LEY DE COULOMB Y EL CAMPO ELECTRICO 3.1 CARGAS ELECTRICAS.

LEY DE COULOMB Y EL CAMPO ELECTRICO
3.1 CARGAS ELECTRICAS.
Los antiguos griegos sabían ya, hacia el año 600 A de C, que el ámbar, frotado
con lana, adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros (hierba seca, papel, etc.).
Al interpretar hoy esta propiedad se dice que el ámbar está electrizado, o que
posee carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente. Estos términos se
derivan del griego, elektron que significa ámbar.
En experiencias de clase se utilizan corrientemente una barra de ebonita en lugar
del ámbar y una piel. Si después de frotar la ebonita con la piel la acercamos a
una bola de corcho que cuelga de una cuerda. Se observa que la bolita de corcho
es atraída hacia la varilla (figura 3.1 a). El experimento análogo realizado con una
barra de vidrio frotada con seda dará el mismo resultado (figura 3.1b). Por otra
parte, si se tienen dos esferas de corcho que previamente han sido “tocadas” cada
una por una barra de ebonita previamente frotada con piel. Ambas se repelen
(figura 3.1c). Lo mismo ocurre si el mismo experimento es realizado con vidrio
(3.1d).
Ahora, si una de las bolas de corcho ha estado en contacto con la ebonita
electrizada, cuando se coloca cerca de otra que ha mantenido contacto con el
vidrio electrizado, se observa que se atraen (figura 3.1 e).
Figura 3.1
Esto lleva a la conclusión de que hay dos clases de cargas eléctricas, a las cuales
Benjamín Franklin (1706-1790) les asignó los nombres de carga negativa la que
posee la ebonita frotada con piel y de carga positiva la que posee el vidrio
después de frotado con seda.
Como conclusión de los eventos con bolas de corcho se llega a dos resultados
fundamentales: 1) cargas de igual signo se repelen; 2) cargas de distinto
signo se atraen.
Tales interacciones atractivas o repulsivas de origen eléctrico coexisten con la
interacción gravitatoria de atracción y, en la mayor parte de los casos, esta última
puede despreciarse por ser sumamente débil frente a las primeras(ver ejemplo 1).
Otro aspecto importante del modelo de Franklin es el siguiente: si una barra de
ebonita se frota con piel y se pone después en contacto con una bola de corcho
suspendida. Tanto la ebonita como la bola están cargadas negativamente. Si se
aproxima ahora la piel a la bola, esta será atraída, indicando que la piel se halla
cargada positivamente. De ello se deduce que cuando la ebonita se frota con piel,
aparecen cargas opuestas sobre ambos materiales. Siempre que cualquier objeto
se frota con otro se obtiene el mismo resultado. Así el vidrio resulta positivo,
mientras que la seda conque se ha frotado resulta negativa. Esto sugiere que las
cargas eléctricas no son creadas ni destruidas, sino que el proceso de adquirir
carga eléctrica consiste en ceder algo de un cuerpo a otro, de modo que uno
posee un exceso y el otro un déficit de ese algo. Esto se puede resumir de la
siguiente manera en un proceso físico la carga eléctrica siempre se conserva.
Hasta fines del siglo XIX no se descubrió que ese algo se compone de porciones
muy pequeñas de electricidad negativa, actualmente llamadas electrones.
En 1909, Robert Millikan (1869-1953), quien con su experimento de la gota de
aceite encontró que la carga eléctrica siempre se encuentra en la naturaleza como
un múltiplo entero de una unidad fundamental de carga e, conocida como carga
fundamental. En otra palabras, actualmente se dice que la carga q está
cuantizáda, donde q representa la carga eléctrica. Así, q=ne, donde n es un
entero.
La unidad de carga en el sistema SI es el coulomb (C). La carga e de un electrón
es e= 1.602x10-19 C. La materia común está formada por cantidades enteras de
electrones y protones que tienen carga positiva y el mismo e. Hoy se cree que los
protones están formadas por partículas más pequeñas llamadas quarks, cuyas
cargas son múltiplos de e/3. Aparentemente, los quarks no pueden existir fuera
de las partículas que forman, de modo que para todo fin práctico, la mínima carga
observable es e.
Como e es tan pequeña, en los fenómenos a escala de laboratorio n es muy
grande. En la misma forma en que el aire se puede considerar como un fluido
continuo, aunque en realidad sea un conjunto de moléculas individuales, con
frecuencia una distribución de carga se puede considerar continua, aunque está
formada por cargas elementales individuales.
3.2 CONDUCTORES Y AISLADORES.
En un día seco la varilla de ebonita que ha sido frotada con piel permanecerá
cargada por varios minutos, mientras que una varilla metálica cargada pierde su
carga instantáneamente al tocarla. La diferencia radica en la capacidad que tiene
una carga de moverse a través de los materiales de las dos varillas. El metal es
un conductor y la ebonita es un aislante. Cada molécula de la ebonita sujeta
fuertemente sus electrones, mientras los electrones externos en un metal son
atraídos por los átomos vecinos tan fuertemente como por su propio átomo, y en
consecuencia tienen libertad para moverse en el material. Toda carga colocada
en un conductor se puede mover libremente en el material, o hasta pasar a través
del conductor. Los materiales conductores más comunes son los metales. Los
mismos electrones libres que sostienen la corriente en un alambre de cobre
también transportan el calor en forma eficiente a través del fondo de una olla, y
reflejan la luz para producir su apariencia brillante.
El grado con el que los electrones tienen libertad de movimiento en un material se
describe con su conductividad. La conductividad varía enormemente entre los
materiales. Los metales permiten que las cargas se muevan unas 10 23 veces más
fácilmente que los aislantes comunes, como el vidrio. El germanio, el silicio,
arseniuro de galio y otros materiales tienen una cantidad intermedia de electrones
móviles por átomo, a estos materiales se les llama semiconductores. El control
de la conductividad de esos materiales se hace mediante una ingeniosa
contaminación con impurezas.
Existe un método para cargar un conductor y es por inducción. Uno de los
procedimientos es utilizar una barra de ebonita para cargar otros cuerpos,
mediante el cual la barra de ebonita comunica una carga de sentido opuesto sin
pérdida alguna de su propia carga en el proceso.
Para explicar uno de los métodos de carga por inducción se sigue la secuencia
de la figura 3.2 de la izquierda.
En la parte (1) de esta figura se muestra esquemáticamente dos esferas metálicas
neutras en contacto, sostenidas por pies aislantes. Cuando una barra de ebonita
cargada negativamente se aproxima a una de las esferas, pero sin llegar a tocarla,
como se indica en (2), son repelidos los electrones libres de las esferas metálicas,
y toda la nube de gas electrónico contenido en el interior de las esferas se
desplaza ligeramente hacia la derecha, alejándose de la barra. Dado que los
electrones no pueden escapar de las esferas, en la superficie de la esfera de la
derecha, mas alejada de la barra, se acumula un exceso de carga negativa. Esto
origina una pérdida de carga negativa ( o sea, un exceso de carga positiva) en la
superficie más próxima a la barra de la esfera de la izquierda. Tales excesos de
carga se denominan cargas inducidas.
Figura 3.2
No debe inferirse que todos los electrones libres son arrastrados hacia la
superficie de la esfera derecha. Tan pronto como se producen cargas inducidas,
estas también ejercen fuerzas sobre los electrones libres situados en el interior de
las esferas. Esta fuerza es hacia la izquierda (repulsión por la carga inducida
negativa y atracción por la carga inducida positiva). En un tiempo extremadamente
pequeño el sistema alcanza un estado de equilibrio, y en cada punto del interior
de las esferas, la fuerza hacia la derecha que la barra cargada ejerce sobre un
electrón queda exactamente equilibrada por una fuerza hacia la izquierda
producida por las cargas inducidas.
Las cargas inducidas permanecerán sobre las superficies de las esferas mientras
se mantenga cerca la barra de ebonita. Si esta se aleja, la nube de electrones de
las esferas se desplaza hacia la izquierda y se restablece el estado neutro inicial.
Sí se desplazan ligeramente las esferas, como en (3), mientras se mantiene la
barra cerca la barra de ebonita. Después, se aleja la barra de ebonita, como en
(4), quedando dos esferas metálicas cargadas con cargas opuestas. Puesto que
estas se atraen entre sí, permanecerán tan próximas como les sea posible, y solo
cuando ambas esferas estén separadas lo suficiente, como en (5), las cargas se
distribuirán uniformemente. Debe notarse que en los pasos sucesivos de (1) a (5),
la barra de ebonita cargada negativamente no perdió carga alguna.
Los pasos de (1) a (5), en la figura 3.2 de la derecha se explican fácilmente. En
esta figura, se carga por inducción una sola esfera metálica que esta aislada por
un soporte aislante, y el símbolo designado por “Tierra” en la parte (3) significa
sencillamente que la esfera esta conectada a la tierra, que en este caso
desempeña el papel de la segunda esfera de la figura 3.2 de la izquierda. En el
paso (3), los electrones son repelidos a tierra, sea a través de un alambre
conductor o de una persona que toque la esfera con la mano. La tierra adquiere
así una carga negativa igual a la carga positiva inducida que permanece en la
esfera.
3.3 LA LEY DE COULOMB.
La ley que rige las fuerzas entre partículas inmóviles fue determinada en 1784 por
Charles Augustin Coulomb (1736-1806), quien usando una balanza de torsión
figura 3.3 estableció la dependencia de la fuerza eléctrica con la distancia y el
valor de la carga.
Figura 3.3
La ley de Coulomb establece que “La interacción eléctrica entre dos partículas
cargadas qa y qb en reposo, es proporcional al producto de sus cargas y al inverso
del cuadrado de la distancia entre ellas, y su dirección se halla a lo largo de la
línea que las une”.
Que se puede expresar en forma vectorial como

q q
Fba  K e a 2 b rˆab
r
3.1
donde rab es un vector unitario dirigido de qa a qb, como en la figura 3.4 a y señala
la dirección de la fuerza que ejerce qa sobre qb. Si qa y qb tienen el mismo signo, el
producto de ellas es positivo y la fuerza es de repulsión figura 3.4a. Si q a y qb son
de signo opuesto, como en la figura 3.4b, el producto de ellas es negativo y la
fuerza es atractiva. Además, como la ley de Coulomb obedece la tercera ley de
Newton, la fuerza que ejerce qa sobre qb es igual en magnitud a la fuerza que


ejerce qb sobre qa y en dirección opuesta, es decir Fba  Fab .
Figura 3.4
En 3.1 Ke es la constante de Coulomb que se escribe como
Ke 
1
4  0
donde la constante  0 se conoce como la permitividad del vacío y tiene en
unidades SI, el valor
 0 =8.8542x10-12 C2 .N-1 .m-2
por lo tanto Ke= 8.9875x109 N. m2. C-2.
Ejemplo. 1 ¿Cuál es la relación que existe entre la fuerza eléctrica y gravitacional
cuando interactúan un electrón y un protón?.
Las fuerzas eléctrica y gravitacional varían ambas de la misma forma en función
de la distancia. Por consiguiente su relación no depende de la distancia.
Felc
Ke e 2
(9 x10 9 kg. m3 . s 2 . C 2 )(16
. x10 19 C) 2


 2 x10 39
11 3  2
1
 27
 31
Fgra v Gm p me (6.7 x10 m . s . kg )(17
. x10 kg )(9 x10 kg )
Definitivamente, las fuerzas gravitacionales son tan pequeñas comparadas con la
fuerza eléctrica que a nivel atómico son despreciables.
Cuando están presentes más de dos cargas, la fuerza esta dada por la ecuación
3.1, que es un vector, por lo tanto la fuerza resultante sobre cualquiera de ellas es
igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por diversas cargas individuales.
Ejemplo. 2 Cuatro cargas puntuales están en las esquinas de un cuadrado de
lado a, como en la figura 3.5.
figura 3.5a
Determine la fuerza neta sobre la carga colocada en el vértice superior derecho de
la figura.
Para efectos del calculo q1=2q, q2=q, q3=-q y q4=-2q. O sea que la fuerza que hay
que determinar es sobre la carga q3 debido a las otras cargas.
Primero se dibujan las fuerzas que ejercen q1, q2, y q4 sobre q3 y luego se hace un
diagrama de cuerpo libre como en la figura 3.5b.
figura 3.5b
La fuerza neta sobre q3 es
   
F F31 F32 F34
Por lo tanto, las componentes x e y de la fuerza resultante sobre q 3 son
 F   F cos45 F
 F  F F sen45
0
x
31
32
0
y
34
31
donde
F31  K e
2q 2
q2
q2
2q 2

K
F

K
F

K
,
y
e
32
e
34
e
2a 2
a2
a2
a2
el signo de las cargas se tuvo en cuenta cuando se construyo el diagrama de
cuerpo libre.
Reemplazando la magnitud de las fuerzas en las sumatorias, se tiene
 Fx  K e
 Fy K e
q2 
2
q2


1



1
.
70
K
e
a 2 
2 
a2
q2
a2

2
q2
 2 
  1.29K e 2
2 
a

entonces,
F  ( Fx ) 2  (  Fy ) 2 K e
tan   
q2
a2
(1.70) 2  (1.29) 2 2.13K e
q2
a2
1.29
 0.76
1.70
entonces
  37.190
3.4 EL CAMPO ELECTRICO.
La interacción entre cargas se puede medir de otra manera. Una carga crea un
campo eléctrico en la región que la rodea, y este ejerce una fuerza sobre
cualquier carga que se coloque en él. El campo eléctrico está presente en cada
punto del espacio independientemente de que allí exista una carga. Sin embargo,
para medir el campo en determinado punto colocamos allí una carga y medimos la
fuerza sobre ella. Para no perturbar apreciablemente el sistema, lo que
colocamos es una carga de prueba positiva q0, tan pequeña como sea posible. A
partir de la fuerza medida sobre la carga de prueba se determina el valor
del campo eléctrico en ese punto.


F
q
E  lim
 Ke 2 r
q0  0 q
r
0
3.2

La magnitud del vector campo eléctrico E es la intensidad del campo eléctrico
La ley de Coulomb describe el campo eléctrico producido por una sola carga. Si
existen varias cargas en una región del espacio, cada una de ellas contribuye al
campo eléctrico neto. Se observa que el campo eléctrico total es la suma vectorial
de las aportaciones individuales. La presencia de una carga no afecta la
contribución de la otra. A esta regla se le llama principio de superposición.
O sea, que si existen varias cargas
 puntuales qi en una cierta región del espacio,
el vector campo eléctrico total E en un punto P es la suma de los vectores de
campo eléctrico producidos por las cargas individuales.


qi
E   Ei Ke  2 ri
i
i ri
3.3
Como una aplicación, se calcula el campo eléctrico producido por dos cargas
iguales y de signo contrario separadas una distancia 2a en un punto P, a una
distancia x a lo largo de la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas
ver figura 3.6. A esta distribución de dos cargas se le llama dipolo eléctrico.
figura 3.6
El campo total en el punto P es
  
E  E  E
donde
E   E   Ke
q
q
2  Ke
2
r
x  a2



Las componentes x de E  y E  se cancelan entre sí. El campo total E tiene por lo
tanto una componente a lo largo del eje y únicamente, de magnitud
q
a
2qa
E  E  cos  E  cos  2 Ke 2
2
1  Ke
3
x a
2
2 2
2
2 2
x

a
x

a




2
para el caso x >> a, se puede ignorar a en el denominador de la ultima ecuación,
por lo tanto el campo E para un dipolo eléctrico es


2aq
p
E  K e 3 (uˆ y )   K e 3
x
x
3.4

donde p  (2qa)uˆ y es llamado el vector de momento dipolar y va de la carga
negativa a la carga positiva y por lo tanto antiparalelo al campo eléctrico de la
distribución (figura 3.6).
El momento dipolar eléctrico es una propiedad
fundamental de las moléculas llamadas dipolares, por ejemplo el H 2O.
Pero, en la practica los campos los crean generalmente cargas distribuidas sobre
las superficies de tamaño finito, y no cargas puntuales. El campo eléctrico se
calcula entonces imaginando subdividida la carga de cada objeto cargado en
pequeños elementos q . No toda la carga se halla a la misma distancia del punto
P como en la figura 3.7, pero si los elementos son pequeños comparados con la
distancia al punto, y si r representa la distancia de un punto cualquiera del
elemento al punto P, se puede escribir (aproximadamente) el campo eléctrico
como

q
E  K e  2 r
r
3.4
Figura 3.7
cuanto más fina sea la subdivisión, más aproximado será el resultado, y en el
limite, cuando, q  0 se tiene entonces

q
dq
E  Ke lim  2 r  Ke  2 r
3.5
q  0
r
r
Los limites de integración han de ser tales que queden incluidas todas las cargas
que contribuyen a crear el campo. como cualquier ecuación vectorial, 3.5 equivale

a tres ecuaciones escalares, una para cada componente de los vectores E y r .
Para hallar la integral vectorial, se calcula cada una de las tres integrales
escalares.
Una distribución de carga continua se describe por su densidad de carga, si dq se
distribuye en un volumen dV, la carga por unidad de volumen, se define
  dq dV y tiene como unidades C-m-3. Si dq se distribuye en un área dA, la
carga por unidad de área, se define   dq dA y tiene como unidades C-m-2 y si
dq se distribuye en una longitud dl, la carga por unidad de longitud, se define
  dq dl y tiene como unidades C-m-1.

Ejemplo. 3 Distribución lineal de carga. Determinar E de un alambre de longitud
l en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en la
figura 3.8. La carga del alambre está uniformemente distribuida.
Figura 3.8
Un elemento de longitud dx tiene una carga dq   dx que produce un campo

eléctrico infinitesimal dE en el punto P de la figura, dado por

dE  dE x ux  dE y u y  dE (sen ux  cos u y )

donde la magnitud de dE es
 dx
dE  Ke
(x  y2 )
2
calculando primero la componente y del campo dada por
l
E y  Ke   2l cos

2
l
2
dx
(x  y2 )
E y  2 Ke   cos
0
2
dx
(x  y2 )
2
de la figura se ve que las cantidades  y x no son independientes. Por lo tanto se
debe expresar una de ellas en termino de la otra, por ejemplo x. De la figura la
relación es
x  y tan , por lo tanto dx  y sec 2  d
sustituyendo en la ultima integral estas dos expresiones, se llega finalmente a
E y  2 Ke
donde sen Max 
l
(l 2  4 y 2 )

  Max
y 
0
cos d  2 Ke
por lo que

y
sen  Max
E y  2 Ke
cuando l  
l
y (l  4 y 2 )


E y  2 Ke

y 2  0 y
2
La componente Ex debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda
tiene un elemento correspondiente a la derecha de modo que sus contribuciones
al campo en la dirección de las x se anulan. Es decir, existe una simetría a lo
largo del eje y de tal manera que las componentes perpendiculares a este eje se
anulan.
Ejemplo. 4 Se tiene un alambre que forma un arco de circunferencia de radio R y
que subtiende un ángulo 2 0 ver figura. La carga del alambre está uniformemente
distribuida y es q. Encuentre el campo eléctrico en el punto P.
Figura 3.9
Para cada elemento de carga que se toma, existe uno simétrico con respecto al
eje y; en consecuencia la componente x del campo eléctrico en el punto P es cero.
E x ( P)  0
Por lo tanto

 dE   dE uˆ
y
y
donde
dE y  Ke
dq
cos 
R2
Si consideramos únicamente la mitad del alambre entonces la anterior expresión
se multiplica por dos debido a la simetría.
Haciendo dq   ds   Rd  (q 2R 0 ) Rd  (q 2 0 )d
Entonces


Keq 0
E   2  cos d uˆ y
R 0 0
Entonces

K q
E   2e sen 0 uˆ y
R 0

Ejemplo. 5 Distribución superficial de carga. Determinar E de una lámina plana
infinita en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en
la figura 3.9. La carga en la lámina está uniformemente distribuida.
Figura3.10
Se subdivide la carga en estrechas franjas de anchura dz, paralelas al eje x.
Cada franja es una carga lineal, de modo que se puede utilizar el resultado del
alambre infinito del ejemplo anterior. El área de una porción de franja de longitud l
es ldz, la carga dq   ldz y la magnitud del campo en el punto P debida a esta
franja es

dE  2 K e
r
donde
dq dA ldz
d 


  dz ,
l
l
l
por lo tanto
 dz
dE  2 K e
con r  ( z 2  y 2 ) ver figura.
r
Este campo se puede descomponer en sus componentes dE y y dEz; que por
razones de simetría, las componentes dEz al hacer la integración completa sobre
la lámina da cero. El campo en el punto P, por lo tanto está en la dirección y,
perpendicular a la lamina de carga. De la figura 3.10 se tiene
dE y  dE sen
entonces,
sen  dz

r
E y  2 Ke  
reemplazando sen 

y
y a r en la anterior ecuación se obtiene
r

dz
E y  2 Ke y  2
 z  y 2
1
z
E y  2 Ke y arctan
y
y

 2 Ke 


2 0
Resultado parecido al obtenido en el capitulo de gravitación.
Nótese que en el resultado no aparece la distancia y. O sea que el campo
resultante es uniforme y normal al plano.
Otros ejemplos se pueden resolver simplemente tomando los ejemplos de
1
gravitación. En estos ejemplos, donde aparece G se reemplaza por Ke 
y
4  0
en donde está m por q con su signo respectivo.
3.5 LINEAS DE FUERZA.
Una buena manera de visualizar el campo eléctrico producido por cualquier
distribución de cargas es trazar un diagrama de líneas de fuerza en ese punto.
Concepto que fue introducido por Michael Faraday. La dirección del vector de
campo eléctrico en cada punto es tangente a la línea de fuerza en ese punto ver
figura 3.10.
Figura3.11
En otras palabras, en cada punto la línea de fuerza tiene la misma dirección que el
vector de campo eléctrico. Puesto que, de ordinario, la dirección del campo varía
de un punto a otro, las líneas de fuerza son en general curvas.
En la figura 3.12 se muestran las líneas de fuerza para algunas distribuciones de
carga. Se observa que cerca de una carga puntual las líneas de fuerza son
radiales y van dirigidas hacia fuera si la carga es positiva o hacia la propia carga si
es negativa.
figura 3.12
En las regiones donde las líneas de fuerza están muy juntas el campo eléctrico es
grande, mientras que donde están muy separadas el campo es muy pequeño.
Por tanto, la densidad de líneas es proporcional al campo eléctrico, hecho que se
tratará en otro capitulo mediante la ley de Gauss.
Además, en cualquier punto, el campo resultante solo puede tener una dirección;
por tanto, por cada punto del campo pasa solo una línea de fuerza. En otras
palabras: las líneas de fuerza no se cortan.
3.6 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELECTRICO.

E
Si una partícula con carga
q
se
encuentra
en
una
región
con
campo
eléctrico
,


esta sufre una fuerza F  qE .
Haciendo caso omiso de otras fuerzas, la aceleración de una partícula en un
campo eléctrico está dada por

 F q 
a  E .
3.6
m m
Que permite para un campo conocido determinar la relación carga a masa, q/m,
de una partícula cargada.
Ejemplo. 6. Escribir las ecuaciones cinemáticas para una partícula cargada que
está inicialmente en reposo en un campo eléctrico uniforme.
Una partícula cargada, soltada desde el reposo en el seno de un campo eléctrico
uniforme,
se mueve con una aceleración constante a lo largo de una línea paralela

a E , de la misma forma que una partícula de masa m soltada en un campo

gravitatorio uniforme cae verticalmente siguiendo una línea paralela a g como se
muestra en la figura 3.12.
Figura 3.12
Si se toma el origen inicial del movimiento en la región punteada, y el eje y en la
dirección de E y se hace t=0 para y=0, la cinemática es:
ay 
qE
,
m
vy 
qE
t,
m
y
1 qE 2
t
2 m
Despejando el tiempo t en vy y remplazándolo en y se obtienen:
v y2 
2 qE
y
m
y
K
1 2
mv  q E y
2 y
Ejemplo. 7. Escribir las ecuaciones cinemáticas para una partícula cargada que
se envía con una velocidad perpendicular hacia un campo eléctrico uniforme.
Figura 3.13

En la figura 3.13 se toma el campo E en la dirección y a x0 = y0 = 0 y a v=v0x en
t=0.
El movimiento es similar al de una bola lanzada horizontalmente en el campo
gravitacional uniforme de la tierra.
Utilizando de nuevo los procedimientos cinemáticos se obtiene:
qE
ax  0
az  0
m
qE
vy 
t
v x  v0 x v z  0
m
1 qE 2
y
t x  v ox t z  0
2 m
ay 
Como se puede ver de las ecuaciones, el movimiento se realiza en el plano xy. Si
se elimina t entre las ecuaciones de x e y se obtiene una trayectoria parabólica de
la partícula:
1 qE 2
y
x
2 mv 02x
Si la carga fuese negativa, ay sería negativa , con lo que la trayectoria se curvaría
hacia abajo parecido al movimiento de una bola en un campo gravitacional.
Ejemplo. 8. Un electrón describe una trayectoria circular alrededor de un alambre
largo cargado uniformemente ver figura. Si la velocidad del electrón es de 6x106
m-s-1 , ¿ Cuál es la densidad de carga en el alambre?.
El campo eléctrico de un alambre con carga positiva es radial y hacia afuera. El
electrón se
entonces
en un circulo alrededor del alambre debido a que la
 mueve


fuerza F  qE  eE que actúa sobre él siempre se dirige hacia el centro del
circulo.
Figura 3.14
El campo eléctrico es el calculado en el ejemplo 3 para un alambre muy largo.
Por lo tanto la magnitud de la fuerza sobre el electrón para un radio y es:
 2k  
F  eE  e e  .
 y 
Esta fuerza causa la aceleración centrípeta
 2k e  
v2
e
 m .
y
 y 
por lo tanto

mv 2
(9.11x10 31 kg)(6.0x106 m. s 1 ) 2

 11
. x10 8 C. m1
2eKe 2(160
. x1019 C)(9.0x109 N . m2 . C 2 )
3.7 DIPOLO EN PRESENCIA DE UN CAMPO ELECTRICO.
figura 3.15
En la figura 3.15 se muestra un
en una región donde hay
 dipolo eléctrico colocado

un campo eléctrico uniforme E , el dipolo eléctrico p forma con este un ángulo  .


Obran dos fuerzas iguales y opuestas F y  F como se muestra, con F=q E.
La fuerza neta es cero, pero hay un torque neto con respecto a un eje que pasa
por 0 dado por
  2 F (a sen  )  2aqE sen 
Teniendo en cuenta que p=2aq, se obtiene
  pE sen 
3.7
La anterior ecuación se puede escribir en forma vectorial así:



  p E
3.8
El torque está en la dirección entrando al plano de la figura. Este torque hace que
el dipolo comience a girar para alinearse con el campo eléctrico; cuando el dipolo
está paralelo al campo eléctrico, el torque en ese instante es cero, pero el dipolo
ha adquirido momento angular. Continua girando y se pasa de la alineación;
entonces el torque invierte su dirección. El dipolo oscila respecto a una posición
de equilibrio, paralela a la dirección del campo. Este modelo no tiene mecanismo
alguno para que el dipolo pierda energía, así que este continuará oscilando
indefinidamente. Los dipolos reales, están sujetos a fricción; en consecuencia sus
oscilaciones se amortiguan y estos quedan alineados con el campo.
Ejemplo. 9. ¿Cuál es la aceleración angular máxima de una molécula de HCl (
momento de dipolo p= 3.6 x 10-30C.m y momento de inercia I= 2.7 x 10-47 Kg.m2)
en una región de campo eléctrico E=1.7 x 104 N.C-1?.
Cuando el vector momento de dipolo forma un ángulo recto con el vector del
campo eléctrico en la figura 3.15, el ángulo entre ellos es    2 . En este caso,
el torque es máximo y está dado por
  pEsen( 2)  pE
La aceleración angular  se relaciona con el torque por medio de    I .
Por ello, la aceleración angular es
 pE (3.6  1030 C.m)(1.7  104 N .C 1 )
 

 2.3x1021 rad.s 2
I
I
2.7  1047 kg.m 2
Obsérvese que aunque el torque es bastante pequeño, el momento de inercia
también lo es, la molécula tiene una aceleración muy grande.
Para cambiar la orientación de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo
debe hacerse trabajo mediante un agente externo.
Este trabajo queda
almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el
dispositivo usado para crear el campo externo. Por lo tanto el trabajo requerido
para hacer girar el dipolo un ángulo  , está dado por

W    d  U
0
Siendo  el momento ejercido por el agente que hace el trabajo.
Combinando esta última ecuación con la ecuación 3.7 se obtiene:


0
0
U   pE sen d  pE  sen d   pE (cos  cos0 )
Como lo que interesa son los cambios de energía potencial, se escoge la

orientación de referencia como 0  . Así se obtiene:
2
U   pE cos
3.9
que en forma vectorial es
 
3.10
U   p. E
Ejemplo 10. Una molécula de agua tiene un momento de dipolo eléctrico
p=6.2x10-30 C.m . Si la molécula está en un campo eléctrico de 1.0x10 3 N.C-1,
¿cuánta energía se requiere para rotar el dipolo desde el alineamiento paralelo
hasta uno antiparalelo al campo?.
En la figura 3.16 se muestra como la energía potencial depende de la orientación
del vector de momento de dipolo respecto a la dirección del campo.
Figura 3.16
La energía que se requiere para rotar la molécula es igual al cambio en la energía
potencial:
U  U antiparalelo  U paralelo   pE cos1800  ( pE cos00 )  2 pE
U  2(6.2x1030 C.m)(1.0x103 N.C 1 )  1.2x1026 J
3.8 APLICACIONES PRACTICAS.
Los campos electrostáticos aceleran partículas en el interior de los tubos de rayos
catódicos de los osciloscopios y televisores, y en los aceleradores lineales para
investigación de partículas de alta energía. Los campos electrostáticos también
se usan en algunos diseños de altoparlantes de alta frecuencia y micrófonos, y en
las fotocopiadoras. Los dipolos son un buen modelo para moléculas expuestas a
campos eléctricos como en los hornos de microondas y también son la base del
comportamiento 1/r6 de las fuerzas moleculares en el modelo de los gases de Van
der Waals.