UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA PLAN 2002 GUÍA DE LABORATORIO ASIGNATURA “ RESISTENCIA DE MATERIALES II ” NIVEL 06 EXPERIENCIA C-973 “ MEDICION DE TENSIONES DE HERTZ” HORARIO: VIERNES 13-14-15-16 1 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica MEDICION DE TENSIONES DE HERTZ 1. Objetivo General 1.1 Mediante el método fotoelástico, determinar la distribución y el valor de los esfuerzos de contacto o tensiones de Hertz que se producen cuando dos cuerpos interaccionan entre ellos. 1.2 Aplicar lo anterior al análisis de tensiones entre un pasador y una biela. 2. Objetivos Específicos 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3. Calibrar el material fotoelástico Determinar niveles de esfuerzo y orden de franjas Interpretar curvas isocromáticas Determinar esfuerzos máximos y su ubicación Comparar resultados experimentales con valores teóricos Esfuerzos de Contacto de Hertz Cuando dos cuerpos que tienen superficies curvas se presionan uno contra otro, el contacto en punto o línea se transforma en contacto de área, y el esfuerzo desarrollado en ambos cuerpos es tridimensional. Estos problemas de esfuerzo de contacto surgen en los siguientes casos: el contacto entre una rueda y un riel o entre una leva y su seguidor o contraleva, en el ajuste de dientes de engranes y en la acción de cojinetes de rodamiento. Las fallas comunes que ocurren en la superficie son grietas o cuarteaduras, hendiduras o desprendimiento de partículas del material. El caso mas general de esfuerzo de contacto ocurre cuando cada cuerpo en contacto tiene un doble radio de curvatura; esto es, cuando el radio en el plano de rotación es diferente del radio en un plano perpendicular, y ambos planos pasan por el eje de la fuerza de contacto. Aquí sólo consideraremos los dos casos especiales de esferas y cilindros en contacto. Los resultados que se presentan fueron obtenidos por Hertz y en consecuencia se les conoce en general como esfuerzo de Hertz o hertzianos. 2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica 3.1 Cuando dos esferas macizas de diámetros d1 y d2 se presionan entre sí con una fuerza F se obtiene un área de contacto circular de radio a. Si se especifica que E1, 1, E2 y 2 son las constantes elásticas respectivas de las dos esferas, el radio a será determinado por la ecuación. a3 3F (1 12 ) / E1 (1 22 ) / E 2 8 1 / d1 1 / d 2 (3-1) La presión dentro de cada esfera tiene distribución semielíptica, como se indica en la figura 1. La presión máxima ocurre en el centro del área de contacto y es Pmáx 3F 2a 2 (3-2) Las ecuaciones (3-1) y (3-2) son perfectamente generales y se aplican también al contacto de una esfera y una superficie plana, o a una esfera apoyada contra una superficie esférica interna. Para una superficie plana d = ∞. En el caso de superficies internas, el diámetro se expresa como una cantidad negativa. Fig. 1 a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F. b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2a. 3 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica Los esfuerzos máximos se tienen en el eje z y son esfuerzos principales. Sus valores son x y Pmáx 2 1 z tan 1 1 (1 ) z a a Pmáx z2 1 2 a 1 z2 21 2 a (3-3) (3-4) Estas ecuaciones son válidas para una u otra esfera, pero el valor utilizado para la relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración. Las ecuaciones son todavía más complicadas cuando se han de determinar estados de esfuerzo ubicados fuera del eje z, pues en este caso también deben incluirse las coordenadas x e y. Sin embargo, tales coordenadas no se requieren para fines de diseño, pues los esfuerzos máximos se presentan en el eje z. Los círculos de Mohr para el estado de esfuerzo descrito en relación con las ecuaciones (3-3) y (3-4) son un punto y dos círculos coincidentes. Puesto que x = y entonces xy = 0, y xz yz x z 2 y z (3-5) 2 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica Fig. 2 Magnitud de las componentes de esfuerzo debajo de la superficie en función de la presión máxima de contacto de las esferas. Obsérvese que el esfuerzo cortante máximo está ligeramente debajo de la superficie y vale aproximadamente 0.3 Pmáx. El diagrama se basa en una relación (o razón) de Poisson de 0.30. Nótese que los esfuerzos normales son de compresión. La figura 2 es una gráfica de las ecuaciones (3-3) y (3-4) para una distancia desde cero hasta 3a hacia abajo de la superficie. Se debe notar que, ligeramente abajo de la superficie, el esfuerzo cortante alcanza un valor máximo. En opinión de muchos autores, este esfuerzo cortante máximo es la causa de las fallas por fatiga en la superficie de los elementos en contacto. La explicación es que una grieta se origina en el punto de esfuerzo cortante máximo bajo la superficie y avanza subiendo hasta esta última, y que la presión del lubricante, al hacerlo fluir hacia la grieta, afloja y desprende partículas. 3.2 La figura 3 muestra una situación semejante, en la que los elementos en contacto son dos cilindros de longitud I y diámetros d 1 y d2. Como se ve en la figura 3, el área de contacto es un rectángulo angosto de ancho 2b y longitud I, y la distribución de la presión es elíptica. El semiancho b lo da la ecuación. 5 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica b 2 F (1 12 ) / E1 (1 22 ) / E 2 l 1 / d1 1 / d 2 (3-6) La presión máxima es Pmáx 2F bl (3-7) Fig. 3 a) Dos cilindros mantenidos en contacto por una fuerza F uniformemente distribuida en la longitud I del cilindro. b) El esfuerzo de contacto tiene distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2b. Las ecuaciones (3-6) y (3-7) se aplican a un cilindro y una superficie plana, como un riel, haciendo d = ∞ para esta superficie. También se aplican al contacto de un cilindro y una superficie cilíndrica interna; en este caso, se considera que d es negativa. El estado de esfuerzo en el eje z está dado por las ecuaciones x 2p máx 1 z 2 z b 2 b (3-8) 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica 1 y p máx 2 z2 1 2 b z 2 1 z 2 z b b2 p máx (3-9) (3-10) 1 z 2 / b2 Estas tres ecuaciones se representan en forma gráfica en la figura 4 hasta una distancia de 3b debajo de la superficie. Aunque no es el mayor de los tres esfuerzos cortantes para todos los valores de z/b, es máximo aproximadamente a z/b = 0.75, y resulta mayor en ese punto que cualquiera de los otros dos esfuerzos cortantes para un valor de z/b. Fig. 4 Magnitud de las componentes de esfuerzo debajo de la superficie en función de la presión máxima de contacto de los cilindros. El esfuerzo se vuelve el mayor de los tres esfuerzos cortantes aproximadamente en z/b = 0.75; su valor máximo es 0.30 pmáx. El diagrama está basado en una relación de Poisson de 0.30 ¿Puede señalar qué pareja de esfuerzos principales se utilizan para determinar máx cuando z/b < 0.75? Nótese que todos los esfuerzos normales son de compresión. 7 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica 4. Método a seguir Se instalará en un marco de carga la probeta de acrílico que simula el trabajo de una biela contra un pasador de acero que se someterán a una acción y reacción entre las superficies en contacto. La fuerza aplicada se medirá con una celda de carga. El número de “orden de franja” N está relacionado con el color de las franjas coloreadas que se forman de acuerdo a la tabla 4.1 secuencia de colores que se generan al ir aplicando carga. 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica Marco de Carga Aquí se instala la probeta y la celda de carga. Este conjunto se intercarla entre las placas del polariscopio. 9 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica Modelo de biela construida en material foto-elástico. kg cm 2 cm C 21,43 franja e 1 / 4" 0,635 cm C = Constante óptica del material e = Espesor del material foto-elástico (probeta) 10 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Mecánica 5. Temas de interrogación Esfuerzos principales y círculo de Mohr Esfuerzos que ocurren en el contacto entre superficies de cuerpos que interaccionan entre sí, las aplicaciones más comunes son: Esfuerzos en dientes de 2 engranajes en contacto. Presión entre bolitas o rodillos de rodamientos contra su pista. Esfuerzos en la rueda de ferrocarril y en el riel Presión entre una leva y su seguidor Presión entre los huesos de la pierna y la rótula de la rodilla. Aplicaciones similares en codos, manos, columna, etc. Presión entre frutas y embalajes en el proceso de transporte. 6. Equipos e instrumentos a utilizar 7. Polariscopio de transmisión Marco de carga Celda de carga de 200 kilogramos Probeta de material foto-elástico transparente. Pasador de acero y su sistema de sujeción. Lo que se pide en el informe Descripción de la experiencia realizada Comparación experimental y teórica de los esfuerzos que se generan en el contacto de las superficies curvas Conclusión general de la experiencia. Bibliografía. Daly y Siegren (Memoria Nº0836)- “Análisis de Tensiones en Pasador y Biela” Timoskenko y Goodier -“Teoría de Elasticidad” Frocht -“Photolasticity” Tuppeny y Kobayashi- “Análisis Experimental de Tensiones” Kuske y Robertson -“Photo-elastic Stress Análisis” 11