Estimadores e Intervalos de Confianza PROBLEMAS PROPUESTOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS 3.1 La familia Ayala, está integrada por cinco personas, las cuales, todas las mañanas de lunes a viernes, salen de su casa que se encuentra ubicada en el Fraccionamiento Jardines de Morelos. Algunos de ellos se dirigen a su centro de trabajo y otros a la escuela. En la primer semana de mayo, las horas de salida de cada uno de ellos fueron las siguientes: Integrante Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Padre 6.05 5.45 6.00 5.52 6.15 Madre 8.50 9.00 9.01 8.55 9.15 Hijo 5.36 5.30 5.32 5.30 5.35 Hija A 5.36 5.30 5.32 5.30 5.35 Hija B 6.15 6.20 6.10 6.15 6.25 Calcular la media aritmética, la varianza y la desviación estándar para cada uno de los miembros de la familia Ayala. Resp. Padre 5834 . , 2 0.084024, 0.2898 Hijo B 617 . , 2 0.0026, 0.05099 3.2 En cierta ferretería se tiene que decidir entre trabajar una línea de herramienta (STANLEY o TRUPPER); para lo cual, se decidió encuestar a los clientes potenciales, obteniéndose los siguientes datos de una muestra de 60 clientes, arrojando una media de 7.28 y una desviación típica de 1.24 . ¿Cuáles serán los límites de confianza del 95%, sí se considera que el tamaño Resp. 7.28 0.223 muestral es de 40 ? 17 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza 3.3 La empresa empacadora de alimentos D’Hilario, produce un helado de aguacate variedad Hass; dicha empresa, está interesada en evaluar la calidad del producto en cuanto a su sabor, mismo que se calificó con la siguiente escala: 1 muy bueno, 2 bueno, 3 aceptable, 4 malo y 5 muy malo. De una muestra aleatoria de 45 jueces se obtuvo una calificación media de 2.3 con una varianza de 0.5329. Calcula un intervalo de confianza del 95% para el promedio de aceptación del nuevo producto, en cuanto a su sabor. Resp. 2.087 < < 2.513 3.4 El proceso de acuñación de moneda es muy estricto y se requiere un eficiente sistema de control de calidad. En la casa de moneda “El Principe Azteca”, al inspeccionar un lote de 30 monedas de $5.00, se encontró que el peso promedio de la moneda era de 2.38 grs. con una varianza de 0.095 grs. Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso promedio de la moneda de $5.00. ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra, sí el error máximo que se estima cometer, es de 0.2 grs.? Resp. a) 2.2348< <2.5251 b) n=15.8 3.5 En la fabricación de tapones para depósitos de aceite de automóvil, se realiza un estudio de control de calidad para los diámetros de los tapones. Sí el valor promedio estimado de los diámetros fue 12.004505< <12.035495, tomando una muestra de 40 tapones, con media 12.02 cm y desviación estándar de 0.05 cm. ¿Cuál fue la confianza del intervalo? Resp. c= 95% 3.6 Para producir la actual moneda de $2.00, la Casa de Moneda Huitzilopóchtli, tuvo que hacer varios diseños; de uno de ellos se tomó una pequeña muestra aleatoria de 10 piezas y se midió su diámetro plano: 20.95, 20.97, 20.94, 20.98, 20.94, 20.91, 20.94, 20.93, 20.92 y 20.93 mm. Suponiendo 18 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza que la población se comporta aproximadamente normal, calcula un intervalo de confianza del 95% para el diámetro plano promedio de dicha moneda. Resp. 20.92< <20.95 3.7 Calcula un intervalo de confianza del 99% para la capacidad promedio de los trolebuses de la ruta Eje 3 Oriente que va de San Antonio Tomatlán al metro San Lázaro. Sí de 18 observaciones (recuerda que este valor corresponde a una pequeña muestra) que se hicieron en diferentes paradas y en diferentes días de la semana, se obtuvo que la capacidad promedio de los trolebuses fue de 10.16 pasajeros, con una desviación típica de 8.34. Resp. 4.29< <16.025 3.8 El número de escritorios producidos mensualmente por la industria Espejel Ayala S.A. de C.V., fue de: 1200, 1700, 1300, 1900, 2250 y 2300 escritorios por mes. Calcular un intervalo de confianza del 98%, para la producción promedio mensual que realizó dicha industria. Resp. 1075< <2474 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES 3.9 En una escuela superior, se efectuaron las elecciones para formar la nueva sociedad de alumnos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de 120 alumnos votantes, de los cuales el 65% estuvieron a favor de la Planilla Verde. a) Calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción de todos los votantes que están a favor de esa planilla. b) Obtén la magnitud del error máximo. Resp. a) 0.5784<p<0.721 b) 0.0715 3.10 Una maestra de sexto año de primaria de la escuela “Victorio Rojas Olivar”, necesita estimar la proporción de niños a los que les gusta jugar 19 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza futboll americano a la salida de la escuela. Quince de 34 niños entrevistados del grupo de sexto A y sexto B, se reunen a jugar. Estima la proporción de niños jugadores de futbol americano, y determina una cota para el error de estimación, así como un intervalo de confianza del 99%. Resp. p =0.44, cota del error=0.2192, 0.2207<p<0.6593 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS DE PROPORCIONES 3.11 En la ruta de trolebuses que va sobre el eje 3 Oriente de Viaducto Piedad a la Nueva Atzacoalco, realiza su recorrido en un lapso aproximado de 50 min. Se sabe que, en dicho medio de transporte abordan un promedio (en horas pico: de 7 a 9 a.m.) de 100 personas, de las cuales, 67 muestran su abono de transporte; comparativamente con lo observado de 6 a 8 p.m. ( que también es hora pico), abordan un promedio de 120 personas, de las cuales 93 muestran su abono. Encuentra los límites de confianza del 99% y del 95% para la diferencia de proporciones de pasajeros que muestran su abono de transporte en los horarios citados. Resp. (-0.0511, 0.2611), (- 0.0136. 0.2236) 3.12 En el área de control de calidad de cierta empresa, se escogen al azar dos muestras de 100 hebillas cada una. Sí el supervisor más antiguo revisa 50 de éstas en 15 min., mientras el nuevo supervisor revisa 50 en el mismo tiempo. Estimar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de proporciones de hebillas revisadas por cada supervisor. Resp. - 0.0155 < p1-p2 < 0.2155 3.13 En la empresa mecánica industrial GDM, una de sus máquinas trabaja dos turnos de ocho horas cada uno. Para comparar la proporción de piezas defectuosas producidas por turno, se selecciona una muestra aleatoria de 20 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza 800 piezas en cada turno. En el primer turno se producen 10 piezas defectuosas y en el segundo 8. Obtener un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de las proporciones de piezas defectuosas para los dos turnos. Resp. - 0.00783 < p1-p2 < 0.01283 3.14 Se tienen dos líneas que operan 37 y 40 máquinas respectivamente. Las cuales en la primera línea, durante el tiempo de trabajo dejan de operar un 59.5% por falla o falta de atención del operador, mientras que en la segunda línea dejan de operar un 50% por las mismas causas que en la primera. Es necesario saber el tiempo proporcional de operación, por lo tanto, determina la diferencia de proporciones, para comparar el tiempo productivo por máquina, considerando un nivel de confianza del 95%. Resp. - 0.1264<p1-p2<0.3164 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA DISTRIBUCION T-STUDENT 3.15 La publicidad de la pizzerÍa Don Hectore (ubicada en Plaza Fiesta Izcalli), dice que: “el queso de una pizza grande debe pesar 300 grs.”; se tomó una muestra de 20 pizzas para pesarlas, obteniéndose una media de 299.2 grs. y una desviación típica de 1.46 grs. Hallar el intervalo de confianza para el peso verdadero al 99%. Resp. (298.24, 300.15) 3.16 Una muestra al azar de 10 observaciones tiene una media de 30 y una desviación estándar de 1 . Obtén un intervalo de confianza del 95%. Resp. (29.4208, 30.5792) 21 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA 3.17 A la empresa Gilda, que produce refacciones para carros de alta tecnología, le interesa llevar un control de calidad de las válvulas. Sí cinco de estas válvulas tienen un diámetro de 6.9, 6.8, 7.0, 6.8 y 7.0 mm. Determina un intervalo de confianza del 95% para la varianza. Resp. 0.0035, 0.0826 3.18 Se quiere saber qué tanta variación existe en el número de materias reprobadas por los alumnos de una conocida escuela superior, desde su ingreso al primer semestre hasta el tercero. De una muestra de 15 alumnos, se obtuvo una media de 3 materias y una desviación estándar de 1 materia. Suponiendo que la población es aproximadamente normal, calcula un intervalo de confianza del 90% para la varianza. Resp. (0.59, 2.13 ) 3.19 Se desea estimar el incremento diario del papel comercial. Si al hacer el estudio durante 18 días, se obtiene una media de 25.31 y una varianza de 0.24 puntos. Determina un intervalo de confianza del 99% para la varianza. Supóngase que la población es normal. Resp. (0.1142, 0.716) 3.20 En un laboratorio de física se está realizando un experimento para medir el volumen de una fuente de audio frecuencia. Para tal efecto se han realizado mediciones independientes con este equipo, siendo éstas: 2.2, 3.4, 3.9, 4.1 y 6.2 . Estimar 2 con un coeficiente de confianza de 0.9 . Resp. (0.8908, 11.8921) 22 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza TAMAÑO DE MUESTRA 3.21 En una facultad de una importante universidad, se desea estimar qué proporción de los 500 alumnos del último semestre escolar, piensan continuar estudios de postgrado. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra que se debe utilizar, sí se desea que la estimación difiera a lo más en un 5% del verdadero valor, con una confianza del 99%. Si se sabe que el 70% de los alumnos del semestre pasado, si continuaron sus estudios de postgrado. Resp. n= 264 estudiantes 3.22 Se desea saber el porcentaje de mujeres que por lo menos una vez en su vida, se han realizado el estudio del papanicolau. Pero antes, se quiere encontrar el tamaño de muestra que se necesita para que un intervalo de confianza del 95% de la proporción, tenga una amplitud de 0.2 Resp. n = 24 3.23 Qué tamaño de muestra sería necesario para obtener un intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población, si el error es 0.02? (Considera p=1/2) Resp. 2400 ERROR DE ESTIMACIÓN 3.24 En el bar de un conocido hotel de Cancún, se está realizando una investigación, para tal efecto se seleccionó una muestra de 400 observaciones, encontrándose que 20 vasos de bebida fueron abandonados sin haber sido ingeridos, por no tener la suficiente cantidad de hielo. Utilizando un intervalo de confianza del 99% calcula el error de estimación. Resp. 23 e = 0.02811 Melva Franco Espejel Estimadores e Intervalos de Confianza 3.25 El ejecutivo de ventas de una cadena de tiendas de autoservicio, desea estimar la tasa de respuesta para un cuestionario que recientemente se diseñó, y quiere basar su estimación en la tasa de respuesta obtenida en una encuesta piloto. ¿Cuántos consumidores deben seleccionarse en la encuesta piloto, si el ejecutivo desea estimar “p”, la tasa de respuesta, con una probabilidad de 0.9 de que el error de estimación sea menor que 0.02? Suponga que se espera que “p” esté cercana a 0.6 Resp. n = 1623.61 24 Melva Franco Espejel