Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela Ingeniería Industrial Fundamentos de Estadística

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Escuela Ingeniería Industrial
Fundamentos de Estadística
Segundo Semestre de 2004
Segunda Guía de EII 346
1. El número de personas que entra en una determinada oficina de una entidad bancaria,
durante los primeros cinco minutos de un día cualquiera, se puede representar mediante
una variable aleatoria con distribución de Poisson. A partir de la información
correspondiente a un amplio período de tiempo, se ha estimado que por término medio
entran 4 personas en los cinco minutos posteriores a la apertura de dicha oficina.
a) Calcular la probabilidad de que, en los primeros cinco minutos de un día cualquiera,
entren en la oficina bancaria al menos 2 personas.
b) Considerando 10 días cualesquiera, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo en uno de
ellos, entren en la oficina, durante los cinco minutos siguientes a su apertura, menos de
2 personas?
2. Un kiosco de helados ha comprobado que el número de helados consumidos por un
adulto en una hora en el mes de abril puede modelizarse por una variable aleatoria que
sigue una distribución de Poisson, de media 0,1. El kiosco permanece abierto diez horas
al día. Suponiendo independencia en los consumos por hora:
a) Calcular la probabilidad de que una persona adulta consuma 2 helados un día
cualquiera del mes de abril.
b) Una familia está formada por seis personas adultas. Calcular la probabilidad de que
un día cualquiera del mes de abril, al menos 2 miembros de la familia consuman 2
helados.
3. El Gobierno de Chile ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del
profesorado de matemáticas y ha observado que se distribuyen normalmente con una
media de 44 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores de
matemáticas, halla:
a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años?
b) ¿Cuántos de 55 años o más?
4. El tiempo de espera, en minutos, en una parada de autobús urbano se puede
representar mediante una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 15
minutos.
a) Calcular la Función de Distribución de dicha variable.
b) Calcular la probabilidad de que una persona no tenga que esperar en la parada más de
6 minutos.
c) ¿Qué es más probable que una persona espere en la parada menos de 6 minutos o que
espere más de 9 minutos? Justificar la respuesta.
d) Calcular la media y la varianza de la distribución de esta variable.
e) Una persona toma el autobús una vez al día de lunes a viernes. Calcular la
probabilidad de que en ninguno de esos cinco días tenga que esperar más de 7,5
minutos.
5. El vigilante de una zona de estacionamiento de una ciudad sabe que se pagan el 65%
de las multas de aparcamiento emitidas, siendo la multa de 400 pesos. El último
domingo del mes de agosto se emitieron 50 multas de aparcamiento:
a) Para modelizar la variable que mide el número de multas pagadas, de las emitidas en
dicho domingo, ¿qué modelo de probabilidad considerarías adecuado?
b) Calcular la probabilidad de que el dinero total que se obtendrá por el pago de estas
multas sea a lo más 10000 pesos.
6. Los resultados de una prueba de estadística de la PUCV tiene una distribución con
media 70 y varianza 40. Si un curso tiene 45 estudiantes:
a) Cuál es la probabilidad de que la calificación promedio de los estudiantes sea mayor
a 70.
b) Cuál es la probabilidad de que la calificación promedio de los estudiantes sea a lo
más 72.
7. A nivel nacional el 70% de los clientes de una entidad bancaria declara estar
satisfecho de los servicios de la misma. Una sucursal realiza un sondeo a 10 clientes de
la misma.
a) ¿Qué tipo de variable aleatoria es el nº de clientes que contestan estar satisfechos?
b) ¿Qué probabilidad hay de que a lo sumo 7 clientes respondan estar satisfechos?
c) ¿Qué probabilidad hay de que entre 3 y 6 clientes declaren estar satisfechos?
d) Hallar el nº esperado y la varianza de la variable.
8. El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de 45 mm:
a) Determina su desviación típica, sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga
su diámetro mayor de 50 mm es igual a 0,006.
b) Si se analizan 820 piezas, ¿cuántas tendrán el diámetro comprendido entre 39,7 mm y
43,5 mm?
9. La probabilidad de que una familia tenga más de un automóvil es 0,3.
a) Para un edificio en donde viven 10 familias, ¿qué modelo de probabilidad sería el
más adecuado para la distribución de la variable aleatoria que representa el número de
familias del edificio que poseen más de un automóvil?. ¿Cuál es su media y su
varianza?
b) Para un edificio en donde viven 50 familias, obtén razonadamente una distribución de
probabilidad aproximada para la variable aleatoria anterior. ¿Cuál es su media y su
varianza?
10. Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor
mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una
persona compre una póliza de seguro después de la visita, es constante e igual a 0.25, y
si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿Cuántos
compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por
lo menos una póliza sea de 0,8?
11. El número de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria Poisson. Si el
número promedio es de 120 por hora,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer cliente se demore más de 3 minutos en
llegar?
c) Si en media hora llegan 50 clientes, ¿En cuánto tiempo se espera que llegue el
próximo cliente?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que 120 clientes se demoren una hora o menos en llegar?
12. Se sabe que el dinero que se gastan al año los estudiantes de determinada
universidad en fotocopias sigue una distribución normal de media 38.000 pesos y
desviación estándar 5.000 pesos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de
40.000 pesos en fotocopias al año?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de
36.000 pesos en fotocopias de texto al año?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre
30.000 y 40.000 pesos en fotocopias al año?
d) Encontrar el rango más pequeño posible de gastos en fotocopias en el cual se
incluyan el 80% de los estudiantes de esta universidad.
13. Las notas obtenidas en un examen siguen una distribución normal. ¿Cuál es la
probabilidad de que un estudiante elegido al azar obtenga una nota mayor que la nota
media más 1,5 veces la desviación estándar?
14. Un ejecutivo de una cadena de televisión está estudiando propuestas para nuevas
series. A su juicio, la probabilidad de que una serie tenga una audiencia mayor que 17,8
es 0,25, además la probabilidad de que la serie tenga una audiencia mayor que 19,2 es
0,15. Si la incertidumbre de este ejecutivo puede representarse mediante una variable
aleatoria normal. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de esta distribución?
15. El juego “random” consiste en que varias personas eligen cada una un número entre
0 y 9, y apuestan cierta cantidad, luego se obtienen números aleatorios distribuidos de
manera uniforme entre 0 y 9 con una calculadora hasta que un número se repite 10
veces, y ahí la persona que apostó por ese número gana y se lleva todo el pozo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en exactamente 10 intentos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en exactamente 11 intentos?
c) ¿Cuál es el número esperado de intentos para que alguien gane?
d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en exactamente el número esperado de intentos?
16. El tiempo que se demoran los alumnos en resolver una guía de ejercicios tiene
media 2 horas y varianza 1600 minutos2. Si se estudian 50 alumnos, cual es la
probabilidad de que:
a) En promedio demoren más de 130 minutos
b) El promedio de tiempo que demoren esté entre 115 y 125 minutos
17. La vida útil de un producto tiene distribución exponencial, con esperanza 1,3 años y
desviación 5 meses. La empresa que vende el producto garantiza que durará al menos 8
meses, de lo contrario devuelve el 80% del valor pagado. Si el producto vale 1000 u.m.
y en un determinado período de tiempo se venden 50 unidades,
a) ¿Cuál es la utilidad esperada por artículo, si el producto tiene un costo de 400 u.m.?
b) ¿Cuál debería ser la esperanza de vida útil para que la probabilidad de que el
promedio de duración se aleje de ésta en un mes sea 0,8?
18. Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:
f ( x)    (1  x) 1  I  ( x);  0
a) Encuentre la distribución de la variable Y definida como: Y = ln ( 1+ X ).
b) Encuentre la función de distribución acumulada de Y.
19. Un fabricante de baterías vende 20 baterías idénticas en un día, se sabe de estudios
anteriores que le 85% de ellas funciona correctamente después de un año. Calcular la
probabilidad que al cabo de un año:
a) Exactamente 9 baterías se encuentren funcionando.
b) A lo más 7 baterías se encuentren funcionando.
c) Más de 12 baterías se encuentren fuera de servicio.
d) Exactamente 10 baterías se encuentren fuera de servicio.
20. A los niños de un jardín infantil se les revisa las manos ante de almorzar. Se sabe
que la probabilidad de que sus manos esten limpias es de 0,45.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deban revisar 7 niños para encontrar el primero
con las manos sucias?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se deban revisar a lo menos 5 niños para encontrar el
segundo niño con las manos limpias?
c) Si se revisan 10 niños, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 con las manos limpias?
21. En un restauran se estima que si se venden a lo menos 6 almuerzos en una hora
obtienen una utilidad de U$100. si se venden entre 3 y 5 almuerzos la utilidad es de
U$70, pero si se venden a lo más 2 almuerzos se obtiene una perdida de U$20.
a) Según estudios previos en una jornada normal (10 horas) la venta promedio es de 70
almuerzos. ¿Cuál es la ganancia esperada en una hora?
b) Si el costo fijo es de U$12.045 mensuales. El restauran se enfrenta a una pérdida o
ganancia en una hora. ¿Cuál será la cantidad esperada de esta pérdida o ganancia?
22. Una distribuidora de vehículos nuevos vende autos a razón de 5 por hora,
camionetas a razón de 3 por hora y camiones a razón de 2 por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de vender 15 vehículos entre las 10:00 AM y las 12:00 PM?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre 2 ventas consecutivas de
camiones se encuentre entre 1 y 15 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de vender 4 camionetas y 3 autos en una hora si se vendieron
10 vehículos en esa hora?
d) ¿Cuál es la probabilidad de vender 30 vehículos en 3 horas si se vendieron 2 autos y
1 camión durante al primera hora, 3 camiones y 1 auto durante la segunda hora y 6 autos
en la tercera hora?
23. Las notas de los alumnos de estadística de otra universidad siguen una distribución
“Normal” de parámetros  y 2. El 68,08% de las notas son a lo más un 45 y el 8,03%
se encuentran entre un 45 y un 60.
a) Determine  y 2.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las notas se encuentren entre un 30 y un 50?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media del curso de 40 alumnos sea mayor a un 45?
24. Un examen de 120 preguntas con 4 alternativas cada pregunta y de las cuales solo
una es la correcta es tomado para seleccionar alumnos. Para aprobar se requiere tener 70
o más respuestas correctas. Si usted responde al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de responder exactamente 50 preguntas correctas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de responder a lo más 80 preguntas incorrectas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?