estructuras ii

ESTRUCTURAS II
Cátedra Ing. José María Canciani
UNIDAD 3
Integrantes:
Ing. Carlos Salomone (Prof. Adjunto)
Ing. Salvador Napoli (Prof. Adjunto)
Arq. María Angélica D’Antone (Jefe de T.P.)
Arq. Miguel Bruno (Jefe de T.P.)
Arq. Marcelo Alancay (Ayudante)
Arq. Natalia Bucossi (Ayudante)
Arq. Gisela Amor (Ayudante)
1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
1.1 PLANTEO DEL PROBLEMA
La forma de resolver cualquier tipo de estructuras es determinar un modelo que es
necesariamente una simplificación la más aproximada a la realidad. En efecto las
vigas y las columnas no son líneas ya que tienen no sólo longitud sino alto y
ancho, las losas no son superficies planas sin espesor y así.
Lo que se trata de hacer es una abstracción que permita predecir lo más
aproximadamente el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo
permita dimensionar con suficiente seguridad las secciones de hormigón y de
acero necesarias para garantizar la estabilidad con buenas condiciones de servicio
y durabilidad. En este sentido es necesario resaltar que el modelo se debe
aproximar a la realidad y no a la inversa. La estructura real no tiene por qué recibir
órdenes del proyectista, sino que es éste quien debe tratar de encontrar un
modelo que se acerque a la realidad de la mejor manera posible.
En forma general se puede aceptar que un edificio de departamentos cuyo cálculo
es el objeto de nuestro curso, desde el punto de vista estructural, se compone de
un conjunto de barras y de placas interconectadas entre sí con vínculos inferiores
que corresponden a los apoyos sobre el terreno natural, modelo al cual podemos
denominar como pórtico espacial con el agregado de placas. Una imagen de este
tipo de estructura elaborada con un programa que procesa este tipo de sistemas,
se agrega a continuación.
Ahora bien, hasta la invención de las computadoras y los programas de cálculo
estructural, la resolución de este sistema implicaba un nivel de dificultad y de
trabajo material desde el punto de vista matemático que, en la práctica, hacían
imposible su resolución. Sin embargo, aún hoy, cuando se dispone de estas
poderosas herramientas de cálculo, sigue siendo dificultosa la resolución estática
y el dimensionamiento de la estructura de un edificio de pocos pisos en forma
completa.
En efecto, si se adopta este camino los resultados pueden llevarnos a una serie de
problemas. En primer lugar, las salidas pueden ser monstruosas, en especial en
cuanto a los resultados de las losas ya que, para hacer una representación fiel de
la estructura, se necesita particionar las losas en un gran número de pequeñas
lositas y, consiguientemente las vigas en una gran cantidad de tramos de vigas,
como se advierte en el gráfico siguiente donde se ha representado una planta del
modelo anterior.
Por ello, aún en los casos en que se decida realizar el cálculo por computadora
muchas veces resulta conveniente calcular las losas de cada planta por separado
obteniendo las reacciones sobre las vigas.
Ahora bien, si se eliminan las losas de la estructura queda un pórtico espacial que
si bien es resoluble en forma completa, procedimiento que cada vez tiene mayor
aceptación, tampoco está exento de dificultades. Entre otros aspectos porque
aparecen esfuerzos de poca importancia como son las flexiones oblicuas y
torsiones, esfuerzos que no se toman en cuenta pero que amplían las salidas.
Por ello es que tradicionalmente se realizó una ulterior simplificación que consiste
en subdividir el pórtico espacial en un conjunto de pórticos planos independientes
ya que se considera que los esfuerzos provocados por cargas gravitatorias sólo en
forma muy leve se transmiten a los elementos transversales.1 A continuación y
sobre el mismo modelo anterior se grafican un pórtico de fachada y otro
longitudinal:
Pórtico de fachada:
1
Incluso cuando se trata de esfuerzos de viento o de sismo que se verán en el curso posterior, se
acepta, a los fines del cálculo, que tales acciones pueden absorberse por pórticos planos y no
espacialmente.
Pórtico transversal:
Un pórtico plano es un tipo estructural más familiar con el cual se han encontrado
en el curso anterior y de los cuales obtenían las reacciones para un estado de
cargas dado y confecciones diagramas de característica. Claro que se trataba de
pórticos isostáticos y en realidad un pórtico de edificio como lo indicados
precedentemente que no es de muchos pisos ya sea de dos pisos es un sistema
hiperestático.
Por todo lo expuesto, haremos un repaso acerca de la resolución de sistemas
hiperestáticos de barras y sus métodos de resolución, en particular, nos
ocuparemos de las vigas continuas, que se ilustra a continuación.
Nos ocupamos de las vigas continuas porque estos pórticos planos permiten una
última simplificación parcial que consiste en estudiar cada planta por separado,
tomando en cuenta que los esfuerzos que absorben las columnas centrales es de
escasa significación y pueden reemplazarse aproximadamente por apoyos fijos del
tipo “cuchilla”. Es cierto que esto no ocurre con las vigas extremas y con las
columnas de borde y, de hecho no se realiza tal simplificación. Pero dicha
explicación queda pospuesta para el momento en que se aborde el análisis de los
elementos flexocomprimidos.
2. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
En primer lugar, haremos un recordatorio de una serie de ideas y conceptos que
se han estudiado en el curso anterior.
Un sistema estático es una cadena de barras con un cierto número de vínculos
externos y una barra es un elemento estructural en el cual una dimensión
predomina sobre las otras dos. Es decir, posee una longitud y una sección
determinada.
Sistema Estático
Ahora bien, un sistema estático puede ser hipostático (también llamado
mecanismo) cuando el número de vínculos no es suficiente para garantizar el
equilibrio y cuando se aplica una fuerza se produce una aceleración del sistema o
de una fracción del sistema. Es necesario señalar que en algunos casos existe
“vínculo aparente”, es decir el sistema posee la cantidad de vínculos necesarios
para garantizar el equilibrio pero, su disposición permite ciertos movimientos.
Sistema Hipostático
Sistema Hipostático
Vínculo aparente
El segundo caso, es el de los sistemas isostáticos cuya resolución ha sido vista en
el curso anterior. En este caso, se pueden obtener las reacciones y determinar los
esfuerzos característicos en cualquier punto del sistema a partir de las ecuaciones
de la estática.
Sistema Isostático
Si en cambio, las reacciones de vínculo o la determinación de los esfuerzos
característicos no pueden obtenerse a partir de ecuaciones estáticas, entonces se
trata de sistemas hiperestáticos.
Sistema Hiperestático
Cuando se intenta una resolución matemática en el primero de los casos
(“hipostáticos”) el sistema de ecuaciones resultante no tiene solución, por lo cual
es imposible alcanzar el equilibrio. En el caso de los hiprestàticos, el sistema tiene
infinitas soluciones que cumplen con la estática por lo cual es necesario idear
procedimientos para poder obtener el resultado, que siempre es único.
Como ejemplo indicaremos una serie de posibles resoluciones, todas ellas falsas,
pero que permiten garantizar el equilibrio.
P=2 t
A
Sol 1:
Sol 2:
Sol 3:
Sol 4:
1.00
B
1.00
P=2 t
C
1.00
D
1.00
E
RA = 0t
RB = 0t
RC =4t
RD = 0t
RE = 0t
RA = 0t
RB = 1t
RC =2t
RD = 1t
RE = 0t
RA = 1t
RB = 1t
RC =0t
RD = 1t
RE = 1t
RA = 0.5t
RB = 1t
RC =1t
RD = 1t
RE = 0.5t
En todos los casos, la suma de las proyecciones verticales de las acciones y las
reacciones es nula, lo mismo ocurre cuando se toman momentos para cualquier
punto del plano y no hay acciones horizontales. Sin embargo, ninguna de estas
soluciones es correcta ya que no cumplen con otras condiciones, por ejemplo,
condiciones de deformación. En efecto, con estas reacciones los apoyos no
tendrían descenso nulo que es su propia definición.
Clasificación de los sistemas hiperestáticos
Antes de analizar la forma en que se resuelven los sistemas hiperestáticos, es
necesario tener presente algunos conceptos que ya fueron definidos en cursos
anteriores y que ahora recordamos.
Para clasificar los sistemas hiperestáticos es necesario recordar previamente el
concepto de grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema es el número
de movimientos independientes que admite. Y entendemos por movimiento
independiente a aquel que no viene ligado a ningún otro.
La cantidad de grados de libertad de una cadena abierta de chapas o de barras
surge de la siguiente expresión:
Grados de Libertad = nº de chapas + 2
A partir de aquí directamente abandonaremos las chapas para centrarnos en los
sistemas de barras.
Cuando se aplica una restricción de vínculo se restringen grados de libertad.
Como recordamos los vínculos se clasifican según el número de grados de
libertad que restringen, como se indica a continuación. Si el número de Grados de
Libertad de una cadena de chapas o barras es mayor que a cantidad de vínculos,
tenemos un sistema isostático. Si es igual tenemos un sistema isostático,
recordando que estos vínculos no deben formar un “vínculo aparente”.
Si el sistema posee mayor cantidad de restricciones de vínculo que grados de
libertad, tenemos un sistema hiperestático. Ahora bien, estos sistemas se por
según la cantidad de vínculos superabundantes que poseen y cuyo número se
conoce como grado de hiperestaticidad.
Grado de Hiperestaticidad 1
Nº de chapas
= 2
Vìnculos externos = 5
Grados de Libertad = 4
Nº de chapas
= 1
Vìnculos externos = 4
Grados de Libertad = 3
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 4 = 1
Grado de Hiprestaticidad = 4 - 3 = 1
Grado de Hiperestaticidad 2
Nº de chapas
= 1
Vìnculos externos = 5
Grados de Libertad = 3
Nº de chapas
= 2
Vìnculos externos = 6
Grados de Libertad = 4
Grado de Hiprestaticidad = 5 - 3 = 2
Grado de Hiprestaticidad = 6 - 4 = 2
Se señala que en el caso de las vigas continuas, el grado de hiperestaticidad
corresponde con el número de incógnitas que se necesitarían conocer para
resolver el sistema como isostáticos.
Ahora bien, también existen otros casos donde las barras se interconectan
internamente entre sí. Incluso, en algunos casos, es posible determinar las
reacciones de vínculo para un sistema de cargas dado. Pero no ocurre lo mismo
con los esfuerzos característicos de todas las secciones. El ejemplo que se agrega
a continuación es ilustrativo al respecto.
P = 2t
X
A
RA = 1t
B
RB = 1t
En este caso resulta muy sencillo obtener las reacciones de vínculo del sistema ya
que se trata de una única chapa conformada por un número dado de barras de
una configuración especial, por eso, desde el punto de vista exterior es isostático
de resolución sencilla. Pero obtener M, N y Q para el punto X ya no resulta nada
sencillo porque, en realidad, el sistema es hiperestático aunque no porque no se
puedan obtener las reacciones sino porque lo que no se pueden obtener son los
esfuerzos carácterísticos a partir de ecuaciones estáticas.
Por lo tanto, cuando se trata de cadenas de barras que poseen excesiva cantidad
de vínculos, hablamos de “hiperestaticidad externa”, en cambio cuando se trata de
cadenas cerradas de barras, hablamos de “hiperestaticidad interna”.
Resolución de Sistemas Hiperestáticos.
A partir de aquí nos centraremos en un caso particular de los sistemas
hiperestáticos que son las vigas continuas, dada su importancia para el cálculo de
una estructura de hormigón armado y que la resolución de pórticos hiperestáticos
presenta mayores dificultades.
Las vigas continuas, por lo general consisten en una barra con una serie de
apoyos ya sean empotramientos, apoyos fijos o móviles. Tal como se puede
apreciar a continuación.
Como ya hemos señalado para la resolución de sistemas hiperestáticos no bastan
las ecuaciones estáticas y es preciso considerar otras condiciones, como son las
condiciones de deformación. De aquí surgió el primer método para resolver
sistemas hiperestáticos que se basaban en el siguiente razonamiento: que pasa si
se retiran todos los vínculos sobrantes, manteniendo exclusivamente aquellos
necesarios para mantener el equilibrio y reemplazo los vínculos por fuerzas
incógnitas. Bastaría con que determinara qué fuerzas debo aplicar en cada uno de
los puntos donde antes hubo vínculos para que se cumpla la condición que
impone el vínculo: que el descenso en esos puntos sea nulo. A continuación se
ilustra gráficamente el problema.
Por razones de simplicidad analizaremos el caso de una viga continua de dos
tramos con un apoyo fijo y dos móviles con una carga distribuida uniforme.
De acuerdo a lo planteado anteriormente, retiramos en primer lugar el apoyo
central y los reemplazamos por una fuerza X de dirección vertical.
Seguidamente determinamos la flecha que produce dicha fuerza X que se puede
resolver por cualquier método de obtención de flecha y que resulta:
3
(
2⋅l )
fX := X ⋅
48 ⋅ E ⋅ J
Donde, fX es la flecha en el punto medio, l la luz de cada tramo de viga, E es el
módulo de elasticidad del material (hormigón, acero, etc.) y J es el momento de
inercia de la sección.
A continuación determinamos la flecha para una viga sin el apoyo central y una
carga distribuida uniforme en toda la luz. También hay muchos métodos para
resolver esta flecha cuyo resultado es:
fq :=
4
5
( 2 ⋅ l)
⋅q⋅
E ⋅J
384
Para que se cumpla la condición de equilibrio nulo, se debe cumplir la siguiente
condición:
fX– fq = 0
Que gráficamente significa lo siguiente:
Si resolvemos la ecuación, se obtiene que la fuerza X resulta:
X :=
5 ⋅ q ⋅ ( 2 ⋅ l)
8
Con este valor intermedio se obtienen las reacciones:
Ra :=
3⋅q⋅l
8
Rb :=
3⋅q⋅l
8
Y el momento en el apoyo resulta:
2
l
Map := −q ⋅
8
Con estos valores se pueden obtener los momentos máximos de los tramos.
Mtr := q ⋅
2
l
14.22
Si recapitulamos vemos que para resolver el hiperestático utilizamos un sistema
isostático geométricamente afín al cual se le han modificado las condiciones de
vínculo. A este sistema se lo denomina fundamental. Los sistemas fundamentales
pueden ser de diferente tipo según sea qué tipo de vínculo eliminan y qué
incógnita ponen en evidencia. En este sentido hay que señalar que pueden ser
vínculos internos, agregando articulaciones lo que permite colocar, por ejemplo,
momentos flexores como incógnitas. A continuación se agregan un ejemplo de
sistema fundamental de este tipo:
X1
X2
X3
Este método de resolución que hemos utilizado casi intuitivamente fue el primero
en desarrollarse y se denomina método de las incógnitas estáticas o vulgarmente
método de las fuerzas. En este caso hay que aclarar que se denomina fuerzas a
lo que son en realidad fuerzas y momentos, de ahí que el primero de los nombres
sea el más correcto.
Ahora bien, este método de resolución de hiperestáticos es conveniente cuando
se trata de hiperestáticos de pequeño grado de hiperestaticidad. Por ejemplo, el
caso que hemos visto posee un grado de hiperestaticidad igual a 1. Cuando
tenemos casos de mayor hiperestaticidad la dificultad matemática es creciente por
lo cual se idearon otros métodos para resolver hiperestáticos.
MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES
Este método que tomaremos como base para la resolución de vigas continuas, es
en cierta, manera especular con respecto al anterior. Pero tiene algunas
diferencias que es necesario recalcar. En primer lugar, es necesario conocer los
resultados de sistemas hiperestáticos de un tramo que fueron obtenidos por el
método anterior y que se han tabulado. En particular, la magnitud que nos interesa
son los momentos en los apoyos. En forma anexa a la resolución del trabajo
práctico incluiremos una tabla con muchos casos ya resueltos.
Este método de resolución trabaja también con un sistema fundamental. Es decir,
con un sistema geométricamente afín con diferentes condiciones de vínculo. Sólo
que en este caso no se trata de un sistema isostático sino un sistema con mayor
grado de hiperestaticidad, por ello es importante conocer los resultados de los
sistemas hiperestáticos de una barra.
Tomemos un hiperestático de grado 2, es decir que posee dos incógnitas para
resolver.
En efecto, el sistema fundamental se obtiene adicionando un empotramiento en
cada nudo interno del sistema hiperestático como se puede apreciar a
continuación.
En primer lugar se procede a cargar este sistema con el estado de cargas del
sistema hiperestático y se obtienen los momentos a ambos lados de los nudos
internos. La ventaja de haber colocado empotramientos en cada nudo permite que
trabajar con un conjunto de barras aisladas de un único tramo.
A continuación se obtienen los momentos de apoyo de cada tramo para lo cual se
deben conocer los resultados de los momentos de apoyo para el caso de vigas de
un tramo. Estos son sistemas hiperestáticos por lo cual se deben haber resuelto
previamente por otro método como puede ser el método de las fuerzas. Con el
enunciado del trabajo práctico se incluye una tabla con la resolución de los casos
más usuales. Como ejemplo se agregan los casos correspondientes a este
ejercicio.
Con estos datos se obtienen los momentos en los nudos. Para diferenciar los
momentos agregaremos un primer subíndice que indica el nudo en el cual se
encuentran y un segundo que indica el otro extremo de la barra y el mismo criterio
utilizaremos con los momentos generados por las cargas en el sistema
fundamental. Por último, agregaremos un superíndice que indica que se trata de
los momentos en el sistema fundamental.
Dado que las cargas, las luces y las condiciones de vínculo (un borde empotrado,
otro articulado o ambos empotrados) son diferentes los momentos en los nudos no
suelen coincidir, tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente donde se
encuentran volcados, no sólo los momentos extremos sino los momentos en todo
el tramo. ¿Adonde va la diferencia de momentos? Pues bien, la absorbe el
empotramiento.
En forma amplificada se grafica el apoyo C.
Con respecto al signo de los momentos en el apoyo hay que tomar en cuenta que
en el apoyo los momentos son negativos y que en el empotramiento tenemos
reacciones por lo cual a la izquierda del apoyo existe un momento positivo y a la
izquierda un momento negativo.
Ahora hay que tener en cuenta una idea conceptual más compleja porque escapa
a nuestra experiencia práctica. Ciertamente, nos resulta claro que si aplico una
fuerza o un momento a un elemento estructural, éste se desplaza o gira. Ahora
vamos a tener que aceptar la operación inversa. Si yo tengo un elemento
estructural y le aplico una deformación o un giro, aparecerán fuerzas o momentos,
sin importarme cuál fue el origen de la deformación impuesta.
En general, cuando le impongo un giro a una barra, aparecen momentos. Ahora
bien, si le aplico un giro unitario y positivo (igual a +1, medido en radianes)
aparecerán momentos a los cuales se denomina rigideces, Dicho de otra forma se
denomina rigidez angular en el extremo de una barra al momento que aparece en
la misma cuando se le impone un giro unitario y positivo.
Las rigideces angulares para los casos sencillos han sido calculadas y tabuladas,
denominándose rigideces directas (µ) a aquellas inducidas en el nudo donde se
impone el giro y rigideces cruzadas (m) a aquellas que aparecen en un nudo
cuando el giro no se impone en dicho nudo.
El objetivo del método es obtener qué giros hay que imponerle a cada
empotramiento para que se generen esfuerzos que se equilibren las diferencias de
momentos que se produjeron en el sistema fundamental al recibir las cargas del
hiperestático.
Para ello, se sigue este camino: Se le impone a cada nudo un giro unitario y
positivo manteniendo el resto de los nudos empotrados, lo que generará la
aparición de estos momentos inducidos por un giro unitario, llamados rigideces.
Para diferenciar las rigideces
En el punto B:
En el punto C:
Para mejor aclaración se indicará los momentos en el fundamental bajo la acción
de las cargas.
Posteriormente se plantean ecuaciones de equilibrio en cada nudo, tomando en
cuenta que los giros en los nudos (θB; θC, etc..) son las incógnitas que debemos
obtener.
En el nudo B queda la siguiente ecuación:
MºBA – MºBC + (µBA + µBC) θB + mBC θC = 0
En el nudo C queda la siguiente ecuación:
MºCB – MºCD + mCB θB + (µCB + µCD) θC = 0
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se obtienen los giros en cada nudo que
hacen que el sistema fundamental se asemeje a lo que ocurre en el hiperestático
original.
Ahora bien, cómo se pasa de giros a momentos. Para ello tenemos que recordar
la definición de momento flexor que no era un par sino un par de pares. Es decir,
había un momento a izquierda y otro a derecha. Pues bien se obtienen los
momentos a partir de los momentos denominados términos de carga sumados a
las rigideces multiplicados por los respectivos giros o bien a la izquierda o bien a la
derecha pero no sumados todos porque darían cero.
MhBA = MºBA+ µBA θB
→ Momento flexor en B
MhBc = -MºBC+ µBA θB + mBC θC
→ - (Momento flexor en B)
MhCB = MºCB+ µCB θB + mBC θC
→ Momento flexor en C
MhCD = -MºCD+ µCD θB
→ - (Momento flexor en C)
Más aún, es conveniente resolver el sistema a izquierda y a derecha por separado
ya que tienen que tener igual valor con signos opuestos y de esta forma se puede
verificar la corrección del resultado.
En este punto, el hiperestático está resuelto pero les indicaremos una forma de
obtener los esfuerzos característicos de cada barra, en forma separada.
En primer lugar, se obtienen los diagramas de corte. Para ellos se resuelven
barras simplemente apoyadas con las cargas y los momentos en los extremos.
Esto nos permite utilizar el principio de superposición y resolver la viga dos veces.
La primera, como viga simplemente apoyada con las cargas. La segunda, con los
momentos en los extremos.
q
Mizq
Mder
=
q
+
Mizq
Mder
Para el caso de los momentos se puede aplicar la siguiente fórmula
Qizq = (Mder-Mizq) / l
Qder = (Mizq-Mder) / l
Finalmente el momento de tramo puede obtener a partir del corte izquierdo y el
momento.
Para determinar el momento máximo de tramo se debe encontrar el punto en el
cual se produce cuando el cambio de signo del diagrama de corte. El punto de
momento máximo tiene dos posibilidades: a) El cambio de signo del diagrama de
corte se puede producir por efecto de una carga concentrada lo que genera un
punto de quiebre en el diagrama de momento flexor. b) El cambio de signo se
produce porque el diagrama de corte corta al eje de la viga, lo que genera una
tangente horizontal del diagrama de momentos.
a)
a)
En el primer caso, se toman momentos a izquierda desde el punto de cambio de
signo del diagrama de corte. En el segundo caso, hay que determinar la
coordenada de corte nulo.
Qizq– q . x = 0
x = Qizq / q
Finalmente
Mtr = Qizq . x – q . x² / 2 - Mizq
OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS
El Método de las Fuerzas o de las Deformaciones son los métodos troncales y
tradicionales, pero existen un gran número de métodos de resolución de
hiperestáticos. Entre los más populares podemos nombrar al Método de Cross que
en realidad es un derivado del método de las deformaciones y permite resolverlo
en forma iterativa.
También existen tablas para la resolución de hiperestáticos. Estas tablas brindan
divisores que permiten obtener momentos y cortes. En el primer caso estos
valores dividen a la carga multiplicada por la luz al cuadrado y en el segundo, la
carga multiplicada por la luz. Lo que es necesario advertir es que su alcance está
limitado al caso de cargas iguales y luces iguales aceptando muy leves
variaciones. Incluso la llamada adaptación del 15% corresponde a una reducción
de los momentos de apoyo y el consiguiente aumento de los momentos de tramo.
La ventaja que tienen es que en realidad son diagramas envolventes ya que si
bien las cargas permanentes se aplican en todos los casos, las sobrecargas sólo
se aplican alternadamente a fin de obtener los casos más desfavorables. Por eso
se ingresa como dato la relación entre cargas permanentes y cargas totales, el
esquema de cortes y momentos aparece quebrado. A ese diagrama que toma los
casos más desfavorables de esfuerzos característicos, se los denomina
diagramas envolventes.
Por último hay que hablar de la resolución de sistemas hiperestáticos por
computadoras. En la actualidad existen gran número de programas de resolución
de pórticos no sólo planos sino también espaciales, que presentan muchas
posibilidades de combinación de barras y también permiten intercalar
articulaciones, etc. Incluso la generación ha mejorado sensiblemente ya que se
puede dibujar la estructura y el programa la interpreta, reduciendo engorrosos
ingresos de datos. También permiten obtener los diagramas de esfuerzos
característicos.
En realidad, la utilización de estas poderosas herramientas de cálculo ha
desplazado el problema de la resolución de estos sistemas. Anteriormente la
dificultad se centraba en la resolución, hoy día, el problema es analizar la validez
de las hipótesis y la interpretación de los resultados obtenidos.
1/28
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 - RESOLUCIÓN ESTÁTICA DE
VIGAS
Efectuar la resolución estática de las vigas de la de la planta tipo (s/PB y
s/1º).
Como ejemplo se realizará la resolución estática de vigas de la planta s/2º
(de azotea) y s/azotea.
Planta s/2º y s/ azotea
Previamente se llevó a cabo el análisis de cargas de las vigas. Dicho
análisis de cargas consiste en determinar el valor de las cargas distribuidas
y solamente indicar la presencia de cargas concentradas provocadas por las
descargas de otras vigas sobre la viga analizada.
Como para la determinación de las descargas de las vigas es necesario
resolver previamente otras vigas, el orden de resolución no es el que se llevó
adelante, por ejemplo, en la resoluciónd e losas. En efecto, no se comienza
resolviendo la viga 1, luego la viga 2 y así sucesivamente. Es necesario
comenzar por las vigas de resolución inmediata, es decir aquellas que no
reciben descargas de otras vigas. Esta inevitable falta de orden, por otra
parte, brinda mayor libertad para elegir con qué viga comenzar y, por tal
motivo, comenzaremos resolviendo las vigas isostática para resolver las
vigas hiperestáticas en segundo término.
VIGAS SOBRE 2°
VIGA 203
Esquema :
q203a
q203b
la
lb
q203a := 1.59
t
m
q203b := 0.89
t
m
la := 0.95m
lb := 0.95m
2/28
2
 la + lb + q203b⋅ lb

2
2

q203a⋅ la⋅ 
Qa203 :=
la + lb
Qa203 = 1.344 t
Qb203 := −q203a⋅ la − q203b⋅ lb + Qa203
Qb203 = −1.012 t
Para determinar el momento máximo de tramo es preciso determinar el punto
en que se anula el corte:
Qa203 − q203a⋅ x = 0
x := 0.90m
2
Mtr := Qa203⋅ x − q203a⋅
x
2
Mtr = 0.566 t⋅ m
A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte y
momento flexor.
3/28
VIGA 216
Esquema :
P=Qa203
q216a
q216a := 1.727
t
m
q216b := 1.335
t
m
q216b
P := 1.344t
la
lb
la := 1.20m
lb := 3.60m
2
q216a⋅ la⋅ 
Qa216 :=
la
lb
+ lb + P⋅ lb + q216b⋅
2
2


la + lb
Qa216 = 4.624 t
Qb216 := −q216a⋅ la − q216b⋅ lb − P + Qa216
Qb216 = −3.599 t
Hay que buscar el punto en que se anula el corte pero combiene venir desde
la derecha cambiando el signo de los esfuerzos.
x :=
−Qb216
q216b
x = 2.70 m
2
x
Mtr := −Qb216⋅ x − q216b⋅
2
Mtr = 4.851 t⋅ m
4/28
A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte y
momento flexor.
VE (Viga de escalera)
Se trata de la viga de escalera que se encuentra a mitad de la altura sostenida
por la columna C3 y el tensor TE.
Esquema :
qE := 1.98
qE
t
m
lE := 1.95m
Se trata de una viga simplemente apoyada con una carga distribuida por la
resolución surge de la siguiente fórmula:
lE
2
QbE := −QaE
QaE = 1.930 t
QbE = −1.930 t
QaE := qE⋅
2
Mtr := qE⋅
lE
8
Mtr = 0.941 t⋅ m
5/28
A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte y
momento flexor.
VIGA 201-202
En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas son
distintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlas
por el método de las deformaciones.
Esquema :
P
q202a
q201
l201
q201 := 1.74
t
m
l202a
q202b
l202b
l201 := 3.90m
q202a := 0.98
t
m
l202a := 1.95m
q202b := 1.41
t
m
l202b := 1.95m
l202 := l202a + l202b
6/28
La carga del tensor es igual a la reacción a de la viga de escalera más el peso
propio del tensor que posee una sección rectangular de 20x12 cm y una altura
de 1.40m
peha := 2.400
t
m
b := 0.12m
3
d := 0.20m
TE := QaE + peha⋅ b⋅ d⋅ h
h := 1.40m
TE = 2011 kgf
P202 := −Qb216 + TE
P202 = 5.61 t
Para resolver el hiperestático mediante el método de las deformaciones el
primer paso determinar el fundamental que se obtiene empotrando cada uno
de los nudos intermedios.
P
q202a
q201
q202b
1
3
M
o
21
2
M
o
23
l201
l202a
l202b
A continuación se obtienen los momentos en los empotramientos del
fundamental afectado con las cargas del sistema hiperestático. Las fórmulas
que permiten calcular estos momentos se encuentran en tabla anexa.
M021 :=
M023 :=
q201⋅ l201
2
8
−9
128
2
⋅ q202a⋅ l202 −
M021 = 3.31 t⋅ m
7
128
2
⋅ q202b⋅ l202 −
3⋅ P202⋅ l202
16
M023 = −6.32 t⋅ m
A continuación se obtienen las rigideces angulares para lo cual se impone un
giro unitario y positivo al nudo intermedio y se utilizan las fórmulas que se
agregan en la parte teórica y que dependen del material (E), el momento de
inercia de la sección (J) y las condiciones de sustentación (articulado
empotrado).
7/28
Dado que en el presente los materiales y las secciones son iguales, se puede
a los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Esto facilita
los cálculos, pero hay que tomar en cuenta que los giros que se van a obtener
no son los reales.
E := 1
t
m
µ21 :=
J := 1m
2
3⋅ E⋅ J
l201
µ23 :=
µ21 = 0.77 t⋅ m
4
3⋅ E⋅ J
l202
µ23 = 0.77 t⋅ m
A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2.
M021 + M023 + ( µ21 + µ23) ⋅ θ = 0
θ :=
−( M021 + M023)
µ21 + µ23
θ = 1.96
Con el valor del giro que como señalamos, no corresponde al giro real, se
pueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para ello cual hay
que sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el sistema
fundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan
ambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque con signo
opuesto y esto verifica la corrección del resultado.
Mh21 := M021 + µ21⋅ θ
Mh23 := M023 + µ23⋅ θ
Mh21 = 4.82 t⋅ m
Mh23 = −4.82 t⋅ m
( momento flexor )
Con la obtención del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático,
ahora hay que obtener los diagramas de corte. Para ello se considera cada
barra en forma aislada y se aplica superposición de esfuerzos.
Viga 201
8/28
q201
1
M
h
21
2
l201
=
q201
1
2
l201
+
1
M
h
21
2
l201
Q12 :=
q201⋅ l201 Mh21
−
2
l201
Q12 = 2.16 t
Q21 :=
−q201⋅ l201 Mh21
−
2
l201
Q21 = −4.63 t
Viga 202
9/28
P202
q202a
q202b
3
2
M
h
23
l202a
l202b
l202
=
P202
q202a
q202b
3
2
l202a
l202b
l202
+
3
2
M
h
23
l202
 l202a + l202b

2
 2
 + q202b⋅ l202b + P202⋅ l202b + −Mh23
q202a⋅ l202a ⋅ 
Q23 :=
l202
2⋅ l202
l202
l202
Q23 = 6.16 t
2
Q32 :=
−q202a⋅ l202a
−
2⋅ l202
 l202b + l202a

 2
 − P202⋅ l202a + −Mh23
q202b⋅ l202b ⋅ 
l202
l202
Q32 = −4.11 t
Por último, se obtienen los momentos de tramo de cada viga.
l202
10/28
Viga 201
En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximo
momento flexor en el tramo.
x201 :=
Q12
x201 = 1.24 m
q201
M201 := Q12 ⋅ x201 −
q201⋅ x201
2
M201 = 1.34 t⋅ m
2
Viga 202
Para este tramo donde no existe corte nulo, se obtiene el momento flexor,
tomando momentos en la coordenada donde se encuentra la carga
concentrada.
M202 := Q23 ⋅ l202a −
q202a⋅ l202a
2
2
+ Mh23
M202 = 5.33 t⋅ m
A continuación se representan los diagramas de esfuerzos de corte y momento
flexor.
VIGA 206-207
11/28
En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas son
distintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlas
por el método de las deformaciones.
Esquema :
q207
q206
l206
l207
t
m
l206 := 3.90m
q206 := 2.06
q207 := 2.06
t
m
l207 := 3.90m
Obtención de momentos iniciales
q207
q206
1
3
M
l206
M021 :=
q206⋅ l206
8
21
2
M
o
23
l207
2
−q207⋅ l207
M023 :=
8
M021 = 3.92 t⋅ m
o
2
M023 = −3.92 t⋅ m
12/28
Como en este caso los momentos flexores son iguales la resolución se
detiene adoptando este valor como momento flexor.
Con la obtención del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático,
ahora hay que obtener los diagramas de corte. Para ello se considera cada
barra en forma aislada y se aplica superposición de esfuerzos.
Viga 206
q206
1
M
h
21
2
l206
=
q206
1
2
l206
+
1
M
h
21
2
l206
Q12 :=
q206⋅ l206 Mh21
−
2
l206
Q12 = 2.78 t
Q21 :=
−q206⋅ l206 Mh21
−
2
l206
Q21 = −5.25 t
Viga 207
13/28
q207
3
2
M
h
23
l207
=
q207
3
2
M
h
23
l207
+
3
2
Q23 :=
M
h
23
l207
q207⋅ l207 −Mh23
+
2
l207
Q23 = 5.25 t
Q32 :=
−q207⋅ l207 −Mh23
+
2
l207
Q32 = −2.78 t
Por último, se obtienen los momentos de tramo de cada viga.
14/28
Viga 206
En cada tramo, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximo
momento flexor en el tramo.
x206 :=
Q12
x206 = 1.35 m
q206
M206 := Q12 ⋅ x206 −
q206⋅ x206
2
M206 = 1.88 t⋅ m
2
Viga 207
x207 :=
Q23
q207
M207 := Q23 ⋅ x207 −
x207 = 2.55 m
q207⋅ x207
2
2
+ Mh23
M207 = 1.88 t⋅ m
A continuación se representan los diagramas de esfuerzos de corte y momento
flexor.
VIGA 210-211-212
15/28
En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas.
Solamente hay una mayor complejidad matemática porque se debe resolver un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Esquema :
t
m
t
q211 := 0.86
m
q210 := 2.47
q212 := 1.13
l210 := 3.80m
l211 := 3.90m
t
m
l212 := 3.80m
Obtención de momentos iniciales
2
M021 :=
q210⋅ l210
8
M023 :=
−q211⋅ l211
12
2
M032 :=
q211⋅ l211
12
M034 :=
−q212⋅ l212
8
2
M021 = 4.46 tm
M023 = −1.09 tm
2
M032 = 1.09 tm
M034 = −2.04 tm
Obtención de Rigideces Angulares
Por lo indicado anteriormente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, por
lo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos.
Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3
16/28
Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3
manteniendo el resto en las mismas condiciones (empotrado).
Hay que tomar
en cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por el
giro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra m.
t
E := 1
m
2
J := 1m
4
Se impone un giro unitario en el nudo 2, manteniendo el empotramiento en el
nudo 3.
µ21 :=
3.E⋅ J
l210
µ21 = 0.79 tm
µ23 :=
4E⋅ J
l211
µ23 = 1.03 tm
m32 :=
2E⋅ J
l211
m32 = 0.51 tm
Se impone un giro unitario en el nudo 3, manteniendo el empotramiento en el
nudo 2.
µ32 :=
4E⋅ J
l211
µ32 = 1.03 tm
µ34 :=
3E⋅ J
l212
µ34 = 0.79 tm
m23 :=
2E⋅ J
l211
m23 = 0.51 tm
17/28
A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2 y otra
diferente en el nudo 3.
Nudo 2
M021 + M023 + (µ21 + µ23).θ2 + m23.θ3 = 0
Nudo 3
M032 + M034 + m32.θ2 + (µ32 + µ34).θ3 = 0
Operamos, reemplazamos los lugares por números y pasamos los términos
independientes al segundo miembro de la igualdad. En este caso tenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual hay que buscar algú
método de resolución. Por su simplicidad, utilizaremos la regla de Cramer
consistente en la resolución mediante el cociente de dos determinantes.
Nudo 2
1.82.θ2 + 0.51.θ3 = -3.37 tm
Nudo 3
0.51.θ2 + 1.82.θ3 = 0.95 tm
Para la resolución del sistema de ecuaciones según el método propuesto se
debe obtener el determinante de los coeficientes ∆ que es aquel cuyos lugares
en la tabla son los valores que multiplican a las incógnitas (θ2 y θ3):
∆ :=
 1.82 0.51 


 0.51 1.82 
cuya resolución es:
∆ := 1.82⋅ 1.82 − 0.51⋅ 0.51
∆ = 3.05
Seguidamente se obtienen los valores de los determinantes ∆1 y ∆2. Estos
determinantes se obtienen reeemplazando los valores de la columna de
cada incógnita por los términos que aparecen en el segundo miembro de la
ecuación
∆1 :=
 −3.37 0.51 


 0.95 1.82 
18/28
cuya resolución es:
∆1 := −3.37⋅ 1.82 − 0.95⋅ 0.51
∆1 = −6.62
∆2 :=
 1.82 −3.37 


 0.51 0.95 
cuya resolución es:
∆2 := 1.82⋅ 0.95 + 0.51⋅ 3.37
∆2 = 3.45
Finalmente los giros se obtienen por los siguientes cocientes:
θ2 :=
∆1
∆
θ2 = −2.17
θ3 :=
∆2
∆
θ3 = 1.13
Con el valor de los giros que, como señalamos, no corresponden a los giros
reales, se pueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para el
hay que sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el
sistema fundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se
calculan ambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque co
signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado.
Mh21 := M021 + µ21⋅ θ2
Mh23 := M023 + µ23⋅ θ2 + m23 ⋅ θ3
Mh32 := M032 + m23 ⋅ θ2 + µ32⋅ θ3
Mh34 := M034 + µ34⋅ θ3
Mh21 = 2.75 tm
Mh23 = −2.73 tm
(momentoflexor)
Mh32 = 1.14 tm
Mh34 = −1.15 tm (momentoflexor)
Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtención
del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático, ahora hay que
obtener los diagramas de corte.
19/28
Viga 210
Q12 :=
Q12 :=
Viga 211
q210⋅ l210
2
q210⋅ l210
2
−
+
Mh21
l210
Mh21
l210
Q12 = 3.97 t
Q12 = 5.42 t
20/28
Q23 :=
q211⋅ l211 Mh32 + Mh23
−
2
l210
Q23 = 2.10 t
Q32 :=
q211⋅ l211 Mh32 + Mh23
+
2
l210
Q32 = 1.26 t
Viga 212
21/28
Q34 :=
q212⋅ l212 Mh34
−
2
l210
Q34 = 2.45 t
Q43 :=
q212⋅ l212 Mh34
+
2
l210
Q43 = 1.84 t
Momentos de Tramo
V210
Para obtener los momentos de tramo, al no haber cargas concentradas, es
preciso determinar la distancia a la cual se anula el corte.
x210 :=
Q12
q210
M210 := Q12 ⋅ x210 −
x210 = 2.19 m
q210⋅ x210
2
2
M210 = 5.94 tm
V211
En forma similar se obtienen los momentos del segundo tramo.
22/28
x211 :=
Q23
x211 = 2.44 m
q211
M211 := Q23 ⋅ x211 −
q211⋅ x211
2
+ Mh23
2
M211 = −0.18 tm
Como este valor es negativo, se compara con el momento de tramo de una
viga bi-empotrada que es el valor mínimo a adoptar para el dimensionamiento
del tramo.
M211min :=
q211⋅ l211
2
M211min = 0.55 tm
24
V212
En forma similar se obtienen los momentos del tercer tramo.
x212 :=
Q34
x212 = 2.17 m
q212
M212 := Q34 ⋅ x212 −
q212⋅ x212
2
2
M212 = 2.65 tm
A continuación se agrega el diagrama de esfuerzos de corte y momentos
flexores.
ANEXO MATEMÁTICO
Para la resolución de los sistemas de ecuaciones que suelen aparecer en el
método de las deformaciones, se puede aplicar cualquier método, tales como
sustituciones, sumas y restas y muchos más.
Sin embargo, por su simplicidad, se utilizó el llamado Método de Cramer
consistente en el cociente de dos determinantes y, por tal motivo, se hará una
breve reseña de este método, no en cuanto a su fundamentación, sino a su
procedimiento.
En primer lugar, se recordará que los determinantes son números que se obtienen
a partir de tablas o matrices cuadradas que asignan un valor numérico en cada
posición. El determinante se obtiene de la suma de un número de factores iguales
al grado del determinante. Por ejemplo, si la matriz posee dos filas y dos
columnas, los términos de cada determinante poseen dos factores, si consta de
tres filas y tres columnas, se sumarán tres factores.
En particular, se indicará como se obtienen los valores de los determinantes de
2x2 que son los necesarios para la resolución del hiperestático
 a11 a12 

 a21 a22 
∆
∆ = a11xa22 –a21xa12
Ahora bien, dado un sistema de ecuaciones del tipo siguiente:
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
La regla de Cramer establece que la solución del sistema se obtiene del cociente
de los siguientes determinantes.
x :=
∆1
y :=
∆
Donde:
∆
 a11 a12 

 a21 a22 
∆2
∆
∆1
 b1 a12 

 b2 a22 
∆2
 a11 b1 

 a21 b2 
DIMENSIONAMIENTO A FLEXIÓN EN VIGAS
Ya se ha visto cómo se dimensionan y eventualmente cómo se verifican
secciones rectangulares de hormigón armado y, en particular, aplicamos este
procedimiento a un caso en el cual siempre hay secciones rectangulares como
son las losas macizas.
Sin embargo, también aclaramos que en hormigón armado la sección
rectangular tenía gran versatilidad ya que, aunque las secciones adoptaran
formas diferentes como la forma T o la forma de un cajón podían utilizarse las
mismas tablas de cálculo debido a que en definitiva existía una gran zona
traccionada por debajo del eje neutro de la sección que no colaboraba con la
resistencia a la flexión y cuya única función era mantener suficientemente
alejada a las armaduras que se concentraban a la altura h de la sección.
De esta forma, salvo las vigas triangulares, circulares o de formas muy
irregulares que quedarían por afuera de este procedimiento, un gran número de
vigas pueden ser resueltas como secciones rectangulares.
En esta clase vamos a ocuparnos en particular del dimensionamiento de vigas
en los cuales se da un fenómeno particular. En efecto, en los casos más
comunes las vigas delimitan las losas sin que exista alguna solución de
continuidad entre un elemento y otro. En efecto, el carácter monolítico del
hormigón implica que no haya ninguna separación entre vistas y losas, salvo,
por supuesto, el aumento de altura.
Ahora bien, como sabemos en el caso de un elemento estructural flexado con
momento flexor de signo positivo se produce una zona superior comprimida
que llega hasta el eje neutro y una zona inferior traccionada en la cual se alojan
en forma concentrada armaduras de acero para absorber los esfuerzos de
tracción y alcanzar el equilibrio.
Sin embargo, esta zona de compresión superior no se circunscribe al
rectángulo de la viga sino que en la realidad se produce una colaboración de
las losas adyacentes a la viga, de manera que la viga adquiere forma de “T” o
de “L”.
Esto no quiere decir que las losas funcionan exactamente igual que las vigas
ya que tienen deformaciones diferentes por lo cual se generan esfuerzos de
resbalamiento entre una zona y la otra. Además existen otros fenómenos
relativos a la diferencia de ubicación del eje neutro en una zona y en la otra.
Por último hay que tomar en cuenta que los esfuerzos de compresión en la losa
van disminuyendo paulatinamente hasta desaparecer hacia el tramo de la losa.
Sin embargo, a los fines prácticos, la norma considera que se considera una
repartición ideal de tensiones repartida uniformemente dentro de un “ancho
activo”. Por lo cual el problema se reduce a la determinación del mencionado
ancho de colaboración en la zona de momento máximo positivo de la viga.
¿Por qué digo en la zona de momento máximo positivo de la viga? Porque en
realidad, si lo vemos en planta, las tensiones de compresión van creciendo
paulatinamente generando trayectorias de compresión desde la zona de
momento negativo donde la colaboración de la losa no existe hasta la zona
más exigida de flexión positiva en la cual la colaboración de las placas
adyacentes es máxima. Y digo zona de momento negativo y no apoyos porque
como hemos visto el fenómeno de colaboración de la placa ocurre cuando hay
compresión superior y esto sólo ocurre cuando hay momento positivo.
Como toda conclusión sobre comportamiento estructural del hormigón armado,
y esta no es la excepción, surgen de la experimentación. Así también se ha
comprobado empíricamente que cuando se introduce una carga concentrada
en la viga, se produce una reducción del ancho de colaboración que proveen
las placas adyacentes a la misma.
Adicionalmente señalamos que existen diferentes posibilidades de anchos de
placa. Una para el caso de vigas con dos losas adyacentes y aquellas vigas
que sólo poseen placa sobre uno de sus laterales. En el primero de los casos
se habla de vigas “T” y, en el segundo de vigas “L”.
En estas condiciones detallaremos los dos métodos que existen, según esta
norma, para la determinación del ancho de colaboración.
En primer lugar existe un método aproximado pero válido que toma en cuenta
el ancho en función de la longitud de la zona comprimida.
La fórmula de aplicación es la siguiente:
Para el caso de vigas T:
b = 1/3 x lo
Para el caso de vigas L:
b = 1/6 x lo
Ahora bien, qué es lo, la distancia entre puntos de momento nulo que varía en
función de las condiciones de vínculo de las vigas.
Así para vigas simplemente apoyadas:
lo = l
Así para tramos extremos de vigas continuas:
lo = 0.80 l
Y para tramos internos de vigas continuas:
lo = 0.60 l
También hay una fórmula para voladizos, pero recordemos que, en los
voladizos la placa tiene que estar abajo para colaborar, es decir tiene que ser
una viga invertida, lo cual puede dar lugar a confusiones, razón por la cual la
hemos omitido en este apunte.
Si echamos un vistazo a las fórmulas precedentes, llegaremos a la conclusión
que este método no tiene en cuenta el ancho de la losa en la dirección
perpendicular a la viga, parámetro a tener en cuenta ya que hacia allí se
extienden las tensiones de compresión de la viga. Por eso, hay una limitación
en este método aproximado: no se pueden superponer anchos de
colaboración. Es decir cada mitad de ancho no debe ser superior a la mitad de
la luz de la losa en la dirección normal a la traza de la viga.
También existe un método más preciso que consiste en determinar el ancho de
colaboración a partir del mayor ancho disponible. Por ejemplo, en el caso de
una losa entre vigas b sería igual a la mitad del ancho de los deduciendo el
ancho de viga.
La tabla que se utiliza es la siguiente:
Se ingresa con la relación entre altura total de placa (no olvidemos que en las
zonas comprimidas cuenta toda la sección de hormigón) y la relación entre el bi
lo. Esto última longitud la distancia entre puntos de momento nulo de la viga.
Con estos dos parámetros se obtiene un valor que relaciona con bi.
Además hay que verificar que no haya una carga concentrada porque en ese
caso, sólo se puede tomar el 60% del ancho.
Pero con esta determinación no termina el problema ya que es importante
determinar la ubicación del eje neutro.
En efecto, todo este análisis parte del hecho de que no existe diferencia entre
una sección rectangular cuyo ancho es el de colaboración de placa y una
sección de forma “T” con ese mismo ancho. Sin embargo, esto sólo ocurre si el
eje neutro se encuentra dentro de la placa, sino ya no tendremos una zona
comprimida de ese ancho sino una zona comprimida de forma de “T”.
La ubicación del eje neutro se obtiene de la tabla del ms o del kh. En efecto,
entre los datos que da la mencionada tabla existe uno denominado kx. Si se
multiplica este parámetro por la altura h, se obtiene la altura de la zona
comprimida.
x = kx x h
Cuando el eje neutro se encuentra cortando al nervio de la viga “T”, la situación
es más compleja ya que no se puede considerar una viga del ancho de la placa
al existir secciones de vacío que no colaboran en la compresión y que
evidentemente provocarán una mayor exigencia de la viga lo que a su vez,
bajará la posición del eje neutro dentro de la viga.
Por tal motivo, la norma ha ideado métodos para poder seguir resolviendo este
tipo de vigas como secciones rectangulares, luego de realizar algunas
correcciones.
Lo primero que establece la norma es una distinción entre vigas “T” o “L”:
Aquellas vigas en las cuales el ancho del alma de la viga es relativamente
pequeño con respecto al ancho de la placa de la colaboración lo que se conoce
como “alma delgada”. El otro caso, es el de la llamada “alma gruesa”. La
diferencia entre ambos casos se define por la relación b/bo < 5,
En el primero de los casos, se considera que la incidencia del ancho de alma
es parcamente despreciable. Por ello, se puede realizar la siguiente
simplificación: se considera una carga constante sobre la placa y se establece
que el brazo elástico z es aproximadamente h – d/2, siendo d el ancho de
placa.
En este caso se debe en primer lugar verificar la placa a compresión mediante
la siguiente fórmula:
Dbu = ν x M / z = ν x M / (h – d/2)
σb,m = Dbu / (d x b) < βr
Para el dimensionamiento de las armaduras se puede aplicar un procedimiento
similar determinando el esfuerzo total de tracción.
Zu = Dbu
Fe = Zu / βs
En el caso de las viga de “alma gruesa”, cuando no se puede descartar lo que
ocurre en el alma de la viga, se podría realizar un procedimiento exacto
integrando diferenciadamente el esfuerzo de la placa y del alma. Sin embargo,
es matemáticamente muy engorroso, razón por la cual existe un procedimiento
simplificado que es el que se utiliza en la práctica.
Este método consiste en determinar un ancho que con la misma ubicación del
eje neutro conduzca a la misma resultante Dbu que la que tendría el conjunto
de placa y alma. Por qué es aproximado, porque no sólo varía el valor de la
compresión sino también la ubicación de la resultante, pero a los fines del
cálculo esta variación es de poca importancia.
La tabla mencionada es la siguiente
Una vez determinado el ancho activo de placa para los tramos con momento
positivo de las vigas se está en condiciones de dimensionar las armaduras de
vigas.
Tanto para los tramos como para los apoyos se utiliza el método ms o kh. La
diferencia es el ancho que se utiliza.
Para los momentos positivos, salvo que no exista placa o bien, exista
parcialmente, las vigas sean invertidas o posean losas bajas adyacentes, es
preciso obtener previamente el ancho de colaboración de placa y con este valor
se determina la sección necesaria de armaduras. En caso de tratarse de una
viga “I”, sin ancho de colaboración, se dimensionan las armaduras con un
ancho igual al del alma de la viga (bo).
Posteriormente se determinan las secciones necesarias en los apoyos. Como
en este caso, el momento es negativo, igual que en los voladizos, no hay que
determinar el ancho de colaboración.
Una vez que determinamos las secciones, tenemos que disponer las
armaduras que en este caso son un cierto número de barras. No hay
limitaciones en cuanto a los diámetros de uso pero una regla no escrita que
toma en cuenta posibles corrosiones de las armaduras establecen que un
diámetro mínimo para armadura principal sería de 10 mm.
Cuantas barras conviene disponer. Desde el punto de vista teórico siempre es
mejor adoptar muchas barras de diámetros pequeños que pocas barras de
diámetros grandes, pero desde el punto de vista práctico, no. En primer lugar,
existen separaciones mínimas1 entre las barras para que el hormigón penetre
sin problemas entre las barras y todas las barras tienen que encontrarse
contenidas en un ancho que suele ser de 12 cm de espesor. Estos es
importante, particularmente en los apoyos donde confluyen armaduras de dos
vigas continuas y además las armaduras de las columnas.
Por eso se busca que sean pocas barras, del orden de 3 ó 4 si es posible.
Siempre hay que colocar barras por exceso, es decir, en total tienen que sumar
mayor sección que la necesaria. Es posible combinar barras de diferente
diámetro, pero otra ley no escrita dice que las barras tienen que tener
diámetros sucesivos. Es decir, con hierros de 10 mm de diámetro, podemos
colocar barras de 12 mm pero no de 16 mm.
¿Cómo se arman los apoyos? Por supuesto, que en la zona superior de la viga
pero, ¿de donde provienen estas barras? Existen dos posibilidades. En primer
lugar, como en las losas se pueden doblar a 45%, incluso a 60% aunque no es
usual, las armaduras del tramo que yo no se utilizan porque, como también
ocurría en las losas se dimensiona para el máximo momento positivo. Como
este valor decrece al acercarse a los apoyos, es posible utilizar estas barras.
Pero hay algunas limitaciones al levantamiento de barras. Por razones que
veremos en la teórica de corte, sólo es posible reducir en el apoyo el 50% de la
sección del tramo y por razones constructivas deben llegar, al menos dos
barras al apoyo. En los apoyos intermedios se puede levantar hasta los 2/3 del
total de la sección del tramo y también, siempre es necesario dejar dos barras
por razones constructivas.
En efecto, las vigas rectangulares poseen las armaduras longitudinales que
deben estar rodeadas de una suerte de cuadro de barras de acero de pequeño
diàmetro que se colocan a una separación dada y que se denominan estribos.
De los estribos vamos a hablar en la clase de corte porque su función no es
solamente función constructiva, sino también estructural.
Cuando superiormente no es necesario colocar armaduras para absorber
momentos como en el caso de las vigas simplemente apoyadas, se colocan
barras longitudinales constructivas que se denominan “perchas” para cerrar el
cuadro con los estribos.
Por último quisiera señalarles que se puede prescindir del doblado de barras y
esta es una tendencia creciente. En efecto, es posible colocar armaduras
superiores rectas que absorban las tracciones generadas por los momentos
positivos sin doblar barras. La razón de este temperamento, es reducir costo de
mano de obra ya que, no es lo mismo cortar una barra que lo puede hacer una
persona que doblar un hierro de 20 ò 25 mm que requiere el trabajo de dos
personas.
1
Según la norma, la separación entre barras debe ser el menor valor entre 2 cm, el ancho de
diámetro de las barras longitudinales o el tamaño máximo del agregado grueso.
1/29
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 - DIMENSIONAMIENTO A FLEXION
DE VIGAS
Efectuar el dimensionamiento a flexión de las vigas de la de la planta tipo
(s/PB y s/1º).
Como ejemplo se realizará el dimensionamiento de vigas de la planta s/2º
(de azotea) y s/azotea.
Planta s/2º y s/ azotea
En el trabajo práctico de resolución estática de vigas (TP Nº 5) se
determinaron los momentos flexores de tramo y apoyo. En este trabajo
práctico se verifican las secciones y se determinarán las correspondientes
armaduras.
Se utilizarán, como se hizo para el caso del dimensionamiento de losas a
flexion las siguientes calidades de hormigón y acero: H17 (σ'bk = 170
Kg/cm²) y acero ADN 420 cuyos valores de cálculo se indican a continuación.
βs := 4200
kgf
βr := 140
2
kgf
2
cm
cm
VIGAS SOBRE 2°
VIGA 201-202.
Esquema :
P
q202a
q201
l201
rec := 3cm
q202b
l202a
l202b
( recubrimiento)
bo201 := 12cm
l201 := 3.90m
2/29
d201 := 40cm
l202a := 1.95m
h201 := d201 − rec
h201 = 37 cm
bo202 := 12cm
l202b := 1.95m
d202 := 40cm
l202 := l202a + l202b
l202 = 3.90 m
h202 := d202 − rec
h202 = 37 cm
En una viga continua se comienza por el dimensionamiento de las
armaduras en los tramos de vigas y posteriormente se dimensionan los
apoyos tomando en cuenta las armaduras que se leventan en los tramos.
Para verificar las secciones y obtener las armaduras, se debe en primer
lugar obtener el ancho de colaboración de la placa adyacente para lo cual en
este caso se utilizará el método simplicado que consiste en determinar estos
anchos a partir de las longitudes de tramo con momento positivo en cada
una de las vigas.
Determinación de anchos de colaboración
V201
Se trata de una viga L, empotrada articulada, por lo cual:
lo201 := 0.80 ⋅ l201
b201 :=
lo201
6
b201 = 52 cm
Este valor debe ser simpre menor a la mitad del tramo de la losa adyacente que
en este caso es:
ly202 := 3.90m
ly202
= 195 cm
2
Verifica
V202
Como en su tramo central la viga 202 no recibe losa (el descanso de la escalera
llega al nivel intermedio, la viga es I y el ancho de colaboración es el ancho del
3/29
llega al nivel intermedio, la viga es I y el ancho de colaboración es el ancho del
alma de la viga.:
b202 := bo202
b202 = 12 cm
Momentos en los tramos:
Del TP5 se obtienen los valores de los momentos:
M201 := 1.34tm
M201
ms :=
< 0.193
ms = 0.013
2
b201 ⋅ h201 ⋅ βr
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo considerando el caso de
ms=0.02 ya que siempre se redondea para arriba:
kx := 0.12
x := kx ⋅ h201
< 9cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
x = 4.44 cm
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.037
Fe201nec := ωM ⋅
b201 ⋅ h201
βs
βr
2
Fe201nec = 2.37 cm
Se adoptan 3φ12
2
Fe201adopt := 3.39cm
M202 := 5.33tm
ms :=
M202
2
b202 ⋅ h202 ⋅ βr
ms = 0.232
> 0.193
4/29
En este caso hay dos posibilidades, redimensionar la sección o utilizar
armadura de compresión. Elegiremos esta segunda alternativa con lo cual se
utiliza la tabla de armadura doble acompañada en anexo. Se adopta similar
recubrimiento en la armadura de compresión que de tracción:
d1
= 0.08
h202
d1 := rec
Se toma el caso de d1/h = 0.10
La armadura de compresión resulta:
ω1 := 0.011
Fe1202nec := ω1 ⋅
b202 ⋅ h202
βs
βr
2
Fe1202nec = 0.16 cm
Se adoptan 2φ10 como armadura de compresión en el tramo ubicadas
superiormente.
2
Fe1202adop := 1.57cm
La armadura de tracción resulta:.
ωM := 0.507
Fe202nec := ωM ⋅
b202 ⋅ h202
βs
βr
2
Fe202nec = 7.50 cm
En este caso se adoptan 4φ16.
2
Fe202adopt := 8.04cm
Dimensionamiento de apoyos:
Como el momento en los apoyos es negativo no hay colaboración de la placa
y por eso se adopta el menor de los anchos de las vigas que concurren a él.
M201_202 := −4.82tm
ms :=
−M201_202
2
b202 ⋅ h202 ⋅ βr
ms = 0.210
> 0.193
5/29
También en este caso se dispone armadura de compresión sólo que en este
caso va ubicada en el apoyo en el sector inferior:
Se toma el caso de d1/h = 0.10
La armadura de compresión resulta:
ω1 := 0.032
Fe1201_202nec := ω1 ⋅
b202 ⋅ h202
βs
βr
2
Fe1201_202nec = 0.47 cm
Para el armado se prolongan dos de las tres barras del tramo de la V202. Esto
es 2φ20.
2
Fe1201_202adop := 6.28cm
La armadura de tracción resulta:.
ωM := 0.468
Fe201_202nec := ωM ⋅
b202 ⋅ h202
βs
βr
2
Fe201_202nec = 6.93 cm
De la viga V202, se levanta a 45º 1φ20. Se agregan como adicionales 2φ16.
2
Fe201_202adopt := ( 2 ⋅ 2.01 + 3.14)cm
2
Fe201_202adopt = 7.16 cm
VIGA 203
Esquema :
6/29
q203a
q203b
la
lb
bo203 := 12cm
la := 1.00m
d203 := 30cm
lb := 1.00m
h203 := d203 − rec
l203 := la + lb
l203 = 2.00 m
h203 = 27 cm
Determinación de anchos de colaboración
V203
Se trata de una viga L, simplemente apoyada, por lo cual:
lo203 := l203
b203 :=
lo203
6
b203 = 33 cm
Este valor debe ser simpre menor a la mitad del tramo de la losa adyacente que
en este caso es:
ly204 := 1.20m
Verifica
Del TP5 se obtiene el valor del momento:
M203 := 0.566tm
M203
ms :=
2
b203 ⋅ h203 ⋅ βr
ms = 0.017
< 0.193
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.12
x := kx ⋅ h203
7/29
x = 3.24 cm
< 7cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.037
Fe203nec := ωM ⋅
b203 ⋅ h203
βs
βr
2
Fe203nec = 1.11 cm
Como para vigas se utilizan como mínimo barras φ10 y es necesario colocar
por lo menos 2 barras, se adoptan 2φ10
2
Fe201adopt := 1.57cm
VIGA 206-207
Esquema :
q207
q206
l206
l207
rec = 3.00 cm
bo206 := 12cm
d206 := 40cm
h206 := d206 − rec
h206 = 37 cm
l206 := 4.00m
l207 := 4.00m
8/29
bo207 := 12cm
d207 := 40cm
h207 := d206 − rec
h207 = 37 cm
En una viga continua se comienza por el dimensionamiento de las
armaduras en los tramos de vigas y posteriormente se dimensionan los
apoyos tomando en cuenta las armaduras que se leventan en los tramos.
Para verificar las secciones y obtener las armaduras, se debe en primer
lugar obtener el ancho de colaboración de la placa adyacente para lo cual en
este caso se utilizará el método simplicado que consiste en determinar estos
anchos a partir de las longitudes de tramo con momento positivo en cada
una de las vigas.
Determinación de anchos de colaboración
V206 - V207
Se trata de dos vigas T, empotradas-articuladas. Para ejemplificar, se
obtendrá el ancho por el método más preciso que brinda el Reglamento.
Se trata de una viga T, empotrada articulada, por lo cual:
lo206 := 0.80 ⋅ l206
do := 11cm
b1 :=
3.90
m
2
b1
= 0.49
l206
b2 :=
3.80
m
2
b2
= 0.48
l206
do
= 0.28
d206
bm1206 := 0.40 ⋅ b1
bm1206 = 78 cm
bm2206 := 0.92 ⋅ b2
bm2206 = 175 cm
9/29
b206 := ( bo206 + bm1206 + bm2206) ⋅ 0.60
b206 = 159 cm
b207 := b206
Los valores de los momentos:
M206 := 1.88tm
M206
ms :=
< 0.193
ms = 0.006
2
b206 ⋅ h206 ⋅ βr
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.08
x = 2.96 cm
x := kx ⋅ h206
< 9cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.018
Fe206nec := ωM ⋅
b206 ⋅ h206
βs
βr
2
Fe206nec = 3.53 cm
Se adoptan 2φ16.
2
Fe206adopt := 4.01cm
Como el momento es igual el dimensionamiento es válido para la viga V207.
Se resalta el hecho de que al colocarse dos barras en ambos tramos, no es
posible levantar armaduras para absorber los esfuerzos de tracción superiores
en los apoyos.
Dimensionamiento de apoyos:
10/29
Como el momento en los apoyos es negativo no hay colaboración de la placa
y por eso se adopta el menor de los anchos de las vigas que concurren a él.
M206_207 := −3.92tm
ms :=
−M206_207
ms = 0.170
2
bo206 ⋅ h206 ⋅ βr
< 0.193
La armadura superior resulta:.
ωM := 0.367
Fe206_207nec := ωM ⋅
bo206 ⋅ h206
βs
βr
2
Fe206_207nec = 5.43 cm
De las vigas V206 y V206, no se levantan armaduras a 45º . Se agregan
como adicionales 3φ16.
2
Fe206_207adopt := ( 3 ⋅ 2.01)cm
2
Fe206_207adopt = 6.03 cm
VIGA 210-211-212
Esquema :
q211
q210
l210
q212
l211
l212
rec = 3.00 cm
bo210 := 12cm
l210 := 3.80m
d210 := 40cm
l211 := 3.90m
11/29
h210 := d206 − rec
l212 := 3.80m
h210 = 37 cm
bo211 := 12cm
d211 := 40cm
h211 := d211 − rec
h211 = 37 cm
bo212 := 12cm
d212 := 40cm
h212 := d211 − rec
h212 = 37 cm
En una viga continua se comienza por el dimensionamiento de las
armaduras en los tramos de vigas y posteriormente se dimensionan los
apoyos tomando en cuenta las armaduras que se leventan en los tramos.
Para verificar las secciones y obtener las armaduras, se debe en primer
lugar obtener el ancho de colaboración de la placa adyacente para lo cual en
este caso se utilizará el método simplicado que consiste en determinar estos
anchos a partir de las longitudes de tramo con momento positivo en cada
una de las vigas.
Determinación de anchos de colaboración
V210
Se trata de una viga T, empotrada-articuladas, por lo cual:
lo210 := 0.80 ⋅ l210
b210 :=
lo210
3
b210 = 101 cm
Este valor debe ser simpre menor a la mitad de la suma de la mitad del tramo
a derecha y de la totalidad del voladizo.que en este caso resulta:
lx207 := 4.00m
lx206 := 1.20m
12/29
lx207
= 3.20 m
2
lx206 +
Verifica
V211
Se trata de una viga L, empotrada empotrada, por lo cual:
lo211 := 0.60 ⋅ l211
b211 :=
lo211
6
b211 = 39 cm
Este valor debe ser simpre menor a la mitad de la suma de los tramos de las
losas adyacentes que en este caso es:
lx205 := 3.90m
lx205
= 1.95 m
2
Verifica
V212
Se trata de una viga L, empotrada empotrada, por lo cual:
lo212 := 0.80 ⋅ l212
b212 :=
lo212
6
b212 = 51 cm
Para la V212 e se verificará si el ancho es menor al disponible:
lx202 := 3.90m
lx201 +
lx202
= 3.15 m
2
Los valores de los momentos:
lx201 := 1.20m
Verifica
13/29
M210 := 5.94tm
M210
ms :=
< 0.193
ms = 0.031
2
b210 ⋅ h210 ⋅ βr
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.17
x := kx ⋅ h210
x = 6.29 cm
< 11cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.037
Fe210nec := ωM ⋅
b210 ⋅ h210
βs
βr
2
Fe210nec = 4.62 cm
Como 5φ12 son muchas barras para colocar en 12 cm de ancho de la viga,
se adoptan 3φ16 en el tramo.
2
Fe210adopt := 6.03cm
M211 := 0.55tm
M211
ms :=
2
b211 ⋅ h211 ⋅ βr
ms = 0.007
< 0.193
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.08
x = 2.96 cm
x := kx ⋅ h211
< 11cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
14/29
ωM := 0.018
Fe211nec := ωM ⋅
b211 ⋅ h211
βs
βr
2
Fe211nec = 0.87 cm
Se adoptan 2φ10 en el tramo.
2
Fe211adopt := 1.57cm
M212 := 2.65tm
M212
ms :=
< 0.193
ms = 0.027
2
b212 ⋅ h212 ⋅ βr
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.15
x = 5.55 cm
x := kx ⋅ h212
< 13cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.055
Fe212nec := ωM ⋅
b212 ⋅ h212
βs
βr
2
Fe212nec = 3.44 cm
Se adoptan 2φ16 en el tramo.
2
Fe212adopt := 4.01cm
Dimensionamiento de apoyos:
Como el momento en los apoyos es negativo no hay colaboración de la placa
y por eso se adopta el menor de los anchos de las vigas que concurren a él.
15/29
M210_211 := −2.73tm
−M210_211
ms :=
< 0.193
ms = 0.119
2
bo210 ⋅ h210 ⋅ βr
La armadura de tracción resulta:.
ωM := 0.264
Fe210_211nec := ωM ⋅
bo211 ⋅ h211
βs
βr
2
Fe210_211nec = 3.91 cm
De la viga V210 se levanta a 45º 1φ16. Se agregan como adicionales 2φ12.
2
Fe210_211adopt := ( 2.01 + 1.13 + 1.13)cm
2
Fe210_211adopt = 4.27 cm
M211_212 := −1.15tm
ms :=
−M211_212
ms = 0.050
2
bo211 ⋅ h211 ⋅ βr
< 0.193
La armadura de tracción resulta:.
ωM := 0.094
Fe211_212nec := ωM ⋅
bo211 ⋅ h211
βs
βr
2
Fe211_212nec = 1.39 cm
Como no se pueden levantar barras a 45° del tramo, se agregan como
adicionales 2φ10.
2
Fe211_212adopt := ( 2 ⋅ 0.785)cm
2
Fe211_212adopt = 1.57 cm
VIGA 216
16/29
Esquema :
P=Qa203
q216a
la
q216b
lb
bo216 := 12cm
la := 1.20m
d216 := 40cm
lb := 3.70m
h216 := d216 − rec
l216 := la + lb
h216 = 37 cm
l216 = 4.90 m
Determinación de anchos de colaboración
V216
Se trata de una viga L, simplemente apoyada con una carga
concentrada, por lo cual:
lo216 := l216
b216 :=
lo216 ⋅ 0.60
6
b216 = 49 cm
Este valor debe ser simpre menor a la mitad del tramo de la losa adyacente que
en este caso es:
ly216 := 1.00m
El valor del momento:
M216 := 0.941 ⋅ tm
Verifica
17/29
M216
ms :=
< 0.193
ms = 0.010
2
b216 ⋅ h216 ⋅ βr
En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro para
determinar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla de
dimensionamiento que se encuentra en anexo:
kx := 0.08
x = 2.96 cm
x := kx ⋅ h216
< 7cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.
A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:
ωM := 0.018
Fe216nec := ωM ⋅
b216 ⋅ h216
βs
βr
2
Fe216nec = 1.09 cm
Se adoptan 2φ10
2
Fe201adopt := 1.57cm
DIMENSIONAMIENTO A ESFUERZO DE CORTE
Con la determinación de las armaduras de flexión no concluye el
dimensionamiento de las vigas ya que los elementos flexados en las zonas
cercanas a los apoyos se produce un comportamiento distinto de las mismas
que provoca la aparición de esfuerzos que no son absorbidos por estas
armaduras y que pueden provocar la falla de las mismas.
A partir de la experiencia de colapso de elementos estructurales, ensayos y
pruebas de laboratorio, como los que se observan en las fotografías siguientes,
pudo determinarse que podía producirse la falla de una viga por causas
deferentes de las analizadas para flexotracción, flexión pura y flexocompresión,
volcadas en los diagramas de Dominios.
A ello hay que considerar el hecho de que el hormigón se fisure cuando
aparecen tensiones de tracción y traslade sus esfuerzos a las armaduras de
acero implicó que no fueran de aplicación las teorías de corte estudiadas para
materiales homogéneos y elásticos como el acero como es la llamada teoría de
Juravsky o Colignon que se ha estudiado en el curso anterior.
Para ingresar al tema se hará previamente una reseña de otras formas de
rotura diferentes de las ya vistas.
A continuación se puede apreciar la vista de una viga donde se indican las
posibles fallas que aparecen en una viga de hormigón armado:
1) Rotura por flexión. Se incluyen tanto la rotura frágil por estallido de la
cabeza comprimida de flexión como la rotura dúctil por excesiva apertura de
fisuras de tracción por flexión.
2) Rotura por tracción por esfuerzo de corte: Se produce por la apertura
inadmisible de fisuras de tracción de forma oblicua cuando la armadura
transversal es escasa.
3) Rotura por compresión por esfuerzo de corte: Cuando la fisura por tracción
de esfuerzos de cortes se eleva demasiado reduce la sección comprimida
que estalla por compresión.
4) Rotura por compresión en el alma: Se produce en vigas como almas
delgadas como es el caso de las vigas T o en I (son usuales en hormigón
premoldeado). Se produce por tensiones de compresión por efecto del corte
que no pueden descender hacia el apoyo porque la sección de hormigón es
demasiado pequeña.
5) Rotura en el apoyo: Aunque el momento en un apoyo articulado es cero
aparecen en las vigas cuyas reacciones son considerables efectos de
tracción en los apoyos que pueden provocar el resbalamiento de las
armaduras con respecto al hormigón.
Estas formas de rotura aunque parecen de naturaleza diferente, están
emparentadas de alguna u otra forma con el esfuerzo de corte, por lo que al
realizar el dimensionado de hormigón armado para corte, se engloban toda
esta serie de formas de rotura.
ESFUERZO DE CORTE
El esfuerzo de corte es la proyección de la resultante izquierda y derecha sobre
una dirección normal al eje de la pieza y se expresa bajo la forma de un
resbalamiento de la sección respecto de las secciones contiguas. Ahora bien,
como se trata de un traslado de fuerza por fuera de la sección aparece siempre
vinculado a la flexión aunque tiene una especificidad propia. Además, para el
análisis del corte es preciso tomar en cuenta al conjunto de la pieza y no a
secciones aisladas como se pudo ver en el tema de dominios.
El efecto del esfuerzo de corte en una sección de hormigón presenta dos casos
diferentes. El primer caso es el que se produce antes de que aparezca la
primera fisura en el hormigón. En estas condiciones el hormigón armado se
comporta como un material similar al acero, es decir, que resiste de igual
manera tracción y hormigón. Este caso es teórico ya que en realidad es casi
imposible evitar que el hormigón se fisure ya que las mismas pueden aparecer
en el propio proceso constructivo (discontinuidades en el hormigón, contracción
por fragüe o por temperatura, etc.) y no por la aparición de esfuerzos de
tracción, pero su análisis es necesario para entender por qué aparecen las
fisuras por esfuerzos de corte. El segundo caso es el que corresponde al
hormigón fisurado (Estado II).
ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN SIN FISURAR (ESTADO I)
Antes de que aparezca la primera fisura en el hormigón, éste se comporta
como un material elástico, similar al acero. Por eso son válidos los estudios
realizados sobre materiales homogéneos como puede ser el acero y que fueron
vistos en el curso anterior.
Para introducir el tema, consideraremos una viga simplemente apoyada con
una carga uniforme los momentos flexores de valores nulos en los apoyos
crecen hacia el centro del tramo. En forma inversa, los esfuerzos de corte que
son máximos en los apoyos, disminuyen hacia el centro de la viga hasta
hacerse nulos.
Hasta acá
En el material se producen tensiones de compresión y de tracción que viajan
hacia y respectivamente se alejan los apoyos, según aparece en el diagrama
siguiente:
Como puede observarse las trayectorias de las tensiones tracción (inferiores) y
de compresión (superiores) se encuentran prácticamente paralelas a la
dirección de la viga en el centro de la misma. Esto se explica por la teoría de
flexión que ya ha sido estudiada. Ahora bien, también resulta claro que estas
direcciones se curvan al atravesar el eje neutro adquiriendo direcciones a 45º y
135º.
Esto se explica por la Teoría de Resistencia de Materiales y excede los
alcances de este curso, pero la explicación es que cuando no hay tensiones
por efecto de la flexión, pero sí hay tensiones tangenciales estas no sólo tienen
la dirección vertical sino que también tienen una dirección paralela al del eje
neutro (tensiones de resbalamiento). La combinación de ambas tensiones
provoca lo que se llama un estado biaxial de tensiones lo que da origen a la
aparición de tensiones oblicuas con los ángulos de inclinación mencionados.
La aparición de tensiones tangenciales es producto de nuestra comodidad al
elegir un eje de coordenadas X e Y paralelo y normal al eje de la viga. En
realidad existen dos direcciones en cada sección denominadas direcciones
principales en las cuales las tensiones tangenciales son nulas. A esas
direcciones corresponden las llamadas tensiones principales σI y σII. Sin
embargo, es muy engorroso trabajar directamente con tensiones principales ya
que al cambiar los esfuerzos no sólo cambian de valor sino también de
dirección. Por ello se trabaja por separado con tensiones de flexión y de corte
y, de ser necesario se combinan para obtener las tensiones principales de
acuerdo a las siguientes fórmulas:
Cuando en una viga actúan el momento flexor y el esfuerzo de corte se
producen distribuciones de tensiones normales y tangenciales de acuerdo a las
siguientes dos leyes: Ahora bien combinando ambas tensiones se obtienen las
tensiones principales y de allí el diagrama obtenido anteriormente.
Flexión
M
σ=
W
Jouravsky - Colignon
Q x Sy
τ=
Jxb
Gráficos
Una forma simplificada de obtener la tensión cortante en el eje neutro de una
viga rectangular resulta de la siguiente deducción.
b x h²
Sy =
8
b x h3
J=
12
Q x Sy
τ=
3xQ
=
Jxb
2xbxh
De aquí resulta que cuando el esfuerzo de corte es máximo se producen
tensiones de compresión y de tracción que en el eje neutro poseen una
inclinación de 45º y 135º.
En la ilustración siguiente se observa la diferente inclinación de las tensiones a
diferentes alturas de la sección bajo la acción de flexión y corte.
ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN FISURADO (ESTADO II)
Cuando aparecen fisuras en el hormigón las tensiones cortantes se comportan
en forma diferente en la zona comprimida del hormigón que en la zona
traccionada. En la primera el hormigón se comporta como un material
homogéneo y por lo tanto la fórmula de Collignon sigue siendo válida, pero al
sobrepasar el eje neutro el hormigón deja de colaborar y las tensiones
cortantes se mantienen constantes hasta llegar a la armadura de tracción como
se indica en el gráfico.
El hecho de que entre el eje neutro y las armaduras sólo existan tensiones
transversales produce que las tensiones principales mantengan su inclinación
(45º y 135º) y ello explica por qué en la rotura por corte, cerca de los apoyos
(donde el esfuerzo de corte es grande) aparezcan fisuras inclinadas a 45º que
nacen en la zona inferior y se prolongan hasta el eje neutro.
Asimismo como la tensión cortante desde el eje neutro su valor viene
determinado por la fórmula deducida en el punto anterior.
Q
τ=
bxz
Fue investigador alemán E. Mörsch una teoría que permite explicar el
funcionamiento de una viga de hormigón armado cuando la misma se
encuentra fisurada por efectos del esfuerzo de corte.
Su la conoce como “TEORÍA DEL RETICULADO ANÁLOGO” o “ANALOGÍA
DEL RETICULADO. Consiste en asimilar una viga de hormigón armado a un
reticulado ideal en el cual las barras comprimidas representan al hormigón y las
barras traccionadas a las armaduras de acero.
Considerando un reticulado de igual luz que una viga simplemente apoyada de
hormigón armado, los cordones superiores e inferiores representan los
esfuerzos de compresión y de tracción respectivamente, característicos de la
flexión. El cordón comprimido es de hormigón, en tanto que el cordón
traccionado es de acero (las armaduras del dimensionamiento a flexión). En el
alma, las fisuras inclinadas que se forman determinan prismas (de ancho igual
al ancho de la viga) de hormigón de 45º de inclinación con dirección hacia los
apoyos (diagonales comprimidas). A su vez las armaduras que “cosen” las
fisuras tienen dirección perpendicular a las anteriores, estas serían las
armaduras de corte (diagonales traccionadas a 45º) que descienden del cordón
superior hacia el inferior, alejándose de los apoyos. Ahora bien, un reticulado
no sólo puede armarse con barras inclinadas, también puede formarse
colocando barras verticales que trabajen a tracción. Estas armaduras verticales
que cumplen también una función constructiva ya que envuelven las armaduras
horizontales y se denominan “estribos”, también se utilizan como armadura
para absorber esfuerzos de corte.
En la práctica al proyectar la armadura de corte, debe tenerse presente que no
basta con considerar reticulados simples, estáticamente determinados ya que
debido a la gran separación que se producen entre barras traccionadas una
fisura que se origine entre ellas puede llevar a la rotura.
En consecuencia se combinan diagonales y estribos que están más juntos
conformando reticulados de alta hiperestaticidad.
La teoría expuesta por Mörsch tuvo aceptación universal y siempre debe
suponerse la inclinación de los elementos comprimidos a 45º y elegir la
inclinación de la armadura del alma entre β = 45º y β = 90º.
Planteando el reticulado con bielas de compresión a 45º y bielas de tracción
con una inclinación entre 45º y 90º, se pueden ir descomponiendo fuerzas a
partir de los nudos.
Comenzando por el nudo del apoyo A, lo primero que puede notarse es que
existe una componente horizontal de tracción en el apoyo que no existiría de
considerarse a la viga como “de alma llena”.
Por ejemplo si consideramos una viga de alma llena con una carga
concentrada en su eje:
Al existir momento nulo en el apoyo tanto los esfuerzos de compresión como
de tracción son nulos. Asimismo el momento máximo genera los siguientes
esfuerzos de compresión y de tracción.
Si se trazan los diagramas de compresión y de tracción obtenidos a partir de
M/z y se les superpone los correspondientes al reticulado se obtiene.
Comparando los diagramas podemos observar que la formulación de la
analogía del reticulado no sólo determina los esfuerzos en el hormigón y en la
armadura por efecto del corte. También tiene influencia en los esfuerzos
tracción y de compresión producto de la flexión. No en cuanto a su valor
máximo por lo que sigue siendo válido el dimensionamiento efectuado por el
método Kh y ms, pero sí en cuanto a la extensión de esos esfuerzos. En efecto
el diagrama de esfuerzos de tracción de las armaduras sufre un
desplazamiento de valor “v”, también llamado decalaje, además de lo ya dicho
en cuanto a que en el apoyo existe un esfuerzo de tracción en estas barras.
En realidad desde el tiempo en que Mórsch planteó su teoría mucho tiempo ha
pasado y las investigaciones han continuado postulando reformas a esta idea.
En particular, se ha postulado que la inclinación de las barras comprimidas
puede ser menor lo que tiene como efecto una reducción en las armaduras
necesarias para absorber el corte.
Este cambio complejiza el reticulado simple considerado por Mörsch, incluso
porque si se reduce la armadura necesaria, las diagonales comprimidas se
aplanan. Para mantener las ventajas de cálculo de la teoría de Mörsch se
utiliza el concepto de grado de cobertura del esfuerzo cortante según la teoría
de Mörsch y se cuantifica mediante una factor denominado η (eta del alfabeto
griego).
Si se considera la combinación de barras dobladas y estribos verticales la
descomposición de fuerzas es la siguiente:
Como puede verse, mantener la armadura a 45º junto con los estribos
verticales disminuye el esfuerzo en las armaduras, pero aumenta el esfuerzo
de compresión en el alma de la viga.
En conclusión puede establecerse que:
a) Al disminuir la inclinación de las diagonales comprimidas se reduce
sensiblemente el esfuerzo de tracción de las armaduras, lo que implica que
se necesita menos cuantía. Sin embargo, el esfuerzo de compresión en el
alma aumenta lo que aumenta el riesgo de rotura por compresión de alma
(caso c, pág.).
b) Las tensiones de compresión inclinadas en el alma cuando se utilizan
solamente estribos es aproximadamente el doble de las mismas tensiones
cuando se utilizan barras dobladas.
c) La sección necesaria de armadura de barras inclinadas es menor que la de
estribos. Como contrapartida, el rendimiento del material no es tan grande
ya que hay que considerar que las longitudes de anclaje (longitud necesaria
para que la barra reciba los esfuerzos que le transmite el hormigón) son
mucho mayor. Asimismo, desde el punto de vista de la productividad de la
mano de obra la utilización de estribos es mucho más conveniente.
EFECTOS DE LA APLICACIÓN DE FUERZAS Y DE APOYOS
Cuando se producen cargas sobre las vigas existen diferentes efectos según la
carga se traslade a los apoyos por compresión o tracción. En el primer caso el
efecto es favorable en cuanto a los esfuerzos de corte ya que responde a la
configuración del reticulado análogo. Las fuerzas comprimen el apoyo viajando
por el hormigón sin provocar incrementos en los esfuerzos en las armaduras, lo
que permite reducir su valor. Cuando la carga “cuelga” de la estructura es
necesario que se tome en cuenta este efecto colocando una armadura vertical
o inclinada que traslade la fuerza hacia el cordón superior.
El efecto de reducción por apoyo tiene dos casos. El primero, denominado
apoyo directo, es aquel en el cual la viga apoya sobre un elemento que
trabaja a compresión (columna o tabique). En ese caso la reducción es máxima
ya que es caso más favorable.
El segundo caso, apoyo indirecto, corresponde a los apoyos de viga sobre
otra viga. En este caso la viga apoya sobre un nudo del reticulado
correspondiente a la otra viga. En este caso la reducción debe ser menor y hay
que prever una armadura en la viga para transmitir los esfuerzos al extremo
superior
DIMENSIONAMIENTO AL CORTE SEGÚN EL CIRSOC 201
Basándose en la analogía del reticulado con las modificaciones indicadas el
Reglamento argentino CIRSOC, inspirado en la norma alemana DIN 1045,
establece una secuencia de pasos para dimensionar la armadura por corte, la
cual como es rotura dúctil (con fisuración previa) utiliza un coeficiente de
seguridad ν = 1.75.
El primer paso consiste en realizar la reducción del esfuerzo de corte, producto
del efecto de los apoyos. Para ello no toma como valor de corte el máximo sino
que desplaza la coordenada mediante un valor r:
Este valor depende del tipo de apoyo
Apoyo directo: cuando la viga descarga sobre un elemento comprimido como
puede ser una columna o un tabique.
r
c +
h
2 +
2
=
donde:
c (ancho de apoyo del elemento comprimido)
h (altura útil de la viga)
Apoyo indirecto: cuando la viga apoya sobre otra viga.
h
r
=
2
donde:
c (ancho de apoyo del elemento comprimido)
h (altura útil de la viga)
Con el valor de corte reducido se obtiene la tensión de corte τo. Como hemos
visto este valor es también válido para el Estado II (fisurado)
El bo es el valor del ancho de alma de la viga (no el del ancho colaborante de
la placa) y el valor de z se puede obtener de diferentes maneras:
a) z = Kz x h
donde Kz es un valor que se obtiene del cálculo de Kh o ms.
b) z = 0.85 x h
que es un valor más conservador
Dado que cuando menor es la cuantía (relación entre sección de acero y de
hormigón) mayores son las tensiones de compresión en el hormigón, la
posibilidad de reducirlas depende de la capacidad a compresión del hormigón
que surge de la resistencia característica. De esta forma para las diferentes
calidades de hormigón, las tensiones de corte definen tres zonas, a partir de
valores de tensión límite. Hay que tener en cuenta que para cada tipo de
hormigón hay un valor máximo para una sección dada que impide el riesgo de
rotura por compresión de alma. Una vez establecido este límite el resto del
cálculo consiste en determinar la armadura necesaria para absorber los
esfuerzos de tracción.
A continuación indicaremos que significan estas tres zonas que han quedado
definidas.
ZONA 1 τo < τo12
La norma establece que debido a que en esta zona las tensiones de corte son
tan bajas que no es necesario realizar una verificación de la armadura para
esfuerzos de corte. La inclinación de las bielas comprimidas puede ser muchos
menor a 45º por lo que los esfuerzos en las armaduras son de poca magnitud.
Sin embargo, para cualquier zona el CIRSOC 201 establece que tiene que
haber un grado de cobertura (η) del 40% de la tensión de corte:
τ = η x τo
= 0.40 x τo
ZONA 2 τo12 < τo < τo2
En esta zona el valor de la tensión e corte es tal que es necesario verificar la
armadura para absorber los esfuerzos de corte. Sin embargo, se puede admitir
una reducción.
En este caso la inclinación de las diagonales comprimidas es menor a 45º pero
no inferior a los 14º. Ahora bien como en el límite superior la situación es
prácticamente la correspondiente a la teoría de Mörsch el grado de cobertura
va decreciendo, con un mínimo de 0.40.
Estas es una función cuadrática, sin embargo, a los efectos prácticos se
considera una función lineal con la tensión reducida como valor máximo.
ZONA 3 τo2 < τo < τo3
En esta zona el valor de la tensión es tan alto que no se admite ningún tipo de
reducción del corte para dimensionar las armaduras. Las bielas de compresión
tienen una inclinación de 45º por lo que la teoría de Mörsch es válida y por lo
tanto el grado de cobertura η = 1. En el caso de superarse el límite superior,
existe riesgo de rotura frágil por compresión en el alma y, por tal motivo, hay
que redimensionar la sección.
Los valores límite surgen de la tabla siguiente:
DIMENSIONAMIENTO DE ARMADURAS PARA ABSORBER EL ESFUERZO
DE CORTE
Ya hemos anticipado que las armaduras para absorber esfuerzos de corte
deben poseer una inclinación entre 45º y 90º.
Los estribos están formados por barras de pequeño diámetro (entre 6 mm y 12
mm) que conforman un cuadro que envuelve las armaduras horizontales y que
se colocan a una separación uniforme. Para pequeños anchos de vigas se
utiliza un único estribos, pero si el ancho es mayor a 40 cm se pueden colocar
estribos dobles, triples, etc.
No sólo se utilizan como armadura de corte, también cumplen funciones
constructivas y son útiles para limitar la fisuración del alma de la viga por
efectos de contracciones de fragüe, acciones térmicas, etc.
Por esta razón, las vigas siempre tienen que tener estribos con una separación
máxima y deben absorber, al menos un 25% de los esfuerzos de corte.
Las separaciones máximas de estribos dependen de la zona de corte en que
se encuentre la viga.
La tensión que absorben los estribos surge de la siguiente fórmula:
2 x n x βs
τest =
s x bo x ν
donde:
n (cantidad de estribos)
βs (tensión de fluencia del acero, para el acero Tipo III: 4200 Kg/cm²)
s (separación de estribos)
bo (ancho del alma de la viga)
ν (coeficiente de seguridad que como en este caso es rotura dúctil, es
igual a 1,75)
Es posible utilizar estribos como única armadura de corte. Es cierto que
producen un aumento del consumo del material, pero, como contrapartida,
existe un ahorro sustancial de mano de obra y una reducción del tiempo de
armado lo que ha provocado que una tendencia al abandono del doblado de
barras. En esta caso, para el cubrimiento de la armadura de flexión en apoyos
se utilizan barras rectas adicionales.
Además de los estribos se puede absorber el corte con barras dobladas. Estas
barras comúnmente se inclinan a 45º, sin embargo, en vigas muy altas pueden
levantarse a 60º. En general economizan material no sólo porque la inclinación
a 45º es más eficiente sino porque puede utilizarse como armadura de corte las
barras que se levantan para cubrir los momentos negativos de los apoyos de
flexión. De no disponerse armaduras suficientes para absorber la totalidad del
corte pueden colocarse barras inclinadas adicionales sólo para absorber corte.
El esfuerzo de tracción que deben absorber las barras dobladas corresponde al
volumen de tensiones determinado por el ancho de la viga y la diferencia entre
las tensiones de estribos y la tensión de corte (efectuadas las reducciones por
zona).
τ0 - τest
Barras dobladas
τest
Est ribos
Para determinar la longitud de la base del triángulo (l1) se utiliza el principio de
la semejanza de triángulos de lo que resulta:
(τo - τest)
l1
=
τo
El esfuerzo de tracción que deben absorber las armaduras es:
(τo - τest) x l1 x bo
Z
=
2
Con este esfuerzo se determina la sección de acero necesaria que debe
cubrirse con las barras. Como al inclinarse a 45° la sección de las barras es
mayor, la sección necesaria resulta:
τ0 - τest
Barras dobladas
τest
Est ribos
Z x βs
Febd =
2 xν
con ν (1,75, rotura dúctil)
DOBLADO DE BARRAS
Una vez determinada la armadura de flexión y corte se puede determinar la
longitud y la ubicación de las barras. De esta forma se pueden realizar los
planos y planillas de armaduras. Los primeros indican la ubicación de las
mismas y en las segundas se vuelca la longitud a cortar ya doblar de cada
barra.
Para determinar la ubicación de las armaduras de corte se debe tener en
cuenta que las mismas se dimensionaron con la hipótesis de que la tensión de
todas las barras era igual. Al mismo tiempo hay que tener presente que la
influencia de una barra para absorber corte tiene una longitud máxima.
El esfuerzo que absorbe cada barra viene determinado por el área del
diagrama de tensiones en cuyo baricentro se encuentra. Existen métodos para
determina las áreas iguales de un triángulo, como por ejemplo el método de
Pendarieff, pero su aplicación práctica es restringida. Lo que sí hay que tomar
en cuenta es que todo la extensión de la parte del diagrama de tensiones
absorbido por barras dobladas debe estar cubierto y que las barras deben estar
ubicadas de manera escalonada (no doblar barras muy próximas entre sí). Por
otra parte, hay que tener en cuenta que existen separaciones máximas de las
barras de acuerdo a la zona en la que se encuentran.
Ahora bien, el armado también incluye a las armaduras de flexión. Las mismas
se dimensionan para el máximo de los momentos de tramo y para los
momentos de apoyo. Sin embargo, no es necesario que las armaduras
superiores e inferiores se continúen a todo lo largo de la viga ya que eso
significaría un consumo excesivo de material. Las barras inferiores del tramo
pueden levantarse en los apoyos y utilizarse para absorber la flexión en los
mismos. Según la norma se pueden levantar hasta la mitad de la armadura en
un apoyo final y hasta 2/3 en un apoyo intermedio, siempre dejando dos barras
inferiores como mínimo. Asimismo las barras que ya no absorben esfuerzos de
tracción (como las armaduras adicionales de apoyo) se pueden cortar.
¿En qué punto puedo doblar las barras o cortarlas? En efecto, es necesario
que la armadura absorba el esfuerzo de tracción en cada sección sin exceder
la tensión límite. Asimismo hay que considerar que toda barra necesita una
longitud de anclaje para alcanzar su tensión de trabajo y otro detalle del cual ya
hemos hablado al considerar la analogía del reticulado: el decalaje “v”.
El decalaje (ver pág.) surgía de considerar a la viga de hormigón armado como
un reticulado, lo que también significaba que en el apoyo se debía cubrir el
esfuerzo de tracción que se producía.
El procedimiento para determinar la ubicación, corte y doblado de las
armaduras se obtiene dibujando el diagrama de esfuerzos de tracción. Para
ello en primer lugar hay que aplicar la siguiente fórmula:
Z
= M / (Kz x h)
A continuación se calcula el decalaje según la siguiente tabla:
Desplazando el diagrama de Z se obtiene el diagrama de esfuerzos tracción.
Posteriormente se obtiene el esfuerzo que absorbe cada barra mediante el
siguiente cálculo:
Zφ
= Fe (cm²) x 2400 Kg/cm²
Sumando los esfuerzos de cada barra se obtiene el diagrama de esfuerzos
resistentes de las barras que nunca debe cortar al diagrama de esfuerzos de
tracción, incluyendo el decalaje.
Combinando la necesidad de cubrir al corte y al diagrama de esfuerzos de
tracción se determina la ubicación en que se pueden cortar y doblar las barras.
En la práctica este procedimiento es engorroso por lo que sólo se realiza en las
vigas importantes de una planta, utilizándose reglas prácticas en la mayor parte
de los casos.
A continuación se resumen gráficamente diferentes prescripciones relativas al
armado de vigas a flexión y corte.
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 - DIMENSIONAMIENTO AL CORTE
Efectuar la verificación de la sección y el dimensionamiento de las armaduras
de corte de algunas vigas de la planta tipo (s/PB y s/1º).
Como ejemplo se realizará la verificación de la sección y el
dimensionamiento de las armaduras de corte de algunas vigas de la planta
s/2º (de azotea) y s/azotea.
Planta s/2º
Anteriormente se llevó a cabo la resolución estática de las vigas de esta
planta. Allí no sólo se obtuvieron los momentos flexores de
los puntos importantes, sino también los esfuerzos de corte.
En el presente caso, dada la similtud que presentan las mayoría de los
casos, se efectuará la verificación y el dimensionamiento al corte de dos
vigas de un tramo y otra de dos.
Como en los restantes casos se utiliza hormigón H17 y acero ADN 420.
σ := 170
kgf
βs := 4200
2
cm
kgf
2
cm
Como se adopta un hormigón H17, los valores de las tensiones límites para
cada zona son:
τ012 := 6.5
kgf
2
cm
VIGA 201-202
τ02 := 18
kgf
2
τ03 := 25
kgf
2
cm
cm
Esquema :
t
m
l201 := 3.90m
q201 := 1.74
d201 := 40cm
h201 := d201 − 3cm
bo201 := 12cm
h201 = 37 cm
l202a := 1.95m
q202a := 0.98
t
m
l202b := 1.95m
q202b := 1.41
t
m
d202 := 40cm
bo202 := 12cm
h202 := d202 − 3cm
h202 = 37 cm
Qa201 := 2.16t
Qb201 := −4.63t
Qa202 := 6.16t
Qb202 := −4.11t
Viga 210
Apoyo a
Por tratarse de un apoyo de viga sobre columna es un apoyo directo y
entonces la reducción considera el ancho de la columna que se suele estimar
en 20cm.
r :=
h201 + 20cm
2
Qa201red := Qa201 − q201 ⋅ r
r = 28.5 cm
Qa201red = 1.664 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h201
τo :=
Qa201red
bo201 ⋅ z
τo = 4.409
kgf
2
cm
Los valores que delimitan las zonas para las diferentes calidades de hormigón,
se agregan a continuación.
En este caso nos encontramos en la Zona 1. Solamente es preciso cumplir con
el planteo general de que siempre hay que cubrir el 40% de la tensión de corte.
τ := 0.40 ⋅ τo
kgf
τ = 1.764
2
cm
En primer término, se dimensionan los estribos que deben cubrir, por lo menos
el 25% de la tensión de dimensionamiento y cuya separación máxima se indica
en el cuadro siguiente:
Para los estribos es usual utilizar armaduras entre φ6 mm y φ12 mm. En este
caso probamos con φ6 separados 30 cm que es la separación máxima.
n := 1
2
Fe6 = 0.28 cm
sep := 30cm
ν := 1.75
τestmin := 0.25 ⋅ τ
τestmin = 0.441
kgf
2
cm
τest :=
2n ⋅ Fe6 ⋅ βs
sep ⋅ bo201 ⋅ ν
kgf
τest = 3.77
2
cm
>τ
> τestmin
El análisis prosigue con la zona próxima al apoyo b:
Reducción del corte por apoyo
r :=
h201 + 20cm
2
Qb201red := −Qb201 − q201 ⋅ r
r = 28.5 cm
Qb201red = 4.134 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h201
τo :=
Qb201red
bo201 ⋅ z
kgf
τo = 10.954
2
cm
Estamos en Zona 2 por lo cual se puede aplicar la reducción siguiente:
τ :=
τo
2
τ02
τ = 6.666
kgf
2
cm
que siempre debe ser mayor que 0.4 τo.
Para los estribos es usual utilizar armaduras entre φ6 mm y φ12 mm. En este
caso probamos con φ6 separados 25 cm que es la separación máxima.
n := 1
2
Fe6 = 0.28 cm
sep := 25cm
ν := 1.75
τestmin := 0.25 ⋅ τ
τestmin = 1.667
kgf
2
cm
τest :=
2n ⋅ Fe6 ⋅ βs
sep ⋅ bo201 ⋅ ν
kgf
τest = 4.52
2
> τestmin
cm
Para tomar el resto del corte se utilizarán barras dobladas:
Diagrama de tensiones tangenciales (τ)
Es necesario en primer término determinar la longitud del diagrama de corte:
Qa201
q201
lq :=
x :=
lq = 1.24 m
( τ − τest) ⋅ lq
τ
x = 0.4 m
Después se obtiene el volumen de tensiones (no hay que olvidar que las
tensiones se aplican en todo el ancho de la viga) que es una cuña de fuerzas
fuerza de tracción.
Z := ( τ − τest) ⋅
Febd :=
x ⋅ bo201
2
Z ⋅ν
2 ⋅ βs
Z = 0.51 t
2
Febd = 0.15 cm
Como en el tramo hay 3φ12, se levanta 1φ12 para absorber el esfuerzo de
corte.
Viga 202
Apoyo a:
Reducción del Corte por apoyo.
En el presente caso, se trata de un apoyo de viga sobre columna, es decir
un apoyo directo.
Por tal motivo, la coordenada en que se tomará el corte es la que se obtiene
a continuación:
r :=
h202 + 20cm
2
Qa202red := Qa202 − q202a ⋅ r
r = 28.5 cm
Qa202red = 5.881 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h202
τo :=
Qa202red
bo202 ⋅ z
τo = 15.582
kgf
2
cm
Estamos en Zona 3 por lo cual se no pueden aplicar reducciones.
Para los estribos es usual utilizar armaduras entre φ6 mm y φ12 mm. En este
caso probamos con φ6 separados 25 cm que es la separación máxima.
n := 1
2
Fe6 = 0.28 cm
sep := 15cm
ν := 1.75
τestmin := 0.25 ⋅ τ
τestmin = 1.667
kgf
2
cm
τest :=
2n ⋅ Fe6 ⋅ βs
sep ⋅ bo202 ⋅ ν
τest = 7.54
kgf
2
< τestmin
cm
Para tomar el resto del corte se utilizarán barras dobladas:
Diagrama de tensiones tangenciales (τ)
Como hay una carga concentrada donde cambia de signo del diagrama de
corte es 1.95m:
lq := 1.95m
En este caso el área no es un triángulo sino un trapecio.
τo +  τo − q202a ⋅ lq  − 2 ⋅ τest ⋅ lq⋅ bo202




bo202 ⋅ z 




Z :=
2
Z = 12.895 t
Con esta fuerza y tomando en cuenta que la barra está doblada a 45°, se
obtiene la sección de acero necesaria.
Febd :=
Z ⋅ν
2
Febd = 3.8 cm
2 ⋅ βs
Existen 3φ20 por lo que se levanta 1φ20 y se debe agregar otro φ16 como
armadura adicional por corte. Como regla general, se agregan armaduras a lo
sumo unrago de diámetro superior o inferior a las existentes.
2
Feadop := 6.28cm
Apoyo b:
Reducción del Corte por apoyo.
En el presente caso, se trata de un apoyo de viga sobre columna, es decir
un apoyo directo.
Por tal motivo, la coordenada en que se tomará el corte es la que se obtiene
a continuación:
r :=
h202 + 20cm
2
r = 28.5 cm
Qb202red := −Qb202 − q202b ⋅ r
Qb202red = 3.708 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h202
τo :=
Qb202red
bo202 ⋅ z
kgf
τo = 9.826
2
cm
Estamos en Zona 2 por lo cual se puede aplicar la reducción siguiente:
τ :=
τo
2
τ02
τ = 5.363
kgf
2
cm
que siempre debe ser mayor que 0.4 τo.
Para los estribos es usual utilizar armaduras entre φ6 mm y φ12 mm. En este
caso probamos con φ6 separados 25 cm que es la separación máxima.
n := 1
2
Fe6 = 0.28 cm
sep := 25cm
ν := 1.75
τestmin := 0.25 ⋅ τ
τestmin = 1.341
kgf
2
cm
τest :=
2n ⋅ Fe6 ⋅ βs
sep ⋅ bo201 ⋅ ν
kgf
τest = 4.52
2
cm
Para tomar el resto del corte se utilizarán barras dobladas:
> τestmin
Por simplicidad, se procederá por partes para obtener el volumen de tensiones.
2
 τo − q202b ⋅ lq 


bo202 ⋅ z 

τaux :=
τo2
τaux = 0.43
kgf
2
cm
x :=
( τ − τest − τaux) ⋅ lq
τ − τaux
Z := ( τ − τest) ⋅
Febd :=
x ⋅ bo201
2
Z ⋅ν
2
2 ⋅ βs
2
Febd := 3.14cm
Esquema :
Z = 0.08 t
Febd = 0.02 cm
Se dobla 1φ20 de la armadura existente inferior.
VIGA 203
x = 0.16 m
q203a := 1.59
t
m
q203b := 0.59
t
m
la := 0.95m
lb := 0.95m
d := 30cm
bo := 12cm
h := d − 3cm
h = 27 cm
Qa203 := 1.344t
Qb203 := −1.012t
Comenzamos con el análisis de la zona próxima al apoyo a:
Reducción del corte por apoyo
Por tratarse de un apoyo de viga sobre viga es un apoyo indirecto y entonces
la reducción es menor
r :=
h
2
Qa203red := Qa203 − q203a ⋅ r
r = 13.5 cm
Qa203red = 1.129 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h
τo :=
Qa203red
bo ⋅ z
τo = 4.101
kgf
2
cm
En este caso nos encontramos en la Zona 1. Solamente es preciso cumplir con
el planteo general de que siempre hay que cubrir el 40% de la tensión de corte.
τ := 0.40 ⋅ τo
τ = 1.64
kgf
2
cm
En primer término, se dimensionan los estribos que deben cubrir, por lo menos
el 25% de la tensión de dimensionamiento y cuya separación máxima se indica
en el cuadro siguiente:
n := 1
2
Fe6 = 0.28 cm
sep := 30cm
ν := 1.75
τestmin := 0.25 ⋅ τ
kgf
τestmin = 0.41
2
cm
τest :=
n ⋅ Fe6 ⋅ βs
τest = 1.88
sep ⋅ bo ⋅ ν
kgf
> τo
> τestmin
2
cm
Para el apoyo b:
Reducción del corte por apoyo
Por tratarse de un apoyo de viga sobre viga es un apoyo indirecto y entonces
la reducción es menor
r :=
h
2
r = 13.5 cm
Qb203red := −Qb203 − q203b ⋅ r
Qb203red = 0.932 t
Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo
z := 0.85 ⋅ h
τo :=
Qb203red
bo ⋅ z
τo = 3.385
kgf
2
cm
τ := 0.40 ⋅ τo
τ = 1.354
kgf
2
cm
n := 1
( cantidad de estribos)
sep := 30cm
τestmin := 0.25 ⋅ τ
2
Fe6 = 0.28 cm
ν := 1.75
(coeficiente de
seguridad para rotura
dúctil)
τestmin = 0.339
kgf
2
cm
τest :=
n ⋅ Fe6 ⋅ βs
sep ⋅ bo ⋅ ν
τest = 1.88
kgf
2
cm
> τo
> τestmin