebidas y tienen, cada uno, diferente de los demás, cierto animal
de preferido. Ninguno de ellos tiene el mismo animal, fuma el mismo cigarro ni
bebe la misma bebida. A partir de los siguientes datos, ¿quién tiene un pez?

El inglés vive en una casa roja

El sueco tiene un perrito

El danés bebe te

La casa verde queda a la izquierda de la blanca

El dueño de la casa verde bebe café

El que fuma Pall Mall cría pájaros
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3º & 4º ESO

El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill

El que vive en la casa del centro bebe leche

El noruego vive en la primera casa

El que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos

El que cría caballos vive al lado del que fuma Dunhill

El que fuma Bluemaster bebe cerveza

El alemán fuma Prince

El noruego vive al lado de la casa azul

El que fuma Blends es vecino del que bebe agua
Ni que decir tiene, los amigos, que comparten habitación, se pasaron media
noche tratando de resolverlo, ¡y es que el profesor les ha prometido 2 puntos más a
cada uno si resuelven los dos problemas! ¿Y sabes una cosa? ¡Lo hicieron! ¿Y tú?
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PRUEBA – DÍA 3 – de paradojas y doses
A la mañana siguiente, los chicos van a visitar Versalles. Hace un día espléndido,
de primavera. Da gusto pasear, visitar la ciudad…
Pero el profesor de matemáticas parece que sólo se divierte si está en lo suyo;
así que, subidos en el tren, les plantea a los chicos la siguiente paradoja,
prometiendo que al primer que la resuelva, le invita a comer:
1. Sabemos que si tenemos dos números iguales, a y b, al multiplicar por a en
ambos lados del igual, la igualdad no se modifica:
2. Si restamos b2 en ambos lados:
3. Haciendo diferencia de cuadrados en el primer término (¡recuerda las
identidades notables!), y sacando factor común en el segundo:
4.
Simplificando, nos queda:
5.
Y como la premisa inicial era que a y b eran iguales:
¿Es esto posible?
Pues uno de los alumnos comió gratis ese día en Versalles. Como el profesor se
sentía generoso, ofreció un “permio de consolación”: postre gratis en la cena al
primero que alcanzase el número más alto usando tres doses sin emplear signo
alguno. ¡Y también algún alumno se tomó un helado gratis esa noche!
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PRUEBA – DÍA 3 – volviendo en el tren
El día en Versalles ha sido maravilloso: el palacio, el campo en primavera… Los
chicos están agotados, física y mentalmente; ya no queda ni una neurona libre; ¿o
sí? Nuestro profe afirma que sí queda.
El tren de vuelta a París avanza a 90 km/hora por un tramo recto de vía. Por
una carretera paralela, y en la misma dirección, avanza un coche a 120 km/hora.
¿Es posible calcular la longitud del tren, sabiendo que el coche tarda 18 segundos
en sobrepasarlo? ¿Puedes tú solucionarlo? ¡Inténtalo!
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3º & 4º ESO
PRUEBA – DÍA 4 (ÚLTIMO) – Francia es un hexágono
Ya estamos en el último día, el de regreso a Madrid. Ya saben
todos los alumnos que a Francia se le conoce como “el
Hexágono”, dada la forma de las fronteras del país.
Así que, mientras esperan al autobús que ha de
llevarles al aeropuerto, y para amenizar la espera,
al simpático profesor se le ocurre un (¿último?)
problema
matemático,
de
geometría
concretamente: calcular el área de un hexágono,
tal como figura a continuación:
Es un hexágono regular, y tiene el mismo
perímetro que un triángulo equilátero de 2cm de
lado. ¿Podrías haberles ayudado tú?
10 PRUEBA – DÍA 4 – probabilidades en el avión de vuelta
¡Se termina el viaje! Hemos “sobrevivido al hexágono”, salido de París, cogido el
autobús hasta el aeropuerto Charles de Gaulle, y embarcado en nuestro avión.
Una compañía con precios tan agresivos como la nuestra necesita otras formas
de ingresos; y una de ellas es una especie de bonoloto, en la que el 80% de la
recaudación se reparte en dos premios: se saca por sorteo una de las 6 primeras
letras del alfabeto, y luego un número del 1 al 30, repitiéndose de nuevo el proceso
para el segundo premio; el primer premio recibe el 70% del dinero a repartir, y el
segundo, el 30% restante. Si el premio cae en un asiento cuyo viajero no ha
comprado su boleto, pasa a bote para el segundo. Y si el segundo premio (solo o
con el bote del primero), vuelve a recaer en un viajero que no juega, va para bote
para otro vuelo.
Cada viajero puede comprar la letra de su asiento por 5 euros, y 1 euro por su
número de fila, es decir, 6 euros cuesta la participación.
A algunos alumnos aún les queda algo de dinero, (poco) que no se han gastado
en suvenires. Participan en la bonoloto aérea la mitad de los alumnos, 13 chicos y 8
chicas, y en total, 113 viajeros del avión.
Hay, además, un bote de un vuelo anterior de 132 euros.

El profe les pone como tarea:
a) Calcular cuánto dinero gana la compañía con la rifa, y cuánto dinero se va a
repartir en premios, antes y después del bote.
Calcular la probabilidad de que:
b)
El primer premio vaya a un alumno (chico).
c)
A una alumna.
d)
A un alumno, chico o chica.
e)
A otro viajero.
f)
g)
Las tres preguntas anteriores, ahora con el segundo premio.
A cualquier alumno, chico o chica, le toque uno de los dos premios.
h)
El segundo no le toque a nadie
i) El primer premio no le toque a nadie tampoco y vaya de bote para el
segundo.
j)
No toque a nadie ninguno de los dos.
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3º & 4º ESO
GYMKANA MATEMÁTICA – 2º CICLO DE E.S.O.
martes 8 de Abril de 2014
 PREGUNTAS COMODÍN
1. Usando sólo la cifra 5 y las operaciones oportunas, se puede
obtener cualquier número. Por ejemplo, con 55:5-5 obtenemos el 6.
Busca, con la mínima cantidad de cincos, los tres siguientes casos:
a) Los 20 primeros números naturales.
b) Los números 11 y 125.
2. Cuatro amigas van juntas al cine y charlan animadamente
mientras esperan a que empiece la película.
a) Victoria comenta que le gustan las películas de intriga.
b) La que lleva la camiseta verde es aficionada a las películas de terror.
c) Quien se sienta a la derecha de Paloma adora las películas de acción.
d) Victoria se sienta a la izquierda de Paloma.
e) Marta lleva una camiseta amarilla.
f) A quien se sienta a la derecha de Elena le gustan las películas de
amor.
g) La de la camiseta amarilla se sienta a la derecha de la de la camiseta
crema.
h) La de la camiseta blanca tiene catarro.
Indica el orden en que están sentadas, el color de sus camisetas y sus
gustos cinematográficos.
3. Fractal de Koch.
La curva de Koch se construye dividiendo un segmento en tres partes
iguales.
El segundo segmento - el segmento del medio - forma la base de un
triángulo equilátero, pero sin representar este segmento, la base.
Esto significa que tenemos un segmento horizontal seguido de dos
segmentos, estos dos últimos en forma de triángulo, y luego seguido de un
tercer segmento horizontal. Esta estructura es la primitiva para construir
esta curva. En siguientes repeticiones, cada segmento de esta curva
primitiva es a su vez sometido al mismo proceso: segmento horizontal
seguido de dos segmentos terminando en la "punta" de un triángulo
equilátero y seguido por un tercer segmento horizontal.
Sigue tú el proceso: ¿hasta dónde puedes llegar?
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