Teoremas de Sylow - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Matemáticas
Estructuras Algebraicas. Curso 2012-13
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Hoja 5: Teoremas de Sylow.
1. Demuestra que en un grupo de orden 20 hay un único subgrupo de orden 5 y que éste es normal.
2. Demuestra que en un grupo de orden 30 hay un subgrupo normal de orden 5 o uno normal de orden 3.
3. Prueba que cualquier grupo de orden 35 es cı́clico.
4. Sea G un grupo de orden 36 no abeliano. Demuestra que hay más de un 2-grupo de Sylow o hay más de
un 3-grupo de Sylow.
5. Halla todos los 3-subgrupos de Sylow de A4 .
6. Decide de manera razonada si dos ciclos de longitud 3 son conjugados en A4 .
7. Dado un subgrupo H de un grupo G se define el normalizador de H en G como el conjunto:
N (H) =: {g ∈ G/gHg −1 = H}.
a) Demuestra que N (H) es un subgrupo de G.
b) Demuestra que H es un subgrupo normal de N (H).
8. Sea G un grupo y sea H un p-subgrupo de Sylow en G. Prueba que
a) H es un p-subgrupo de Sylow en N (H) y
b) H es el único p-subgrupo de Sylow en N (H), donde N (H) denota el normalizador de H.
9. Indica cuántos 5-subgrupos de Sylow hay en S5 . Exhibe al menos dos que sean distintos.
10. Indica cuántos 3-subgrupos de Sylow hay en S5 . Exhibe al menos dos que sean distintos.
11. Sea (G, ∗) un grupo y sean H, K ⊂ G subgrupos con H normal en G. Recuerda que bajo estas hipótesis
el conjunto
HK := {hk : h ∈ H, k ∈ K}
es un subgrupo de G.
a) Demuestra que si H ∩ K = {e} entonces todo elemento de HK se escribe de manera única como
producto de un elemento de H y otro de K.
b) Recı́procamente demuestra que si todo todo elemento de HK se escribe de manera única como
producto de un elemento de H y otro de K entonces H ∩ K = {e}.
c) Demuestra que |HK| =
|H|·|K|
|H∩K| .
12. Sea (G, ∗) un grupo y sean H, K ⊂ G subgrupos normales con H ∩ K = {e}.
a) Demuestra que para todo h ∈ H y todo k ∈ K se tiene que
h · k = k · h.
b) El subgrupo HK es isomorfo al grupo producto H × K.
13. Demuestra que un grupo de orden 5 × 72 tiene un subgrupo de orden 35. Recuerda que en general el
producto de subgrupos no es un subgrupo.
14. Sea G un grupo de orden 5 × 72 . Demuestra que si G tiene un único 5-grupo de Sylow y un único
7-grupo de Sylow, entonces G es abeliano.
15. Demuestra que si G es un p-grupo de orden pn , entonces existe un subgrupo normal de orden pk , para
todo 0 ≤ k ≤ n. Pista: Si |G| = pn entonces Z(G) es no trivial.
16. Sea X un conjunto con n elementos y sea Biy(X) el grupo de biyecciones de X (con la operación
composición). Demuestra que Biy(X) es isomorfo a Sn .
17. Teorema Orbita-Estabilizador generalizado. Sea G un grupo, sea X un conjunto finito, y sea
ρ : G → Biy(X)
un homomorfismo de grupos. Definimos en el conjunto X la relación aRb si b = ρ(g)(a) para algún elemento
g ∈ G.
a) Demuestra que ésta es una relación de equivalencia (y en particular define una partición de X).
b) Si X = G, demuestra que hay una inclusión natural Aut(G) ⊂ Biy(G), y que el primero es un
subgrupo del segundo.
c) Sea X = G, y sea ρ : G → Biy(G) la acción por conjugaciones estudiada en el Problema 12 de la
Hoja 4. Demuestra que la partición que resulta en X = G coincide con la estudiada allı́.
d) Sea X = G, y sea ρ : G → Biy(G) la acción por conjugaciones. Fijados un elemento g ∈ G y H un
subgrupo de G, demuestra que
ρ(g)(H) = gHg −1
es un subgrupo de G, y que además H y gHg −1 son subgrupos isomorfos.
e) Sea G, sea X el conjunto de los subgrupos de G y sea
ρ : G → Biy(X)
la acción por conjugaciones.
(i) Demuestra que ρ : G → Biy(X) es un homomorfismo de grupos.
(ii) Sea H un subgrupo de G (i.e., sea H un elemento de X). Demuestra que el subgrupo stabG (H)
(Problema 21 de la Hoja 4) es el subgrupo normalizador N (H).
(iii) Demuestra que la órbita del subgrupo H tiene [G : N (H)] elementos.
f ) Sea G = S3 , sea X el conjunto de los subgrupos de S3 y sea ρ : G → Biy(X) el homomorfismo del
apartado (e) anterior. Estudia la partición en X que define e interpreta el primer y el segundo teorema de
Sylow.
g) Sea G = S4 , y sea X el conjunto de los subgrupos de S4 . y sea ρ : G → Biy(X) el homomorfismo
del apartado (e).
(i) Indica cuál es el normalizador del subgrupo H = h(1234)i.
(ii) Indica cuántos elementos tiene el normalizador de H siendo H = h(123)i.
h) Demuestra que el normalizador de H = h(123 . . . n)i en Sn es el subgrupo H.