Continuidad y Diferenciacion

CONTINUIDAD (CONTINUITY)
Decimos que una función es continua en x = c cuando no hay interrupción en la gráfica
de f en c. Su gráfica no aparece con huecos en c o saltos. Esto es, una función es continua en
todo lugar si su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel.
A function is continuous at x = c when there is No anomalies on the graph of f at c. The graphs
should not have “jumps or holes”. This is, a function is continuous everywhere if you could draw
the graph without having to lift the pencil.
Ejemplos: (Examples)
Continua/Continuous
Continua/Continuous
No es continua en x =
1/Not continuous at x = 1
Definición: Una función es continua en c si satisface las siguientes condiciones: (Definition:A
function is continuous at c if it satisfies the following conditions:)
i)
f(c) está definida (f(c) is defined)
ii)
El límite existe (The limit exists) : lim 𝑓(𝑥)
iii)
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en cada punto del intervalo/ A function
is continuous in the interval (a,b) if it is continuous at every point in the interval.
Ejemplo para discusión: Determina si f(x) = x2 es continua para c = 3./ Example for
dicussion: Determine if f(x) = x2 is continuous at c=3.
Teorema:
Una
función
polinómica
es
continua
en
Theorem: A polynomial function is continuous for all real numbers.
todo
número
real.
La función f(x) = x2 es una función polinómica, por tanto es continua para c = 3 y para cualquier
otro número real.
The function f(x) = x2 is a polynomial function, therefore it is continuous at c = 3 and at every real
number.
Teorema: Una función racional es continua en todos los números reales de su dominio.
Theorem: A rational function is continuous for all real numbers in its domain.
¿Para qué valores la función f(x) es continua? (At what values is f(x) continuous?)
Nota: En aquellos puntos en los que el denominador de una función racional es cero,
la función no está definida y por tanto, no es continua; en todos los demás puntos las funciones
racionales son continuas.
Note: At those points where the denominator of the rational function is zero, the function is No
defined, therefore, it is Not continuous. At all other points rational functions are continuous.
Ejemplos para discusión:
Examples to discuss:
1) Determina para qué valores la función f(x) = x es continua. (Determine for what values f(x)
= x| is continuous)
2) Determina la
continuidad
de la función
f(x)
Determine if
the following
function
is
continuous at
c=2
3) Determina la
continuidad
de la función
f(x) en c=2
Determine if
the following
function
is
continuous at
c=2
4) Discute la continuidad de la función: (Discuss the continuity of the function:)
5) Determina la
continuidad
de la función
f(x) en c=2
Determine if
the following
function
is
continuous at
c=2
6) Determina la
continuidad
de la función
f(x) en c=2
Determine if
the following
function
is
continuous at
c=2
Propiedades de las funciones continuas
Properties of continuous functions
Si f y g son funciones continuas, entonces las siguientes funciones también son continuas en c:
If f and g are continuous functions, then the following functinos derived from f and g are also
continuous at c:
i) f
g
ii) af, (a constante arbitraria/ a arbitrary constant)
iii) fg
v) f(g(x)) , supuesto que f es continua en g(c) / as long as f is continuous at g(c)
Una función es discontinua en c si no es continua en c. Las discontinuidades se clasifican
en: evitables y no evitables. Una discontinuidad en x = c es evitable si f se puede redefinir en
x = c.
A function is discontinuous at c if it is not continuous at c. Discontinuities are classified as
removable and nonremovable discontinuity.
Ejemplo para discusión: Halla las discontinuidades (si las hay) de cada función
dada. Determina cuáles son evitables y cuáles no son evitables.
Example for discussion: find the disconuities of each function (if they exist). Determine which
are removable or nonremovable.
Ejercicio de práctica:
Practice Exercise:
1) ¿Es la función continua para x 4 ? Is the function continuous for x 4?
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4
2) ¿Es la función continua en el intervalo [-2,2]? Is the function continuous at the interval [ – 2 ,2]
?
𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2
3) ¿Es f(x) = sen (x) continua en el intervalo (0,2)? Is f(x) = sen (x) continuous in the interval
(0,2)?
4) Halla todos los valores en los que la función es contínua: Find all values where the function is
continuous.
𝑓(𝑥) =
3𝑥−5
2𝑥 2 −𝑥−3
5) Halla las discontinuidades en las siguientes funciones e indica si son o no evitables. Find the
discontinuities of the following functions and classify as removable or nonremovable.
6) Determina si la función
es continua para c=2
Determine
if
the
function is continuous
at c=2.
Dibuja la gráfica para verificar tu respuesta. Draw the graph and verify your answer.
Tema: Derivabilidad y Continuidad (Differentiability and Continuity)
Decimos que una función f es derivable en x = c si existe:
We say that the function f is differentiable at x = c if the following exists:
𝑓(𝑥 + 𝑐) − 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
𝑥−𝑐
lim
El próximo teorema muestra que la “diferenciación” implica “continuidad” (El converso No es
cierto)
The next theorem shows that “differentiability” implies “continuity”. (The converse is Not true)
Teorema: Si f es derivable en x = c, entonces f es continua en x = c.
Theorem: Let f be differentiable at x=c, then f is continuous at x = c.
Veamos tres ejemplos importantes:
Let’s see three important examples:
1) Considera la función (Consider the function) f(x) = x.
Esta función es continua para x = 0, observa que:
This function is continuous at x=0, note that:
i)
La función está definida para cero, (the function is defined at zero): f(0) = 0 = 0.
ii)
El límite existe. The limit exists. lim |𝑥| = 0
iii)
𝑓(0) = lim |𝑥| = 0
𝑥→0
𝑥→0
Por tanto, la función f(x) = x es continua para c = 0. Therefore the function f(x) = x is
continuous at c = 0,
También podemos observar que gráficamente esta función es continua. We can also obser that
the function is continuous from the graph.
Ahora, Nonetheless
y
Los límites laterales (por la izquierda y por la derecha) no son iguales. Por lo tanto, el límite del
cociente diferencial no existe. Es decir, f(x) = x no es derivable en x = 0 pues los límites
laterales no son iguales. Esta función es derivable en todo punto excepto en x = 0.
The lateral limits (left and right) are Not equal. Therefore, the limit of the differential quotient does
not exist. Then f(x) = |x| is not differentiable at x=0, because the lateral limits are not the same.
This function is differentiable at all points except x=0.
Nota: Una función puede ser continua pero no derivable en un punto. Note: A function can
be continuous but Not differentiable at a point.
2) Considera la función con asíntota x = 0: Consider the function with asymptote x = 0:
Esta función es discontinua en x = 0, puesto que no está definida para x = 0. Se sabe que:
(This function is discontinuous at x=0, because it is Not defined at 0. We know that:)
y
De manera que la función,
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
no es derivable en x = 0 y la función es discontinua en
ese punto (pues existe una asíntota vertical en x = 0).
(Therefore the function 𝑓(𝑥)
=
1
𝑥
is not differentiable at x=0, and is discontinuous at this point
because there is a vertical asymptote at x=0)
Nota: La discontinuidad de una función es suficiente para que la función no sea
derivable. La continuidad no es suficiente para garantizar la derivabilidad, pero por otro lado la
descontinuidad basta para destruirla. Note: The discontinuity of the function is sufficient to know
that the function is Not differentiable. Although the continuity of the function is Not enough to
guarantee that it is differentiable, on the other hand a discontinuity is enough to eliminate
differentiability.
3)Sea
Let
El límite en x = 0 no existe puesto que f no es continua en x = 0.
The limit at x=0 does not exist because f is not continuous at x=0.
Este ejemplo sugiere que si una función no es continua entonces no es derivable.
This example suggests that if a function is not continuous then it is not differentiable.
¿Cuándo una función no es derivable en x = c?
When is a function not differentiacle at x=c?
1) En un pico, donde el límite por la izquierda y por la derecha no coinciden. When there is a
Sharp peak, where the left and right limits are Not the same.
Ejemplo: f(x) = x, los límites laterales no son iguales cuando x = 0.
Example: f(x) = |x|, the lateral limits are not equal when x = 0.
2) Funciones que tienen una tangente vertical. La discontinuidad de una función en un punto
es suficiente para que la función no sea derivable.
Functions that have a vertical tangent. The discontinuity of a function at a point is enough for the
function not be differentiable.
Example: 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
has a vertical asymptote at x=0.
3) Funciones donde hay interrupciones, esto es, que no son continuas.
Functions with disruptions, that is, Not continuous
Nota: Si f es derivable entonces f es continua. Pero si f es continua no necesariamente es
derivable.
Note: If f is differentiable then f is continuous. But if f is continuous, it is Not necessary
differentiable.
¿Qué funciones son derivables? What functions are differentiable?
Las funciones polinómicas, funciones racionales y funciones trigonométricas. La composición
de funciones derivables son derivables.
Polynomial, rational, and trigonometric functions are differentiable. The composition of these is
differentiable.
Ejercicio de práctica: Practice exercises:
1) Determina si las siguientes funciones son derivables: Determine if the following functions are
differentiable.
2) Demuestra que la función no es derivable en x=0. Show that the function is not differentiable
at x=0.
(Sugerencia: Utiliza la definición de derivable y dibuja la gráfica. Suggestion: Use the definition
of the differentiale and draw the graph)