PR ´ACTICO No 2 Introducción a la Lógica Proposicional

Resolución de Problemas y Algoritmos - Ing. en Comp. e Ing. en Inf.
Año 2015
PRÁCTICO No 2
Introducción a la Lógica Proposicional
Ejercicio 1:
Dadas las siguientes frases identifique e indique cuáles son proposiciones simples:
1. ¿Pedro es alto?
2. La cantante triunfa inesperadamente.
3. ¡corre!
4. Llévame a pasear.
5. 35 es un número par.
6. Los senadores debaten con tranquilidad.
7. Z > 68.
8. Todo número real elevado a la cero da uno.
9. Salta la cuerda.
10. -34 * 10 = 340.
Ejercicio 2:
Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales representándolas con las letras (A, B, C, . . .) respectivamente.
1. Es falso que un litro de agua pesa menos que un kilo.
2. Ustedes pueden usar las cámaras digitales o las cámaras de sus teléfonos celulares o ambas.
3. Patinaremos si y sólo si el hielo no es demasiado delgado.
4. Siempre que llueve, las plantas se riegan.
5. A pesar de que el coche no aceleró, hubo un accidente.
Ejercicio 3:
Dadas las siguientes proposiciones simples:
A = El matemático estudia.
B = El problema es sencillo.
C = La solución es correcta.
Reemplace en las siguientes proposiciones compuestas, tratando de obtener dos versiones distintas
de las mismas en lenguaje natural:
(B ∧ C)
(A ⇒ (B ∧ C))
(A ⇐⇒ (B ∧ C))
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Ejercicio 4:
Dadas las siguientes proposiciones:
Mi calculadora calcula cualquier raı́z si y sólo si tiene la función
1
n.
Google y You Tube son la páginas que más visita Lorena.
1. Identifique las proposiciones simples.
2. Determine cuáles son los conectivos lógicos.
3. Exprese formalmente en sı́mbolos.
Ejercicio 5:
Indique si las siguientes son fórmulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique:
1. P ∧ ∧ Q ∧ R
2. ¬¬((Q (P ∨ R)∧ P)
3. ((P ∧¬ Q) ⇐⇒ (S ∨ R))
4. (¬(R ⇒ (¬ Q)))
Ejercicio 6:
Identifique con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los sı́mbolos
de la Lógica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. José canta si está contento y está contento si canta.
2. Una propaganda genial en la TV es suficiente para conseguir el éxito de un producto.
3. Elı́as toma café o té y toma café solamente si contiene azúcar.
4. La espalda duele si el músculo abdominal está débil.
Ejercicio 7:
Dadas las siguientes frases:
1. Si aumenta la inflación y quiebran algunas empresas, entonces aumentará la criminalidad.
2. No es verdad que Jim y Tom sean ambos estrellas de rock.
3. Las interfaces permiten la interacción usuario-sistema sólo si son inteligentes.
a) Escriba fbfs que las representen.
b) Niegue las fbfs escritas en a).
c) Escriba frases que representen las fbfs escritas en b).
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Ejercicio 8:
Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, sugiera las proposiciones elementales para
P, Q, R y S respectivamente y escriba las frases que representen cada fbfs.
1. (P ∨ R) ⇒ Q
2. ¬(P ∧ Q)
3. ((P ∨(S ∧ R))∨ Q)
Ejercicio 9:
Construya la tabla de verdad para las siguientes fórmulas:
a. (A ∧ A)
b. (A ∧ ¬ A)
c. (A ∨ A)
d. (A ∨ ¬ A)
1. Decida si cada una de las fórmulas cumple con ser tautologı́a, contradicción, contingencia, o
consistente.
2. Determine, en caso de existir, los pares de fórmulas lógicamente equivalentes.
Ejercicio 10:
Para cada una de las fbfs que siguen, escriba otra lógicamente equivalente:
1. ¬(P ∨ Q)
2. ((P ∨Q) ⇒ R)
3. ¬(R ⇒ Q)
Ejercicio 11:
Teniendo en cuenta la siguiente situación:
Cuatro amigos, Federico, Diego, Mabel y Laura van al cine y eligen entre dos pelı́culas diferentes.
Formalice cada enunciado usando las letras de proposición que se indican:
P
= Federico ve la pelı́cula de terror.
Q = Diego ve la pelı́cula de terror.
R = Mabel ve la pelı́cula de terror.
S = Laura ve la pelı́cula de terror.
1. Sólo si Mabel no ve la misma pelı́cula que Laura, Federico y Diego ven la pelı́cula de terror.
2. Diego y Laura no ven la pelı́cula de terror a menos que Laura, Mabel y Federico vean la misma
pelı́cula.
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Ejercicio 12:
Sabiendo que v(P ⇒Q) = V, ¿qué puede decir del valor de verdad de las siguientes fórmulas,
conociendo el comportamiento de cada conectivo?
1. (P ∨ R) ⇒ (Q ∨ R)
2. (P ∧ R) ⇒ (Q∧ R)
Ejercicio 13:
Determine el valor de verdad de las siguientes fórmulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mientras que S y T son falsos:
1. ((P ∨(S ∧ T))∨ Q)
2. ¬(Q ∨ S)
3. (¬ Q ∧¬ S)
Ejercicio 14:
Examine cada una de las últimas 5 columnas de la siguiente tabla de verdad y verifique si alguna
representa la tabla de verdad de la fórmula ((P ⇒ Q ) ∨ ( R ∨¬ Q)).
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
1
F
V
F
V
F
V
F
V
2
V
V
F
V
V
V
F
V
3
V
V
F
V
V
V
V
V
4
V
V
V
V
V
V
V
V
5
V
F
V
V
F
F
V
V
Ejercicio 15:
Dadas las siguientes expresiones, elimine tantos paréntesis como le sea posible de manera que,
considerando la jerarquı́a y la propiedad asociativa de los conectivos, se mantenga el significado de la
fórmula original:
1. ((P ⇒ (¬ Q))∧ R)
2. ((P ∨(Q ∨ R))
3. (((P ∧(¬ Q))∧ R)∨ S)
4. (¬((¬(¬( P ∨ Q))) ⇒ (P ∧ Q)))
Ejercicio 16:
Encuentre en la siguiente lista de fórmulas cúal se corresponde con el significado de:
¬ P ⇒ ¬ Q ∧ R.
1. (¬ P ⇒ ¬ Q)∧ R
2. ¬ P ⇒ ¬(Q ∧ R)
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3. ¬(P ⇒ ¬(Q ∧ R))
4. ¬ P ⇒ (¬ Q ∧ R)
5. ¬(P ⇒ (¬ Q ∧ R))
Ejercicio 17:
a. Pruebe que los conectivos de negación y disyunción forman un conjunto adecuado de conectivos.
Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos sólo usando el conjunto {¬, ∨}.
b. ¿Qué pasa si ahora se usa ¬ y ∧?
Ejercicio 18:
Dada las siguientes fórmulas bien formadas:
a) (P ⇒ (Q ⇒ (P ∧ Q)))
b) (A ¬ B)
Exprese fórmulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas:
1. Usando sólo los conectivos ∧ y ¬.
2. Usando sólo el conectivo |.
3. Usando sólo los conectivos ∨ y ¬.
4. Usando sólo el conectivo ↓.
En la determinación de las nuevas fbfs indique, en cada paso, cuáles fueron las fbfs equivalentes
utilizadas para lograrlas.
Ejercicio 19:
Determine la expresión lógica que describa los siguientes problemas:
1. La alarma suena si la llave está en el contacto, o la puerta está abierta y el motor no está funcionando; o si las luces están encendidas y la llave no está en el contacto, o el cinturón de seguridad
del conductor no está ajustado y el motor está funcionando; o el asiento del pasajero está ocupado
y su cinturón de seguridad no está ajustado.
2. Si llueve las calles están vacı́as. Si las calles están vacı́as el comercio obtiene pérdidas. Los
músicos no podrı́an sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones
para publicidad. Los comerciantes contratan canciones publicitarias cuando tienen pérdidas. Por
tanto, si llueve los músicos pueden sobrevivir.
3. Si llueve o hace frı́o, me quedo en casa. Si es domingo y me quedo en casa, me aburro a menos
que me visite algún amigo. Si me visita algún amigo, me divierto. No me divierto y es domingo.
Por lo tanto, si no hace frı́o me aburro.
4. La música amansa a las fieras cuando éstas no están sordas. Para que las fieras no estén sordas,
es suficiente disponer de suficientes audı́fonos. Por tanto, disponer de suficientes audı́fonos es una
condición necesaria para que la música no amanse a las fieras.
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Ejercicio 20:
En Lógica Proposicional existen reglas, llamadas reglas de inferencia, que sintácticamente permiten
asegurar que ciertas fórmulas bien formadas tomarán el valor de verdad Verdadero, a partir de asumir con
valor de verdad Verdadero a otras fórmulas tomadas como hipótesis. Estas reglas pueden aplicarse independientemente del significado de las proposiciones que cada una representa. Las reglas de inferencia
más conocidas son:
Sean P, Q y R fórmulas bien formadas cualesquiera:
Modus Ponens (MP): de la veracidad de (P ⇒ Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Modus Tollens (MT): de la veracidad de (P ⇒ Q) y de ¬Q, se puede asegurar la veracidad de ¬P.
Silogismo Hipotético (SH): de la veracidad de (P ⇒ Q) y de (Q ⇒ R), se puede asegurar la veracidad
de (P ⇒ R).
Silogismo Disyuntivo (SD): de la veracidad de (P ∨ Q) y de ¬P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Resuelva utilizando las reglas de inferencia:
1. Por medio de las reglas de inferencia pruebe ¬T a partir de las siguientes premisas: P ⇒ ¬ Q,
Q∨¬R, P ∧ S y T ⇒ R ∧ S.
2. Demuestre U a partir de P ∧ T, P ⇒ Q, Q ⇒ (R ∧ S), ¬R ∨¬T ∨ U.
3. Demuestre que R ⇒ ¬ Q a partir de ¬(R ∧ S) y ¬S ⇒ ¬Q.
Ejercicio 21:
Dadas los siguientes razonamientos:
1. Si Juan es comunista, Juan es un ateo. Juan es comunista. Por lo tanto, Juan es un ateo.
2. Renato será contratado si pasa todas las entrevistas. Si Renato tiene experiencia previa y no participa activamente en las reuniones, será contratado. Renato tiene experiencia previa. Además,
Renato pasará todas las entrevistas si participa activamente en las reuniones. Renato participa
activamente de las reuniones. Entonces Renato será contratado.
Represente cada frase como una fórmula bien formada y luego verifique si la última frase (la conclusión) puede ser verdadera. Para esta última parte utilice de ser posible las reglas de inferencia anteriores
y, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad.
Ayuda: En general, para verificar si una conclusión es verdadera a partir de las hipótesis, se pueden
utilizar las reglas de inferencia o verificar si es tautologı́a la implicación de la conjunción de las premisas
o suposiciones o hipótesis (fórmulas que representan las frases anteriores) con la fórmula que representa
la última frase o conclusión. Es decir, si el conjunto de proposiciones que representan las frases tomadas
como hipótesis es {P 1 , P2 , . . . , Pn } y la conclusión se representa por la proposición Q, entonces se
n
debe demostrar que
n la fórmula (( i=1 Pi ) ⇒ Q) es una tautologı́a (o recı́procamente también se puede
mostrar que ¬ (( i=1 Pi ) ⇒ Q) es una contradicción).
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EJERCICIOS ADICIONALES
Ejercicio 1:
Designe con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los sı́mbolos de
la Lógica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. No es cierto que los platos estén sobre la mesa y la comida está servida.
2. Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir.
3. Si Ramı́rez no es elegido como dirigente del partido, entonces González o Fernández dejarán el
gabinete ministerial y perderemos las elecciones.
4. Si x es número racional e y es un número entero, entonces z no es real.
5. Los planetas giran alrededor del Sol.
6. O bien el asesino ha abandonado el paı́s o, en caso contrario, alguien está encubriéndole.
7. Los animales con pelo o que dan leche son mamı́feros.
8. Ya sea que vaya en colectivo o caminando, voy a ir.
9. Si tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve.
10. Mañana habrá clases si y solamente si viene el Dr. Carreras.
11. Si Marı́a aprueba lógica hará una fiesta y sino estudiará durante el verano.
12. Si Sr. Pérez es feliz, la Sra. Pérez es infeliz, y si el Sr. Pérez es infeliz, la Sra. Pérez es infeliz.
13. No hay objetos celestes que giren alrededor de sı́ mismos.
14. O Andrés estaba equivocado y Sofı́a tenı́a razón o Sofı́a no tenı́a razón.
Ejercicio 2:
Determine, mediante la tabla de verdad, si las siguientes fórmulas cumplen con ser tautologı́as,
contradicciones, contingencias, o consistentes.
a. (¬ P ⇒ (Q ⇒ P))
b. (((P Q)∧P) ⇒ ¬ Q)
c. ¬((P ∨ Q) ∧ (¬ P ∧¬ Q))
d. (((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ∧ ¬(P ⇒ R))
e. (((P ⇒ Q) ∧ ¬ Q) ⇒ ¬ P)
f. ((P ∨ Q) ⇒ (¬ P ∧ Q))
g. (P ∧¬((P ∨ Q)∨ R))
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Ejercicio 3:
Dados los siguientes razonamientos:
1. La Tierra es un planeta entonces gira alrededor del Sol. Si la tierra gira alrededor del Sol, pertenece
a la Via Lactea. Algunos planetas tienen más de un satélite. La tierra gira alrededor del Sol. La
Tierra pertenece a la Via Lactea.
2. Los terremotos destruyeron la ciudad o bien el sunami la destruyó. Como los terremotos destruyeron la ciudad, hay que reconstruirla. El sunami no destruyó la ciudad. Hay que reconstruir la
ciudad.
3. Como Gabi trabaja más que Sonia entonces Sonia debe ser su jefe. Si Julián reparte la correspondencia, mi carta le llegó a Jazmı́n. Gabi trabaja más que Sonia o Julián reparte la correspondencia.
Sonia no es jefe. Mi carta le llegó a Jazmı́n.
Represente cada frase como una fórmula bien formada y luego verifique si la última frase (la conclusión) puede ser verdadera. Para esta última parte utilice de ser posible las reglas de inferencia descriptas
en el ejercicio 20 del práctico, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad.
Ejercicio 4:
Dadas las siguientes proposiciones:
Mañana no iré a Inglés.
O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna.
1. Identifique las proposiciones simples.
2. Determine cuáles son los conectivos lógicos.
3. Exprese formalmente en sı́mbolos.
Ejercicio 5:
Identificar con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los sı́mbolos
de la Lógica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. Puedo verte en la webcam únicamente si vos ponés video-llamada.
2. Si el formato apropiado para fotos o imágenes es JPG, no usar formato BMP.
3. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
4. Yo no voy, ni el Lunes ni el Martes, voy el Miércoles.
5. Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.
Ejercicio 6:
Verifique, usando tablas de verdad, que las fórmulas bien formadas F y G son equivalentes:
F = (((¬A ∧(B ∧ C)) ∨ ((¬ A ∧ B) ∧ ¬ C)) ∨ ((A ∧ B)∧ C))
G = (B ∧(¬ A ∨(A ∧ C)))
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Ejercicio 7:
Determine el valor de verdad de las siguientes fórmulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mientras que S y T son falsos:
1. (¬ P ∨ Q)
2. ((Q ∨ S) ∧ (T ∨ Q))
3. (((P ∨ S) ∧ (T ∨ Q)) ⇐⇒ ((P ∨(S ∧ T))∨ Q))
Ejercicio 8:
Dada la siguiente tabla de verdad:
P
F
F
V
V
Q
F
V
F
V
?
F
V
V
F
1. ¿Qué conectiva representa?
2. ¿Es equivalente a la siguiente fórmula? Justifique usando leyes de De Morgan.
¬(¬(¬(P ∧ P)∧ Q) ∧ ¬( P ∧¬( Q ∧ Q)))
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