Electrostática en conductores y aislantes

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
GRADO EN INGENIERÍA CIVIL
PROBLEMAS DE FÍSICA. CURSO 2010-11
Electrostática en conductores y aislantes
1 Una esfera conductora de radio R1 es rodeada por una carcasa conductora esférica de radios
interior y exterior R2 y R3 respectivamente, concéntrica con ella. Se suministra una carga q1 a la
esfera y una carga q2 a la carcasa. (a) ¿Cuál es la distribución de carga en todo el sistema? ¿Cuál es
el campo eléctrico en todo el espacio? ¿Y la distribución de potencial? (b) Si establecemos mediante
un hilo contacto eléctrico entre esfera y carcasa, ¿cómo varı́an las respuestas al apartado anterior?
(c) ¿Y si en lugar de eso conectamos a tierra la carcasa? (d) Identifı́quense en el sistema posibles
condensadores y calcúlense sus capacidades.
q1 + q2
q1
Sol.- (a) Distribución de carga: q1 en R1 , −q1 en R2 y q2 + q1 en R3 . Campos no nulos: E(r)
=
u para r > R3 y E(r)
=
u
2 r
2 r
4π
r
4π
0
0r
q1 + q2
q1
q1 + q2
1
1
para R1 < r < R2 . Potenciales: V (r) =
+
para r > R3 .
para r > R3 y V (r) =
−
4π0 r
4π0 r
R2
4π0 R3
(b) Desaparecen cargas y campos en el interior y se mantienen las del exterior. Se mantiene el mismo V (r) para r > R3 y toma valor
constante en todo el interior.
(c) Desaparecen carga, campo y potencial
en el exterior. Se mantienen cargas y campo en el interior. El potencial interior se modifica en
q1
1
1
una constante aditiva: V (r) =
para r > R3 .
−
4π0 r
R2
(d) Las superficies esféricas en R1 y R2 forman un condensador esférico, ası́ como la superficie en R3 , enfrentada al infinito.
2 Se tienen tres esferas metálicas de radios R1 , R2 y R3 conectadas entre sı́ por dos hilos metálicos.
Se les comunica la carga eléctrica total q. Determinar los campos eléctricos en las superficies de las
tres esferas metálicas. Suponer que la carga que tiene cada esfera se reparte uniformemente sobre la
superficie de cada una y que los hilos no almacenan carga. Datos: R1 = 1 m, R2 = 0,5 m, R3 = 0,3
m, q = 10−8 C.
Sol.- E1 = 50, E2 = 100 y E3 = 167 (en V/m).
3 Dos placas metálicas circulares e iguales, con una superficie S = 1 m2 cada una se encuentran
colocadas paralelamente a una distancia d = 0,2 mm. Si la diferencia de potencial entre placas es
V1 − V2 = 1000 V, calcular: (a) La energı́a eléctrica asociada con la distribución de cargas. (b)
Determinar el trabajo que es preciso realizar para separar las placas hasta una distancia d = 1 mm,
estando ambas aisladas eléctricamente. (c) Si las dos placas están conectadas a un generador cuya
diferencia de potencial entre bornes es de 1000 V, calcular la energı́a suministrada por el generador
y el trabajo mecánico que hemos de realizar para separar las placas la misma distancia. (d) Hallar
la fuerza con que se atraen las placas en la situación inicial. (Nota: el campo que actúa sobre una
distribución superficial es el promedio de los campos a un lado y a otro de la distribución.)
Sol.- (a) WE = 22 mJ; (b) W = 88,4 mJ; (c) WG = −35,4 mJ; Wm = −17,7 mJ. (d) F =111 N.
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4 Un condensador cilı́ndrico de radios R1 = 2 cm, R2 = 4 cm y altura h = 10 cm se carga uniéndolo
a una fuente de 220 V. Una vez cargado, se introduce entre sus placas un tubo metálico de radio
interior 3 cm, exterior 3.3 cm y de la misma altura, de modo que los ejes geométricos coincidan.
Calcular: (a) La energı́a asociada al condensador antes de introducir el tubo. (b) La capacidad del
sistema una vez introducido el tubo y la carga final de cada conductor, en los supuestos de que se
haya introducido con la fuente conectada y desconectada. (c) Trabajo mecánico que hay que efectuar
para introducir el citado tubo, en los supuestos del apartado anterior.
Sol.- (a) Wi = 1,940 · 10−7 J. (b) Cf = 9,29 · 10−12 F. A carga constante, qf = 1,763 · 10−9 C. A potencial constante, qf = 2,044 · 10−9 C.
(c) A carga constante, Wmec = −2,667 · 10−8 J. A potencial constante, Wmec = −3,12 · 10−8 J.
5 Si recubrimos una armadura de un condensador plano con un dieléctrico de grosor e y constante
dieléctrica k, siendo el área de las armaduras S y la distancia entre ellas d, podemos obtener su nueva
capacidad admitiendo que el sistema es equivalente a un condensador vacı́o en serie con uno completamente relleno de dieléctrico, correspondientes a las zonas sin y con dieléctrico respectivamente.
¿Cuál es la nueva capacidad? ¿Aumenta o disminuye respecto del condensador vacı́o?
Sol.- C =
S0
. Aumenta.
d − e + e/k
6 Hállese la capacidad de un condensador plano de armaduras rectangulares, con longitud a y
profundidad b, separadas una distancia d, si se rellena parcialmente con una pieza dieléctrica de
permitividad , de igual anchura y profundidad, pero de longitud x < a. Si el condensador está permanentemente conectado a un generador que suministra una d.d.p. V0 , ¿qué carga fluye a la armadura
positiva cuando se introduce el dieléctrico?. ¿Qué trabajo realiza el generador?. ¿Cuál es la variación
de energı́a almacenada en el condensador si la entendemos como el trabajo necesario para llevar la
carga libre al sistema?
Sol.- C = [x + (a − x)0 )] b/d; q = V0 ( − 0 )xb/d; Wg = V02 ( − 0 )xb/d; ΔUe = Wg /2.
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