Guía Problemas Resueltos - ICYTAL

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
DE LOS ALIMENTOS /
ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
PROFESOR
: Elton F. Morales Blancas
UNIDAD 4: PROPIEDADES TERMOFÍSICAS
Guía de Problemas Resueltos (Versión ALFA)
1. Cortes de carne de cordero de 12 x 6 x 3 cm tienen una temperatura
inicial de 10ºC. Calcule la temperatura en la cual el 88 % del agua libre del
producto se congela.
Carne de cordero: Humedad 72%
Densidad 1050 Kg. /m3
DESARROLLO
Para poder obtener un resultado es necesario conocer las propiedades térmicas
a temperaturas de congelación.
Durante la congelación de un alimento, este será tratado como un sistema de
tres componentes: agua, hielo y sólidos totales, por este motivo en necesario
conocer las fracciones en peso de estos tres componentes.
Fracción másica del contenido inicial de agua del producto:
Y wz =0.72 Kg/Kg
Fracción másica de sólidos totales del producto:
De acuerdo a la fórmula 31 en donde:
Ys = 1 − Ywz
Aplicando la fórmula, se tiene que:
Ys = 1 –0.72 Kg/Kg
Ys = 0.28 Kg/Kg
→ Fracción másica de sólidos totales del producto.
Fracción másica de agua no congelable
Se estima a partir de la siguiente ecuación .(para el caso de carnes magras con
poca grasa, además se encuentra en función de los sólidos):
Y b = 0 . 3Y S
Luego:
Yb = 0.3 x 0.28
Yb =0.084 Kg/Kg
De acuerdo a la fórmula:
Y WA = Y W − Y b
Luego:
YWA = 0.72 − 0.084
YWA = 0.636Kg / Kg
Fracción de hielo
Se obtiene a partir de:
YI = YWA ⋅ 0.88
Ya que debemos obtener la fracción de hielo que corresponde al contenido de
agua.
Luego:
YI = 0.636 x0.88
YI = 0.56 Kg / Kg
Tabla resumen:
YWA = 0 . 636 Kg / Kg
Y b = 0 . 084 Kg / Kg
Y S = 0 . 28 Kg / Kg
Y I = 0 . 56 Kg / Kg
YW = 0 . 16 Kg / Kg
El punto inicial de congelación puede estimarse mediante la siguiente ecuación
44. Esta ecuación sólo es aplicable a productos con un contenido de humedad
mayor a 70%(base húmeda), ya que fue obtenida para soluciones binarias
acuosas ideales.
2
TZC = −6.901YS + 0.419YS − 38.292YS
3
T ZC = − 6 . 901 * 0 . 28 + 0 . 419 * ( 0 . 28 ) 2 − 38 . 292 * ( 0 . 28 ) 3
T ZC = − 2 . 74 º C
Para poder estimar al temperatura en la cual el 88 % del agua libre del producto
se congela, es necesario aplicar la ecuación numero 32, pero para ello es
necesario conocer el peso molecular efectivo de los sólidos (Ms).
Para poder obtener respuesta a esta incógnita se aplico la ecuación 43, en
donde:
⎡ ⎡⎢ λ1 ln TF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
Rg TZ Rg ⎣ TZ TF ⎦ ⎦⎥
− 1⎥
M S = ⎢e ⎣⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
Sabiendo que:
λ1
= -1.96 x 103 J/Kg. K
Rg = 462 J /Kg. K
−1
YS
M
(YWZ − Yb ) w
TF = 273.15 K
λ0 = 869.7024x 103 J/kg. K
YS = 0.28 Kg/Kg
YWz = 0.72 Kg/Kg
Yb = 0.084 Kg/Kg
M W = 18 Kg / Kgmol
⎡ ⎡⎢ −1.9603x103 ln 273.15 + 869.7024 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
462
270.41
462 ⎣ 270.41 273.15 ⎦ ⎦⎥
− 1⎥
M S = ⎢e ⎣⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
−1
0.28
18
(0.72 − 0.084)
M S = 288.9662Kg / Kmol
Estimación de la temperatura inferior al punto de congelación
A partir de los cálculos obtenidos anteriormente se procede a determinar la
temperatura en que se logran las condiciones planteadas, en éste caso la
cantidad de agua disponible en el alimento en el proceso de congelación de la
carne de cordero cuando se ha llevado a cabo la congelación del 88% del agua
libre es de 0,16 (Yw) por lo tanto conociendo éste parámetro se puede evaluar
la temperatura en que se logra ésta condición. Mediante la ecuación 32 (Guía
propiedades termofísicas de alimentos) el agua total puede ser evaluada para
cualquier temperatura debajo del punto inicial de congelación que para éste
caso corresponde a 270.41 K (-2.74° C), por lo tanto se puede predecir la
temperatura para YW = 0.16 realizando iteraciones que se acerquen a éste
valor.
YW = 0.16 Kg/Kg
YS = 0.28 Kg/Kg
Yb = 0.084 Kg/Kg
λ1 = -1.96 x 103 J/Kg. K
Rg = 462 J /Kg. K
TF = 273.15 K
λ0 = 869.7024x 103 J/kg. K
M W = 18 Kg / Kgmol
MS = 288.9662 Kg./Kgmol
Ecuación 32-Agua Total YW ( T )
⎡ ⎡⎢ λ1 ln TF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥
⎤
T Rg ⎣ T T F ⎦ ⎦⎥
⎣⎢ Rg
⎢
− 1⎥
YW (T ) = e
⎢
⎥
⎣
⎦
−1
Mw
Y S + Yb
MS
Ejemplo de calculo para iteración a 254.4 K (-18.7° C)
⎡ ⎡⎢ −1.9603 x103 ln 273.15 + 869.7024 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
254.45
462 ⎣ 254.45 273.15 ⎦ ⎥⎦
462
YW (T ) = ⎢e ⎢⎣
− 1⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
−1
18
0.28 + 0.084
288.9662
YW (T ) = 0.16039Kg / Kg
TABLA 1: Iteraciones de temperatura para YW (T) = 0.16039
T (K)
YW (T)
-20
253.15
0.1524
-19.5
253.65
0.1565
-19
254.15
0.1589
-18.8
254.35
0.1599
-18.7
254.45
0.1603
T (°C)
RESPUESTA:
Los cortes de carne de cordero que inicialmente se encuentran a 10° C
tienen una temperatura de congelación de 270.41 K (-2.74° C)
temperatura de 254.45 K (-18.7 ° C) cuando el
congela.
y una
88% del agua libre se
2 ¿Cuál es la temperatura de congelación del agua para que la actividad
de agua de un producto como la zanahoria, sea de 0.4?
Composición proximal zanahoria.
Componente.
Humedad
Proteínas
Lípidos
Carbohidratos
Fibra Cruda
Cenizas
Contenido (%).
89
0.9
0.5
8.1
0.7
0.8
Para poder resolver el problema descrito anteriormente se deben seguir los
pasos que se muestran a continuación:
Calcular el contenido de agua no congelable con la siguiente fórmula para
productos vegetales, frutas y hortalizas:
Ys = 1 – 0.89 = 0.11
Yb = 0.2 × YS
Yb = 0.2 × 0.11 = 0.022
Calcular la temperatura de congelación con la siguiente fórmula aplicable a
productos con un contenido de humedad mayor a 70% (base húmeda):
2
TZC = −6.901× YS + 0.419 × YS − 38.292 × YS
3
TZC = −6.901 × (0.11) + 0.419 × (0.11) − 38.292 × (0.11) = −0.805 º C
2
3
Transformación de ºC a ºK
TZC = −0.805 + 273.15 = 272.345º K
Calcular el peso molecular de los sólidos con la siguiente formula utilizando TZC
estimada anteriormente:
⎡
M S = ⎢e
⎢
⎣
⎡ λ1
TF λ0 ⎡ 1 1 ⎤ ⎤
⎢ ×ln + × ⎢ − ⎥ ⎥
TZ Rg ⎣ TZ TF ⎦ ⎦⎥
⎣⎢ Rg
−1
⎤
YS
− 1⎥ ×
× MW
⎥
(YWZ − Yb )
⎦
donde:
λ0 = constante 869.7024x103 J/Kg
λ1 = constante -1.9603x103 J/Kg
Rg = Constante de los gases ideales 462 J/Kg-K
Tf = Temperatura de congelación del agua pura: 273.15 K
T= Temperatura (K)
Tzc = Temperatura inicial de congelación del producto (K)
Mw = Peso molecular del agua (Kg/Kgmol)
Ms = Peso molecular aparente de los sólidos (Kg/Kgmol)
Ywz = Fracción másica del contenido inicial de agua del producto (Kg/Kg)
Ys = Fracción másica de los sólidos totales del producto (Kg/Kg)
Yb = Fracción másica del agua no congelable (Kg/Kg)
⎤
⎤
⎡ ⎡⎢ −1.9603×103 KgJº K 273.15º K 869.7024×103 KgJº K
1
1
⎡
⎤ ⎥⎥
⎢
×ln
+
×⎢
−
⎥
⎢ ⎢
⎥
J
J
272.345 º K
⎣ 272.345 º K 273.15 º K ⎦ ⎥
462
⎥
⎥
⎢ ⎢⎣ 462 Kg º K
Kg º K
⎦
M S = ⎢e
− 1⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎦
⎣
M S = 289.54
−1
0.11
Kg
× 18
(0.89 − 0.022) Kgmol
Kg
Kgmol
Calcular el contenido de agua total con la siguiente fórmula, a medida que se
va estimando una temperatura:
Para T = –40ºC = 233.15ºK:
⎡
YW (T ) = ⎢e
⎢
⎣
⎡ λ1
TF λ0 ⎡ 1 1 ⎤ ⎤
⎢ ×ln + ×⎢ − ⎥ ⎥
T Rg ⎣ T TF ⎦ ⎥⎦
⎣⎢ Rg
−1
⎤
M
− 1⎥ × W × YS + Yb
⎥
MS
⎦
−1
⎤
⎤
⎡ ⎡⎢ −1.9603×103 KgJº K 273.15º K 869.7024×103 KgJº K
⎥
1
1
⎡
⎤
Kg
⎥
×ln
+
×⎢
−
⎥
⎢ ⎢⎢
18
J
J
233.15º K
233.15º K 273.15º K ⎥⎦ ⎥
⎣
462
⎥
⎥
⎢ ⎢ 462 Kg º K
Kgmol
Kg º K
⎦
YW (T ) = ⎢e ⎣
0.11 + 0.022
− 1⎥
Kg
⎥ 289.54
⎢
Kgmol
⎥
⎢
⎦
⎣
YW (T ) = 0.032
Calcular actividad de agua para el contenido de agua total determinado en el
paso anterior con la siguiente formula:
XW
(YW
− Yb ) M W
=
(YW − Yb ) M W + YS M S
(0.032 − 0.022)
XW =
18
Kg
Kgmol
(0.032 − 0.022) 18 Kg + 0.11 289.54 Kg
Kgmol
Kgmol
= 0.594
Calcular el contenido de agua total con las siguiente formula, a medida que se
va estimando una temperatura:
Para T = –55ºC = 218.15ºK:
−1
⎡ ⎡⎢ λ1 ×ln TF + λ0 ×⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
M
Rg
T Rg ⎣ T TF ⎦ ⎥⎦
− 1⎥ × W × YS + Yb
YW (T ) = ⎢e ⎢⎣
⎢
⎥
MS
⎣
⎦
−1
⎤
⎤
⎡ ⎡⎢ −1.9603×103 KgJº K 273.15º K 869.7024×103 KgJº K
1
1
⎡
⎤ ⎥⎥
Kg
⎢
×ln
+
×⎢
−
⎥
⎢ ⎢
⎥
18
J
J
218.15º K
⎣ 218.15º K 273.15º K ⎦ ⎥
462
462
⎥
⎥
⎢ ⎢
Kgmol
Kg º K
Kg º K
⎦
YW (T ) = ⎢e ⎣
0.11+ 0.022
−1⎥
Kg
⎥ 289.54
⎢
Kgmol
⎥
⎢
⎦
⎣
YW (T ) = 0.028
Calcular actividad de agua para el contenido de agua total determinado en el
paso anterior con la siguiente formula:
XW =
(YW
− Yb ) M W
(YW − Yb ) M W + YS M S
(0.028 − 0.022)
XW =
18
Kg
Kgmol
(0.028 − 0.022) 18 Kg + 0.11 289.54 Kg
Kgmol
Kgmol
= 0.467
YW (T ) = 0.0267
: Calcular actividad de agua para el contenido de agua total determinado en el
paso anterior con la siguiente formula:
XW =
(YW
− Yb ) M W
(YW − Yb ) M W + YS M S
La actividad de agua Aw es equivalente a la fracción de agua no congelada Xw
para el caso de soluciones ideales.
(0.0267 − 0.022)
XW =
18
Kg
Kgmol
(0.0267 − 0.022) 18 Kg + 0.11 289.54 Kg
Kgmol
Kgmol
= 0.404
CUADRO 1: Resumen de iteraciones de temperatura y fracción de agua total
para encontrar valores de actividad de agua.
Temperatura (ºC)
Temperatura (K)
-40
-55
-60
-60.5
233.15
218.15
213.15
212.65
Fracción de
agua total (Yw)
0.032
0.028
0.0268
0.0267
Actividad de
agua (Aw)
0.594
0.467
0.412
0.404
RESPUESTA: La temperatura de congelación a la cual la actividad de agua
es 0.4 corresponde a –60.5ºC o 212.65ºK
3. Una planta de alimentos procesa cortes de zanahoria de las siguientes
dimensiones: 4x2x1 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 20ºC.
La temperatura del aire es de –40ºC. Considerar la temperatura en el
centro térmico al final del proceso igual a –20ºC.
a) Calcule los requerimientos de refrigeración.
b) Si se quiere congelar frambuesas de 25 mm de diámetro en promedio
desde 15ºC hasta –10ºC, bajo los mismos parámetros de congelación y
operaciones del túnel de congelación anterior. ¿Cuál serían los
requerimientos de refrigeración?.
Zanahoria:
Humedad: 89%.
Densidad:1030Kg/m3
Frambuesas:
Humedad: 84.1%
Proteínas: 1.2%
Lípidos: 0.7 %
Carbohidratos: 10.7%
Fibra cruda: 2.8%
Cenizas:0.5%
a) Para calcular los requerimientos de refrigeración, se deben calcular las
entalpías correspondientes, para este caso, para las temperaturas 20ºC
y (-20ºC).
∆H = (H20ºC − H(−20ºC)
)
Para la determinación de la entalpía a 20ºC, se utilizará la ecuación 40 a, ya
que se cumple que TD< TZ.
T
T
TD
Tz
Tz
H = YS Cps ∫ dT + YWZ ∫ Cpw(T )dT + YWZ ∫ Cp I (T )dT + YWZ λ Z − YWD λ D
TD
Comienza la resolución, resolviendo las incógnitas, como sigue:
Ys = 1 − Y WZ
YWZ = 0.89
Ys = 1 − 0.89
Ys = 0.11
Con la ecuación (6), se determina el calor específico de los sólidos:
Cps=
CpUZ − CpW YWZ
Ys
Empleando la ecuación (11), Se calcula el calor específico del producto no
congelado:
CpUZ = 1675 + 2512YWZ
CpUZ = 1675 + 2512⋅ (0.89)
CpUZ = 3910.68( J / KgK)
Utilizando la ecuación (10) se determina el calor específico del agua, a
293.15ºK
CpW (T ) = CpW 0 + CpW1T + CpW 2T 2 + CpW 3T 3
CpW 0 = 106.907 *10 2 ( J / KgK )
donde:
CpW 1 = −56.5815( J / KgK 2 )
CpW 2 = 161.938 *10 −3 ( J / KgK 3 )
CpW 3 = −0.152273 *10 − 3 ( J / KgK 4 )
Cp ( 293 .15 ) = 106 .907 x10 2 + ( − 56 .5815 ⋅ 293 .15 ) + (161 .938 x10 −3 ⋅ 293 .15 ) + ( − 0.152273 x10 −3 ⋅ 293 .15 )
Cp ( 293 .15 ) = 4184 .152961 ( J / KgK )
3910.68 − (4184.162961⋅ 0.89)
0.11
Cps = 1697.95( J / KgK )
Cps =
Ahora corresponde la resolución de la integral correspondiente al calor
específico del agua, cuyos límites son T y Tz.
Para este caso, T=293.15 K, y Tz se determina como sigue, con la ecuación
(44), aunque se refiere a la temperatura inicial del punto de congelación, en ºC,
se transforma a K.
TZC = −6.901YS + 0.419YS2 − 38.292YS3
TZC = (−6.901⋅ 0.11) + (0.419 ⋅ 0.112 ) − (38.292 ⋅ 0.113 )
TZC = −0.805 + 273
TZ = 272.34K
Conociendo los límites de la integral, se puede resolver, con la ecuación (10)
anteriormente señalada.
∫
T
∫
T
Tz
Tz
CpW 0 + CpW 1T + CpW 2T 2 + CpW 3T 3dT
T
T
T
Tz
Tz
Tz
CpW 0 dT + ∫ CpW 1TdT + ∫ CpW 2T 2 dT + ∫ CpW 3T 3dT
⎛ T 2 Tz 2 ⎞
⎛ T 3 Tz 3 ⎞
⎛ T 4 Tz 4 ⎞
⎟⎟ + CpW 2 ⎜⎜ −
⎟⎟ + CpW 3 ⎜⎜
⎟
−
−
CpW 0 (T − Tz ) + CpW 1 ⎜⎜
2 ⎠
3 ⎠
4 ⎟⎠
⎝ 2
⎝ 3
⎝ 4
⎛ 293.152 272.342 ⎞
⎟⎟ ] +
−
106.907 x102 (293.15 − 272.34) + [ − 56.5815⎜⎜
2
2
⎝
⎠
3
⎡
⎛ 293.154 272.34 4 ⎞⎤
272.343 ⎞⎤ ⎡
3 ⎛ 293.15
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟⎥
−
+
−
−
161
.
938
10
0
.
152273
x
⎢
⎜
⎟⎥ ⎢
3
3
4
4
⎝
⎠⎦ ⎣
⎝
⎠⎦
⎣
222473.467 + (− 332921.2147 ) + 269529.7574 + (− 71724.49921)
Cp = 87357.5105( J / KgK )
Para el caso del calor específico del hielo, aunque no se está trabajando a
temperaturas de congelación (20ºC), de igual forma se debe determinar, ya que
los límites de la integral sí pertenecen al rango de temperaturas de congelación,
por lo que el calor específico del hielo, tomando como límites TZ = 272.34 K y
TD= 233.15 K, se calcula con la ecuación (53) :
Cp(T ) = Cp I 0 + Cp I 1T + Cp I 2T 2
Cp I 0 − cons tan te(−256.2399)( J / KgK )
donde:
Cp I 1 − cons tan te(11.2839)( J / KgK )
Cp I 2 − cons tan te(−102.7086x10 −4 )( J / KgK )
De este modo, se reemplaza la función de CpI en la integral y se resuelve como
sigue:
∫
TZ
∫
272.34
TD
Cp I 0 + Cp I 1T + Cp I 2 T 2 dT
233.15
− 256.2399 + 11.2839T + (−102.7086 x10 − 4 )T 2 dT
[
⎛T 2 T 2 ⎞ ⎤
⎛T 3 T 3 ⎞
⎡
− 256.2399(TZ − TD ) ] + ⎢ 11.2839⎜⎜ Z − D ⎟⎟ ⎥ + [ − 102.7086 x10 − 4 ⎜⎜ Z − D ⎟⎟
2 ⎠ ⎦
3 ⎠
⎣
⎝ 2
⎝ 3
[
⎛ 272.34 2 233.15 2
− 256.2399(272.34 − 233.154 ) ] + [ 11.2839⎜⎜
−
2
2
⎝
[ 102.7086 * 10 −4 ⎛⎜⎜ 272.34
⎝
3
3
−
233.15 3 ⎞
⎟⎟
3
⎠
]
⎞
⎟⎟ ] +
⎠
]
(−10042.04168) + 111767.8933 + (−25764.0.91)
75961.813( J / KgK )
Corresponde determinar la entalpía de cambio de fase sólido-líquido del agua a
la temperatura Tz (272.34 K), utilizando la ecuación (54):
λ (T ) = λ 0 + λ 1 T
donde:
λ 0 − cons tan te(869.7024 x10 3 )( J / KgK )
λ1 − cons tan te(− 1.9603x10 3 )( J / KgK )
λ(272..34 ) = 869.7024 x10 3 + (− 1.9603 x10 3 ⋅ 272 .34 )
λ(272..34 ) = 335834 .298( J / KgK )
Para el caso de la entalpía de cambio de fase a la temperatura de referencia,
siendo ésta 233.15 K, se tiene:
λ (233 .15 ) = 869 .7024 x10 3 + (− 1 .9603 x10 3 ⋅ 233 .15 )
λ (233 .15 ) = 412658 .455 ( J / KgK )
Para determinar el contenido de agua no congelada a la temperatura de
referencia, YWD, se requiere conocer previamente, entre otras propiedades, el
peso molecular aparente de los sólidos:
⎡ ⎡⎢ λ1 LnTF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
Rg TZ Rg ⎣ TZ TF ⎦ ⎥⎦
Ms = ⎢e ⎢⎣
− 1⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
−1
Ys
Mw
(Ywz − Yb)
donde :
Rg = 462 ( J / KgK )
T F = 273 .15 ( K )
T Z = 272 .34 ( K )
Mw = 18 ( Kg / mol )
Además, se obtiene Yb de la ecuación (47), como se está trabajando con un
producto vegetal:
Yb = 0.2Ys
Yb = 0.2 ⋅ 0.11
Yb = 0.022
Conocidas ya todas las incógnitas, se puede resolver la ecuación anterior:
−1
⎡ ⎡⎢ −1.9603 x103 Ln 273.15 + 869.7024 x103 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
0.11
462
272.34
462
⎣ 272.34 273.15 ⎦ ⎥⎦
Ms = ⎢e ⎢⎣
− 1⎥ ⋅
⋅ 18
⎢
⎥ (0.89 − 0.022)
⎣
⎦
−3
0.11
−1
Ms = [ e 7.896 x10 − 1 ] ⋅
⋅ 18
(0.89 − 0.022)
Ms = 287.74( Kg / Kgmol )
Conociendo el valor anterior, se puede calcular ahora el contenido de agua no
congelada a la temperatura de referencia:
−1
⎡ ⎡⎢ λ1 LnTF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥⎤⎥ ⎤
MW
Rg T Rg⎣T TF ⎦⎦⎥
−1⎥
YWD = ⎢e⎣⎢
Y +Y
⎢
⎥ MS S b
⎣
⎦
Todas estas incógnitas ya se conocen, por lo que se calcula directamente:
YWD
YWD
YWD
⎡ ⎡⎢ −1.9603 x10 3 Ln 273 .15 + 869 .7024 x10 3 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥
⎤
462
233 .15
462
⎣ 233 .15 273 .15 ⎦ ⎦⎥
⎣⎢
⎢
= e
− 1⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
−1
18
= e 1.666 − 1 ⋅
⋅ 0 .11 + 0 .022
287 .74
= 0 .0323 Kg / Kg
[
−1
⋅
18
⋅ 0 .11 + 0 .022
287 .74
]
Conociendo todos los términos de la ecuación principal (40a), se puede
determinar la entalpía a 20ºC:
H (20 ) = 0.11 ⋅ 1697 .95 ⋅ ( 293 .15 − 233 .15) + (0.89 ⋅ 87357 .5105 ) + (0.89 ⋅ 75961 .813)
+ (0.89 ⋅ 335834 .298 ) − (0.0323 ⋅ 412658 .455 )
H (20 ) = 442124 .3251( J / Kg )
Cálculo de entalpía a –20ºC.
Para determinar el valor de Entalpía a –20ºC se utilizará la ecuación 40 en
donde se cumple que T < Tz.
T
T
TD
TD
H (− 20 ) = YS ⋅ CpS ∫ dT + Ywz ∫ Cp I (T ) dT + Yw (T ) λ(T ) − YWD λ D
Dato:
YWZ = 0.89
Cálculos:
YS = 1 − YWZ
YS = 1 − 0.89
YS = 0.11
El valor de Cps es el mismo calculado anteriormente el cual corresponde a:
Cp S = 1697.95 J / KgK
Para calcular la integral correspondiente al calor específico del hielo se utilizará
la ecuación 53, además se debe considerar que:
T = 253.15 K (-20ºC).
TD = 233.15 K (-40ºC).
Cp I (T ) = Cp10 + Cp11T + Cp12T
donde:
Cp10 = −256.2399 J / KgK
Cp11 = 11.2839 J / KgK 2
Cp12 = −102.7086 x10−4 J / KgK 3
T
∫ CpI (T )dT = Cp10T + Cp11
TD
T
∫
T2
T3
+ Cp12
2
3
(253.15
Cp (T )dT = −256.2399(253.15 − 233.15) + 11.2839
I
TD
(
)
2
3
⎡
− 4 253.15 − 233.15 ⎤
102
.
7086
10
x
−
⎢
⎥
3
⎣
⎦
T
∫ Cp (T )dT = 37597.30 J / KgK
I
TD
Para determinar el valor de Yw (T), se utilizará la ecuación 32.
−1
⎡ ⎡⎢ λ1 LnTF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥⎤⎥ ⎤
MW
Rg T Rg⎣T TF ⎦⎦⎥
−1⎥
YW (T ) = ⎢e⎣⎢
Y +Y
⎢
⎥ MS S b
⎣
⎦
)
− 233.15
+
2
Para la resolución se debe conocer en primer lugar los valores de: Rg, Tz, Tf,
Ms, Yb, Mw e YS. En este caso se utilizaron los valores obtenidos anteriormente
que corresponden a:
Rg = 462 ( J / KgK )
TF = 273 .15 ( K )
T = 253 .15 ( K )
Mw = 18 ( Kg / mol )
M S = 287.74 Kg / Kgmol
Yb = 0.022
YS = 0.11
Con estos valores se puede determinar el valor de Yw (T).
⎡ ⎡⎢ −1.9603 x10 3 Ln 273 .15 + 869 .7024 x10 3 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥
⎤
462
253 .15
462
253 .15 273 .15 ⎦ ⎦⎥
⎣
⎢
⎣
− 1⎥
YW (T ) = ⎢ e
⎢
⎥
⎣
⎦
YW (T ) = 0 .0497 Kg / Kg
−1
⋅
18
⋅ 0 .11 + 0 .022
287 .74
Corresponde determinar la entalpía de cambio de fase sólido-líquido del agua a
la temperatura T = 253.15 K, utilizando la ecuación (54):
λ (T ) = λ 0 + λ 1 T
donde:
λ 0 − cons tan te(869.7024 x10 3 )( J / KgK )
λ1 − cons tan te(− 1.9603x10 3 )( J / KgK )
λ(272..34 ) = 869 .7024 x10 3 + (− 1.9603 x10 3 ⋅ 253 .15 )
λ(272..34 ) = 373452 .46( J / Kg )
Para el caso de la entalpía de cambio de fase a la temperatura de referencia,
siendo ésta 233.15 K, se tiene:
λ (233 .15 ) = 869 .7024 x10 3 + (− 1 .9603 x10 3 ⋅ 233 .15 )
λ (233 .15 ) = 412658 .455 ( J / Kg )
El valor de YWD corresponde al mismo valor utilizado anteriormente, el cuál
corresponde a:
YWD = 0.0323Kg / Kg
Conociendo todos los términos de la ecuación principal (40), se puede
determinar la entalpía a -20ºC:
H (− 20 ) = 0.11 ⋅ 1697 .95 ⋅ ( 253 .15 − 233 .15) + (0.89 ⋅ 37597 .30 ) +
(0.0497 ⋅ 373452 .46 ) − (0.0323 ⋅ 412658 .455 )
H (− 20 ) = 42428 .8062 ( J / Kg )
Para calcular los requerimientos de refrigeración se debe dar una base de
cálculo, en este caso se dará una base de 1000Kg/h que corresponde al flujo
másico.
Cálculos:
0
m = 1000
Kg 1h
⋅
= 0.2777 Kg / s
h 3600 s
Req.refrig= m(H (20 ) − H (− 20 ) )
0
Kg
(442124.3251 − 42428.8062) J
s
Kg
Req.refrig= 110995 [J/s]
Req.refrig= 0.2777
REQ.REFRIG= 110.995 [KW]
b) Requerimientos de refrigeración.
Dado que el producto tiene una temperatura inicial de 15°C y final de –10°C,
para calcular los requerimientos de refrigeración se necesita conocer el valor de
entalpía a ambas temperaturas, para esto se utilizarán las ecuaciones de
cálculo de entalpía a partir de la composición proximal del alimento, en éste
caso frambuesas.
¾ Para el cálculo de la temperatura o el punto inicial de congelación se
utilizó la ecuación (44) .
TZC = −6.901YS + 0.419YS2 − 38.292YS3
TZC = −6.901 * (0.159) + 0.419 * (0.159) 2 − 38.292 * (0.159) 3
TZC = −1.24°C
¾ Para el cálculo de la entalpía a 15 °C se utilizará la ecuación (61a),
cumpliéndose la condición T>Tz , 15°C>-1.24°C, con TD<Tz (-40°C<1.24°C).
T
T
T
T
T
TD
TD
TD
TD
TD
H (T ) = YP Cp P ∫ dT + YC CpC ∫ dT + YF Cp F ∫ dT + YL Cp L ∫ dT + YM Cp M ∫ dT
T
TZ
TZ
TD
+ YWZ ∫ CpW (T )dT + YWZ ∫ Cp I (T )dT + YWZ λ Z − YWD λ D
Las ecuaciones utilizadas para el cálculo de los valores de Cp para los distintos
componentes son las que se indican a continuación (Tabla 1, guía Fuente CHOI
y OKOS):
Cp (KJ/Kg °C)
Proteína (Cpp)
Cp p = 2.0082 + 1.2089 *10 −3 T − 1.3129 *10 −
M.Grasa (CpL)
Cp L = 1.9842 + 1.4733 *10 −3 T − 4.8008 *10 −
Carbohidratos(CpC)
Cp C = 1.5488 + 1.9625 * 10 −3 T − 5.9399 * 10 −
Fibra(CpF)
Cp F = 1.8459 + 1.8306 *10 −3 T − 4.6509 *10 −
Minerales (CpM)
Cp M = 1.0926 + 1.8896 *10 −3 T − 3.6817 *10 −
Agua (CpW)
Cp W = 4.1762 − 9.0864 *10 −5 T + 5.4731 *10 −
Agua subenfriada (CpWF) CpWF = 4.0817 − 5.3062 * 10 −3 T + 9.9516 * 10
Hielo (CpI)
Cp I = 2.0623 + 6.0769 * 10 −3 T
1. Proteínas
Yp=0.012
Cp p = 2.0082 + 1.2089 *10 −3 T − 1.3129 *10 −6 T 2
Cp p = 2.0082 + 1.2089 *10 −3 (15) − 1.3129 *10 −6 (15) 2
Cp p = 2.026 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YP Cp P ∫ dT
TD
=0.012 * 2.026*103 * T ]− 40°C
=0.012*2.026*103 * (15-(-40))
=1337.16 [J/kg]
15° C
2. Carbohidratos
YC=0.107
Cp C = 1.5488 + 1.9625 * 10 −3 T − 5.9399 * 10 −6 T 2
Cp C = 1.5488 + 1.9625 * 10 −3 (15) − 5.9399 * 10 −6 (15) 2
Cp C = 1.548 * 10 3 [ J / kg °C ]
T
= YC CpC ∫ dT
TD
=0.107* 1.548*103 * T ]− 40°C
=0.107* 1.548*103 * (15-(-40))
=9109.98 [J/kg]
15° C
3. Fibra:
YF=0.028
Cp F = 1.8459 + 1.8306 *10 −3 T − 4.6509 *10 −6 T 2
Cp F = 1.8459 + 1.8306 *10 −3 (15) − 4.6509 *10 −6 (15) 2
Cp F = 1.8723 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YF Cp F ∫ dT
TD
=0.028 * 1.8723*103* T ]− 40°C
=0.028 * 1.8723*103* (15-(-40))
=2883.342 [J/kg]
15° C
4. Lípidos:
YL=0.007
Cp L = 1.9842 + 1.4733 *10 −3 T − 4.8008 *10 −6 T 2
Cp L = 1.9842 + 1.4733 *10 −3 (15) − 4.8008 *10 −6 (15) 2
Cp L = 2.005 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YL Cp L ∫ dT
TD
=0.007*2.005*103* T ]− 40°C
=0.007*2.005*103* (15-(-40))
=771.925 [J/kg]
15° C
5. Minerales:
YM=0.005
Cp M = 1.0926 + 1.8896 *10 −3 T − 3.6817 *10 −6 T 2
Cp M = 1.0926 + 1.8896 *10 −3 (15) − 3.6817 * 10 −6 (15) 2
Cp M = 1.12011 * 10 3 [ J / kg °C ]
T
= YM Cp M ∫ dT
TD
=0.005*1.12011*103* T ]− 40°C
=0.005*1.12011*103* (15-(-40))
=280.03 [J/kg]
15° C
T
= YWZ ∫ CpW (T )dT
6.
TZ
YWZ =0.841
T
= ∫ CpW (T )dT
TZ
T
= ∫ 4.1762 − 9.0864 *10 −5 T + 5.4731 *10 −6 T 2 dT
TZ
]
]
°C
−6
= 4.1762* T ]−1.24°C − 9.0864 * 10 −5 * T 2 / 2 / 15
* T 3 / 3 −1.24°C
−1.24° C + 5.4731 * 10
15° C
15° C
(
= 4.1762 * (15 − (−1.24)) − 9.0864 *10 −5 * (15 2 / 2) − (−1.24 2 / 2)
(
+ 5.4731 * 10 −6 * (15 3 / 3) − (−1.24 3 / 3)
=67.817*103 [J/kg]
T
= YWZ ∫ CpW (T )dT
TZ
=0.841*67.817*103
=57034.51 [J/kg]
)
)
TZ
7. YWZ ∫ Cp I (T )dT
TD
YWZ =0.841
TZ
= ∫ Cp I (T )dT
TD
TZ
= ∫ 2.0623 + 6.0769 * 10 −3 T dT
TD
]
= 2.0623* T ]− 40°C + 6.0769 *10 −3 * T 2 / 2 / −−140.24°C°C
−1.24°C
= 2.0623 * (−1.24 − (−40)) + 6.0769 *10 −3 * ((−1.24 2 / 2) − (−40 2 / 2) )
=75.0779*103 [J/kg]
TZ
YWZ ∫ Cp I (T )dT
TD
=0.841*75.0779*103
=63140.51 [J/kg]
8. YWZ λ Z
YWZ =0.841
λ Z = λ0 + λ1T
λ Z = 869.7024 *10 3 − 1.9603 *10 3 * 271.91
λ Z = 336677.2277[ J / kg ]
=0.841* 336677.2277
=283145.5479 [J/kg]
9. YWD λ D
YWD =0.0466
λ D = λ0 + λ1T
λ D = 869.7024 *10 3 − 1.9603 *10 3 * 233.15
λ D = 412658.455[ J / kg ]
=0.841*412658.455
= 19229.884 [J/kg]
T
T
T
T
T
TD
TD
TD
TD
H (T ) = YP Cp P ∫ dT + YC CpC ∫ dT + YF Cp F ∫ dT + YL Cp L ∫ dT + YM Cp M ∫ dT
TD
T
TZ
TZ
TD
+ YWZ ∫ CpW (T )dT + YWZ ∫ Cp I (T )dT + YWZ λ Z − YWD λ D
H(15°C)= 1337.16 + 9109.98 +2883.342 +771.925 + 280.03 + 57034.51
+63140.51
+283145.5479 -19229.884
H(15°C)= 398473.12 [J/kg]
¾ Para el cálculo de la entalpía a –10°C se usa la ecuación (61 guía) para
la cuál se cumple T<TZ, -10°C < -1.24°C.
T
T
T
T
T
TD
TD
TD
TD
H (T ) = YP Cp P ∫ dT + YC CpC ∫ dT + YF Cp F ∫ dT + YL Cp L ∫ dT + YM Cp M ∫ dT
TD
T
T
TD
TD
+ ∫ YI (T )Cp I (T )dT + ∫ YW (T )CpWF (T )dT + YW (T )λ (T ) − YWD λ D
1. Proteínas
Yp=0.012
Cp p = 2.0082 + 1.2089 *10 −3 T − 1.3129 *10 −6 T 2
Cp p = 2.0082 + 1.2089 *10 −3 (0) − 1.3129 *10 −6 (0) 2
Cp p = 2.00082 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YP Cp P ∫ dT
TD
=0.012 * 2.00082*103 * T ]− 40°C
−10° C
=0.012*2.00082*103 * (-10-(-40))
=722.952 [J/kg]
2. Carbohidratos
YC=0.107
Cp C = 1.5488 + 1.9625 * 10 −3 T − 5.9399 * 10 −6 T 2
Cp C = 1.5488 + 1.9625 * 10 −3 (0) − 5.9399 * 10 −6 (0) 2
Cp C = 1.5488 * 10 3 [ J / kg °C ]
T
= YC CpC ∫ dT
TD
=0.107* 1.5488*103 * T ]− 40°C
=0.107* 1.5488*103 * (-10-(-40))
=4971.648 [J/kg]
−10° C
3. Fibra:
YF=0.028
Cp F = 1.8459 + 1.8306 *10 −3 T − 4.6509 *10 −6 T 2
Cp F = 1.8459 + 1.8306 *10 −3 (0) − 4.6509 * 10 −6 (0) 2
Cp F = 1.8459 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YF Cp F ∫ dT
TD
=0.028 * 1.8459*103* T ]− 40°C
=0.028 * 1.8459*103* (-10-(-40))
=1550.556 [J/kg]
−10° C
4. Lípidos:
YL=0.007
Cp L = 1.9842 + 1.4733 *10 −3 T − 4.8008 *10 −6 T 2
Cp L = 1.9842 + 1.4733 * 10 −3 (0) − 4.8008 *10 −6 (0) 2
Cp L = 1.9842 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YL Cp L ∫ dT
TD
=0.007*1.9842*103* T ]− 40°C
=0.007*1.9842*103* (-10-(-40))
=416.682 [J/kg]
−10° C
5. Minerales:
YM=0.005
Cp M = 1.0926 + 1.8896 *10 −3 T − 3.6817 *10 −6 T 2
Cp M = 1.0926 + 1.8896 *10 −3 (0) − 3.6817 * 10 −6 (0) 2
Cp M = 1.0926 *10 3 [ J / kg °C ]
T
= YM Cp M ∫ dT
TD
=0.005*1.0926*103* T ]− 40°C
=0.005*1.0926*103* (-10-(-40))
=163.89 [J/kg]
−10° C
6.
T
∫ Y (T )Cp
I
I
(T )dT
TD
YI(T)= 1 – YW (T) - YS
−1
⎡ ⎡⎢ λ1 lnTF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
YS
Rg TZ Rg ⎣ TZ TF ⎦ ⎥⎦
M
M S = ⎢e ⎢⎣
− 1⎥
⎢
⎥ (YWZ − Yb ) W
⎣
⎦
MS=289.987 [kg/kgmol]
−1
⎡ ⎡⎢−1.9603*103 ln273.15+869.7024*103 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥⎤⎥ ⎤
0.159
462
271.91
462 ⎣271.91 273.15⎦⎦⎥
MS = ⎢e⎣⎢
*18
−1⎥
⎢
⎥ (0.841−0.0318)
⎣
⎦
−1
⎡ ⎡⎢ λ1 lnTF + λ0 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎤
MW
Rg T Rg ⎣ T TF ⎦ ⎥⎦
YW (T ) = ⎢e ⎢⎣
Y + Yb
− 1⎥
⎢
⎥ MS S
⎣
⎦
⎤
⎡ ⎡⎢ −1.9603 *10 3 ln 273 .15 + 869 .7024 *10 3 ⎡⎢ 1 − 1 ⎤⎥ ⎤⎥
462
263 .15
462
⎣ 263 .15 273 .15 ⎦ ⎦⎥
⎣⎢
⎢
YW ( 263 .15 K ) = e
− 1⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
−1
18
* 0 .159 + 0 .0318
289 .987
YW(263.15)=0.12218
YI(T)= 1 – 0.12218 – 0.159 = 0.71882
T
∫ 0.71882 *Cp
I
(T )dT
TD
T
0.71882 ∫ 2.0623 + 6.0769 *10 −3 T dT
TD
°C
= 0.71882 * (2.0623* T ]−40°C + 6.0769 *10 −3 / −−10
40° C
−10°C
=41196.52 [J/kg]
T
7.
∫Y
W
(T )CpWF (T )dT
TD
YW(T)= 0.11218
T
∫ 0.11218 * (4.0817 − 5.3062 *10
−3
T + 9.9516 *10 − 4 T 2 )dT
TD
T
0.11218 ∫ (4.0817 − 5.3062 *10 −3 T + 9.9516 *10 − 4 T 2 )dT
TD
]
°C
−4
= 0.11218* (4.0817 * T ]− 40°C − 5.3062 *10 −3 * T 2 / 2 / −−10
* T 3 /3]− 40°C
40°C + 9.9516 * 10
−10° C
−10° C
(
= 0.11218 * (4.0817 * (−10 − (−40)) − 5.3062 *10 −3 * (−10 2 / 2) − (−40 2 / 2)
)
+ 9.9516 *10 − 4 * ((−10 3 / 3) − (−40 3 / 3))
=18000.658 [J/kg]
8. YW (T )λ (T )
YW(T)= 0.12218
λ (T ) = λ0 + λ1T
λ (263.15) = 869.7024 * 10 3 − 1.9603 *10 3 * 263.15
λ ( 263 .15) = 353849 .455[ J / kg ]
=0.12218*353849.499
=43233.32641 [J/kg]
9. YWD λ D
YWD
=0.0466
λ D = λ0 + λ1T
λ D = 869.7024 *10 3 − 1.9603 *10 3 * 233.15
λ D = 412658.455[ J / kg ]
=0.0466*412658.455
= 19229.884 [J/kg]
T
T
T
T
T
TD
TD
TD
TD
TD
H (T ) = YP Cp P ∫ dT + YC CpC ∫ dT + YF Cp F ∫ dT + YL Cp L ∫ dT + YM Cp M ∫ dT
T
T
TD
TD
+ ∫ YI (T )Cp I (T )dT + ∫ YW (T )CpWF (T )dT + YW (T )λ (T ) − YWD λ D
H(-10°C)= 722.952+4971.648+1550.556 +416.682 +163.89 +41196.52
+18000.658 +43233.33 -19229.884
H(-10°C)= 91026.3524 [J/kg]
Para el cálculo de los requerimientos de refrigeración , se asumirá un flujo
másico de 1000 Kg/h.
0
m = 1000
Kg 1h
⋅
= 0.2777 Kg / s
h 3600 s
Req.refrig= m°* (H15°C-H-10°C)
Req.refrig= 0.2777
Kg
(398490.855 − 91026.35) J
s
Kg
Req.refrig= 85382.89 [J/s]
REQ.REFRIG= 85.38 [KW]