Valoración de opciones financieras con la

Valoración de Opciones
Financieras con la
Distribución Lambda
Generalizada
Mario Martín Galián
Alfonso Pallarés Iñíguez
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INSTITUCIONES Y MERCADOS FINANCIEROS
INDICE
1.- Introducción
2
2.- Fundamentos matemáticos
3
2.1.- Sucesos deterministas y no deterministas
3
2.2.- Ecuaciones diferenciales estocásticas
4
2.3.- Técnicas de resolución numérica y simulación
5
2.4.- Simulación en entornos financieros
6
3.- Valoración clásica de opciones financieras
3.1.- Las opciones financieras
3.2.- Valoración de opciones con supuesto de normalidad
4.- Distribución lambda generalizada
8
8
10
16
4.1.- La lambda generalizada y bondad del ajuste
16
4.2.- Métodos de ajuste
19
4.3.- Comparación con la Normal
32
5.- Simulación con lambda generalizada
34
5.1.- Descripción del proceso
34
5.2.- Medición de la estabilidad de los parámetros
35
5.3.- Resultados de la simulación
38
6.- Valoración de opciones con Lambda generaliza
41
6.1.- Método de valoración
41
6.2.- Valoración de opción de compra o Call
42
6.3.- Valoración de opcion de venta o Put
44
6.4.- Comentarios sobre los resultados
46
7.- Conclusiones
47
8.- Bibliografía
49
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
1
1.- INTRODUCCIÓN
El presente trabajo persigue exponer al lector un método alternativo de valoración
de opciones financieras empleando la distribución lambda generaliza.
Históricamente se ha empleado la distribución probabilística normal para el ajuste
de los retornos financieros, a pesar de que estos no se ajustan a dicho supuesto. Es
decir, los rendimientos financieros no se comportan como una distribución normal. Para
suplir dicha carencia, se ha trabajado con la distribución lambda generalizada que por
sus características permite un mejor ajuste de los datos históricos y, por lo tanto, una
mejor valoración de las opciones financieras.
La valoración de opciones se fundamenta en la caracterización de la distribución de
probabilidad de los activos. La información disponible para ello son los precios pasados,
y las rentabilidades diarias del activo. Con esta información, es posible simular los
posibles precios futuros del activo y proceder a la valoración de opciones Call o Put. En
el trabajo, se demuestra que la distribución normal no es capaz de ajustar
adecuadamente la información que los rendimientos históricos del activo proporcionan.
Sin embargo, la lambda generalizada es una distribución de probabilidad que es capaz
de recoger mejor toda la información disponible a partir de los datos históricos.
Lo anteriormente indicado tiene implicaciones directas en la valoración de opciones
financieras. Como se demuestra en el trabajo, el valor que se obtiene para las primas,
mediante la lambda generalizada, es diferente a la valoración tradicional obtenida con
Black-Scholes o Montecarlo asumiendo normalidad.
El trabajo persigue valorar opciones financieras debido a que estos contratos se
encuentran muy presentes en el actual universo financiero. Las opciones financieras se
emplean, tanto en la cobertura de riesgos empresariales o financieros como en la
construcción de instrumentos de inversión. Es, por tanto, fundamental desarrollar
mejores herramientas de valoración capaces de proporcionar información más fiable.
El lector va a encontrar en este trabajo tres grandes bloques. El primer bloque
demuestra que los rendimientos financieros no se ajustan adecuadamente mediante
una distribución normal, por lo que todo planteamiento construido sobre tal base, es
erróneo desde su primer punto de partida. El segundo bloque demuestra cómo la
distribución lambda generalizada se ajusta adecuadamente a los rendimientos históricos
de los activos, y por lo tanto, se demuestra que es una distribución probabilística
adecuada para el tratamiento estadístico de estos. Por último, en el tercer bloque, se
aplica los resultados de los bloques anteriores para simular el comportamiento de
activos financieros y valorar contratos de opciones.
Se presenta en definitiva, un método con un mayor rigor matemático, con el añadido
adicional de no ser de amplio uso público, por lo que, el usuario de esta metodología de
valoración dispone de información adicional, y no pública, para tomar decisiones de
inversión y cobertura.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
2
2.- FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
El objetivo que se persigue alcanzar en esta primera parte del trabajo es establecer
un marco teórico a nivel conceptual de los fundamentos matemáticos que se van a
utilizar con posterioridad. En primer lugar, se caracterizan el tipo de sucesos en los que
se enmarcan los rendimientos financieros, a saber, sucesos no deterministas. En
segundo lugar, el tipo de ecuaciones que se emplean para trabajar con dichos sucesos,
ecuaciones diferenciales estocásticas. En tercer lugar, las técnicas que se utilizan para
resolver este tipo de ecuaciones, la resolución numérica y la simulación. En cuarto y
último lugar, cual es la aplicación directa de todo lo anterior al entorno financiero.
2.1.- SUCESOS DETERMINISTAS Y NO DETERMINISTAS
La matemática diferencia entre dos grandes grupo de sucesos, los deterministas y
los no deterministas. Es precisamente debido a esta segregación existente en los
sucesos, que es necesario introducir herramientas matemáticas capaces de satisfacer
la necesidad de caracterizar y estudiar ambos.
Los procesos deterministas se definen como aquellos en los que el azar no influye
en el resultado final. Un proceso determinista produce una misma salida siempre que
las entradas no varíen, esta característica en su comportamiento les otorga la posibilidad
de ser predecibles. Dicho de otra forma, los procesos deterministas están influenciados
por los sucesos pasados ya que, el estado futuro en el que se encuentra un proceso
determinista, viene definido por el presente o el pasado de dicho proceso. Son por tanto
sistemas deterministas aquellos que permiten la conexión matemática inequívoca entre
todos los estados temporales que este ha ido adoptando fruto del suceso.
La matemática determinista es la base de ciencias como la física en las cuales, el
estudio de los sistemas y su comportamiento permite generar leyes matemáticas que
relacionan todos los estados del sistema mediante ecuaciones diferenciales. Es propio
de la complejidad del proceso que se estudia, que exista un desarrollo matemático
suficiente, tal que dichas ecuaciones diferenciales sean tratables desde el punto de vista
analítico. Existen por tanto sistemas, como la atracción gravitatoria, cuyos modelos
matemáticos son tratables analíticamente con el conocimiento matemático acumulado
hasta la actualidad. Existen, sin embargo, otros sistemas, como es la aplicación de la
Ley de Newton a medios fluidos definida a través de la ecuación de Navier-Stokes, cuya
resolución a día de hoy sigue siendo imposible debido a la complejidad de las
ecuaciones diferenciales que rigen dicho sistema.
En este punto, es necesario diferenciar entre los procesos deterministas puros o no
caóticos y los procesos deterministas caóticos. Un proceso determinista puro es aquel
para el cual, aunque no exista conocimiento matemático disponible para obtener la
expresión analítica de su comportamiento, es posible acotarlo. Para estos no es posible
determinar las entradas del modelo que generan una salida determinada, ya que la
ecuación diferencial que rige el comportamiento no es resoluble analíticamente. Sin
embargo, sí es posible definir dos entradas distintas que acotan inferior y superiormente
el rango de la salida. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el modelo de Lotka-Volterra
que estudia la relación entre dos poblaciones, una población de depredadores y otra
población de presas. Este modelo no tiene una expresión analítica que permita su
estudio, sin embargo, mediante resolución numérica o aproximada de dicha ecuación
diferencial, es posible acotar la solución buscada. Exigiendo un grado de tolerancia
previo, es posible acotar dicho intervalo hasta un nivel de error aceptable.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
3
Un proceso determinista caótico es aquel cuya condición matemática impide acotar
las variables de entrada que producen una salida determinada del sistema. El ejemplo
más claro de sistemas deterministas caóticos es el atractor de Lorenz o el péndulo
doble. Ambos sistemas se caracterizan por no presentar resolución analítica de la
ecuación diferencial y por no ser acotables, es decir, pequeñas variaciones en las
variables de entrada producen cambios impredecibles en la respuesta del sistema. No
obstante, esta imposibilidad de predecir no es fruto del azar sino de la inestabilidad
matemática del sistema junto al alcance de la matemática desarrollada hasta la
actualidad.
Por otro lado, los procesos no deterministas son aquellos en los que el azar juega
un papel fundamental en la relación entre la entrada y la salida del sistema. Los procesos
no deterministas se caracterizan por perder la trazabilidad entre los diferentes estados
por los que pasa el sistema. Esta imposibilidad es fruto de que, el estado futuro es el
resultado del estado actual más una componente debida al azar. Por tanto, es imposible
establecer modelos matemáticos que relacionen entre sí de forma unívoca dos estados
diferentes de un mismo sistema estudiado.
La necesidad de estudiar sistemas no deterministas llevan al desarrollo de una
matemática centrada en caracterizar el proceso generador de azar que da lugar a una
variable aleatoria. La variable aleatoria se define como una función real definida en el
espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, es decir, es el conjunto de
valores en los que puede realizarse dicho experimento. Sea el caso un dado con
inscripciones numéricas desde el uno hasta el seis en cada una de sus seis caras, el
lanzamiento sin viciar del dado es un experimento aleatorio y, por tanto, tiene una
variable aleatoria asociada. La variable aleatoria recoge los posibles resultados del
experimento, es decir, los números del uno al seis que se pueden obtener en cada
realización del experimento. El estudio matemático de esta variable aleatoria da lugar a
la rama de la matemática conocida como la probabilidad y estadística, la cual se
materializa en el estudio de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.
2.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS
El estudio matemático de sistemas no deterministas pasa, por tanto, por la inclusión
de la teoría de la probabilidad y estadística en la construcción de los modelos que tratan
de explicar el comportamiento, dando lugar a ecuaciones diferenciales estocásticas1, en
las cuales, al menos uno de los elementos diferenciales de la ecuación es una variable
aleatoria que puede realizarse siguiendo una distribución de probabilidad estadística
conocida o no. Estos modelos surgen del estudio de fenómenos naturales como la
turbulencia o el movimiento del electrón en un átomo, y se continúan desarrollando
posteriormente en campos tan alejados de los primeros como el entorno financiero,
modelos como el conocido Movimiento Browniano2.
Cuando se estudia un sistema no determinista, es decir, un sistema estocástico o
aleatorio, el estudio pretende definir una distribución de probabilidad para la salida del
sistema, a partir de las variables de entrada, que como se ha indicado anteriormente
pueden ser variables aleatorias. Por tanto, los resultados que se obtienen no son
deterministas, pues este resultado es incompatible con la propia naturaleza del sistema
1
FLORESCU, I. (1973): “Probabilistic and Stochastic Processes”. Stevens Institute of Technology, Hoboken, NJ. New
Jersey, John Wiley & Sons, Inc., 485-486.
2
Ibídem, 465-466
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
4
que se estudia, se obtienen resultados que deben ser interpretados en clave estadística.
Esta interpretación estadística es generalmente de dos tipos, una probabilidad de
realización o una distribución de las realizaciones.
La complejidad de algunos sistemas deterministas conduce a la imposibilidad, con
el conocimiento actual, de obtener expresiones analíticas para el estudio de dichos
sistemas. Esta complejidad se agrava cuando se trabaja con sistemas estocásticos,
generalmente es complejo obtener expresiones analíticas cerradas cuando alguna de
las variables de la ecuación diferencial es variable aleatoria, por tanto, ecuación
diferencial estocástica. Únicamente bajo supuestos que fuerzan la simplificación del
sistema es posible obtener dichas expresiones, no obstante, para el estudio de una gran
cantidad de sistemas, particularmente dentro del mundo financiero, las simplificaciones
que exigen las resoluciones analíticas incapacitan la aplicación de los resultados
obtenidos. Sea por ejemplo el caso de la ecuación de Black-Scholes para la valoración
de la prima de opciones europeas, que se tratará posteriormente en este documento.
Surge el problema entonces a la hora de entender el comportamiento de sistemas
estocásticos cuyo modelo diferencial no puede ser resuelto de forma analítica. La
solución del problema anterior, cuando surge en ecuaciones diferenciales deterministas,
pasa por la resolución de dicha ecuación diferencial mediante el empleo de técnicas
numéricas. Las técnicas numéricas no permiten llegar a la resolución exacta pero
permiten acotar dicha solución hasta un grado de error calculable matemáticamente. En
el caso de ecuaciones diferenciales estocásticas, las técnicas numéricas son igualmente
válidas, tras la aplicación de matices en su formulación fruto de la diferente naturaleza
matemática del suceso que se estudia, como es el caso del Lema de Ito3. No obstante,
a dicha resolución numérica se le añade una segunda componente que es la simulación.
Es la combinación de ambas componentes la que permite obtener la distribución
probabilística de la realización de la variable aleatoria asociada al estado final del
sistema que se estudia. La herramienta de estudio que surge por la combinación de
ambas técnicas, ofrece una potente versatilidad que permite atacar un conjunto elevado
de planteamientos de complejidad no limitada en primera instancia.
2.3.- TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN NUMÉRICA Y SIMULACIÓN
Se han tratado dos conceptos matemáticos diferentes, por un lado la resolución
numérica y, por otro lado, la simulación. Estas dos herramientas se pueden emplear de
forma independiente o mediante acoplamiento.
La resolución numérica es una técnica matemática empleada en la resolución de
ecuaciones diferenciales que, por su planteamiento, no son resolubles analíticamente.
Generalmente se encuentra una ecuación diferencial definida sobre un medio continuo
que no es posible resolver. Se toma la decisión de trasladar dicha ecuación desde el
dominio continuo hasta el dominio discreto de forma que, las técnicas de resolución
numéricas pasan a ser aplicables y, por tanto, la ecuación pasa a ser resoluble. Cabe
destacar que no sólo el campo de las ecuaciones diferenciales es susceptible de ser
acometido mediante técnicas numéricas.
Las técnicas de resolución numérica logran, a través de una simplificación
matemática, encontrar una solución aproximada del problema que se plantea cuando
este no tiene solución analítica. Esta solución aproximada puede ser acotada en el caso
3
Ibídem, 490-492
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
5
de estudio de sistemas deterministas puros hasta un nivel de error calculable
previamente.
La simulación es una técnica matemática que permite calcular las diferentes
realizaciones de una variable aleatoria definida mediante una distribución de
probabilidad. La simulación se emplea consecuentemente para introducir, dentro de un
modelo matemático, la distribución de probabilidad de las diferentes variables aleatorias
que intervienen dentro del sistema estudiado. La técnica consiste en calcular un número
elevado de veces la realización de una variable aleatoria entre dos estados de un
sistema, es decir, la simulación se detiene entre dos estados de un sistema, y genera
un número elevado de realizaciones de la variable aleatoria de forma que, se obtenga
una distribución de la realización del sistema estudiado entre los dos estados que se
estudian.
El acoplamiento de la resolución numérica y la simulación devuelve la herramienta
adecuada para resolver problemas caracterizados por ecuaciones diferenciales
estocásticas, es decir, sistemas cuyas variables intrínsecas son de naturaleza aleatoria.
Este acoplamiento se empela en el estudio de variables aleatorias como el tipo de
interés o el precio de un subyacente en el tiempo. Nuevamente, la técnica no persigue
devolver una predicción sobre el valor exacto sino una distribución de probabilidad de la
realización de dicha variable aleatoria que se quiere estudiar. Es fundamental
comprender esta característica para entender productos financieros como las opciones.
Empleando técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas, es decir,
técnicas numéricas de simulación, se calcula la distribución de las realizaciones del flujo
del contrato y se calcula la prima de forma que dicho derecho comerciado tenga valor
económico nulo consecuencia de la incertidumbre.
La resolución numérica con simulación se emplea para estudiar variables aleatorias
como es, por ejemplo, el precio de activo. El precio de un activo se modela como una
ecuación diferencial estocástica, ejemplo de ello es el Movimiento Browniano
Geométrico (GBM)4 que se presenta a continuación.
dS
= μ · S · dt + σ · S · dW
dt
Este modelo matemático relaciona el precio de las acciones en el tiempo
introduciendo una variable estocástica o browniana mediante el diferencial dW. Su
resolución pasa por una discretización y posterior resolución numérica junto con una
simulación de las posibles realizaciones entre los estados inicial y final que se estudia.
Es este modelo el fundamento matemático de los desarrollos que se presentan en el
trabajo.
2.4.- SIMULACIÓN EN ENTORNOS FINANCIEROS
La aplicación de la simulación en el ámbito financiero es común cuando se trabaja
con subyacentes de naturaleza estocástica como, por ejemplo, el precio de materias
primas o el precio acciones. Estas técnicas de simulación permiten construir una imagen
suficientemente amplia de la realidad que se estudia como, por ejemplo, valorar todo
4
ROSS. S. H. (2014): “Introduction to Probability Models”, Oxford Academic Press, 612-613.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
6
tipo de opciones financieras con estructuras de ejercicio complejas, es decir, desde las
europeas hasta las americanas pasando por estructuras intermedias exóticas. Además
de opciones, también puede ser implementado en los cálculos de riesgos como el VaR
así como estudiar estrategias de cobertura condicionadas a la ocurrencia de
determinados acontecimientos, o el estudio de la distribución esperada de la TIR o el
VAN en un descuento de flujos de caja, bien sea el subyacente una empresa que se
modela o un título de renta fija. En toda la casuística que se ha indicado anteriormente,
siempre se encuentra al menos una de las variables fundamentales del modelo que se
caracteriza por ser una variable aleatoria, por ser de tal naturaleza, la variable aleatoria
se distribuye siguiendo una distribución probabilística. Como consecuencia, el
comportamiento del sistema va a seguir su propia distribución probabilística. En este
punto, queda manifestada la necesidad de trabajar sobre técnicas matemáticas que
permitan estudiar este tipo de modelos.
El tradicional problema que surge con las variables aleatorias es la sensación que
puede tener el usuario final de encontrarse frente a un resultado catalogable como
incierto. Desde un punto de vista matemático este razonamiento no se encuentra muy
alejado de la realidad. Es necesario entender que, en el mundo financiero, las variables
con las que se trabaja son habitualmente variables aleatorias. Matemáticamente es poco
riguroso tratar problemas de variable aleatoria como un simple agregado discreto de
posibles realizaciones de las variables de entrada, además de ser poco riguroso, es
suficientemente subjetivo como para ser desechado a tenor de aportar una información
muy sesgada. En contraposición a la situación anterior, la simulación en el ámbito
financiero permite calcular una combinación muy elevada de posibles realizaciones de
las variables aleatorias de entrada y, por tanto, disponer de una distribución de
probabilidad de la variable aleatoria resultado del sistema. Esta distribución de la
variable aleatoria del resultado aporta gran información sobre el propio sistema,
información tanto de la expectativa estadística del sistema que se estudia como de la
influencia de las variables aleatorias de entrada. La versatilidad de la simulación da lugar
a poder introducir mecanismos para la mitigación de los riesgos dentro de la propia
simulación llevada a cabo, de forma que sea posible estudiar el impacto que tiene la
política de gestión de los riesgos. Queda por tanto evidenciado que la capacidad de la
simulación tiene el límite posicionado en la complejidad del modelo que se plantee.
Se demuestra, por tanto, que no sólo la simulación es útil para calcular las primas
de opciones, valorar productos estructurados u obtener el precio de un bono ligado a
variables aleatorias como la inflación; es igualmente útil para otros muchas campos de
las finanzas como puede ser estudiar corporaciones o evaluar decisiones sobre la
gestión o la inversión.
La simulación en el entorno financiero es, por tanto, una herramienta que no está
pensada para predecir el futuro, pues la propia naturaleza matemática del problema
impide tal planteamiento de forma lógica. Está pensada para disponer de la mayor
cantidad de información posible enmarcada dentro de una solidez y lógica matemática,
es esta solidez y lógica la que permite tomar decisiones objetivas y con fundamento.
Cabe indicar que la simulación no se encuentra por encima de la experiencia o el
conocimiento del usuario que se enfrenta a un determinado problema, sino que se
encuentra a disposición de este para ayudarle en la toma de decisiones, es, como se ha
indicado, una herramienta muy potente de análisis.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
7
3.- VALORACIÓN CLÁSICA DE OPCIONES FINANCIERAS
El apartado anterior tenía como objetivo establecer un marco matemático sobre el
que se sustentan las metodologías de valoración de opciones en el ámbito financiero.
Una vez acotado dicho marco teórico, el fin de este apartado será explicar en que
consisten las opciones financieras y cuáles son los métodos clásicos de valoración que
se emplean para su valoración: el método Black-Sholes y la Simulación Montecarlo.
Estos dos métodos emplean la distribución de probabilidad normal para caracterizar el
proceso aleatorio de los rendimientos. Como se verá en este apartado también, los
rendimientos financieros no se distribuyen con una normal y, por tanto, es preciso hacer
hincapié en ello para comprender cuales son las ventajas que ofrece el método
propuesto en el presente trabajo.
3.1.- LAS OPCIONES FINANCIERAS
Para comprender las metodologías de valoración de opciones, primero es preciso
saber en qué consisten las opciones financieras. Las opciones son productos derivados
cuyo subyacente es, generalmente, un activo financiero. Aunque también es posible
construir opciones con subyacentes no financieros como, por ejemplo, variables
meteorológicas.
Las opciones financieras son contratos donde se acuerda la compra-venta de un
derecho de compra, en el caso de una opción Call, o derecho de venta, el caso de una
Put. Las definiciones de ambas son las siguientes:

Una opción de compra o Call otorga al comprador el derecho, pero no la
obligación, de adquirir un determinado activo financiero a un precio de ejercicio
o strike en el momento de tiempo acordado. En contraposición, el vendedor de
la opción tiene la obligación de vender si el comprador decide ejercer su derecho
de compra5.
Gráfico 1
5
LAMOTHE P., PÉREZ M. (2006): “Opciones financieras y productos estructurados”. Madrid, McGraw-Hill,
3-4.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
8

Una opción de venta o Put otorga al comprador el derecho, pero no la
obligación, de vender un determinado activo financiero a un precio de ejercicio o
strike en el momento de tiempo acordado. En contraposición, el vendedor de la
opción tiene la obligación de vender si el comprador decide ejercer su derecho
de venta6.
Gráfico 2
A cambio de este derecho a comprar o a vender, el comprador deberá entregar al
vendedor una prima. El coste de la prima es el resultado de la valoración y de la propia
negación de mercado, ya sea mediante cámaras de compensación o mercados OTC. A
parte de la primera división entre Call o Put, los diferentes tipos de opciones se pueden
clasificar de la siguiente manera:

Según el activo subyacente, pueden ser: índices, acciones, divisas, tipos de
interés, étc.

Según el momento de ejecución, pueden ser: europeas, en las cuales, la
opción solo puede ejecutarse a vencimiento; americanas, donde la opción puede
ejecutarse en cualquier momento desde el inicio hasta el vencimiento del
contrato; o intermedias, en el contrato se establecen distintas fechas donde la
opción puede ejecutarse.

Según el valor intrínseco7, pueden ser: en el caso de una Call, “in the money”,
si el precio de ejercicio es inferior al valor presente del activo subyacente; “at the
money”, si el precio de ejercicio es igual al valor presente del activo subyacente;
o “out the money”, si el precio de ejercicio es superior al precio de ejercicio. Para
el caso de una Put, es el caso totalmente contrario.
6
LAMOTHE P., PÉREZ M. (2006): “Opciones financieras y productos estructurados”. Madrid, McGraw-Hill,
3-4.
7
LAMOTHE P. (2006). 56: “El valor intrínseco de una opción se puede definir como el valor que tendría
una opción en un momento determinado si se ejerciese inmediatamente”.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
9
En el presente trabajo se estudiarán opciones sobre el índice IBEX 35. Además,
serán opciones europeas y “at the money”, en adelante, ATM.
Cabe resaltar que, generalmente, las opciones se liquidan por diferencias y la
transacción no suele implicar intercambio de títulos, es decir, se liquidan según la
diferencia entre el precio actual y el precio ejercicio. Además, el derecho se ejerce
siempre y cuando el contrato tiene valor positivo para el comprador, en el caso contrario,
será más ventajoso acudir al mercado y comprar o vender el activo, según sea una Call
o una Put.
Durante las últimas décadas, gracias en parte al desarrollo de las herramientas
informáticas, se han desarrollado todo tipo de opciones que incluyen o alteran un
número mayor de restricciones y/o condiciones, tanto para su valoración como para su
negociación. Son las llamadas opciones exóticas y surgen como consecuencia de tratar
de cubrir las nuevas necesidades de los distintos agentes del mercado.
3.2.- VALORACIÓN DE OPCIONES CON SUPUESTO DE NORMALIDAD
Una vez descrito en que son las opciones financieras y cuáles son las características
y variables que entran en juego a la hora de valorar, se procederá a explicar los dos
modelos clásicos de valoración de opciones: el modelo Black-Sholes y el modelo de
simulación Montecarlo. Debido a que en la valoración de ambos métodos se emplea la
distribución de probabilidad normal -en contraposición al método del presente trabajo
que emplea la distribución lambda generalizada-, antes de explicar cada método, se
debe dar una breve explicación de la distribución normal y su ajuste sobre los
rendimientos.
Puesto que el objetivo de este trabajo es plantear y desarrollar un método alternativo
a estos dos, se necesita conocer cómo se valoran las opciones mediante estos métodos
para ser capaz de analizar las ventajas y las desventajas y compararlo con el propuesto.
3.2.1.- La distribución normal y los rendimientos financieros
La normal ha sido ampliamente empleada en prácticamente la totalidad de los
campos en los que la teoría de la probabilidad y la estadística matemática han sido
aplicadas. Su función de distribución es la siguiente8:
𝐺(𝑦) =
1
𝜎√2𝜋
∞
∫ 𝑒
−
(𝑦−𝜇)2
2𝜎2
𝑑𝑦
−∞
Esta distribución se ha empleado a pesar de reconocerse sus limitaciones donde,
en muchos casos, los datos no se ajustan a su función de densidad característica. Sin
embargo, el gran desarrollo de sus propiedades, su versatilidad y, por tanto, su fácil
manejo y aplicación, ha dado lugar a su utilización en multitud de modelos financieros
pese a reconocer que variables como las rentabilidades de un activo no se distribuye de
forma normal. Los ejemplos más notorios de aplicación se encuentran en teorías
8
MARTÍN-PLIEGO F. RUIZ-MAYA L. (2010): “Fundamentos de probabilidad”. Madrid, Paraninfo. 219.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
10
financieras como la cartera eficiente de Makowitz9, que continúa vigente o el modelo
de Black-Scholes10 que seguidamente se trata con más detalle.
Surge, por tanto, una cuestión básica que debe ser planteada y respondida antes de
continuar: ¿por qué la distribución normal no es capaz de ajustar de forma adecuada los
rendimientos financieros? La respuesta se encuentra en las colas de la distribución y en
el apuntamiento. En la siguiente gráfica se muestra un ejemplo utilizando los
rendimientos del IBEX 35 desde el 1 de enero del año 2005 hasta el 27 de febrero del
año 2015. La utilización de una ventana temporal tan amplia se debe a que cuantos más
datos se emplean, mejor se puede estudiar el ajuste de una distribución.
Gráfico 3
El gráfico muestra claramente como los datos históricos acumulan un mayor número
de sucesos entorno a la media, es decir, un mayor apuntamiento que la normal no
recoge en su ajuste. Por otro lado, las colas que muestran los datos son más “pesadas”,
es decir, existen un mayor número de sucesos que la distribución normal contempla.
Con un mayor apuntamiento de los datos y con colas más “pesadas”, se afronta el reto
de encontrar una distribución de probabilidad que sea capaz realizar un mejor ajuste.
Como se mencionaba anteriormente, en el presente trabajo, se ha escogido la GLD
como distribución alternativa a la normal. En epígrafes posteriores se comparará el
ajuste que la GLD realiza de los rendimientos frente al que realiza la normal.
Existen dos razones por las cuales se ha aceptado y perpetuado el uso de la normal
en el campo financiero. Por un lado, la distribución normal ha sido tratada en multitud
de textos científicos y el conocimiento y desarrollo matemático en torno a esta
distribución son muy elevados, haciendo fácil su uso y adaptación a nuevos campos en
los que, aun no ajustando correctamente, se acepta el error cometido con el objetivo de
9
MARKOWITZ, H. (1952): “Portfolio Selection; Journal of Finance”, 7, 77-91
10
BLACK, F., SCHOLES, M., (1973): “The Pricing of options and Corporate Liabilities”; The Journal of political Economy,
81, 3, 637-654
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
11
disponer de un aparato matemático suficientemente elaborado11. Esta razón se sustenta
en el transvase de conocimiento acontecido entre las disciplinas de la física y la
matemática al campo financiero.
La segunda razón es la amplia aceptación que, transcurrido el tiempo, y gracias a
un amplio conocimiento generado en base a la normal, la comunidad ha aceptado los
errores que conllevan aceptar las distribuciones normales en el ámbito financiero,
debido también a la ausencia de modelos matemáticos que mejoren sustancialmente la
oferta matemática de la distribución normal. En cambio, el desarrollo computacional ha
permito que trabajos como el presente, traten de cambiar dicha situación y comenzar a
desarrollar modelos que sean capaces de realizar un mejor ajuste de los rendimientos
y, por tanto, una mejor estimación y valoración del riesgo.
3.2.2.- Modelo Black-Sholes
El modelo de Black-Scholes desarrollado en 1973 por Fisher Black y Myron
Scholes12 para la valoración de opciones es un ejemplo de resolución analítica de
ecuaciones diferenciales estocásticas. Este modelo permite determinar el precio de la
opción a partir de las propiedades estadísticas del activo subyacente, sin embargo,
presenta fuertes restricciones, debido a la hipótesis que se plantean, entre otras13:

La principal es que su utilidad se restringe a las opciones europeas de tipo plain
vanilla, es decir, opciones con una estructura simple de derecho de compra o
venta directo que se ejercitan en una fecha determinada. Sin embargo, el modelo
no es capaz de dar respuesta a planteamientos más complejos como las
opciones americanas. Las opciones americanas otorgan el derecho de ejercitar
la opción de compra o venta en cualquier momento entre dos fechas conocidas.
Igualmente, estructuras más complejas de opciones tampoco pueden ser
tratadas con este modelo.

El mercado funciona sin fricciones, es decir, no existen costes de transacción,
de información ni impuestos y los activos son perfectamente divisibles.

Las transacciones tienen lugar de forma continua y existe plena capacidad para
realizar compras y ventas en descubierto sin restricciones ni costes especiales.

Las acciones tomadas como subyacente no pagan dividendos en el horizonte de
valoración. En este caso, es un supuesto que puede modificarse con una simple
modificación de la fórmula empleada.

Los agentes pueden prestar y endeudarse a una misma tasa r, el tipo de interés
a corto plazo expresado en forma de tasa instantánea y supuesto conocido y
constante en el horizonte de valoración de las opciones.
11
COSTA M., CAVALIERE G., IEZZI S( 2003).; “The Role of the Normal Distribution in Financial Markets”; Chapter of
book: New Developments in Classification and Data Analysis, University of Bologna - CLADAG
12
BLACK, F., SCHOLES, M., (1973): “The Pricing of options and Corporate Liabilities”; The Journal of political Economy,
81, 3, 637-654
13
LAMOTHE P., PÉREZ M. (2006): “Opciones Financieras y Productos Estructurados”. Madrid, McGrawHill.
111-112.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
12

El precio del subyacente sigue un proceso continuo estocástico de evolución de
Gauss- Wiener14 definido por:
𝑑𝑆
= 𝜇 · 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧
𝑆
El modelo propuesto por estos autores supone un avance fundamental en el mundo
financiero, al permitir valorar las opciones con una función algebraica sencilla, basada
en la distribución normal de probabilidad representada por σdz. A pesar de que se
reconoce el no ajuste de las rentabilidades a la distribución normal, en el cálculo del
modelo Black-Scholes, se introduce el supuesto de normalidad a través de la función de
distribución de probabilidad normal. El desarrollo del modelo da lugar a la siguiente
fórmula15:
C = S · N(d1 ) − K · e−r·T · N(d2 )
d1 =
S
σ2
ln (K) + (r + 2 ) · T
σ√T
d2 = d1 − σ√T
Siendo:

C la prima de la opción de compra europea.

S el precio actual del subyacente financiero

K el precio de ejercicio

T el tiempo hasta el ejercicio

r el tipo de interés,

σ la volatilidad implícita del activo subyacente.
3.2.3.- Simulación Montecarlo.
Es evidente la fortaleza de la ecuación de Black-Scholes para la valoración de
opciones, sin embargo, la complejidad de las estructuras financieras que hoy en día se
demandan, siguen modelos matemáticos de complejidad tal que no es posible obtener
expresiones cerradas analíticas como la obtenida por Black-Scholes.
En su defecto, se plantea la simulación numérica de dichas ecuaciones diferenciales
estocásticas pues, en la base del problema, la solución no deja de ser la evaluación de
todas las posibles realizaciones de un sistema, evaluado transversalmente entre dos
14
LAMOTHE P., PÉREZ M. (2006): “Opciones Financieras y Productos Estructurados”. Madrid, McGrawHill.
111-112.
15
POBLACIÓN F. (2013): “La gestión del riesgo en empresas Industriales”. Madrid, Delta. 21.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
13
estados inicial y final. Este método se conoce como el método de simulación
Montecarlo16. Además, las mejoras en el campo tecnológico permiten realizar cálculos
de elevada complejidad en un tiempo muy razonable, en algunos casos, casi
instantáneo.
El método de simulación Montecarlo es un método de simulación numérica que se
suele utilizar cuando, para la valoración de opciones, no existen fórmulas cerradas
como, por ejemplo, las fórmulas de Black-Scholes.
Esta metodología fue introducida por Boyle en 1977. Se puede utilizar para la
valoración de la gran mayoría de las opciones de tipo europeo y para múltiples
modalidades de “exóticas”.
El método de Montecarlo se utiliza para simular un rango muy grande de procesos
estocásticos. La valoración de las opciones se realiza en un mundo de riesgo neutral,
esto es, se descuenta el valor de la opción a la tasa libre de riesgo. La hipótesis de
partida del modelo es que el logaritmo natural del activo subyacente sigue un proceso
geométrico browniano, de forma que se obtiene:
S + dS = S · e
[(μ−
lσ2
)dt+σdz]
2
Donde S es el nivel del activo subyacente,  es la tasa esperada del activo
subyacente,  es la volatilidad del activo subyacente y dz es un proceso de Wiener con
desviación típica unitaria y media nula.
Para simular el proceso se debe transformar la expresión anterior en tiempo discreto,
es decir, se divide el tiempo en intervalos t, de forma que se obtiene la siguiente
ecuación:
S + ∆S = S · e
[(μ−
lσ2
)∆t+σεt √∆t]
2
Donde S es la variación en tiempo discreto para S en el intervalo de tiempo elegido
t y t es un número aleatorio que se distribuye de forma normal estándar N (0,1).
Realizando miles de simulaciones, se obtiene un conjunto e de valores para St.
La expresión discreta anterior a la que se ha llegado, para un activo que no pague
dividendos, tiene la siguiente forma:
St+1 = St · e
[(r−
lσ2
)∆t+σεt √∆t]
2
Donde r es la tasa libre de riesgo y t es el vencimiento de la opción en años partido
del número de periodos.
16
LAMOTHE, P. (2006): “Opciones Financieras y Productos Estructurados”. Madrid, McGrawHill, 125.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
14
Por ejemplo, si la opción tiene un vencimiento de T años y el número de periodos
elegidos es n, t será igual a:
∆t =
T
n
A medida que t es más pequeña, es decir, menor salto temporal entre un momento
y otro, más precisa es la simulación.
El número de simulaciones dependerá del nivel de exactitud que se pretenda obtener
con el modelo. Normalmente, a partir de 10.000 simulaciones los resultados obtenidos
son estables, no obstante puede ser necesario realizar un estudio particular sobre el
tamaño de la simulación. El principal inconveniente de la simulación es el elevado coste
computacional, es decir, el tiempo en el que el ordenador ejecuta la simulación.
A veces se encuentran situaciones en las que se deben generar sendas
correlacionadas, como, por ejemplo, con las opciones sobre una cesta de activos o
frente a opciones sobre el mejor o peor de varios activos. En este caso, los números
aleatorios generados deben estar correlacionados según el coeficiente de correlación 
que existe entre los activos subyacentes. La forma de generar dos sendas de números
aleatorios correlacionados es la siguiente:
ε1 = x1
ε2 = ρx1 + x2 √1 − ρ2
Donde x1 y x2 son vectores de números aleatorios que se distribuyen de forma
normal estándar y  es el coeficiente de correlación entre ambos activos subyacentes.
De forma que 2 es un vector de números aleatorios que se distribuyen de forma normal
estándar correlacionados un nivel  con 1.
De todo lo anterior se puede concluir que las fortalezas de la distribución normal son
el conocimiento que hay en torno a ella y la versatilidad que presenta su formulación
matemática. Son estas fortalezas las que hacen que, a día de hoy, con la amplia
disposición de tecnología suficiente como para computar simulaciones con elevada
carga computacional, se siga eligiendo la distribución normal para este tipo de modelos.
Sin embargo, los algoritmos empleados para la simulación pueden ser aplicados a
cualquier distribución de probabilidad y, partiendo de esta base, se desarrollará en los
próximos epígrafes método alternativo de valoración que permita aplicar la lambda
generaliza a la simulación de rendimientos financieros y, en última instancia, a la
valoración de opciones financieras.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
15
4.- DISTRIBUCIÓN LAMBDA GENERALIZADA
Durante todos los epígrafes previos, se ha tratado de proporcionar al lector una serie
de cuestiones básicas que permitirán comprender el verdadero objetivo del estudio. En
un principio, se ha desarrollado un marco teórico de los fundamentos matemáticos que
subyacen en el empleo de herramientas matemáticas y estadísticas aplicadas al mundo
financiero. Posteriormente, se ha explicado en que consiste una opción financiera y se
ha especificado que tipo se va a valorar: opciones europeas, plain vanilla y “at the
money”. Después, se han explicado los dos modelos clásicos empleados en la
valoración de opciones: Black-Sholes y Montecarlo, ambos asumiendo normalidad en
los rendimientos de las acciones.
Como ya se ha adelantado, los rendimientos no se distribuyen mediante una normal.
Por lo tanto, dicha asunción es la crítica principal a estos modelos, ya que el trabajo que
se comprende en este documento, versa sobre la valoración de opciones financieras
empleando la distribución lambda generalizada - en adelante, GLD (Generalized
Lambda Distribution) –. Por lo tanto, en el presente capitulo, el análisis abarca el ajuste
de los rendimientos a esta distribución alternativa, donde se elegirá el método que
presente mejor bondad de ajuste. En los dos capítulos posteriores, en primer lugar, se
utilizará el método seleccionado para simular los rendimientos mediante simulación
Montecarlo y, después, se realizará la valoración empleando la GLD.
Para todos los desarrollos computacionales, tanto en esta parte como en los que le
suceden, se han realizado con “R”, empleando, principalmente, la librería “GLDEX”.
4.1.-LA LAMBDA GENERALIZADA Y BONDAD DEL AJUSTE
La GLD es una extensión de la familia de las lambdas propuesta por Tukey. La última
extensión de la familia es definida por la siguiente función cuantil que es la inversa de
la función de distribución17:
La distribución lambda de Tukey se considera una familia de distribuciones debido
a que, a partir de la distribución cuantil anterior, se pueden aproximar otras
distribuciones. Este es el caso de la GLD. Para este estudio se han empleado dos
desarrollos: uno de ellos es Ramberg and Schmeiser (1974) y la otra es Freimer,
Mudholkar, Kollia and Lin (1988). Aunque ambos dependen de cuatro parámetros
lambda (λ1, λ2, λ3 y λ4), la diferencia entre ambos se encuentra en la modificación de
la función de distribución en el método Freimer, Mudholkar, Kollia and Lin. Como se verá
a continuación:
17
PFAFF B. (2013) “Financial Risk Modelling and Portfolio Optimization with R”. New Delhi, John Wiley &
Sons, Ltd. 56.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
16

El método Ramberg and Schmeiser, en adelante RS, muestra la siguiente
función cuantil o función de distribución inversa18:
𝑄(𝑢)𝑅𝑆 = 𝜆1 +

𝑢 𝜆3 − (1 − 𝑢)𝜆4
0 ≤𝑦 ≤1
𝜆2
El método Freimer Mudholkar Kollia and Lin, en adelante FMKL, como se puede
apreciar, su función de distribución inversa es algo distinta19:
𝑄(𝑢)𝐹𝑀𝐾𝐿
𝑢 𝜆3 − 1 (1 − 𝑢)𝜆4 − 1
−
𝜆3
𝜆4
= 𝜆1 +
0 ≤𝑦 ≤1
𝜆2
Los cuatro parámetros recogen las características de la distribución y, mientras que
λ1 y λ2, son medidas de localización y escala (dispersión), la asimetría y la curtosis
vienen determinadas por λ3 y λ420, respectivamente. En cambio, la distribución normal
solo contaba con (μ, σ2). Una de las ventajas que ofrece la GLD es, precisamente, la
utilización de dos parámetros más respecto a la normal, ya que permite una mejor
caracterización de los datos que es lo que se pretende demostrar, puesto que ya se ha
demostrado que los rendimientos no se distribuyen por una normal.
Para obtener los cuatro parámetros lambda, es necesario emplear un método de
estimación. Se emplean tres métodos distintos para el cálculo de los estimadores que
son: el método de los momentos, el método de la máxima verosimilitud y el método de
los l-momentos. Dado que no existen expresiones cerradas para calcular los
estimadores a partir de RS y FMKL, se necesitan emplear técnicas de optimización
numérica para obtener los parámetros lambda.
Una vez obtenidas las cuatro lambdas, se puede calcular la probabilidad asociada a
un suceso concreto mediante su función de probabilidad inversa, que se empleará en la
simulación, y se puede también obtener los estadísticos descriptivos de los datos.
La decisión de emplear dicha distribución se debe a multitud de estudios que han
postulado a la GLD como una distribución de probabilidad con capacidad para ajustarse
a los rendimientos financieros21 22.
Este trabajo tiene como objeto centrarse en la aplicación práctica de la GLD al ajuste
de los rendimientos donde, a partir del análisis cada método, se elegirá aquél que mejor
18
Íbidem, 56.
Ibídem, 56
20
Ibídem, 56
19
21
CORRADO C. (2001): “Option pricing based on the generalized lambda distribution”. Journal of Futures Markets,
21.213-236.
22
CHALABI, y. et al. (2010): “The Generalized Lambda Distribution as an Alternative to Model Financial Returns”. Institut für
Theoretische Physik. Zürich, Switzerland.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
17
ajuste realice. Por este motivo, para conocer en mayor profundidad el desarrollo
completo para obtener los parámetros lambda, se puede revisar la bibliografía 23.
Tendrá sentido emplear una GLD para la distribución de los rendimientos siempre
que demuestre un mejor ajuste que la normal. Por tanto, la ventaja de emplear esta
distribución consiste en generar estimadores que son capaces de obtener un mejor
ajuste probabilístico de la función de distribución. Aplicando esta lógica a la rentabilidad
de los activos financieros, por ejemplo acciones o índices, lo que se persigue es obtener
un mejor ajuste de las rentabilidades y, por tanto, una mejor estimación futura del precio.
Por todo esto, es preciso establecer los criterios que evaluarán el ajuste. Son los
siguientes criterios24:

Histograma de frecuencias: se puede obtener una primera aproximación de la
calidad del ajuste de forma visual y simple a partir del histograma de frecuencias.
En el histograma se representan por un lado los datos históricos mediante un
diagrama de barras y, por otro lado, la función de densidad obtenida a partir del
método en concreto.

Estimación teórica de los parámetros: de las lambdas obtenidas a partir de cada
uno de los métodos se calculan los cuatro estadísticos descriptivos teóricos
(moda, varianza, asimetría y curtosis) y se comparan con los estadísticos
descriptivos de los datos. Cabe resaltar que esta estimación será uno de los
puntos clave a la hora de determinar la lección del mejor método de ajuste y que
se realizarán otra serie de pruebas o test para poder cerciorar que los datos se
distribuyen mediante la distribución resultante del método.

Gráfico cuantil-cuantil (QQplots): este tipo de gráfico es muy útil, ya que, al igual
que el histograma, permiten valorar la calidad del ajuste de forma visual.
Consiste en comparar la distribución teórica de los datos, representada por una
línea, con los propios datos mediante una nube de puntos. En particular, este
gráfico muestra si la distribución teórica recoge adecuadamente el
comportamiento de las colas.

Simulación de los parámetros: la simulación de las lambdas persigue conocer
cuál de los métodos realiza una mejor recuperación de los estadísticos
descriptivos de la muestra. Para ello, se simulan las lambdas 10.000 veces y,
partiendo de la media de las mismas, se calculan los estadísticos descriptivos
asociados a las lambdas obtenidas.

Kolmogorov-Smirnoff Test25: este test tiene como objetivo contrastar si los datos
estudiados se distribuyen como la función de densidad estimada. Para ello,
establece las siguientes hipótesis:
o
H0 : Los datos siguen la distribución
o
H1 : Los datos no siguen la distribución
23
KARIAN Z., DUDEWICZ E. (2011): “Handbook of Fitting Statistical Distributions with R”. New York, CRC
Press. 21-47.
24
SU, S. (2007): ”Fitting Single and Mixture of Generalized Lambda Distributions to Data via Discretized
and Maximum Likelihood Methods: GLDEX in R”. Journal of Statistical Software, 21, 9. 6-7.
25
NOVALES A. (1993): “Econometría”. Madrid, McGrawHill. 438-455.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
18
Para realizar el contrate se calcula el siguiente estadístico de contraste:
𝐷𝑛 = sup | 𝐹𝑛 (𝑥𝑖 ) − 𝐹0 (𝑥𝑖 ) |
Donde:
o
𝑥𝑖 , es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos valores se han
ordenado previamente de menor a mayor).
o
𝐹𝑛 (𝑥𝑖 ) , es un estimador de la probabilidad de observar valores menores
o iguales que 𝑥𝑖 .
o
𝐹0 (𝑥𝑖 ) , es la probabilidad de observar valores menores o iguales que 𝑥𝑖
cuando H0 es cierta.
De esta forma, el estadístico 𝐷𝑛 se entiende como la mayor diferencia absoluta
observada entre la frecuencia acumulada observada 𝐹𝑛 (𝑥) y la frecuencia
acumulada teórica 𝐹0 (𝑥), obtenida a partir de la distribución de probabilidad que
se es especifica como hipótesis nula. Cuanta mayor sea la discrepancia entre la
distribución empírica y la distribución teórica, mayor será el valor D. La forma
que tendremos de No Rechazar o Rechazar la hipótesis nula será a partir del pvalor que arroje el test:
o
Si el p-valor > α (10%, 5% y 1%) no se rechaza la hipótesis nula.
o
Si el p-valor < α (10%, 5% y 1%) se rechaza la hipótesis nula.
Otra forma de comprobar el ajuste a partir de este test es comparar el número
de veces que la hipótesis nula no fue rechazada. En este estudio el test se
realizará sobre 1000 y cuantas más veces no haya sido rechazada la hipótesis
nula, mejor ajuste tendrá la función de distribución sobre los datos.
4.2.- MÉTODOS DE AJUSTE
En el presente trabajo se ha tomado como activo base el IBEX 35 por contener los
treinta y cinco valores de mayor capitalización del mercado bursátil español. El IBEX 35
es un activo interesante para estudiar debido a la existencia de productos derivados que
cuentan con gran liquidez y que son empleados en estrategias de cobertura y/o
especulación. Al igual que se hizo en el apartado dedicado a la normal y los
rendimientos, durante todo el análisis se emplearan las rentabilidades diarias como
datos de estudio.
En primer lugar, se debe seleccionar un intervalo temporal para el cual se realice el
ajuste de las rentabilidades diarias del índice. Se ha tomado la decisión de emplear el
periodo comprendido entre el 1 de enero del año 2005 y el 27 de febrero del año 2015.
Tal y como se adelantaba en el epígrafe dedicado a la normal y a los rendimientos, el
motivo de escoger una ventana temporal tan amplia se debe a la necesidad de un
número significativo de datos para poder realizar el estudio.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
19
El siguiente gráfico se muestra la evolución del índice durante el periodo
seleccionado:
IBEX 35
Gráfico 4
Antes de analizar cada método, se presentan dos gráficas que muestra la evolución
de las rentabilidades del IBEX 35. La primera se presenta mediante un gráfico de líneas:
Gráfico 5
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
20
Este segundo gráfico es de puntos y permite visualizar mejor los valores atípicos así
como las zonas donde se acumulan un mayor número de datos:
IBEX 35
Gráfico 6
Observando ambos gráficos, se puede concluir que las rentabilidades, salvo en
determinados periodos muy convulsos donde se incrementa considerablemente la
volatilidad, se mueven dentro de un rango entre el 5% y el -5%. Como se vio en el gráfico
de la normal, estas dos características, acumulación de datos entorno a la media y
existencia de valores extremos, son comunes a todos los valores e índices cotizados,
ya que en momentos de pánico bursátil, se producen fuertes movimientos y durante
periodos de estabilidad la rentabilidad se mantiene estable.
4.2.1.- Método de los Momentos
El método de los momentos es un método empleado para la estimación de los
parámetros poblaciones de una variable aleatoria. Para ello, se establece una relación
de igualdad entre los momentos procedentes de la muestra y los poblacionales mediante
ecuaciones26. Este método fue introducido por Karl Pearson en 1894. Para la GLD, los
momentos poblaciones vienen determinados por las siguientes ecuaciones27:
A continuación se presentan las ventajas y desventajas28, comparándolo con el
método de la máxima verosimilitud que se verá posteriormente.
26
NOVALES A. (1993): “Econometría”. Madrid, McGrawHill. 438-455.
KARIAN Z., DUDEWICZ E. (2011): “Handbook of Fitting Statistical Distributions with R”. New York, CRC
Press. 53-57.
28
BOWMAN K., SHENTON R. (1998): "Estimator: Method of Moments", Encyclopedia of statistical
sciences. New Jersey, Wiley. 2092-2098
27
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
21

Es un método simple y produce estimadores muy consistentes. El problema
radica en los supuestos que asume y que, a menudo, dichos estimadores
pueden ser sesgados.

Cuando la estimación se produce a partir de una familia de distribuciones
concretas - como es el caso de estudio - el método de la máxima verosimilitud
suele ser más apropiado ya que, a partir de este, los parámetros poblaciones
tienen una mayor probabilidad de distribuirse como los muéstrales y, por tanto,
no son sesgados.

En ocasiones poco frecuentes, para muestras grandes, pero no tan infrecuentes
para muestras pequeñas, las estimaciones dadas por el método de los
momentos se encuentran fuera del espacio muestral de los parámetros y, por
tanto, no tiene sentido emplear para la estimación. Sin embargo, ese problema
nunca surge en el método de máxima verosimilitud.

Las estimaciones por el método de los momentos da lugar a que los parámetros
no sean suficientes, es decir, no tienen en cuenta toda la información relevante
en la muestra.
Una vez, definido el método, así como sus ventajas y desventajas frente al método
de la máxima verosimilitud, se procede al análisis de los resultados obtenidos mediante
el ajuste con la GLD. En primer lugar, con este método obtenemos las siguientes
lambas:
Lambda 1
Lambda 2
Lambda 3
Lambda 4
RS
-9.777018e-05
-3.559211e+01
-1.392961e-01
-1.439157e-01
FMKL
-2.657117e-05
1.560348e+02
-1.352175e-01
-1.472926e-01
Tabla 1
Posteriormente, tanto para RS como para FMKL, se gráfica el histograma de
frecuencias de los datos y la función de densidad de ambos a partir del método de
estimación de los momentos. El resultado es el siguiente:
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
22
Gráfico 7
En este primer gráfico se observa que, para el método de los momentos, RS no es
capaz de captar el apuntamiento real de los datos. En cambio, FMKL parece obtener un
ajuste. Por otro lado, los estadísticos descriptivos obtenidos con el método de los
momentos son los siguientes:
RS
Simulación
Teóricos
De los datos
Media
7.854375e-05
7.837691e-05
7.836942e-05
Varianza
9.030518e-05
9.020933e-05
2.337277e-04
Asimetría
1.139727e-01
1.158866e-01
1.158865e-01
Curtosis
6.723984e+00
6.542300e+00
6.542300e+00
FMKL
Simulación
Teóricos
De los datos
Media
7.863935e-05
7.837363e-05
7.836942e-05
Varianza
2.339748e-04
2.337267e-04
2.337277e-04
Asimetría
1.145826e-01
1.158865e-01
1.158865e-01
Curtosis
6.708319e+00
6.542300e+00
6.542300e+00
Tabla 2
Se observa que, en el caso de ambos, los coeficientes teóricos de asimetría y
curtosis son iguales, al igual que sucede con la media. Sin embargo, en el caso de la
varianza, RS no es capaz de recuperarla mediante la simulación y tampoco acierta con
el teórico, al contrario que FMKL, que consigue un gran nivel de acierto en los cuatro
estadísticos, tanto en la simulación como en los teóricos.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
23
Por otro lado, si se observa el QQplot, RS, además de no captar correctamente el
apuntamiento, como mostraba el histograma y las curvas de densidad, tampoco recoge
bien el peso de las colas.
Gráfico 8
Gráfico 9
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
24
Por último, con la intención de contrastar si los datos se distribuyen según ambos
métodos, se realiza el KS-Test que arroja los siguientes datos:
Estadístico de contraste: D
P-valor
Nº H0 No Rechazada
RS
0.0892
< 2.2e-16
0
FMKL
0.0304
0.01675
558
Tabla 3
Para RS, la hipótesis nula se rechaza al 10%, 5% y 1% de nivel significación y,
además, el número de veces que el test No Rechaza la Hipótesis nula es cero, por tanto,
se concluye que el método de los momentos mediante RS no realiza un buen ajuste de
los datos. En el caso de FMKL, la hipótesis nula se rechaza al 10% y 5% de significación
pero no al 1%. Este dato es importante porque, antes del KS Test, los resultados
parecían indicar que con el método de los momentos, a partir de FMKL, se estaba
realizando un buen ajuste de la muestra y, en cambio, sobre 1000, tan solo el 55,8% de
las veces el test concluye que los datos se ajustan por la distribución obtenida mediante
FMKL.
4.2.2.- Método de la Máxima Verosimilitud
El método de la máxima verosimilitud se fundamenta en obtener aquel valor
maestral, en nuestro caso las rentabilidades históricas, que sea más probable según la
distribución empleada. Es decir, para un conjunto fijo de datos y un modelo estadístico
dado, el método de máxima verosimilitud selecciona el conjunto de valores de los
parámetros del modelo que maximiza la función de verosimilitud29.
Las ventajas y desventajas de este modelo se han adelantado comparándolo con el
método de los momentos. Se resumiría en lo siguiente30:

La estimación mediante el método de la máxima verosimilitud presenta
propiedades asintóticas óptimas de entre todos los estimadores consistentes y
normales asintóticamente. Por tanto, El método de la máxima verosimilitud
produce buenos resultados, principalmente, para muestras grandes.

Como se señalaba anteriormente, cuando se emplea este método para familias
de distribuciones concretas, la estimación mediante máxima verosimilitud suele
ser adecuada. Sin embargo, cuando surgen problemas más complejos, presenta
mayores dificultades y, en este tipo de problemas, los estimadores de máxima
verosimilitud son inadecuados o no existen. En otras palabras, el estimador de
máxima verosimilitud depende de forma importante de los supuestos sobre la
distribución.
Una vez que ha descrito a grandes rasgos el método de la máxima verosimilitud, se
facilitan las lambdas obtenidas con este método:
29
30
MARTÍN-PLIEGO, RUÍZ-MAYA L. (2002): “Fundamentos de inferencia estadística”. Madrid, Thomson. 109
Ibídem. 116
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
25
Lambda 1
Lambda 2
Lambda 3
Lambda 4
RS
9.888126e-04
-3.301218e+01
-2.018690e-01
-1.809699e-01
FMKL
5.523253e-04
1.728087e+02
-2.190335e-01
-1.666570e-01
Tabla 4
Los parámetros lambdas calculados dan lugar al siguiente ajuste que muestran el
histograma de frecuencias con los datos y las funciones de densidad obtenidas a partir
de RS y FMKL
Gráfico 10
El método de la máxima verosimilitud, al contrario de lo que sucedía con el método
de los momentos, obtiene un ajuste muy similar en RS y FMKL. En cambio, los
resultados procedentes de los estadísticos descriptivos, tanto en la simulación como en
los teóricos, se encuentran a alejados de los datos.
Simulación
Teóricos
De los datos
FMKL
Simulación
Teóricos
De los datos
Media
2.007593e-05
2.035783e-05
7.836942e-05
Media
8.627492e-05
8.661618e-05
7.836942e-05
Varianza
2.434457e-04
2.430074e-04
2.337277e-04
Varianza
2.452117e-04
2.447138e-04
2.337277e-04
Asimetría
-6.759961e-01
-6.415683e-01
1.158865e-01
Asimetría
-8.873384e-01
-8.308811e-01
1.158865e-01
Curtosis
1.913061e+01
1.800639e+01
6.542300e+00
Curtosis
2.575760e+01
2.575760e+01
6.542300e+00
Tabla 5
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
26
Si se observan los QQplots de ambos, queda claro de forma visual que el ajuste es
prácticamente igual.
Gráfico 11
Gráfico 12
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
27
Por último, los resultados del KS-Test son realmente buenos. Esto se debe a las
propiedades que tienen los estimadores del método de la máxima verosimilitud que para
muestras grandes. En este caso, según el KS-Test, RS obtiene un mayor acierto en el
ajuste.
Estadístico de contraste: D
P-valor
Nº H0 No Rechazada
RS
0.0121
0.8427
897
FMKL
0.0122
0.8338
891
Tabla 6
4.2.3.- Método de los L-Momentos
El método de los L-momentos se define como una combinación lineal de esperanzas
de estadísticos de orden31. En definitiva, es una secuencia de estadísticos utilizada para
resumir las características de una muestra mediante una distribución de probabilidad,
en nuestro caso, la GLD. Es útil ajustando distribuciones porque especifica las medidas
de posición, escala y forma (simetría y curtosis) al igual que hace el método de los
momentos. Estos estadísticos descriptivos son análogos a los del método de los
momentos, y pueden ser utilizados para calcular los cuantiles análogos a la varianza, la
asimetría y la curtosis. En el caso de la media, se obtiene de la misma forma32.
Las ventajas y desventajas de los L-momentos son las siguientes:33

Una ventaja de los L-momentos es que existen siempre que la variable aleatoria
tenga una media finita, posibilitando el uso de los L-momentos cuando el método
de los momentos no es posible. La dificultad del ajuste mediante el método de
los momentos surge por la complejidad de las ecuaciones que son necesarias
para obtener los parámetros lambda. En cambio, el método de los L-momentos
ofrece una ventaja a partir de las ecuaciones asociadas a la determinación de
los parámetros lambda que son más simples que las asociadas al ajuste
mediante el método de los momentos.

Sin embargo, la principal ventaja de L-momentos respecto al método de los
momentos es que el L-momentos, siendo función lineal de los datos, sufre menos
los efectos producidos por la variabilidad de la muestra. Además, los Lmomentos son más robustos respecto a los momentos convencionales con los
valores atípicos de los datos y permiten realizar inferencia con mayor seguridad
de muestras pequeñas a partir de una distribución de probabilidad. Además, los
L-momentos a veces producen una estimación de los parámetros más eficiente
que el método de la máxima verosimilitud.
Las lambdas obtenidas mediante el método de los L-momentos se muestran a
continuación:
31
KARIAN Z., DUDEWICZ E. (2011): “Handbook of Fitting Statistical Distributions with R”. New York, CRC
Press. 227.
32
Ibídem. 227-230.
33
HOSKING, J. (1990). "L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of
order statistics". Journal of the Royal Statistical Society, Series B 52: 105–124.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
28
Lambda 1
Lambda 2
Lambda 3
Lambda 4
RS
8.151827e-04
-3.191782e+01
-1.941885e-01
-1.786230e-01
FMKL
4.632319e-04
1.710834e+02
-2.074909e-01
-1.638603e-01
Tabla 7
Al igual que con los anteriores métodos se muestra un histograma de frecuencias y
la función de densidad obtenida por RS y por FMKL. AL igual que sucedía con el método
de la máxima verosimilitud, a priori, ambos realizan un buen ajuste prácticamente igual
al que hacía la máxima verosimilitud. Ambos métodos parecen recoger de forma
adecuada el apuntamiento de los datos.
Gráfico 13
En el caso de los estadísticos descriptivos, al igual que sucedía con la máxima
verosimilitud, media y varianza se asemejan bastante, tanto en la simulación como en
los teóricos. En cambio, en la asimetría y la curtosis no consiguen recoger el valor de
los datos.
RS
Simulación
Teóricos
De los datos
FMKL
Simulación
Teóricos
De los datos
Media
7.819301e-05
7.837427e-05
7.836942e-05
Media
7.813078e-05
7.837416e-05
7.836942e-05
Varianza
2.401858e-04
2.397867e-04
2.337277e-04
Varianza
2.406134e-04
2.401840e-04
2.337277e-04
Asimetría
-4.881504e-01
-4.629703e-01
1.158865e-01
Asimetría
-6.729703e-01
-6.340545e-01
1.158865e-01
Curtosis
1.607724e+01
1.509724e+01
6.542300e+00
Curtosis
1.910711e+01
1.807627e+01
6.542300e+00
Tabla 8
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
29
En el caso de los QQplot, los datos negativos, no parecen recogerse por la
distribución teórica, motivo por el cual en el cuadro anterior ninguno de los dos acertaba
en la asimetría y, por tanto, obtenían símbolo contrario.
Gráfico 14
Gráfico 15
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
30
Los resultados del KS-Test son los siguientes:
Estadístico de contraste: D
P-valor
Nº H0 No Rechazada
RS
0.0133
0.7458
888
FMKL
0.0122
0.8338
891
Tabla 9
Analizando el KS-Test, FMKL obtiene un mayor número de veces donde la hipótesis
nula no se rechaza y al 10%, al 5% y al 1% de significación la H0 no se rechaza. Entre
ambos métodos, FMKL, parece realizar un mejor ajuste.
4.2.4.- Elección del Método
Para el caso del IBEX 35, el método de los momentos no supera el KS test en RS y
FMKL y, por tanto, este método queda descartado. Aunque en los estadísticos
descriptivos el modelo devolvía unos números prácticamente iguales, esto se debe a la
forma de obtención, ya que, como se mencionaba anteriormente, consiste en despejar
el estadístico descriptivo poblacional de la muestra a partir de la función del estimador.
Es la fortaleza del método de los momentos y es que se obtienen estadísticos
descriptivos muy robustos Pero esta robustez no aporta ningún tipo de valor, si tras
realizar el KS-Test en 1000 ocasiones, tan solo se tiene la garantía de que el 55,8% se
realizará un ajuste adecuado, y de cara a el objetivo del trabajo, no se realizará una
adecuada valoración de la opción.
En el caso del método de la máxima verosimilitud y los L-momentos, los resultados
de los histogramas, los QQplots y el KS-Test son muy similares. Sin embargo, el método
del máxima verosimilitud, en los estadísticos descriptivos mediante RS, no es capaz de
aproximarse a la media y, en el caso de FMKL, el método de los L-momentos la media
la iguala prácticamente hasta el tercer dígito. En el caso de la varianza, aproxima mejor
L-moments en ambos métodos. Entre RS y FMKL mediante momentos, si nos guiamos
por el KS-Test, vemos que FMKL obtiene mejores resultados en los tres. Como se puede
observar, llegado a este punto, las diferencias son mínimas. Sin embargo, el método de
los L-momentos mediante FMKL, es el que mejores resultados obtiene y, por tanto, se
ha decidido que será el empleado en la valoración de opciones.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
31
4.3.- COMPARACIÓN CON LA NORMAL
Una vez elegido, el método de ajuste, en este caso L-Momentos mediante FMKL, se
debe realizar una comparación de dicho método con la normal, puesto que como se
mencionaba al inicio del epígrafe, el objetivo era demostrar que la GLD es un a
distribución que obtiene un mejor ajuste de las rentabilidades si se compara con la
normal.
Gráfico 16
En este gráfico se contempla simultáneamente la función de densidad que ofrece la
normal y la que ofrece L-momentos mediante FMKL. Como se puede constatar de forma
visual, tal y como se vaticinó al inicio de este apartado, la normal no es capaz de recoger
ni el apuntamiento ni el peso de las colas.
Centrando el análisis en el apuntamiento, la conclusión que se puede obtener es la
siguiente. Si la probabilidad de suceso asociada a un valor mediante la función de
distribución es X, a partir del número concreto de valores que acumulen toda la
probabilidad, según la normal, no se van a producir y da lugar a una pérdida de
información. Por otro lado, se encuentran los sucesos que se producen en las colas, es
decir, aquellos valores más alejados de la media. Ser capaces de asignar una
probabilidad de suceso adecuada es, sin duda alguna, lo más importante de todo el
estudio por la sencilla razón de que estos valores extremos, son los que pueden llegar
a generar mayores beneficios o, en el caso contrario, pérdidas. Para resaltar este hecho,
se ha obtenido el QQplot de la normal. Se muestra en la siguiente página:
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
32
Gráfico 17
Queda de manifiesto que la normal no recoge la probabilidad de suceso correcta y
se debe a lo siguiente. Si se analiza el gráfico con detenimiento, en el eje de abscisas
se encuentran los cuantiles teóricos de la normal y en el eje de ordenadas los cuantiles
de la muestra. A partir del cuantil teórico 1,5 y -1,5, los datos se alejan cada vez más
de la línea que representa la distribución teórica de la normal y, por tanto, valores que
según la normal, deberían encontrarse, por ejemplo, entre el -2 y el -3, no lo hacen y en
contraposición se encuentra valores con una rentabilidad negativa superior al que la
normal asocia.
Estadístico de contraste: D
P-valor
Nº H0 No Rechazada
Normal
0.0713
7.31e-12
0
FMKL L-MM
0.0122
0.8338
891
Tabla 10
Por último, se comparan los datos resultantes del KS test para ambos modelos. El
estadístico de contraste es siete veces superior y, por tanto, hay una mayor dispersión
lo que conlleva a que se rechace a todos los niveles de significación, demostrando una
vez más que los datos no se distribuyen como una normal.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
33
5.- SIMULACIÓN CON LAMBDA GENERALIZADA
En el apartado anterior se ha determinado que el método de ajuste empleado va a
ser L-momentos mediante FMKL. El siguiente paso, consiste en simular los rendimientos
con dicho método. Por tanto, en este quinto apartado, se describe como es el proceso
de simulación, se determinan el número de simulaciones necesarias para establecer el
tamaño muestral adecuado, y por último, se exponen los resultados de la simulación.
5.1.- DESCRIPCIÓN DEL PROCESO
Antes de continuar, es preciso detallar el proceso de simulación de forma concreta.
Toda distribución de probabilidad se plantea matemáticamente de forma que sea posible
obtener la probabilidad acumulada para cualquier suceso de la variable aleatoria
definida mediante dicha distribución. Este es el fundamento de la simulación.
En el momento de computar una simulación sobre una variable aleatoria
caracterizada, el procedimiento habitual que se ejecuta es el siguiente:

Generación de números aleatorios entre 0 y 1: En primer lugar, se parte de un
generador de números aleatorios que sigan una distribución de probabilidad
uniforme. Estos generadores de números aleatorios aseguran que el número
aleatorio generado no se encuentra viciado por la distribución de probabilidad
con la que se pretenden generar la muestra de datos procedentes de la
simulación. Este aspecto del procedimiento es fundamental ya que, si no se
respeta, los resultados finales carecen del rigor que pudiera ser esperado,
debido a la contaminación de los datos generados. Sea por ejemplo una
distribución de probabilidad uniforme, si los datos que se introducen proceden
de una distribución normal, no se va a obtener la distribución uniforme esperada,
pues la distribución normal que alimenta el algoritmo va a tender
estadísticamente a acumular mayor probabilidad entorno a la media que en las
colas, dando lugar a resultados contaminados o erráticos.

Cálculo del valor realizado a partir de la probabilidad acumulada: Una vez se han
generado números aleatorios entre 0 y 1 empleando el generador de números
aleatorios para que los datos sigan una distribución de probabilidad uniforme, se
acude a la función de distribución de probabilidad dada y se calcula la realización
de la variable aleatoria, sujeta a la distribución de probabilidad escogida. De esta
forma, se obtiene, por tanto, una realización de la variable aleatoria que se rige
por la distribución final deseada permitiendo así obtener el conjunto de sucesos
que se desean estudiar.
El fundamento matemático tras la simulación consiste en lograr un algoritmo en
cuyos pasos se encuentre la generación del necesario número de realizaciones de la
variable aleatoria que se estudia. La elección del número de realizaciones de la variable
que se deben calcular se puede determinar de forma iterativa. Una ley probabilística
viene caracterizada, principalmente por la media, desviación típica, simetría y curtosis.
El objetivo que persigue la simulación es precisamente la caracterización de la ley
probabilística que rige el comportamiento de una variable aleatoria. La estrategia que
se sigue para determinar el número de realizaciones de la variable aleatoria que se
simula se estructura como se muestra seguidamente:
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
34

Se define un nivel de tolerancia relativa de los valores característicos. Este nivel
de tolerancia es equivalente a definir una tasa de variación de los valores
característicos por debajo de la cual se considera que el valor estudiado ha
convergido y los cambios no van a ser sustanciales.

Se realiza un número N de simulaciones de la realización de la variable aleatoria
estudiada.

Se evalúan los valores característicos: media, desviación típica, simetría y
curtosis.

Se evalúa la tasa de variación de cada valor característico de la distribución
probabilística de realizaciones obtenida tras la simulación.
Una vez se ha obtenido dicha tasa de variación para cada valor característico, se
toma la decisión de finalizar la simulación o de aumentar el tamaño muestral. Si la tasa
de variación de todos los valores característicos de la distribución se encuentran por
debajo del nivel de tolerancia, se puede asumir que los valores han convergido y que,
por tanto, mayor esfuerzo computacional no va a aportar más información. En el caso
de que estas tasas se encuentren por encima de sus respectivos niveles de tolerancia,
la simulación debe seguir pues no se ha logrado la convergencia.
Seguir con la simulación significa aumentar el tamaño de la muestra simulada, la ley
por la cual se aumenta el tamaño muestra es habitualmente aritmética o geométrica. En
el caso de ser una ley aritmética, se suma al tamaño muestral existente la misma
cantidad de simulaciones, es decir, sea por caso una simulación con un tamaño muestral
N, se sumaría la misma cantidad de simulaciones pasando a tener una muestra de
tamaño 2N, en el caso de no converger, se continuaría aumentando el tamaño muestral
llegando a un tamaño muestral simulado de k·N, tras k evaluaciones sin convergencia
de los valores característicos.
En el caso de ser una ley geométrica, es habitual aplicar la regida por 2k-1·N, de
forma que el crecimiento del tamaño muestral mientras no se produce convergencia de
los valores característicos de la distribución es: N, 2N, 4N,…, 2k-1N. La velocidad de
convergencia empleando la ley geométrica de crecimiento de la muestra es muy
superior a la velocidad de convergencia de la simulación que emplea la ley aritmética
para definir el número de simulaciones.
5.2.- MEDICIÓN DE LA ESTABILIDAD DE LOS PARÁMETROS
Dado que se trabaja con simulaciones probabilísticas, es complejo definir, a priori,
el número determinado de realizaciones que van a lograr la convergencia de los valores
característicos o, de forma equivalente, la estabilidad de la ley probabilística que rige el
comportamiento de la variable aleatoria resultado.
La estabilidad se ha definido como la variación de los estadísticos descriptos: media,
varianza, simetría y curtosis, en un porcentaje inferior al 10% respecto a la última
simulación.
El procedimiento seguido es tal que, en el momento en que se detecta que la
variación relativa de los cuatro momentos de la distribución es inferior al 10%, se toma
el número de simulaciones anterior al último como punto de convergencia de los
momentos y, por tanto, como punto de equilibrio.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
35
La simulación que se ha realizado consiste en la generación de valores de la variable
aleatoria rentabilidad diaria para posteriormente agregarlos en grupos de treinta días.
Los momentos se estudian sobre la distribución final resultado de la agregación de los
treinta días. Se simula, por tanto, la variable r*, definida como se muestra, considerando
que la variable aleatoria ri se comporta según la ley probabilística con los valores lambda
característicos determinados en el apartado anterior.
r∗ = ∑
30
ri
i=1
Se muestra a continuación la evolución de media, varianza, simetría y curtosis para
la distribución de r*, obtenida tras las simulaciones con diferentes poblaciones. Se parte
de una población de 100 simulaciones en la primera simulación y se evoluciona con una
ley geométrica de base 2.
Gráfico 18
Gráfico 19
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
36
Gráfico 20
Gráfico 21
En la siguiente ilustración se puede observar la evolución de la tasa de variación
relativa unitaria para cada momento de la distribución estudiado. Se observa cómo, al
aumentar el número de simulaciones realizadas, las variaciones relativas disminuyen,
es decir, se produce la convergencia de los momentos.
Gráfico 22
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
37
Es necesario realizar el estudio anterior para determinar el número de simulaciones
mínimas a realizar en los estudios que se realizan. En este caso, se ha encontrado que
a partir de 327.680 simulaciones, los momentos de la distribución pasan a estar en
equilibrio. Esto conlleva a que, teniendo en cuenta el esfuerzo computacional que puede
suponer, aumentar el número de simulaciones no aportará mayor información. Todo ello
para un nivel de tolerancia o nivel máximo de tasa de variación relativa porcentual de un
10%.
5.3.- RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN
A partir del ajuste de la GLD a las rentabilidades diarias del IBEX 35, se estudia el
tamaño muestral de la simulación con el objetivo de obtener una distribución de
cotizaciones final. El estudio se realiza a treinta días vista del presente a partir de
siguiente la ecuación:
T
ST = S0 · e∑i=1 ri
La ecuación mostrada relaciona el precio actual cotizado S0 con el precio del activo
cotizado en un periodo futuro T, ST, a través del conjunto de rentabilidades diarias que
se realizan, ri, en dicho periodo T. Esta aseveración es cierta en todo caso y sólo
determinista para el tiempo realizado, es decir, no es posible definir a futuro nada más
que la relación matemática que lleva de forma disciplinada los precios cotizados en el
tiempo. No es posible determinar ningún otro término de la ecuación presentada más
lejos del precio inicial y las rentabilidades ciertamente realizadas, pues en el momento
en el que la variable aleatoria se realiza, deja de ser una variable aleatoria para ser una
realización determinada. En el momento presente, si es posible estudiar la distribución
probabilística de la realización de las variables ST y ri.
La relación existente entre el precio al inicio del contrato y a vencimiento es la
rentabilidad continua acumulada durante el periodo. Debido a esta relación, se procede
al estudio de la distribución de probabilidad de la rentabilidad continua acumulada
durante el periodo T, asumiendo treinta días. Por tanto, el objetivo es estudiar la
distribución de las realizaciones de la variable aleatoria que recoge las simulaciones de
treinta días. El primer paso era, como se ha indicado anteriormente, determinar el
número de simulaciones necesarias hasta obtener una distribución estable.
Se procede a la simulación del IBEX 35 treinta días a partir de la última fecha
estudiada, 27 de marzo de 2015. Para ello, se simula la distribución de realizaciones de
la variable aleatoria rentabilidad continua del IBEX 35. A partir de esta distribución de
realizaciones de la rentabilidad del índice, es posible construir las evoluciones de la
cotización que surgen de la simulación.
Es conveniente indicar que no es necesario ni probable que el camino que siga la
cotización del IBEX 35 coincida con alguno de los caminos de cotización simulados.
Además, se debe tener presente que, la probabilidad asociada a una determinada
realización de la rentabilidad, cuando esta se rige por una ley de distribución de la
probabilidad es matemáticamente nula por tratarse de leyes continuas.
Lo importante desde el punto de vista de la valoración de opciones es disponer de
la información sobre la distribución de realizaciones de la variable aleatoria simulada,
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
38
pues esta es la información a la que es posible acceder como consecuencia de la
incertidumbre asociada al futuro.
Partiendo del resultado obtenido en el apartado anterior, se realiza el estudio de la
distribución probabilística de la cotización del índice a partir de la simulación con un
tamaño poblacional de 327.680, según se ha determinado anteriormente como
población mínima para la estabilidad de la distribución simulada a partir de los valores
lambdas estimadas. Además de la simulación de 327.680 días para periodos de 30 días,
la transformación de rentabilidad a cotización se realiza empleando la siguiente relación
entre las variables.
Si = Si−1 · eri
En la siguiente gráfica se muestra el resultado de la simulación según las hipótesis
planteadas:
Gráfico 23
Se observa como claramente los rendimientos simulados no se distribuyen como
una normal y que se ha sido capaz de generar una distribución similar a la que el IBEX
35 presentaba en sus datos históricos.
Debido al elevado número de simulaciones realizadas, partiendo del objetivo de
conseguir una distribución de probabilidad estable en la distribución de las
rentabilidades, se ha considerado como más representativo del resultado obtenido la
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
39
gráfica de los intervalos al 99%, 95% y 90% de confianza. En la gráfica se combina, la
representación de los intervalos de confianza y media de la distribución final de
cotizaciones de los treinta días de mercado simulados, con la representación de los
últimos treinta días de cotización del IBEX35.
Gráfico 24
Queda por tanto explicado el proceso seguido para la simulación de activos
financieros. Se ha querido mostrar en este punto la fortaleza de la herramienta de la
simulación sobre la base de la simplicidad. La simulación emplea técnicas sencillas que
permiten ser adaptadas al estudio de un número elevado de casuísticas distintass. En
el particular se ha tomado el IBEX 35, no obstante esta metodología puede aplicarse
sobre cualquier subyacente financiero, al mismo tiempo que los modelos matemáticos
empleados pueden complicarse con el objetivo de estudiar casuísticas más complejas,
como por ejemplo los productos estructurados autocancelables con uno o varios activos,
o los bonos convertibles.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
40
6.- VALORACIÓN DE OPCIONES CON LAMBDA GENERALIZA
Todo el aparato matemático definido hasta el momento en este trabajo, está
orientado al cálculo del precio de opciones financieras. En primer lugar, es necesario
recordar el tipo de opción que se valora, pues como se ha mencionado anteriormente,
el método de valoración Montecarlo es aplicable a multitud de ellas. A continuación se
valorará una opción plain vanilla, europea, es decir, una Call y una Put con fecha de
ejercicio predeterminada. Además, es una opción “at the money”, por lo que precio de
ejercicio y precio presente son iguales.
6.1.- MÉTODO DE VALORACIÓN
De entre todos los métodos disponibles, se ha demostrado que aquel que mejor
ajustaba los rendimientos era el método de los momentos mediante FMKL. El periodo
que se ha empleado para obtener las lambdas es desde el 1 de enero de 2013 hasta el
20 de mayo de 2015. La ventana de tiempo es diferente al que se ha estudiado en el
apartado de la GLD porque para simular, no pueden emplearse diez años. Es preciso
utilizar las rentabilidades diarias históricas de un plazo que sea representativo de la
situación de mercado en cuanto a la información que se contiene en los precios. Las
lambdas obtenidas han sido las siguientes:
Lambda 1
1.055·10-3
Lambda 2
155.034
Lambda 3
-3.990·10-2
Lambda 4
4.322·10-2
Tabla 11
Los estadísticos descriptivos teóricos calculados a partir de las lambdas anteriores
se presentan a continuación. Estos serán los que se empleen a la hora de valorar la
opción. Por tanto, que la media y la varianza estimadas sean materialmente iguales a
las que proceden de los datos históricos adquiere una gran relevancia:
FMKL
Teóricos
Media
5.196·10-4
Varianza
1.378·10-4
Asimetría
-3.509·10-1
Curtosis
1.494
Tabla 12
Con los estadísticos anteriores se ha simulado el comportamiento del subyacente
para treinta días empleando el algoritmo del método Montecarlo. A partir de la siguiente
ecuación:
GLD(λ1 ,λ2 ,λ3 ,λ4 )
Pi = Pi−1 · eri
Cabe destacar, ya que en el universo de opciones es un parámetro de gran
relevancia, que la volatilidad que se emplea en estas simulaciones es la desviación
típica histórica del activo estudiado en el periodo histórico empelado.
Tras esta simulación, se dispone de una población de precios Pi de tamaño n siendo
n el número de simulaciones llevadas a cabo para el periodo estudiado. A continuación
se valoran una Call y una Put. Primero de forma independiente con el método
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
41
desarrollado empleando la GLD y después se realiza una comparativa de los resultados
con Black-Sholes y la simulación Montecarlo asumiendo normalidad.
6.2.- VALORACIÓN DE OPCIÓN DE COMPRA O CALL
Una vez simulados todos los sucesos, para el cálculo de la prima, p, de una opción
Call con precio de ejercicio K, se aplica la siguiente formulación:
pCall =
n
1
n · (1 + rF ·
d
)
365
∑
max(0, Pi − K)
i=1
Siendo d, el número de días que tiene el contrato, en este caso 30, y rF, el tipo libre
de riesgo, en este caso 2% anual, atendiendo a las actuales condiciones de mercado.
El precio corresponde al 20 de mayo de 2015 que es igual al strike con un valor de
11.574 puntos. Se ha obtenido una prima de 438€ para un contrato Call sobre todo el
IBEX 35. En el siguiente gráfico, se observa el diagrama de beneficio/pérdida del
contrato en función del nivel de cotización del IBEX 35 en el momento de vencimiento
de la opción:
Gráfico 25
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
42
Seguidamente, se muestra el resultado del cálculo de la prima de la Call empleando
la ecuación de Black-Scholes y la simulación mediante Montecarlo empleando las
distribuciones normales y la distribución lambda generalizada.
Gráfico 26
Se observa en el gráfico 26 la evolución de la prima de la Call, en este caso sobre
el IBEX 35, respecto al precio de ejercicio cuando la opción es europea a 30 días. La
información que se presenta en este gráfico se hace de la siguiente forma. El eje de
ordenadas muestra la prima que se debe pagar para un nivel de strike dado, dicho nivel
de strike queda recogido en el eje de abscisas. Para complementar la información que
se muestra en la gráfica, se ha añadido como referencia el nivel al cual cotiza el activo
en la fecha de estudio, 20 de mayo de 2015. En la gráfica se observa cómo, a medida
que el nivel de strike se aleja del nivel de cotización, la prima varía su valor para
mantener, en todo momento, el valor nulo actual del contrato.
La opción estudiada es una Call europea con vencimiento en un mes, en este caso,
cuanto menor es el strike respecto al nivel de cotización, mayor es la prima que se debe
pagar. Esto es debido a que, a menor nivel de ejercicio del contrato, mayor probabilidad
asociada a que el contrato se ejecute. Es esta mayor probabilidad la que se recoge en
el aumento de la prima. El planteamiento es análogo para niveles de ejercicio superiores
al nivel de cotización actual. Cuanto mayor es el precio de ejercicio, menor probabilidad
de que el contrato llegue a ejecutarse en el momento de vencimiento y, por tanto, menor
prima es necesario pagar por adquirir el derecho futuro de compra.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
43
6.3.- VALORACIÓN DE OPCION DE VENTA O PUT
El cálculo de la prima en el caso de opciones tipo Put es igual pero, al ser un derecho
de venta, la prima se obtiene al revés, es decir, se realiza la media de los valores
positivos tras haber restado el precio final al strike, tal y como se muestra a continuación:
pPut =
n
1
n · (1 + rF ·
d
)
365
∑
max(0, K − Pi )
i=1
Siendo d, el número de días que tiene el contrato, en este caso 30, y rF, el tipo libre
de riesgo, en este caso 2% anual, atendiendo a las actuales condiciones de mercado.
El precio corresponde al 20 de mayo de 2015 que es igual al strike con un valor de
11.574 puntos. Se ha obtenido una prima de 190€ para un contrato Put sobre todo el
IBEX 35. En el siguiente gráfico, se observa el diagrama de beneficio/pérdida del
contrato en función del nivel de cotización del IBEX 35 en el momento de vencimiento
de la opción:
Gráfico 27
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
44
Al igual que en el caso de la Call, a continuación, se muestra el resultado del cálculo
de la prima de opciones europeas tipo Put empleando Black-Scholes, simulación
mediante Montecarlo con supuesto de normalidad y el método mediante lambda
generalizada.
Gráfico 28
Se observa en la Ilustración 28 la evolución del precio de la opción Put, con el precio
del ejercicio cuando la opción es europea y se ejerce en 30 días. La información que se
presenta en este gráfico se hace de la siguiente forma. El eje de ordenadas muestra la
prima que se debe pagar para un nivel de strike dado, dicho nivel de strike queda
recogido en el eje de abscisas. Para complementar la información que se muestra en la
gráfica, se ha añadido como referencia el nivel al cual cotiza el activo en la fecha de
estudio, 20 de mayo de 2015. En la gráfica se observa cómo, a medida que el nivel de
strike se aleja del nivel de cotización, la prima varía su valor para mantener en todo caso
el valor nulo presente del contrato. A diferencia de la Call, cuanto más se incrementa el
nivel de cotización más valor tiene la prima, ya que la probabilidad de que el comprador
del derecho de venta lo ejerza aumenta cuanto más elevado sea dicho nivel de
cotización.
La opción estudiada es una Put europea con vencimiento a un mes, en este caso,
cuanto mayor es el strike respecto al nivel de cotización, mayor es la prima que se debe
pagar. Esto es debido a que, a mayor precio de ejercicio del contrato, mayor probabilidad
asociada a que el contrato se ejecute. Es esta mayor probabilidad la que se recoge en
el aumento de la prima. Cuanto menor es el precio de ejercicio, menor probabilidad de
que el contrato llegue a ejecutarse en el momento de vencimiento y, por tanto, menor
prima es necesario pagar por adquirir el derecho futuro de venta.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
45
6.4.- COMENTARIOS SOBRE LOS RESULTADOS
En las gráficas se aprecia que, el precio de la opción calculado con Black Scholes y
mediante la simulación Montecarlo con distribuciones normales, devuelven valores
similares. Esto es debido a que ambos métodos siguen la misma idea de cálculo, Black
Scholes lo emprende de forma analítica y Montecarlo lo emprende de forma numérica.
La diferencia entre ambos radica en la población simulada, mientras que Black-Scholes
comprende las infinitas realizaciones posibles de la distribución probabilística,
Montecarlo es una simulación numérica con una población finita.
Es importante notar la diferencia de valoración que se obtiene al emplear la
distribución normal y la distribución lambda generalizada. La diferencia que se obtiene
es suficiente como para poder aportar información que no está contenida en el precio, y
por tanto, disponer de mayor información a la hora de tomar las decisiones de inversión.
El hecho de que la diferencia entre ambos métodos sea reducida se debe a que
aproximan el problema de forma similar, lo cual indica que la metodología planteada es
capaz de valorar opciones pero, además, aporta más información. Es información no
contenida en el precio de la opción mediante normales y, por tanto, es información fuera
del mercado.
Cabe destacar que este planteamiento es válido para el cálculo en opciones plain
vanilla, que son el objeto de este trabajo por pretender comparar con los resultados de
Black-Scholes. Es posible construir una gran variedad de opciones financieras y será,
por tanto, necesario adaptar la formulación del cálculo de la prima a las particularidades
del contrato que se construya.
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
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7.- CONCLUSIONES
Durante el presente trabajo se ha desarrollado un método de valoración de opciones
financiares alternativo a los modelos de valoración que asumen normalidad en las
distribución de los rendimientos. Para ello, se ha escogido el IBEX 35 debido a la
disponibilidad de opciones financieras que lo emplean como subyacente. De entre los
distintos tipos de opciones que se pueden encontrar en el mercado, se han escogido la
plain vanilla europeas, ya que permiten analizar y comparar los dos principales métodos
de valoración, el método Black-Sholes y la Simulación Montecarlo, con el método
alternativo empleando GLD.
En el apartado 3.2.1, se ha demostrado que los rendimientos de los activos
financieros no se distribuyen mediante normales. Por un lado, porque las rentabilidades
acumulan un mayor número de sucesos entorno a la media que la normal recoge, es
decir, tiene un mayor apuntamiento. Por otro lado, porque los rendimientos financieros,
generalmente, tienen colas más pesadas de lo que la normal recoge y, por tanto, la
probabilidad de suceso de valores extremos, es superior. Partiendo de esta premisa, se
concluye que existe una pérdida de información que afecta a la valoración del riesgo y,
por lo tanto, de la prima. El análisis se ha centrado, en gran parte, en demostrar que la
GLD es una distribución alternativa capaz de albergar una bondad en el ajuste de los
rendimientos superior.
Tras ofrecer seis métodos distintos de ajuste, se ha determinado que el que mejores
resultados obtenía, según los criterios escogidos, era L-momentos, a partir de las
lambas obtenidas mediante FMK. Para ello, se ha empleado técnicas de resolución
numérica mediante optimización que permiten obtener los parámetros lambdas. Por
último, empleando la función de densidad inversa de este último se puede asociar una
determinada probabilidad a cada suceso. Una de las ventajas de disponer de 6 métodos
distintos es que se puede elegir entre el método que mejor recoja el ajuste de los
rendimientos para el activo que se decida estudiar. En definitiva, a partir de unos criterios
definidos y concretos, que mantienen el rigor del método se sigue disponiendo de varias
alternativas, al contrario que sucede con la normal.
Una vez elegido el método que cuenta con mayor bondad de ajuste, se ha
desarrollado la metodología de valoración que se sustenta en el acoplamiento de las
técnicas de resolución numéricas y la simulación, propias de modelos con ecuaciones
diferenciales estocásticas descrito en los puntos 2.1, 2.2 y 2.3 Tal y como se ha
explicado, se emplea la lambda generalizada que permite generar una distribución de
probabilidad con todas las posibles realizaciones de la variable aleatoria, en este caso,
los rendimientos del IBEX 35, donde se recoge el componente aleatorio de este tipo de
ecuaciones. En este parte, se han dedicado tres apartados para describir el proceso de
simulación: el 5.1 que ofrece los pasos a seguir durante la simulación, resaltando la
importancia de no viciar a priori los resultados; el 5.2 que versa sobre la importancia de
obtener una estabilidad en los cuatro estadísticos descriptivos a partir del incremento
gradual del número de simulaciones según el nivel de tolerancia; y, por último, el punto
5.3.donde se realiza la simulación y se muestran gráficamente la amplitud de los
intervalos de confianza.
Después de plantear las cuestiones principales relacionadas con la valoración de
opciones, escogido el método y explicada la simulación con lambda generalizada, se
lleva a cabo la valoración de las opciones financieras sobre el IBEX 35, y se comparan
con los dos métodos de valoración con supuesto de normalidad. Los resultados arrojan
Valoración de opciones financieras con la distribución lambda generalizada
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que para el caso de la Call, empleando GLD para valorar la prima es superior. En el
caso de la Put, se produce el caso contrario, es decir, mediante la utilización de la GLD,
se obtiene que el coste de la prima es inferior que con los otros dos métodos
tradicionales. El hecho de que el valor de la Call sea superior con el modelo alternativo,
da lugar al siguiente razonamiento. Por un lado, si el precio de la Call es superior, la
ratio precio de la acción / precio de la prima disminuye, es decir, para cubrir una acción
necesito más opciones. Esto implica que aquellas coberturas que se estén realizando
mediante valoración Black-Sholes o Montecarlo, no están realizando una cobertura
adecuada pues, para una misma cantidad de dinero disponible, se pueden adquirir
menos opciones de las que realmente se necesitan para cubrirse. Si se juntan ambos
efectos, el resultado será que las acciones se hacen de forma relativa más atractivas
para el inversor porque el coste de oportunidad entre comprar opciones o acciones es
inferior.
Si en vez de centrar el análisis en el valor de la prima con el método desarrollado,
se centra en la comparativa con el valor que ofrecen los otros dos métodos de mercado,
se obtiene que, como comprador de opciones el precio de mercado de está esta barato.
En el caso de la Put es el efecto contrario, ya que comprarla esta caro.
Cabe resaltar que, como se ha repetido en numerosas ocasiones la valoración de
opciones financieras se realiza mediante planteamientos estadísticos, en base a los
cuales se trabaja con subyacentes de comportamiento complejo y cuyo estudio necesita
una simplificación mediante la modelización y se deben tener presentes los límites.
Teniendo en cuenta la naturaleza de los procesos analizados; el empleo de los mismos
fundamentos estadísticos que respaldan los modelos, en especial en la idea que
subyace tras la simulación; y los mismos medios computacionales; no sería acertado
pretender que un método de valoración resalte en exceso sobre otro. Es precisamente
en este punto, donde merece la pena incidir. Y es que, el hecho de que los resultados
del método planteado y defendido en este trabajo no muestren una discrepancia
insalvable respecto a los otros dos, incrementan la fortaleza de los argumentos
expuestos porque disponer de un método alternativo es, en definitiva, disponer de mayor
información. Información, que de cara a las decisiones de inversión, nos permitirá
contrastar y atajar desde un punto de vista crítico los resultados por todos conocido.
Tal y como se ha expuesto en el trabajo, la metodología presentada permite
contrastar el precio de una opción con el precio aceptado por el mercado, y así, tratar
de determinar si la opción es cara o barata en comparación. En los mercados
financieros la información que ofrece el modelo Black-Sholes es pública, pues todos
conocen la fórmula y, por tanto, en teoría está ya contenida en el precio. Por
consiguiente, valorar una opción mediante Black-Scholes no debería proporcionar
información adicional a la que el mercado nos transmite. Si se dispone de un método
alternativo se dispone, en última instancia, de mayor información o de información no
pública, es decir, información no contenida en el precio.
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