Procesamiento del histograma

Análisis de
imágenes
digitales
MEJORAMIENTO DE LA IMAGEN
Procesamiento del histograma
DISTRIBUCIÓN DE PÍXELES
•
El histograma de una imagen es un gráfico de las frecuencias relativas de
ocurrencia de cada nivel de intensidad en la imagen.
•
Dada una imagen con niveles de gris en el rango [0, L−1], su histograma es una
función discreta h(k) = nk, donde k es el k-ésimo nivel de gris, k=0,1,…,L−1,
con nk píxeles y se puede computar como:
h(k) = ∑ δ ( f (x,y) − k), ∀k = 0,1,…, L − 1
x ,y
donde f(x,y) es la intensidad del píxel en la posición (x,y) y
⎧ 1 α =0
δ (α ) = ⎨
⎪⎩ 0 otro caso
2
DISTRIBUCIÓN DE PÍXELES
•
Si se normaliza el histograma tal que la suma total de todas las ocurrencias es la
unidad, entonces se trata de una función de densidad de probabilidad (PDF)
discreta, la cual describe la probabilidad de ocurrencia del k-ésimo nivel de
intensidad y calcula como:
h(k)
p(k) =
, ∀k = 0,1,…, L − 1,
N
donde N es el número total de píxeles en la imagen.
•
La función de distribución acumulada (CDF) discreta describe la probabilidad
de que el k-ésimo nivel de intensidad asuma un valor inferior o igual a k y se
computa como:
k
c(k) = ∑ p(i), ∀k = 0,1,…, L − 1,
i=0
3
DISTRIBUCIÓN DE PÍXELES
El histograma de una imagen provee información visual de la distribución de los
niveles de intensidad dentro del rango [0, L−1].
Número de ocurrencias
Histograma
Nivel de intensidad
CDF
Probabilidad
PDF
Probabilidad
•
Nivel de intensidad
4
Nivel de intensidad
DISTRIBUCIÓN DE PÍXELES: HISTOGRAMA
•
El análisis del histograma es la base de varias técnicas de procesamiento en el
dominio espacial, como mejoramiento de la imagen, compresión, filtrado,
segmentación, entre otros.
•
Para introducir los conceptos de transformaciones de intensidad utilizando el
histograma, a continuación se muestran los cuatro casos básicos de características de
intensidad:
Oscura
Brillosa
h(k)
Bajo contraste
h(k)
k
Alto contraste
h(k)
k
h(k)
k
5
k
EXPANSIÓN DEL CONTRASTE
•
Una solución para aumentar el contraste en imágenes es mediante la técnica de
expansión del contraste, el cual “estira” el rango de los niveles de intensidad de
la imagen original para ocupar un rango dinámico mayor en la imagen de salida.
•
El rango de intensidades se expande de acuerdo a la siguiente expresión:
⎛ a − b⎞
+a
s = (r − c) ⎜
⎟
⎝ c−d⎠
donde r y s son los niveles de intensidad de entrada y salida, respectivamente,
las constantes a y b denotan los límites superior e inferior, respectivamente, del
nuevo rango dinámico (e.g., para imágenes de 8 bits a=255 y b=0), y las
constantes c y d denotan los valores de intensidad máximo y mínimo,
respectivamente, de la imagen original.
•
Aunque el cálculo de c y d es muy simple, si la imagen presenta valores de
intensidad atípicos que no representan la distribución general de los píxeles en
la imagen (e.g., ruido impulsivo), entonces el resultado del mejoramiento de
contraste será afectado.
6
EXPANSIÓN DEL CONTRASTE
Mejoramiento sin píxeles atípicos
Mejoramiento con píxeles atípicos
7
EXPANSIÓN DEL CONTRASTE
Para evitar la influencia de valores atípicos en la
expansión del contraste: Seleccionar c y d como
el 95º y 5º percentil, respectivamente, a partir de
la CDF de la imagen original, es decir, 5% de los
píxeles serán mayores que c y 5% serán menores
que d.
d = 96
Imagen original con ruido impulsivo
c = 149
CDF
95º
PDF
•
5º
Nivel de intensidad
8
Expansión del contraste
ECUALIZACIÓN DEL HISTOGRAMA
•
Una de las técnicas más utilizadas en el mejoramiento del contraste de la
imagen es la ecualización del histograma.
•
Este procesamiento redistribuye los píxeles sobre todo el rango [0, L−1], tal
que el número de píxeles en la imagen se preserva.
•
La operación de ecualización puede representarse de forma general mediante
la siguiente función de transformación:
y = f (x)
la cual mapea el valor de entrada x en un nuevo valor de salida y al transformar
la PDF original en una PDF deseada.
•
La PDF transformada depende únicamente de la PDF conocida a la entrada y la
función de transformación y = f (x).
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ECUALIZACIÓN DEL HISTOGRAMA
Entonces, la transformación de intensidad para ecualizar el histograma de una
imagen está dada por su CDF tal que la función de transformación es:
k
T (k) = (L − 1)∑ i=0 p(i), ∀k = 0,1,…, L − 1,
donde p(i) es la probabilidad de ocurrencia del i-ésimo nivel de intensidad.
Imagen ecualizada
Imagen original
Nivel de intensidad de entrada
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PDF ecualizada
Nivel de intensidad de salida
Función de transformación
PDF original
•
ECUALIZACIÓN DEL HISTOGRAMA
Mejorada
PDF original
Alto contraste
Bajo contraste
Brillosa
Oscura
Original
11
Función de
transformación
PDF mejorada
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
El proceso de ecualización del histograma es una operación global, es decir,
toma en cuenta el histograma de la imagen completa.
•
La desventaja de este proceso es que no considera la información local de cada
píxel, de modo que puede existir bajo contraste en regiones pequeñas.
•
Para resolverlo, la ecualización adaptativa del histograma (AHE, Adaptive
Histogram Equalization) procesa la imagen por subregiones, o regiones
contextuales, sobre las cuales se aplica el procedimiento de ecualización antes
visto, mejorando localmente el contraste.
Imagen ecualizada
Región de bajo
contraste
12
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
Se define un vecindario de N×N píxeles alrededor de un píxel central y se obtiene la
función de transformación (CDF). El píxel central se modifica mapeando su valor
original de intensidad en la función de transformación. A continuación se desplaza la
región al píxel adyacente y se repite el proceso.
Imagen
original
N=105
N=25
N=55
N=155
N=175
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N=75
Ecualización
global
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
El proceso de AHE anterior procesa el histograma de ventanas traslapadas y es
computacionalmente costoso a medida que se aumenta el tamaño de la ventana.
•
Para disminuir el tiempo de cómputo se realiza la AHE para regiones contextuales no
traslapadas y para cada región determinar su propia función de transformación.
•
El inconveniente de este esquema es un efecto de “bloque” indeseado.
Imagen original dividida en
3×3 regiones contextuales
Funciones de transformación locales
14
Imagen ecualizada
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
Para evitar el efecto de “bloque” se realiza un proceso
de interpolación bilineal: primero se definen puntos de
referencia localizados a la mitad de cada región
contextual. Después, cada píxel original, r, es
modificado en un nuevo píxel, s, mediante las funciones
de transformación vecinas:
A
1− y
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1− x
B
y
s = (1− y)[(1− x)TA (r) + xTB (r)] + y[(1− x)TC (r) + xTD (r)]
donde A, B, C y D son los puntos centrales de las
regiones contextuales vecinas, cuyas respectivas
funciones de transformación son TA(r), TB(r), TC(r)
y TD(r).
x
C
r
D
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
La interpolación de cada píxel en la imagen considera uno de los siguiente casos:
1. Si el píxel pertenece a la región interna (RI),
entonces interpolar usando las cuatro funciones de
transformación adyacentes (arriba izquierda, arriba
derecha, abajo izquierda y abajo derecha).
2. Si el píxel pertenece a una región del borde (RB),
entonces interpolar usando las dos funciones de
transformación adyacentes (izquierda y derecha ó
arriba y abajo).
3. Si el píxel pertenece a una región de esquina (RE),
entonces interpolar usando la función de
transformación que contiene al píxel.
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1
2
3
RE
RB
RB
RE
RB
RI
RI
RB
1
2
RB
RE
RI
RB
RI
RB
RB
RE
3
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
Imagen original dividida en 3×3 regiones contextuales
con puntos de referencia para la interpolación bilineal
Imagen ecualizada con AHE
17
ECUALIZACIÓN ADAPTATIVA
•
Un problema asociado al AHE es la amplificación del ruido en regiones
homogéneas, debido a que la función de transformación satura rápidamente los
valores de intensidad.
Imagen original dividida en
2×3 regiones contextuales
Funciones de transformación
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Imagen ecualizada con AHE
CLAHE
•
Intensidad de salida
Una región homogénea en la imagen genera
un pico sobresaliente en el histograma.
Entonces, la técnica CLAHE recorta una
parte del pico y redistribuye uniformemente
los valores recor tados sobre todo el
histograma para mantener el número total
de píxeles en la imagen.
clip
Nivel de intensidad
Distribución recortada
A partir del histograma recortado se genera
la función de transformación.
Nivel de intensidad
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Intensidad de entrada
Intensidad de salida
•
La técnica CLAHE (Contrast Limited AHE)
resuelve el problema de “sobre” contraste
del AHE.
Ocurrencias
•
Ocurrencias
Distribución original
Intensidad de entrada
CLAHE
•
El algoritmo CLAHE se puede dividir en dos partes principales: 1) generación las de
funciones de transformación para cada región contextual y 2) interpolación bilineal.
1.a. Dividir la imagen original en
nx×ny regiones contextuales
1
1.b. Calcular la función de transformación
de cada región contextual
1.c. Salvar funciones de transformación
de cada región contextual
1
Histograma de la
región (2, 2)
2
2
Recorte del
histograma
3
1
2
clip
3
3
1
Generar función
de transformación
20
2
3
CLAHE
•
El algoritmo CLAHE se puede dividir en dos partes principales: 1) generación las de
funciones de transformación para cada región contextual y 2) interpolación bilineal.
2.a. Cortar subimágenes de la
imagen original a partir de los
puntos de referencia
2.b. Identificar si la subimagen pertenece a
RE, RB o RI para determinar qué funciones
de transformación le corresponden
(1,1)
(1,1) (1,2) (1,2) (1,3) (1,3)
1
(1,1) (1,1) (1,2) (1,2) (1,3) (1,3)
(2,1) (2,1) (2,2) (2,2) (2,3) (2,3)
2
(2,1) (2,1) (2,2) (2,2) (2,3) (2,3)
(3,1) (3,1) (3,2) (3,2) (3,3) (3,3)
3
(3,1) (3,1) (3,2) (3,2) (3,3)
1
2
21
(3,3)
3
2.c. Realizar la interpolación de
cada píxel de cada subimagen
CLAHE
Imagen original dividida en
2×3 regiones contextuales
Funciones de transformación
22
Imagen ecualizada con CLAHE y
un clip del 10%
MEJORAMIENTO ESTADÍSTICO
•
La mejora del contraste puede basarse en estadísticas locales de las
intensidades de los píxeles como la media y la desviación estándar, las cuales
cuantifican el brillo y el contraste, respectivamente.
•
Una transformación local basada en estas medidas está dada por:
g(x,y) = A(x,y)⋅[ f (x,y) − µ (x,y)] + µ (x,y)
donde
A(x,y) = k ⋅
Μ
con 0 < k ≤ 1
σ (x,y)
donde µ(x,y) y σ(x,y) representan la media y desviación estándar,
respectivamente, calculados en una ventana de tamaño N×N centrado en (x,y),
Μ es la media global de toda la imagen y k es una constante que controla la
saturación del contraste.
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MEJORAMIENTO ESTADÍSTICO
k
N
15
55
35
1.0
0.5
24
75
MEJORAMIENTO ESTADÍSTICO
k
N
15
55
35
1.0
0.5
25
75
IMÁGENES A COLOR
•
Los algoritmos de mejoramiento del contraste antes vistos pueden aplicarse a
imágenes a color modificando la componente de luminancia.
•
Comúnmente este proceso se realiza en el espacio de color HSI, donde el
mejoramiento de la imagen se ejecuta en el canal I, sin procesar los canales HS.
Imagen RGB
Canales HS
Imagen RGB mejorada
Convertir
a RGB
Canal I
Convertir
a HSI
Canal I mejorado
CLAHE
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